Website:tailieumontoan.com UBND HUYỆN THANH TRÌ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC: 2020 – 2021 Thời gian làm bài:120 phút Bài 1: (4,0 điểm) 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x xy y x y 4 2 2 Phân tích đa thức thành nhân tử: x y x y x y Bài 2: (4,0 điểm) a 1 24 Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: Tìm tất số nguyên dương n để số a 11 77 bình phương (với 2n chữ số 1, n chữ số 7) Bài 3: (3,0 điểm) x x 11 x x 21 35 Giải phương trình 2 2 Cho số thực x, y, z đồng thời điều kiện x y z 2 ; x y z 18 xyz Tính giá trị S 1 xy z yz x zx y Bài 4: (2,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a b c 1 a b2 c2 Chứng minh: Bài 5: (6,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB có độ dài 2a Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm D ( D khác A ) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD O , cắt By C Gọi H hình chiếu vng góc O CD Chứng minh: AD.OC OB.OD Chứng minh: ADH BHO AHB vuông Goi I giao điểm AC BD , E giao điểm AH DO , F giao điểm BH CO Chứng minh E , I , F thẳng hàng 4.Tìm vị trí D Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Bài 6: (1,0 điểm) x3 x y z y z 34 x , y Tìm nguyên dương thỏa mãn: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x xy y x y 4 2 2 Phân tích đa thức thành nhân tử: x y x y x y Lời giải 2 2 x xy y x y x y x y x y x y x y x y x y 5 x y 5 x y x y 1 4 2 2 x y x y x y x y y x y x y x y x y y x y x y x y x y y 1 x y x y 1 Bài 2: (4,0 điểm) a Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: 1 24 Tìm tất số nguyên dương n để số a 11 77 bình phương (với 2n chữ số 1, n chữ số 7) Lời giải + a a 1 a 1 + Ta có: a 1 a a 1 3 a 1 a a 1 tích số nguyên liên tiếp a 1 a 1 3 Mà a số nguyên tố lớn a không chia hết cho + a số nguyên tố lớn a không chia hết cho a số lẻ a 1 ; a 1 số chẵn liên tiếp Trong số có số chia hết cho số chia hết cho a 1 a 1 8 + Vì ƯCLN(3; 8) = a 1 a 1 24 Với n số nguyên dương + Nếu n 1 a Là số phương a số bình phương + Nếu n Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com n a 11 77 11 1.10 11 7.11 2n c/s n c/s n c/s n c/s n c/s a 11 7.11 9.11 11 11 7.11 1 11 9.11 n c/s n c/ n c/s n c/s n c/s n c/s n c/s n c/s 2 a 3.11 1 11 10 3.11 11 10 3.11 6.11 n c/s n c/s n-1 c/s n c/s n-1 c/s n c/s Đặt b 3.11 n c/s 1 (b 1)2 a Mà a 9.11 11 11 7.11 9.11 5.11 9.11 3.11 b n c/s n c/s n c/s n c/s n c/s n c/s n c/s n c/s 2 2 b 1 a b 2 b 1 b2 khơng có số phương Vì số phương liên tiếp n a khơng số bình phương n 1 Vậy a số bình phương Bài 3: (3,0 điểm) x x 11 x x 21 35 Giải phương trình 2 2 Cho số thực x, y, z đồng thời điều kiện x y z 2 ; x y z 18 S xyz Tính giá trị 1 xy z yz x zx y Lời giải x x 11 x x 21 35 x x2 5 35 x 7 2 x 5 Vì x 2 7 x Nên 5 35 x 0 x 2 x 0 " " Dấu xảy Ta có : xy z xy z xy ( x y z ) z xy x y ( x 1)( y 1) Tương tự ta có yz x ( y 1)( z 1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com zx y ( z 1)( x 1) S 1 ( x 1)( y 1) ( y 1)( z 1) ( z 1)( x 1) S z x y ( x 1)( y 1)(z 1) ( x 1)( y 1)(z 1) ( x 1)( y 1)(z 1) S xyz ( x 1)( y 1)(z 1) S 2 1 ( x 1)( y 1)(z 1) ( x 1)( y 1)(z 1) S 1 1 ( xy x y 1)(z 1) xyz ( xy yz zx) ( x y z ) 2 2 Mà ( x y z ) x y z 2( xy yz zx) 18 2( xy yz zx) xy tz zx 14 S 1 1 S 1 Bài 4: (2,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a b c 1 a b2 c2 Chứng minh: Lời giải Chứng Khơng làm tính tổng qt giả sử a b c a b 0;a c 0; b c Vì a b c a b c a b c 2ab (bình phương vế dương) 2 2 2 Tương tự : b c a 2bc a c b 2cc 2 Cộng BĐT chiều ta được: a b c 2ab 2bc 2ac (1) Mà a b c 1 a b c 1 2ab 2bc 2ac 1 a b c (2) a b2 c a b2 c2 a b2 c (2) (1) Thay vào a b2 c Bài 5: (6,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB có độ dài 2a Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com D ( D khác A ) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OD O , cắt By C Gọi H hình chiếu vng góc O CD Chứng minh: AD.OC OB.OD Chứng minh: ADH BHO AHB vuông Goi I giao điểm AC BD , E giao điểm AH DO , F giao điểm BH CO Chứng minh E , I , F thẳng hàng 4.Tìm vị trí D Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Lời giải x y C H D E I A Q F B K O 90o A B v× BOC (cïng phô DOA ) ADO ADO BOC AD OD AD.OC OB.OD BO OC ODH HOC (cïng phơ HOD ) v× CHO (90o ) DHO DHO OHC DH OD OH OC DH AD OD HOBHDA v× OH BO OC ADH HOB (cïng bï AOH ) + Từ HOBHDA DAH HBO DAH HBO 90o BAH HBO 90o AHB vuông HOB HDA AHD OHB + Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AHD AHO 90o OHB AHO 90o AHB 90o Chứng minh điểm E , I , F thẳng hàng + AHB vuông OA OB OH HOB HDA Mà OHB cân O DHA cân D DA DH OD đường trung trực AH OD AH OD phân giác HOA EF OH Q Gọi Tứ giác OEHF hình chữ nhật QE QH QF QO QFH QHF HOE Vì HOE EOA ( OD phân giác HOA ) EOA HBO (đồng vị HB//OD ) HBO HFQ EF//AB (1) +Gọi HI AB K AD DI BC IB Thay AD DH ; CH CB ( OBH cân có OF BH OC đường trung trực BH ) AD // BC DH DI HC IB AD //HI HI DI HI // BC BC DB DI AI AD // BC DB AC AI IK IK // BC AC BC IK HI IH IK BC BC Mà OD đường trung trục AH AE EH EI đường trung bình HAK EI / / AB (2) Từ (1) (2) E , I , F thẳng hàng Tứ giác ABCD hình thang vng S ABCD AD BC AB Mà AB không đổi Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com S ABCD Min AD BC Min + Cách 1: Từ AD DH; CH CB AD BC CD Vì D Ax; C By;Ax / / By CD Min CD Ax ABCD hình chữ nhật CD AB 2a Vì AD DH; CB CH; ABCD hình chữ nhật AD DH CB CH AB a Vậy AD a S ABCD Min Min( S ABCD ) 2 a + Cách 2: Áp dụng BĐT Cauchy ta có AD CB 2 AD.CB 2 DH.CH OHD CHO(gg ) HD HO HD HC OH HO HC Mà OH OA OB a không đổi AD CB 2OH 2a Dấu “=” xảy HD HC 2 => HC HD OH a HC HD a AD a Vậy AD a S ABCD Min Min( S ABCD ) 2 a Bài 6: (1,0 điểm) x3 x y z y z 34 Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: Lời giải Đặt y z m (m Z) x3 x y z y z 34 x x m m3 34 x3 m3 x m 34 x m xm x m x m xm 34 (1) Đặt x m a; xm b (a,b Z) (1) a a 3ab 4b 34 3a b 34 a3 a (2) Vì a Z 3a 0 a a 34 27 a 27 a 918 Z 27b Z 1 b 3a 3a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 27a 27 a 918 902 9a 3a 3a 3a Ta có: 27b Z 3a ¦(902)= 1; 2; 11; 41 3a-4 -41 a -37/3 Loại -11 -7/3 Loạ i -2 -1 11 2/3 Loại 5/3 Loại 41 15 a 1,2,5,15 a 5 a 15 a 2 86 3050 b 19 b 49 b ; (Loại); (Loại); m x m x a 2 x m 2 m x b x m x.(x 2) x x x 1 a 1 34 b (Loại) ; Khơng có giá trị x thỏa mãn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC