Đề thi HSG môn Toán 9 năm 2018 - 2019 Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy có đáp án

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CẨM THỦY

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (LẦN 2) Năm học 2018 - 2019

Mơn: Tốn - Lớp

Thời gian: 150 phút(không kể thời gian giao đề)

Câu I. (4,0 điểm):

1 Hãy tính giá trị biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:

 

3

3

26 15 3

9 80 80

x

 



  

Tính tổng:

2 2

2 2 2 2

8.1 8.2 8.3 8.1009

1 1

1 3 5 2017 2019

S            

Câu II. (4,0 điểm):

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;3

2); N(3;0); K(4;

2) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC cho M, N, K trung điểm AC, CB, BA

2 Giải phương trình: 4

13 x x 9 x x 16 Câu III. (4,0 điểm):

1 Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2

3x 18y 2z 3y z 18x27 Cho x, y số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 cho:

4

1

1

x y

y x

 



  số nguyên Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1).

Câu IV. (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) dây cung AH < R Qua H vẽ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O; R) Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d B C cho H nằm B C Vẽ HM vng góc với OB (MOB), vẽ HN vng góc với OC (NOC)

1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC MN qua điểm cố định 2) Chứng minh: OB.OC = 2R2

Câu V. (2,0 điểm): Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c  3

Chứng minh rằng: 12 12 12 2a b2b c2c a 

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP (Đáp án gồm có 04 trang)

Bài Đáp án Điểm

1 (4đ)

1 Hãy tính giá trị biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:

 

3

3

26 15 3

9 80 80

x

 



  

Đặt

  

  

3

3 3

3

3

2

2

9 80 80

9 80 80 80 80

18 81 80 18

3 18

3

3

3 a

a a

a a

a a

a a

a a a

a

a a

   

       

   

  

   

    

   

   

Mặt khác: 326 15 3 3 323  32

Suy ra:     

3

3

26 15 3 2 4 3 1

3 3

9 80 80

x

    

   

  

Vậy  

2020

2020

1

3 1

27

Q      

 

0,5đ

0,5đ

0,5đ

2 Tính tổng:

2 2

2 2 2 2

8.1 8.2 8.3 8.1009

1 1

1 3 5 2017 2019

S            

Ta có:

         

2 2 2

2 2 2 2 2

8 16 8 4

1

4

2 4

1 1

1

2 2

n n n n n n n

n

n n n n n

n n

     

     



    

 

    

 

 

Với n ≥ 1, nN

Thay n từ đến 1009 ta được:

1 1 1 1 1

1

2 2 2017 2019

S             

     

1 1009

1009 1009

2 2019 2019

 

    

 

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

2 (4đ)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;3

2); N(3;0); K(4;5

2) Xác định đỉnh tam giác ABC cho M, N, K trung điểm AC, CB, BA

Lời giải:

Phương trình đường thẳng MN có dạng y=ax + b

3

K

N M

B

C

A

-2 -1

-3 -2 -1

6

4

2

1

4

3

1 O y

Vì M(3;0) thuộc đường thẳng MN nên: = 3a + b (2) Từ (1 ) (2) suy ra: a = -3/4; b = 9/4

Suy phương trình đường thẳng MN là:

4

y x

Tương tự phương trình đường thẳng MK là:

3

y x

phương trình đường thẳng NK là: 15

2

y x

Ta có MN đường trung bình tam giác ABC suy MN // AB

 Phương trình đường thẳng AB có dạng y x c

Mà K(4;5

2) ∈ AB suy

5

.4

2 c



  => c= 11

 Phương trình đường thẳng AB là: 11

4

y x

Tương tự : phương trình đường thẳng BC là: 1 y x

Phương trình đường thẳng AC là: y x

Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình

3 11

2

4

5

y x

x y

y x

 

 

  





 

 

  

  Suy A(2;4)

Tương tự: B(6;1) C(0;-1)

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

1 Giải phương trình: 4

13 x x 9 x x 16 Lời giải:

Đk: -1 ≤ x ≤

Ta có:

 

2

2

2 2

13 13

13 256

x x x x

x x x

   

    

Áp dụng Bđt bunhicopxki cho dãy số: 13; 3

 2

13(1x ); 1x ta được:

   

 13 13 1x2 3 3 1x2 2 13 27 13 13   x2 3 3x240 16 10  x2

0,5đ

Áp dụng bđt Cosi ta có:

 

2 2 2

4.10x 16 10 x (10x 16 10 x ) 16 256

Dấu xảy 10x2 = 16 - 10x2  2 5

x   

0,5đ

0,5đ

III (4đ)

1) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2

3x 18y 2z 3y z 18x27

Giả thiết  2 2 2

3 x 18y 2z 3y z 54

      (1)

+) Lập luận để z23z3 z29z2 9(*) (1)3(x3)2 2z23y z2( 26)54(2)

(2)543(x3)2 2z2 3y z2( 26)3(x3)22.9 3 y2.3

2

(x3) 3y 12

2 2

4 1;

y y y

     y nguyên dương Nếu y2  1 y1 (1) có dạng:

 2 2 72

3 72 72

5

x  z   z  z  z  z (vì có(*))

Khi 3x32 27x32 9, x nguyên dương nên tìm x =

Nếu y2 4 y2 (vì y nguyên dương) (1) có dạng:

 2 2 2

3x3 14z 12614z 126z  9 z   9 z (vì z nguyên dương)

Suy (x3)2 0x3(vì x nguyên dương)

Đáp số

3

2;

3

x x

y y

z z

     

         

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

2) Cho x, y số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 cho:

4 1 1

1

x y

y x

 



  số nguyên Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1)

Theo ta có: a m an bm Z

b n bn



  

Suy ra: an bm b an b an bm n bm n



 



 



 

 

  mà (a;b)=1; (m;n)=1 suy ra: n b

n b b n



 

 

 

Mặt khác:

4

1

1

a m x y

Z

b n y x

 

 

  ( x

4 - 1 x+1 y4 - 1 y + 1)

Suy a.mn mà (m;n) =1 suy an mà n = b nên a  b suy x4 - 1 y + Do đó: x4y44 – 1= y44 (x4 - 1) + (y44 – 1) y +

Vì x4 - 1 y + y44 – 1 y + (đpcm)

0,5đ

0,5đ

0,5đ

IV

1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC MN qua điểm cố định

a) Chứng minh: OM.OB = ON.OC

Vì tam giác OHB vng H có HM đường cao nên: OM.OB = OH2

Vì tam giác OHC vng H có HN đường cao nên: ON.OC = OH2

Suy ra: OM.OB = ON.OC (vì OH2)

0,5đ

0,5đ D

M

N C

B

H A

(6đ) b) Chứng minh MN qua điểm cố định

Vì OM.OB = OH2 OA2 = OM.OB OA OB

OM OA

 

Xét O AM OABcó: AOB chung

OA OB

OM OA (chứng minh trên) O AM

  OAB(c.g.c)

 

MAO OBA

  mà AOBOBA (vì OA = AB = R)

 

MAO MOA

 

O M A

  cân M MA = MO  M thuộc đường trung trực AO Chứng minh tương tự ta có N thuộc đường trung trực AO

 MN qua trung điểm D OA cố định

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ 2) Chứng minh: OB.OC = 2R2

Ta có: OM.OB = ON.OC (chứng minh câu a)

OM OC

ON OB

 

Chứng minh OMN  OCB (c.g.c)

Mà OH BC; ODMN 1O

1

D R R

2

OM OC OM OC

OM C

O OH

     

Lại có: OM.OB = OH2 1O

2 C OB R

 

Vậy OB.OC = 2R2

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ 3) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi

Ta có: OMN  OCB

2

2

S D 1

S S

S 4R 4

OMN

OMN OCB

OCB

O R

OH BC OH

 

       

 

2

1

R(AB AC) R( )

8

R R R

    

Dấu xảy A, B, C thẳng hàng AH

Vậy diện tích lớn tam giác OMN là:

2

4 OMN

R

S  điểm A trùng với điểm H

0,5đ

0,5đ

0,5đ

V (2đ)

Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c  3 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

1 2a b2b c2c a Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,

ta có

1 1 a b3 a b

3 ab     a b b a b

Suy  

2

2

2 3 2

2 1

1 1

2 1 3

a b

a b a ab a a b

a b   a b   a b        

  

Suy

2

1 1

( )

2a b 218 a  ab (1)

Tương tự, có: 2

1 1

( )

2b c 218 b  bc (2)

2

1 1

( )

2c a 218 c  ca (3) Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu

 

2

2

2

1 1

1

2a b2b c2c a 218 a b c   Điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a  b c

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia