Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 9 môn Toán năm học 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Kim Thành

Mời các bạn tham khảo Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 9 môn Toán năm học 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Kim Thành có đáp án sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những dạng bài chính được đưa ra trong đề thi. Từ đó, giúp các bạn có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = x 9 x  x 1   x 5 x 6 x  3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A = x (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y )  y  z (1  x ) (1  y ) (1  z ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16   16  b) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a)  x   x  b) x2  x   2 x  Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn:  x y   y x    xy b) Cho a; b; c số thuộc đoạn  1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a+b+c  Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H a) Chứng minh: KC AC  CB  BA2  KB CB  BA2  AC b) Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Tổ KHTN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = x 9 x  x 1   x 5 x 6 x  3 x ĐKXĐ: x  4; x  A x 9  x 2 =    x 3  x   x 1   x  x 1 x   x   2x  x     x 2 x 3 x 2 x 3   x  3 x 2 =    x x 2 x 2  x 3  x 1 x 3 b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính: A = x (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y )  y  z (1  x ) (1  y ) (1  z ) Gợi ý: xy + yz + xz =  + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16   16  b/ Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Giải a/Từ a= 16   16      a3  32  3 16  16   16   16    32  12a nên a + 12a =   32 Vậy f(a) = b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k  ) k > n  (k – n)(k + n) = 17  k  n  n8  k  n  17 Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/  x   x  b/ x2  x   2 x  Giải a/ ĐK: 4  x  Bình phương vế:  x   x  (1  x)(4  x)   (1  x)(4  x)  x  (thỏa mãn)   3x  x   x( x  3)     x  3 Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x2  x   2 x  ĐKXĐ: x     3   x2  2x   x   2 x      x  1    x 1  2x  1     x  1 phương trình có nghiệm x      x = -1 Câu 4: (3 điểm) a/ Tìm x; y thỏa mãn:  x y   y x    xy b/ Cho a; b; c số thuộc đoạn  1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c  Giải a/  x y   y x    xy  x.2 y   y.2 x   xy Xét VP = x.2 y   y.2 x  theo BĐT cosi: y4  4 y4 y 4 x4 x  ;2 x    VP  xy = VT 2 2  x   Dấu = xảy khi:   y    x  y 8 b/ Do a; b; c thuộc đoạn  1; 2 nên a +  0; a –  nên (a + 1)(a – 2)  Hay: a2 – a –   a2  a + Tương tự: b2  b + 2; c2  c + Ta có: a2 + b2 + c2  a + b + c + theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = nên: a + b + c  Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H a/ Chứng minh: KC AC  CB  BA2  KB CB  BA2  AC b/ Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c/ Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? Giải a/ Sử dụng định lý pytago: A AC  CB  BA2 AK  KC  ( BK  CK )2  AB  CB  BA2  AC ( BK  CK )2  BA2  ( AK  KC ) = 2CK  BK CK 2CK (CK  BK ) CK   BK  BK CK BK ( BK  CK ) BK H AK AK ; tanC = BK CK b/ Ta có: tanB = Nên: tanBtanC = B AK (1) BK CK K C Mặt khác ta có: B  HKC mà: tanHKC = Nên tanB = D E KC KH KC KB KB.KC tương tự tanC = (2)  tan B.tan C  KH KH KH Từ (1)(2)   tan B.tan C  Theo gt: HK =  AK     KH  AK  tan B.tan C  3 S AB  c/ Ta chứng minh được: ABC ADE đồng dạng vậy: ABC    (3) S ADE  AD  Mà BÂC = 600 nên ABD  300  AB = 2AD(4) Từ (3)(4) ta có: S ABC   S ADE  30(cm2 ) S ADE ... GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Tổ KHTN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = x ? ?9 x  x 1   x 5 x 6 x  3 x ĐKXĐ: x  4; x  A x ? ?9  x... nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x2  x   2 x  ĐKXĐ: x     3   x2  2x   x   2 x      x  1    x 1  2x  1     x  1 phương trình có nghiệm x      x = -1 Câu 4: (3 điểm)... k2 (k  ) k > n  (k – n)(k + n) = 17  k  n  n8  k  n  17 Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/  x   x  b/ x2  x   2 x  Giải a/ ĐK: 4 