Để giúp ích cho việc làm bài kiểm tra, nâng cao kiến thức của bản thân, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy bao gồm nhiều dạng câu hỏi bài tập khác nhau giúp bạn nâng cao khả năng tính toán, rèn luyện kỹ năng giải đề hiệu quả để đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Chúc các bạn thi tốt!
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
CẨM THỦY
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (LẦN 2)
Năm học 2018 - 2019 Môn: Toán - Lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (4,0 điểm):
1 Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:
3
26 15 3 2 3
9 80 9 80
x
2 Tính tổng:
8.1 1 8.2 1 8.3 1 8.1009 1
1 3 3 5 5 7 2017 2019
Câu II (4,0 điểm):
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1;3
2); N(3;0); K(4;5
2) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA
2 Giải phương trình: 2 4 2 4
13 x x 9 x x 16 Câu III (4,0 điểm):
1 Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2
3x 18y 2z 3y z 18x 27
2 Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:
là số nguyên Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1)
Câu IV (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và dây cung AH < R Qua H vẽ đường thẳng d
tiếp xúc với đường tròn (O; R) Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho
H nằm giữa B và C Vẽ HM vuông góc với OB (MOB), vẽ HN vuông góc với OC
(NOC)
1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định
2) Chứng minh: OB.OC = 2R2
3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi
Câu V (2,0 điểm): Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c 3.
Chứng minh rằng: 1 2 1 2 12 1.
2 a b 2 b c 2 c a
-Hết - Chữ ký giám thị 1: ………
Chữ ký giám thị 2: ………
Trang 2ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
(Đáp án gồm có 04 trang)
1
(4đ)
1 Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:
3
26 15 3 2 3
9 80 9 80
x
Đặt
3
2
2
9 80 9 80 9 80 9 80 3 9 80 9 80
18 3 81 80 18 3 3 18 0
3
3 6 0
a
Mặt khác: 3 3 3
26 15 3 3 2 3 2
26 15 3 2 3 3 2 2 3 4 3 1
9 80 9 80
x
2020
2020
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2 Tính tổng:
8.1 1 8.2 1 8.3 1 8.1009 1
1 3 3 5 5 7 2017 2019
4 1
1
2 2 1 2 1
n
Với n ≥ 1, nN Thay lần lượt n từ 1 đến 1009 ta được:
S
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
2
(4đ)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1;3
2); N(3;0);
K(4;5
2)
Xác định các đỉnh của
tam giác ABC sao cho M, N, K
lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA
K
N
M
B
C
A
-2 -1
-2 -1
6
5
4
3
2
4
3
2 1 O y
x
Trang 3Lời giải:
Phương trình đường thẳng MN có dạng y=ax + b
Vì M(1; 3
2) thuộc đường thẳng MN nên: 3
2= a + b (1)
Vì M(3;0) thuộc đường thẳng MN nên: 0 = 3a + b (2)
Từ (1 ) và (2) suy ra: a = -3/4; b = 9/4
Suy ra phương trình đường thẳng MN là: 3 9
y x
Tương tự phương trình đường thẳng MK là: 1 7
y x
phương trình đường thẳng NK là: 5 15
y x
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // AB
Phương trình đường thẳng AB có dạng 3
4
y x c
Mà K(4;5
2) AB suy ra 5 3.4
=> c= 11
2
Phương trình đường thẳng AB là: 3 11
y x
Tương tự : phương trình đường thẳng BC là: 1 1
3
y x
Phương trình đường thẳng AC là: 5 1
2
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
3 11
2
1 2
x y
Suy ra A(2;4)
Tương tự: B(6;1) và C(0;-1)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 41 Giải phương trình: 13 x2 x4 9 x2 x4 16
Lời giải:
Đk: -1 ≤ x ≤ 1
Ta có:
2
13 1 9 1 13 13 1 9 1 256
Áp dụng Bđt bunhicopxki cho 2 dãy số:
13; 3 3
13(1 x2 ); 3 1 x2 ta được:
13 13 1 x 3 3 3 1 x 13 27 13 13 x 3 3x 40 16 10 x
Áp dụng bđt Cosi ta có:
4.10x 16 10 x (10x 16 10 x ) 16 256
Dấu bằng xảy ra 10x2 = 16 - 10x2 2 2 5
5 5
x
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
III
(4đ)
1) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:
3x 18y 2z 3y z 18x 27
Giả thiết 2 2 2 2 2
3 x 3 18y 2z 3y z 54
3(x 3) 2z 3y z( 6) 54(2)
54 3(x 3) 2z 3y z( 6) 3(x 3) 2.9 3y 3
(x3) 3y 12
vì y nguyên dương
Nếu 2
y y thì (1) có dạng:
5
x z z z z z (vì có(*))
Khi đó 3x32 27x32 9, x nguyên dương nên tìm được x = 6
Nếu 2
y y (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng:
3 x 3 14z 126 14z 126 z 9 z 9 z 3 (vì z nguyên dương)
Suy ra 2
(x3) 0 x3(vì x nguyên dương)
Đáp số
2; 1
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ 2) Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:
là số nguyên Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1)
Lời giải:
Đặt
;
với (a;b)=1; (m;n)=1 và b,n > 0 0,5đ
Trang 5D M
B
H
A
O
Theo bài ra ta có: a m an bm Z
Suy ra: an bm b an b
an bm n bm n
mà (a;b)=1; (m;n)=1 suy ra: n b n b
b n
Mặt khác:
4 1 4 1
Z
( vì x4 - 1 x+1 và y4 - 1 y + 1) Suy ra a.mn mà (m;n) =1 suy ra an mà n = b nên a b suy ra x4 - 1 y + 1
Do đó: x4y44 – 1= y44 (x4 - 1) + (y44 – 1) y + 1
Vì x4 - 1 y + 1 và y44 – 1 y + 1 (đpcm)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
IV
(6đ)
1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định
a) Chứng minh: OM.OB = ON.OC
Vì tam giác OHB vuông tại H có HM là đường cao nên: OM.OB = OH2
Vì tam giác OHC vuông tại H có HN là đường cao nên: ON.OC = OH2
Suy ra: OM.OB = ON.OC (vì cùng bằng OH2)
0,5đ
0,5đ
Trang 6b) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định
Vì OM.OB = OH2 OA2 = OM.OB OA OB
Xét O AM và OABcó: AOB chung
OA OB
OM OA (chứng minh trên)
O AM
OAB(c.g.c)
MAO OBA
mà AOBOBA (vì OA = AB = R)
O
M A
cân tại M MA = MO M thuộc đường trung trực của AO
Chứng minh tương tự ta có N cũng thuộc đường trung trực của AO
MN đi qua trung điểm D của OA cố định
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ 2) Chứng minh: OB.OC = 2R2
Ta có: OM.OB = ON.OC (chứng minh câu a)
Chứng minh được OMN OCB (c.g.c)
1
R 2
Lại có: OM.OB = OH2 1 2
O
Vậy OB.OC = 2R2
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ 3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi
Ta có: OMN OCB
2 2 2
OMN
OCB
OH BC OH
2
R(AB AC) R( )
R
R R
Dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng A H
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác OMN là:
2 4
OMN
R
S khi điểm A trùng với điểm H
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
V
(2đ)
Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c 3. Chứng minh
rằng: 1 2 1 2 1 2 1.
2 a b2 b c 2 c a
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,
ta có 1 1 a b2 3 3 a b2 và 3 3 ab2 a b b a 2 b
2
a b
2
2 a b 218 a ab (1)
0,5đ
0,5đ
Trang 7Tương tự, cũng có: 2
2
2 b c 218 b bc (2)
2
2 c a 218 c ca (3) Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu được
2
2
1.
2 a b2 b c 2 c a 218 a b c Điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1.
0,5đ
0,5đ
Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Bài hình không vẽ
hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm