6 hsg lop 8 hung ha 2021

Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG HÀ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI Cấp huyện năm học 2020- 2021 Mơn kiểm tra: Tốn Thời gian: 120 phút không kể thời gian phát đề Bài  2 x x2  x  x  12 x A    :  x x   x  x  x3  (4,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gon biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên dương x để A có giá trị nguyên Bài (3,0 điểm) Giải phương trình sau: x a) Bài  x  x  x  x  x  2029     0 b) 2020 2019 2018 2017  x  2( x  2) 43 (3,0 điểm) a  b3  c3  3abc 1004 2 a) Cho a  b  c 1004 Chứng minh: a  b  c  ab  bc  ca b) Tìm giá giá trị nhỏ biểu thức: Bài Q x  x  19  x  x  20 (3,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y ) b) Đa thức f (x) chia cho x  dư 5, chia cho x  dư 2x  Tìm phần dư chia f (x) cho (x  1)  x  1 Bài (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD , cạnh AB lấy điểm E canh AD lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M N a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Chứng minh CBH đồng dạng với EAH c) Biết diện tích CBH gấp bốn lần diện tích EAH Chứng minh: AC 2EF 1   2 AM AN d) Chứng minh: AD Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ab bc ac   a  b  c a b  c b c  a a c  c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài  2 x x2  x  x  12 x A    :  x x   x  x  x3  (4,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gon biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên dương x để A có giá trị nguyên Lời giải a) Rút gon biểu thức A  x 2 2  x 0    x 4 x        x  2  x 0  x 2  x 2  x 0 2 x  x 0    x 0     x 3 4 x  x  3 0    Điều kiện để biểu thức A xác định là: 4 x  12 x 0 Rút gọn biểu thức  x   x2    x   A   x   x   x  x2  x   x  x2 x   x   x  3   x   x  x2  8x x  x  x  3  x  x   x   x   x  3  x2 x x2   x  x  x  3 x2 A x  với x 0, x 2, x 3 Vậy b) Tìm giá trị nguyên dương x để A có giá trị nguyên Ta có: A x3 x2   x    x x x  với x 0, x 2, x 3 Với x nguyên dương x     Để A có giá trị nguyên x nguyên dương x  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x−3 ∈Ư ( )={±1 ; ±3 ; ± } Ta có bảng: x 1 3 9 x 12 Nhận Loại Nhận Loại Đối chiếu Nhận Loại điều kiện Vậy Bài x   4; 6;12 giá trị cần tìm (3,0 điểm) Giải phương trình sau: x a)  x  x  x  x  x  2029     0 b) 2020 2019 2018 2017  x  2( x  2) 43 Lời giải x a)   x  2( x  2) 43          x  x  x  x  43  x  x  x  x  35 0  1 Đặt t x  x Khi phương trình  1 trở thành: t  2t  35 0  t  7t  5t  35 0   t    t   0  t    t 5 Với t   x  x    x    0  PTVN  Với t 5  x  x 5  x  x  0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   x  1  x   0  x    x 5 x  x  x  x  x  2029     0 b) 2020 2019 2018 2017  x    x    x    x    x  2029   1    1    1    1     2020   2019   2018   2017      0  x  2021 x  2021 x  2021 x  2021 x  2021     0 2020 2019 2018 2017 1 1    x  2021       0  2020 2019 2018 2017  1 1     0  x  2021 0 (Vì 2020 2019 2018 2017 )  x  2021 Vậy phương trình có tập nghiệm: Bài S   2021 (3,0 điểm) a  b3  c3  3abc 1004 2 a) Cho a  b  c 1004 Chứng minh: a  b  c  ab  bc  ca b) Tìm giá giá trị nhỏ biểu thức: Q x  x  19  x  x  20 Lời giải 3 a) Ta có: a  b  c  3abc a  b3  3ab  a  b   c  3ab  a  b   3abc   a  b   c   3ab  a  b  c     a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca    a  b  c  a  b2  c  ab  bc  ca a  b3  c  abc  2 a  b  c  ab  bc  ca Vậy a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c 100  Điều phải chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Tìm giá giá trị nhỏ biểu thức: Q Đặt x  x  19  x  x  20 x2  x   x 1 Ta có: t Q x 1 1  x 1   x   t t   2    Q t    1    1  5   t   t   Khi đó: 1  t     t t  5t  t  1 1  5  t  t   5  1 19   5  t  .t    10 100 100    19  5  t     10  20 Ta có: Vậy  Q 19 20 MinQ  19  t 0 20 10 1  x  10  x 9 Bài (3,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y ) b) Đa thức f (x) chia cho x  dư 5, chia cho x  dư 2x  Tìm phần dư chia f (x) cho (x  1)  x  1 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y ) x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y ) x2  y  x  x  z   y  z  x   z  x  y  x2  y  x   x2  z  x   y  z  x   z  x  y   x  y   z  x   z  y  b) Đa thức f (x) chia cho x  dư 5, chia cho x  dư 2x  Tìm phần dư chia f (x) cho (x  1)  x  1 Ta có: Giả sử f  x x chia cho  1  x  1 phần dư đa thức bậc hai ax  bx  c đa thức chia bậc        f  x   x  1 x  Q  x   ax  bx  c  f  x   x  1 x  Q  x   ax  a  a  bx  c    f  x   x  1 x  Q  x   a x   bx  c  Do f  x chia cho đa thức x  dư x  b 2    1 c  a 3 Lại có: f  x chia cho đa thức x  dư Nên theo định lý Pơ ru ta có: f   1 5  a  b  c 5   Từ  1 ,   ta có: b 2   c  a 3 a  b  c 5  c  a 3  a  c 7 b 2  2a 10  a 5    b 2  b 2 a  c 7 c 2   Vậy phần dư cần tìm là: x  x  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD , cạnh AB lấy điểm E canh AD lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M N a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Chứng minh CBH đồng dạng với EAH c) Biết diện tích CBH gấp bốn lần diện tích EAH Chứng minh: AC 2EF 1   2 AM AN d) Chứng minh: AD Lời giải a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Xét tứ giác AEDM có: AE / / DM (do AB / / CD )   Xét AFB vuông A có đường cao AH A  A 90       A1 B2 B  A 90  2  Xét ABF DAM ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com AB DA  gt     BAF  ADM 90   A B    ABF ∽ DAM  cgv-gn   AF DM    AE DM   AE  AF  Từ  1 ,    Tứ giác AEMD Lại có hình bình hành  DAE 90  gt  Tứ giác AEMD hình chữ nhật (dấu hiệu) b) Chứng minh CBH đồng dạng với EAH Xét AFH BAH có: AHF BHA    A B   cmt      AFH ∽ BAH  G  G   AF AH  BA BH  AE AH  BC BH  B  90  B      B1  A2 A  B  90  2    A B   AE AH     EAH ∽ CBH  C  G  C  Xét CBH EAH có: BC BH  c) Biết diện tích CBH gấp bốn lần diện tích EAH Chứng minh: AC 2EF Vì S ABH 4 S EAH  AB  AE (Tỷ số diện tích 2 đồng dạng bình phương tỷ số đồng dạng)  AB 2 AE  AE  AB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  E trung điểm AB F trung điểm AD 2 Mà AEF vuông cân A : EF  AE  AF  EF  AB AB AB   22 2  AB 2 EF 2 2 Mà ABC vuông cân B : AC  AB  BC  AC 2 AB 2.2.EF 4 EF  AC 2 EF 1   2 AM AN d) Chứng minh: AD AD AM AD CN AD CN       3 AM MN AM MN Ta có: AB / / CD Theo Ta-lét: CN MN MN BE AB BE AD MC      AN MN AN MN Lại có: EM / / BN Theo Ta-lét: AN AB AD MC    4 AN MN AD AD CN MC CN  MC MN       1 , AM AN MN MN MN MN Từ      AD AD  1 AM AN    AD    1 AN   AM  Bài 1   2 AM AN AD (ĐPCM) (1,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh: ab bc ac   a  b  c a b  c b c  a a c  c Lời giải  x a  b  c   y b  c  a xz x y yz ,b  ,c   z a  c  b  a  2  a  b  c x  y  z Đặt  Khi đó: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   x  z   x  y  y  x  y  z   z  x  z  y        4 x y z  Vế trái: 1 zy xy   x yz  yxzxx yz  4 x z 1 xy yz zx    3 x  y  z      4 z x y xy yz xz   x y Lại có: z  x2 y y z x2 z   xyz xyz xyz  x2 y  y z  z x2   xyz Áp dụng BĐT AM-GM có: x y  y z 2 y xz y z  z x 2 z xy z x  x y 2 x yz  x y  y z  z x xyz  x  y  z   1 VT    x  y  z   xyz  x  y  z   4 xyz  Khi  VT x  y  z a  b  c  VT a  b  c Điều phải chứng minh, dấu " " xảy  x  y  z  a b c Cách 2: xy yz xz   z x y x  y  z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  xy yz xz       2 z x y word mơn tốn: y x z x y z  z x y           2 z x 2 z y  2 y x  TÀI LIỆU TOÁN HỌC