Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI OLYMPIC LỚP PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THƯỜNG TÍN MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,5 điểm) a 1 a3 P a 1 Q a 3a 3a a a2 a Cho P M Q Tìm điều kiện a để giá trị biểu thức M xác định a) Biết b) Rút gọn biểu thức M ; c) Tìm giá trị nguyên a để giá trị biểu thức M số nguyên; 11 13 15 17 2 12 20 30 42 56 72 d) Tính giá trị biểu thức M biết a Bài 2: (3,5 điểm) a) Tìm x để A 5 B với A 2 3x x B x x 1 ; x 1929 x ( x 1)2 3859 x x 1 1936 x 11580 b) Giải phương trình Bài (3 điểm): Giải toán cách lập phương trình: Tìm số tự nhiên có chữ số biết viết thêm chữ số vào bên số ta P có chữ số, viết thêm chữ số vào bên trái số ta số Q có chữ số Q P 22221 Bài (7,5 điểm): Cho hình thang ABCD ( AB / / CD CD AB ) Gọi trung điểm đường chéo AC BD Q P Gọi trung điểm AB, BC , CD DA R, N , S M a) Chứng minh RQSP hình bình hành Các cạnh bên AD BC hình thang ABCD phải có thêm điều kiện để RQSP hình chữ nhật, hình thoi, hình vng CD AB PQ b) Chứng minh PQ/ / AB c) Một đường thẳng d song song với MN cắt MD E cắt NC G Chứng minh AB.CG CD.BG BC.EG ; AE p p.CD q AB EG pq d) Biết ED q Chứng minh Bài (1,5 điểm): 5 a) Chứng minh a b 29ab chia hết cho 30 với số nguyên a b ; b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C 28 a b 44ab 12 a b 2033 Giá trị nhỏ đạt giá trị a b ? Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,5 điểm) P Cho a 1 a3 a 1 Q a 3a 3a a a2 a M a) Biết P Q Tìm điều kiện a để giá trị biểu thức M xác định b) Rút gọn biểu thức M ; c) Tìm giá trị nguyên a để giá trị biểu thức M số nguyên; 11 13 15 17 2 12 20 30 42 56 72 d) Tính giá trị biểu thức M biết a Lời giải P Q nên giá trị M xác định giá trị P xác định giá trị Q xác a) Do định khác P xác định a 0 a M Do a a a a a a 1 mà 1 1 a a a .a a a 4 2 nên Q xác định khác a 0 a 1 2 Vậy M xác định a 0 a 1 P b) 2 a 1 a 3a a 3a a 1 2 1 2 3a 3a a 1 a 1 a a 1 a a3 Q a a2 a a a a a 1 M M c) P 2a Q a 2a 2 2 a a Để giá trị M số nguyên 2 a 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do a Z nên a nhận giá trị 2; 1;1;2 Do a nhận giá trị 1;0;2;3 Loại (ĐKXĐ) Vậy a 2;3 8.7 a 1.2 2.3 4.3 4.5 6.5 7.6 7.8 8.9 d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 2 3 4 5 6 7 8 9 Vậy a 9 a 3 M Thay vào biểu thức 2a a Với a 3 M 3 ; Với a M 1,5 Bài 2: (3,5 điểm) a) Tìm x để A 5 B với b) Giải phương trình A 2 3x x B x x 1 ; x 1929 x ( x 1)2 3859 x x 1 1936 x 11580 Lời giải a) ĐKXĐ: x 1 Ta có: 2 3x x 1 x2 x 1 Quy đồng khử mẫu phương trình 3x 13x 0 x x 12 x 0 x x 1 x 1 0 x 1 x 0 x 0 x x 3 1 S ;4 x 4 thỏa mãn ĐKXĐ Tập nghiệm 3 b) Biến đổi vế trái phương trình x x nên ta được: x5 1929 x ( x 1) 3859 x x 1 1936 x 11580 x5 x (1929 x 3858 x 1929 3859 x) x 1 1936 x 11580 x5 x (1929 x x 1929) x 1 1936 x 11580 x5 x3 1929 x 1929 x x 1 1936 x 11580 x 1 x3 1929 x x 1 1936 x 11580 x 1 x3 1929 x 1936 x 11580 0 x3 1929 x 1936 x 11580 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x3 1930 x x 1930 x x 11580 0 x x 1930 x x 1930 x 1930 0 x 1930 x x 0 x 1930 x x x 0 x 1930 x x 3 x 3 0 x 1930 x 3 x 0 x 0 x 0 x 1930 0 Vậy x x 3 x 1939 S 3; 2; 1930 Bài (3 điểm): Giải tốn cách lập phương trình: Tìm số tự nhiên có chữ số biết viết thêm chữ số vào bên số ta số P có chữ số, viết thêm chữ số vào bên trái số ta số Q có chữ số Q P 22221 Lời giải x N ;999 x 10000 Gọi số tự nhiên chữ số x ; Thêm chữ số vào bên phải ta số P x 10 x Thêm chữ số vào bên phải ta số Q 4 x 40000 x Ta có phương trình 40000 x 10 x 22221 Giải phương trình Nhận định kết luận x 1975 Bài (7,5 điểm): Cho hình thang ABCD ( AB / / CD CD AB ) Gọi trung điểm đường chéo AC BD Q P Gọi trung điểm AB, BC , CD DA R, N , S M a) Chứng minh RQSP hình bình hành Các cạnh bên AD BC hình thang ABCD phải có thêm điều kiện để RQSP hình chữ nhật, hình thoi, hình vng b) Chứng minh PQ/ / AB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn PQ tốn: CD AB TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Một đường thẳng d song song với MN cắt MD E cắt NC G Chứng minh AB.CG CD.BG BC.EG ; AE p p.CD q AB EG pq d) Biết ED q Chứng minh Lời giải R A M d P B Q N E G F D H C S a) Áp dụng định lí đường trung bình tam giác tam giác BAD CAD ta có: 1 RP AD QS AD RP / / AD 2 ; QS / / AD RP/ / QS ; RP QS RQSP hình bình hành * Lý luận chặt chẽ điều kiện AD BC nằm hai đường thẳng vng góc với RQSP hình chữ nhật * Lý luận chặt chẽ điều kiện AD BC RQSP thoi * Lý luận chặt chẽ điều kiện AD BC nằm hai đường thẳng vng góc với AD BC RQSP hình vng b) MN đường trung bình hình thang ABCD MN / / AB ; MP đường trung bình DAB MP / / AB ; NQ đường trung bình CAB NQ / / AB ; Theo tiên đề Ơ – clit: M , N , P, Q thẳng hàng PQ / / AB Ta có: MN AB CD (đường trung bình hình thang ABCD ) MP AB (đường trung bình DAB ); Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com NQ AB (đường trung bình CAB ); AB CD AB AB CD AB 2 2 c) Gọi giao điểm d với BD AC F H Vì d / / MN / / AB hay EF / / AB; HG / / AB Áp dụng hệ định lý Ta – lét vào DAB CAB PQ MN MP NQ CG HG DE EF (2) CG.AB HG.CB(3) CB AB DA AB Ta có: (1) Tương d / / AB/ / CD , Áp dụng hệ định lý Ta – lét Từ (1);(2);(4) Lại có CG CH DE (4) CH CA DA HG EF HG EF AB AB BG FG BG.CD BC.FG (5) BC CD Cộng vế với vế (3) (5) ta có: CG AB BG.CD CB.HG CB.FG tức CG AB BG.CD CB. HG FG CB. HG FH HG CB EF FH HG Hay CG AB BG.CD BC EG d) Do EG/ / AB/ / CD AE EH AE EH CD AD CD AD ADC Áp dụng định lí ta – lét vào có AE p AE AE p CD AD q AD ED AE p q Mà (6) Áp dụng hệ định lý Ta – lét vào ADC ACB AE AH BG p HG CG CG HG AB CB ta có: ED HC GC q AB CB CG q q HG AB CB p q p q Tương tự ta tính EG EH HG Từ (6) (7) (7) p.CD q AB pq Bài (1,5 điểm): 5 a) Chứng minh a b 29ab chia hết cho 30 với số nguyên a b ; Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C 28 a b 44ab 12 a b 2033 Giá trị nhỏ đạt giá trị a b ? Lời giải 5 5 a) a b 29ab a b ab 30ab 5 5 4 Ta có: a b ab a b ab ab ab ab(a 1) ab(b 1) Với số nguyên a b: Xét ab a 1 ab a 1 a 1 a ab a 1 a 1 a a 5ab a 1 a 1 a a 1 a 1 6 b.5a a 1 a 1 30 Lý luận tích số nguyên kiên tiếp a a 1 a a 1 a 30 Lý luận tích số nguyên kiên tiếp ab a 1 30 Tương tự ab b 1 30 có 30ab 30 a 5b ab5 30ab5 30 hay a 5b 29ab5 30 2 2 b) Biến đổi C 25a 25b 50ab 3a 3b 12 6ab 12a 12b 2021 25 a 2ab b a b 2ab 4a 4b 2021 2 25 a b a b 2021 2021 a, b a b 0 a b 1 a b 0 Dấu “=” xảy Vậy MinC 2021 a b 1 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC