Website:tailieumontoan.com ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG 2013-2014 Câu (2 điểm) A x (1 x)3 (1 x)3 1 x2 a) Rút gọn biểu thức với x 1 2 b) Cho a b số thỏa mãn a b a a b ab 6b 0 a 4b B b 4a Tính giá trị biểu thức Câu (2 điểm) a) 2 Giải phương trình x ( x 2) 4 x x x3 2 x y y 2 y x b) Giải hệ phương trình Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương x , y thỏa mãn phương trình xy xy x 32 y 2 b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a a 3b b Chứng minh 2a 2b 1 số phương Câu (3 điểm) O, R H điểm di động Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đoạn OA ( H khác A ) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB a) Chứng minh HKM 2 AMH O, R A B cắt tiếp tuyến M O, R lần b) Các tiếp tuyến lượt D E OD , OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac 7abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức C 4ab 9ac 4bc a 2b a 4c b c Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Hết -LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG 2013-2014 Câu (2 điểm) x (1 x)3 (1 x)3 A x2 a) Rút gọn biểu thức với x 1 2 b) Cho a b số thỏa mãn a b a a b ab 6b 0 a 4b4 B b 4a Tính giá trị biểu thức Lời giải: A x2 x2 a) x2 x2 2x x x x2 = 1 x 1 x 1 x 1 x x2 x x 2 2 b) a a b ab 6b 0 (a 2b)(a ab 3b ) 0 (*) 2 Vì a b a ab 3b nên từ (*) ta có a 2 b Vậy biểu thức B a 4b 16b4 4b b 4a b 64b 12b 4 63b 21 Câu (2 điểm) B a) 2 Giải phương trình x ( x 2) 4 x x x3 2 x y y 2 y x b) Giải hệ phương trình Lời giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com t x x t 2 x x a) Đặt x2 x2 2 t2 t t 2 t2 4 t t 2t 0 ta phương trình x x x x x 16 t Với ta có x x x 0 x x x x x x 2 2 x x Với t 2 ta có x x x x x x 0 3 Kết luận nghiệm phương trình x (2 y x ) y (2 x y ) ( x y ) xy x y 0 b) Từ hệ ta có x y ( x y )3 ( x y ) 0 x y x ; y 0; ; * Với x y ta tìm 3; ; 3; x ; y 0; ; 1; 1 ; 1;1 * Với x -y ta tìm Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y 0; ; 3; ; 3; ; 1; 1 ; 1;1 Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương x , y thỏa mãn phương trình xy xy x 32 y 2 b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a a 3b b Chứng minh 2a 2b 1 số phương Lời giải: 2 a) xy xy x 32 y x( y 1) 32 y y 0 x Do y nguyên dương 32 y ( y 1) 2 Vì ( y, y 1) 1 ( y 1) U (32) 2 mà 32 2 ( y 1) 2 ( y 1) 2 (Do ( y 1) ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 *Nếu ( y 1) 2 y 1; x 8 *Nếu ( y 1) 2 y 3; x 6 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: x 8 y 1 x 6 y 3 2 * b) 2a a 3b b ( a b)(2a 2b 1) b a b, 2a 2b 1 ( d * ) Thì Gọi d ước chung (a b)d a b 2a 2b 1 d (2a 2b 1)d b d b d Mà ( a b)d a d (2a 2b) d , mà (2 a 2b 1) d 1d d 1 Do a b, 2a 2b 1 Từ * ta a b 2a 2b số phương 2a 2b số phương Câu (3 điểm) O, R H điểm di Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn động đoạn OA ( H khác A ) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB a) Chứng minh HKM 2 AMH O, R A B cắt tiếp tuyến M O, R b) Các tiếp tuyến D E OD , OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Lời giải: O, R Ta có Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax A O 1 1 2 sđ AM A x 1 Có Ax / / MH (cùng vng góc với OA ) 2 A1 M M H 1O K B Liên hệ tài liệu word môn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 C TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com MHOK nội tiếp O1 K1 (cùng chắn MH ) Tứ giác Từ 1 ; ; 3 3 1 K M 1 ta có hay HKM 2 AMH b) Có tứ giác AOMD nội tiếp 4 A D A O 1 O 1 sđ BM ; sđ BM G D D A1 O 1 tứ giác AMGO nội tiếp F M H E 5 , ta có điểm A, D, M , G, O nằm Từ đường tròn G O B C D D G OGF ODE đồng dạng OG GF OD DE hay OD.GF OG.DE ' c) Trên đoạn MC lấy điểm A cho A ' MA' MA AMA A1 A2 600 BAA' MAB A ' AC MB A ' C M MA MB MC H O Chu vi tam giác MAB MA MB AB MC AB 2 R AB Đẳng thức xảy MC đường kính A' B I C O, R M điểm cung AM H trung điểm đoạn AO Vậy giá trị lớn chu vi tam giác MAB R AB AB AI R AB R 2 Gọi I giao điểm AO BC Giá trị lớn chu vi tam giác MAB R AB = (2 3)R Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac 7abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức C Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 4ab 9ac 4bc a 2b a 4c b c TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải: Từ gt : 2ab 6bc 2ac 7abc a, b, c abc 7 c a b Chia hai vế cho x, y , z 1 x ,y ,z 2 z x y 7 a b c đặt Khi C C 4ab 9ac 4bc a 2b a 4c b c x y x z y z 2x y 4x z y z (2 x y x z y z ) 2x y 4x z yz x 2y x 2y 4x z 4x z yz y z 17 17 x , y z 1 Khi C Vậy GTNN C a 2; b 1; c 1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC