5 hsg lop 8 nghi loc 2021

Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC ĐỀ THI KĐCL HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2020- 2021 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút- khơng kể thời gian phát đề Câu Câu  x  x  x  16 x   16 P   : x 4 x   x  x  12 x  x x 8 (5,0 điểm) Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm x để c) P2 Xác định giá trị nguyên x để biểu thức x  với x 1 nhận giá trị nguyên P 1 (5,0 điểm) a) Cho đa thức f    7 Tính f  7 f  x  ax 2021  bx 2019  cx  với a, b, c số hữu tỷ Biết b) Chứng minh với n  N , n  A n  2n  2n  2n  khơng số phương c) Câu 2 Cho 5a  2b 11ab với a b 4a  5b 0 A a  3ab , tìm giá trị biểu thức: (3,0 điểm) a) Với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho n Chứng minh  a  b chia hết cho ( với n  N ) b) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 1        2a  b  c a  2b  c a  b  2c  a b c  Câu  AB  AC  , vẽ đường cao AH ( H thuộc (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A BC ) Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Gọi M trung điểm BE Chứng minh: a) ABC ∽ HAC , AE  AB b)   HAM DAE c) AM BM  AB.HM  AM BH Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (1,0 điểm) Cho hình vng 2021 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỷ số diện tích : Chứng minh số 2021 đường thẳng đó, có 506 đường thẳng qua điểm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu  x  x  x  16 x   16 P   : x 4 x   x  x  12 x  x x 8 (5,0 điểm) Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm x để c) P2 Xác định giá trị nguyên x để biểu thức x  với x 1 nhận giá trị nguyên P 1 Lời giải a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Điều kiện để P xác định là:  x  0   x  0   x  0  x  x  12 x  x 0   x3 8   x 4   x 2  x  x   0   x 2    x 2  x 0   x 0   x 2 Với điều kiện trên:   x    x  x    x  x   x  x    x  x  x  12 x    P    2  16   x    x  x    x    x    x    x  x  16  x  x x  x     16  x  2 x  x  2   16  x  2 16 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 3 word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  x   Vậy P  x  x   với x 0, x 2  x  x   1  x  x    P 1 b) Để  Với x  x   1  x  x  0   x  1 2  x 1   TM  Với x  x     x  x  0   x  1 0  x 1 TM  Vậy để P 1  x  0;1  2;1   P2 c) Ta có: x    x  x  2  x   x2  x  x  x2  x  x   x  x   x P2  Để x  số nguyên x  x−1 ∈Ư ( ) ={± 1; ± } Ta có bảng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x 1 1 3 x 2 Đối chiếu điều kiện Loại Loại Thỏa mãn Loại P2 Vậy x 4 x  số nguyên Câu (5,0 điểm) a) Cho đa thức f    7 f  7 Tính f  x  ax 2021  bx 2019  cx  với a, b, c số hữu tỷ Biết b) Chứng minh với n  N , n  n  N , n  A n  2n  2n  2n  khơng số phương c) 2 Cho 5a  2b 11ab với a b b 4a  5b 0 a  0 A 5 a  3ab , tìm giá trị biểu thức: Lời giải a) Cho đa thức f    7 Ta có: f  x  ax 2021  bx 2019  cx  f  7 Tính f    a    với a, b, c số hữu tỷ Biết 2021  b    2019  c     f   a.7 2021  b.7 2019  c.7   f     f    10 Mà Vậy f    7  f    10   17 f    17 b) Chứng minh với n  N , n  A n  2n  2n  2n  khơng số phương Ta có: n  2n3  2n  2n  n  2n3  n  2n  n  n  2n  1   n  2n  1  n  2n  1  n  1    n  1 n  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do n  khơng số phương với n  0, n   nên:  n  1 n  1 khơng số phương với n  0, n    n  2n3  2n  2n  khơng số phương với n  0, n   2 Cho 5a  2b 11ab với c) a b 4a  5b 0 A a  3ab , tìm giá trị biểu thức: 2 Ta có: 5a  2b 11ab  5a  10ab  ab  2b 0  5a  a  2b   b  a  2b  0   a  2b   5a  b  0  a  2b 0    5a  b 0  a 2b    5a b  L, a  b      Khi thay a 2b vào A ta được: A   2b   5.b  2b   3.2b.b 8b  5b 4b  6b 3b  10b  10 A 10 Vậy Câu (3,0 điểm) a) Với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho Chứng n minh  a  b chia hết cho (với n  N ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 1        2a  b  c a  2b  c a  b  2c  a b c  Lời giải a) Với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho Chứng n minh  a  b chia hết cho (với n  N ) Ta có:  a  1 6 ,  b  2007  6   a  1 2 ,   a  1 3  b  2007  3  b  2007  2  a  b  20082  a  b  20083  a  b2  a  b  13 (Vì 2008 1  2007 )  4n  a  b 2  4n   a  b  13   1  n (Vì  n  n    1 3  4n   4n    1 3 Vậy 4n  a  b2   4n  a  b3   4n  a  b 6  2, 3 1  b) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: (ĐPCM) 1 1 1 1        2a  b  c a  2b  c a  b  2c  a b c  Ta chứng minh: 1 1   4  x y Với x  0, y   x  y  Thậy vậy: Theo cô-sy với x, y  x  y 2 xy   1    x y xy  1 1   x  y     4  x y , với x, y  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  1 1     x y 4 x y Ta có: VT  1    a  b   a  c  a  b   b  c  c  a    c  b 1 2  1 1            a b a c b c   a b a c b c  1 1 1 1         4 a b c a b c 1  1 1      a b c  1 1      a b c Vậy BĐT chứng minh: Dấu " " xảy  a b c  AB  AC  , vẽ đường cao AH ( H thuộc Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC ABC vuông A BC ) Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Gọi M trung điểm BE Chứng minh: a) ABC ∽ HAC , AE  AB b)   HAM DAE c) AM BM  AB.HM  AM BH Lời giải a) ABC ∽ HAC , AE  AB Xét ABC HAC ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  BAC  AHC 90  ABC ∽ HAC  G  G  Chứng minh: AE  AB Ta có: Gọi M trung điểm BE  DM  AM  BE BM ME  MBD cân M    MBD MDB  1 Và AHM DHM  C  C  C     HAM MDB  2 Từ  1 ,   ta có:    MBD HAM Gọi I BM  AH Xét BIH AIM có:   MBD HAM  cmt   BIH  AIM (đối đỉnh)   BHI  AIM 90  AM  BE  AM đường cao ABE Mà M trung điểm BE  AM đường trung tuyến ABE  ABE cân A  AE  AB   DAE b) Chứng minh HAM Xét HAD vuông cân H     HAD HAM  MAD 45 Xét MAE vuông cân M Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com     MAE DAE  MAD 45 Vậy     HAE DAE 45  MAD  c) Chứng minh: AM BM  AB.HM  AM BH  Gọi F nằm cạnh AH cho AMF BMH Ta có: 90  AMB   AMF  FMB   BMH  FMB  FMH  FMH vng cân M Lại có: Xét AMF BMH ta có: AMF BMH  ( cách lấy điểm F )   AM BM   BE      MBD HAM  AMF BMH  G  G   AM BH  AM AF BM AF  3 Từ MF MH  MHF vuông cân M  MHF ∽ MAB ( 2 vuông cân đồng dạng)  HF MH  AB MA  HF MA  AB.MH  AB.HM BM HF   Từ  3 ,    AB.HM  AM BH BM HF  BM AF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com BM  HF  AF  BM AH Vậy AB.HM  AM BH BM AH Câu (1,0 điểm) Cho hình vng 2021 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỷ số diện tích : Chứng minh số 2021 đường thẳng đó, có 506 đường thẳng qua điểm Lời giải Giả sử MN đường trung bình hình vng ABCD MQ NP  MN Trên MN lấy điểm P, Q cho Kẻ đường thẳng qua điểm Q cắt AB, DC R; S Ta có: S ARSD  AR  DS  S BRSC  BR  SC  AD AD Do: MQ, NG đường trung bình hình thang ARSD BRSC AR  SD BR  SC  NQ MQ 2 Nên ; Và S ARSD MQ AD ; S BRSC  NQ AD  S ARSD MQ   S BRSC NQ Ta đường thẳng RS thỏa mãn đề Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Chứng minh tương tự ta có đường thẳng qua P thỏa mãn yêu cầu đề Suy đường trung bình có điểm nằm mà đường thẳng qua cắt hai cạnh hình vng thỏa mãn u cầu đề Mà hình vng có hai đường trung bình nên có điểm mà đường thẳng qua thỏa mãn tính chất Vì đường thẳng muốn thỏa mãn u cầu tốn phải qua điểm Lại có 2021 chia thương 505 dư Theo nguyên lý Dirichlet, có 506 đường thẳng đồng quy số điểm Bài toán chứng minh HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC