Đang tải... (xem toàn văn)
Tham khảo tài liệu Đề thi tuyển HSG lớp 9 môn Toán năm 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Cẩm Thủy dành cho các bạn học sinh lớp 9 và quý thầy cô tham khảo, để hệ thống lại kiến thức học tập để chuẩn bị cho kì thi sắp tới, cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề kiểm tra cho quý thầy cô. Hi vọng với đề thi này làm tài liệu ôn tập sẽ giúp các bạn đạt kết quả tốt trong kỳ thi. Chúc các bạn thi tốt!
PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG II NĂM HỌC: 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu Cho biểu thức: P x x2 x x x x ( x 1)( x x ) a Rút gọn P b Tính P x 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu Giải phương trình: a x2 10 x 27 x x b x2 x x x x Câu a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy 3x x 1 2x x 1 b Cho x 1; y , chứng minh: 3 ( x 1) y y x 1 y c Tìm số tự nhiên n để: A n2012 n2002 số nguyên tố Câu Cho hình vng ABCD, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1 không đổi AE AF b Chứng minh: cos AKE sin EKF cos EFK sin EFK cos EKF a Chứng minh: c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Câu Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn Hết./ PHỊNG GD & ĐT CẨM THỦY HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN V2 NĂM HỌC: 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câu Ý P a Nội dung cần đạt x x2 x ( x 1) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) Điểm 0,25 x( x 2) 2( x 1) x x x x x x x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) 0,25 x x 2x x x x ( x 1)( x 2) 0.5 x ( x 1)( x 2) ( x 1) x ( x 1)( x 2) ( x 1) x 2 x 2 ( 1) 0.25 2,25 b P ( x 1) 11 2 1 ( x 1) 1 ĐK: x 0; x : c P ( x 1) ( x 1) 0.25 0.25 x 1 2 1 x 1 x 1 Học sinh lập luận để tìm x x 0.25 0.25 ĐK: x : 0.25 VT x2 10 x 27 ( x 5)2 , dấu “=” xẩy x 0.25 VP x x (12 12 )(( x )2 ( x 4) ) VP , dấu “=” xẩy a 6 x 6 x x4 x x4 VT VP x (TMĐK), Vậy nghiệm phương trình: x 0.25 0.25 ĐK: x Nhận thấy: x nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta có: 2 4 x 2x x x x x x (x ) ( x )2 x x x x b Đặt x 4 t t x x t , thay vào ta có: x x x t (t 4) t t t (t 3)(t 2) t 2 Đối chiếu ĐK t 1,75 0.75 x x x ( x 2)( x 1) x x t 3 x y xy 3x x2 xy y x2 3x ( x y)2 ( x 1)( x 2) (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp a 0.5 x 1 x 1 y nên phải có số x x 2 y Vậy có cặp số nguyên ( x; y) (1;1) ( x; y) (2;2) x 1; y x 0; y x 1 0; 0; ( x 1) y y Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 3 1.1 2 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) x 1 3 (1) b 0.75 x 1 x 1 x 3( x 1) 2 11 33 1.1 y y y y 1 3 1.1 y y y y (2) (3) 2.0 Từ (1); (2); (3): x 1 1 3( x 1) 6 3 ( x 1) y y x 1 y y x 1 1 x 3x 2x x 3( ) 3 ( x 1) y y x 1 y x 1 y Xét n A = khơng phải ngun tố; n A = nguyên tố 0.25 Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) c Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A hợp số Số tự nhiên ần tìm n = 0.5 B A M M' 0.25 N N' P E K C Q D F H a b Học sinh c/m: ABF = ADK (g.c.g) suy AF = AK Trong tam giác vng: KAE có AD đường cao nên: 1 1 1 hay (không đổi) 2 2 2 AK AE AD AF AE AD a 1 HS c/m S KEF KE.EF sin AEK KE.EF cos AKE 2 1 Mặt khác: S KEF EH KF EH ( KH HF ) Suy ra: 2 EH KH EH HF KE.EF cos AKE EH ( KH HF ) cos AKE KE.EF : EH KH EH HF cos AKE sin EFK cos EKF sin EKF cosEFK EF EK KE EF Giả sử dựng điểm N thỏa mãn NP + NQ = MN 0.5 0,5 0,25 0,25 0,5 3.0 Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy tam giác NN’M cân N MN’ phân giác DMM ' Cách dựng điểm N: - Dựng M’ đối xứng M qua AD c 0.25 - Dựng phân giác DMM cắt DM’ N’ ' 0.25 0.25 - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Chú ý: Học sinh khơng trình bày phân tích mà trình bày cách dựng cho điểm tối đa d 0.25 H I A P B K O D C 1.0 Gọi O giao điểm đường chéo hình bình hành, kẻ OP vng góc d P HS lập luận BH + CI + DK = 4OP 0.25 0.25 Mà OP AO nên BH + CI + DK 4AO Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO Đạt P A hay d vng góc AC Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa 0.25 ...PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN V2 NĂM HỌC: 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Câu Ý P a Nội dung cần đạt... giác NN’M cân N MN’ phân giác DMM ' Cách dựng điểm N: - Dựng M’ đối xứng M qua AD c 0.25 - Dựng phân giác DMM cắt DM’ N’ ' 0.25 0.25 - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Chú ý: Học sinh khơng trình... A = nguyên tố 0.25 Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) c Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1 , suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2