UBND HUYỆN THỌ XUÂN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 -2023 MÔN THI: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12/3/2023 Đề gồm có 01 trang Câu I (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A= 3 11 13 5 11 13 1 5 4; 1 1 b) B = 2022 2023 – 2x Tính giá trị biểu thức Cho đa thức R(x) = x 1 1 S R(3) R (4) R (5) R(2023) 2.2023 Câu II (4,0 điểm) y z z x 1 x y x 1 y z x y z (với giả thiết Tìm x, y, z biết tỉ số có nghĩa) Một đơn vị cơng nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường phải sửa cho tổ: Tổ 1, Tổ 2, Tổ tương ứng theo tỷ lệ : : Nhưng sau đó, số người thay đổi nên đơn vị chia lại số mét đường phải sửa cho Tổ 1, Tổ 2, Tổ tương ứng theo tỷ lệ : : Do đó, có tổ làm dự định 20m đường Tính số mét đường đơn vị chia lại cho tổ Câu III (4,0 điểm) Chứng minh p số nguyên tố lớn ( p+1 ) ( p−1 ) chia hết cho 24 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( x y ) 2( xy y y ) xy y y Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng cân có đáy BC Gọi M, N trung điểm AB AC Kẻ NH vng góc với CM H Kẻ HE vng góc với AB E Kẻ AK vng góc với CM K Kẻ AQ vng góc với HN Q Chứng minh AK = HC = AQ Tính số đo góc BKA Chứng minh tam giác ABH cân HM tia phân giác góc BHE Gọi I điểm di động tia CA, J điểm di động tia CB Xác định vị trí điểm I, J cho tam giác HJI có chu vi bé 1 1 1 2023 40 Câu V (2,0 điểm) Chứng minh rằng: 65 Hết -Họ tên thi sinh……………… ……… …… Số báo danh …….…… UBND HUYỆN THỌ XUÂN PHÒNG GIÁO DỤC THỌ XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN: TỐN -LỚP Hướng dẫn chấm có 07 trang Câu Nội dung I Tính giá trị biểu thức: a) A= 3 11 13 5 11 13 a) A = Điểm 1 4; 1 5 1 B = 2022 2023 3 11 13 5 11 13 1 5 1 4 1 = 4 1 1 11 13 1 1 1 11 13 4 5 = = 2,0 0, 0,25 0,25 1 2022 2023 b) B = 2021 2022 2022 2023 = 1 = 2023 Vậy B = 2023 Cho đa thức R(x) = x2 – 2x Tính giá trị biểu thức S 1 1 R (3) R (4) R(5) R(2023) 2.2023 Ta có R(x) = x2 – 2x = x(x - 2) Do đó: 1 1 S R (3) R (4) R(5) R(2023) 2.2023 1 1 1.3 2.4 3.5 2021.2023 2.2023 1 2 2 1.3 2.4 3.5 2021.2023 2.2023 1 1 1 1 1 1 2 2019 2021 2020 2022 2021 2023 2.2023 0, 0, 2,0 0,5 0,5 1 1 1 = 2022 2023 2.2023 1 1 1516 758 1 2022 1011 1011 II 0,5 0,5 y z z x 1 x y y z x yz Tìm x, y, z , biết : x (Với giả thiết tỉ số có nghĩa) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y z z x x y 2( x y z 2) 2 x 1 y z x yz y z z x 1 x y x 1 y z x yz 0,5 0,25 Mà: x y z = x + y + z = 2,5 (1) Nên yz yz x yz 2 1 3 3 x 1 x 1 Ta có: x (2) 1,5 3 x = - 0,5 Từ (1) (2) ta suy x z x 1 z x 1 xyz 2 3 3 y y y Từ (1) (3) ta suy 2,0 (3) 0,25 0,25 2,5 11 3 y y x y x y x yz 2 3 3 z z z 2,5 3 z z (4) 0,25 Từ (1) (4) ta suy 11 Vậy x = - 0,5; y = ; z = Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường phải sửa cho tổ: Tổ 1, Tổ 2, Tổ tương ứng theo tỷ lệ : : Nhưng sau đó, số người thay đổi nên đơn vị chia lại số mét đường phải sửa cho Tổ 1, Tổ 2, Tổ tương ứng theo tỷ lệ : : Do đó, có tổ làm dự định ban đầu 20m đường Tính số mét đường đơn vị chia lại cho tổ Gọi tổng số mét đường đơn vị công nhân phải sửa M (M > 0) Gọi x1, y1, z1 số mét đường phải sửa Tổ 1, Tổ 2, Tổ theo dự định ban đầu Gọi x2, y2, z2 số mét đường phải sửa Tổ 1, Tổ 2, Tổ phân chia lại 0,5 2,0 0,5 Theo ta có: x1 + y1 + z1 = x2 + y2 + z2 = M x1 y1 z1 (2); (1) x2 y2 z2 (3) Từ (1), (2), (3), áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x1 y1 z1 x1 y1 z1 M 15 15 x2 y2 z2 x2 y2 z2 M 12 12 x1 4M M 2M , y1 , z1 ; 15 0,25 x2 M M 5M , y2 , z 12 Suy ra: So sánh giá trị với ta có: x2 < x1, y2 = y1, z2 > z1 Theo ta có: x1 – x2 = 20 0,25 4M M 20 M = 1200 Suy 15 0,25 Do đó: x2 = 300, y2 = 400, x2 = 500 Vậy số mét đường đơn vị chia lại cho Tổ 1, Tổ 2, Tổ 300m, 400m, 500m Chứng minh p số nguyên tố lớn ( p+1 ) ( p−1 ) chia hết cho 24 * Vì p số nguyên tố lớn nên ta p 3k p 3k với k số tự nhiên khác 0,25 p 1 p – 1 3k 3k + Nếu p 3k chia hết cho 0,25 p 1 p – 1 3k 3k 1 + Nếu p 3k chia hết cho 0,25 chia hết cho (1) Vậy p số nguyên tố lớn Mặt khác p số nguyên tố lớn nên p số lẻ Suy p p hai số chẵn liên tiếp 0,25 p 1 p – 1 2n 2n 4n n 1 Đặt p – 2n p 2n , ta có 0,25 p 1 p – Do n n 1 chia hết 4n n 1 chia hết cho Do p 1 p – 1 chia hết cho (2) Vì hai số nguyên tố nhau, 3.8 = 24 nên từ (1) (2) ta suy chia hết cho 24 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: p 1 p – III 0,25 ( x y ) 2( xy y y ) xy y y ( x y ) 2( xy y y ) xy y y (1) 0,25 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 0,25 ( x y ) 2( xy y y ) 0 Với x, y, ta có , đó, từ (1) ta suy xy y y 0 Suy ra: ( x y )2 2( y xy y ) 0 Do (1) ( x y )2 2( xy y y ) xy y y 0,25 0,25 ( x y ) xy y y 0 0,25 ( x y ) 0 2 y xy y 0 (Vì ( x y ) 0, y xy y 0) 0,25 x = y = x = y = Vậy cặp số nguyên (x; y) cần tìm (0; 0), (2; 2) Cho tam giác ABC vng cân có đáy BC Gọi M, N trung điểm AB AC, Kẻ NH vng góc với CM H Kẻ HE vng góc với AB E Kẻ AK vng góc với CM K Kẻ AQ vng góc với HN Q Chứng minh AK = HC = AQ Tính số đo góc BKA Chứng minh tam giác ABH cân HM tia phân giác góc BHE Gọi I điểm di động tia CA, J điểm di động tia CB Xác định vị trí điểm I, J cho tam giác HJI có chu vi bé 0,5 0,25 6,0 IV Xét hai tam giác vuông MKA NHC, có: 1 AB AC AM = CN ( ) MAK NHC (cùng phụ với AMC) 0,5 Suy MKA = NCH (cạnh huyền, góc nhọn) KA = HC (hai cạnh tương ứng) (1) - Chứng minh AQN = CHN (cạnh huyền, góc nhọn) AQ = CH (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) ta suy KA = HC = AQ - Chứng minh AKH = AQH (cạnh huyền, cạnh góc vng) Suy AHQ = AHK = 450 Do AHC = AHQ + QHC = 450 + 900 = 1350 Xét AHC BKA có: AC = AB; HC = AK BAK = HCA (cùng phụ với AMC) Suy ra: AHC = BKA (c.g.c) BKA = AHC = 1350 Xét BKA BKH có AK = KH (vì tứ giác AKHQ hình vng) BKH = 3600 – AKH – AKB = 1350 = AKB BK cạnh chung Suy BKA = BKH (c.g.c) AB = BH (hai cạnh tương ứng) AHB cân B Ta có: MHE = HCA (2 góc đồng vị, EH//AC vng góc với AB) HCA = KAB ( AHC = BKA) KAB = KHB ( BKA = BKH) Suy MHE = KHB HM tia phân giác góc BHE 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,25 0,75 0,25 0,25 Gọi H1 điểm cho AC đường trung trực HH1, H2 điểm cho CB đường trung trực HH2 Ta có H1, H2 cố định, độ dài đoạn thẳng H1H2 không đổi Với điểm I tia AC, điểm J tia CB ta ln có 0,25 IH = IH1, JH = JH2 (AC đường trung trực HH1, CB đường trung trực HH2) Do chu vi tam giác HJI là: H1 H H1 H = IH + JH +IJ = H1I + IJ + JH2 C C Dấu “=” xảy I giao điểm H 1H2 với AC, J giao 0,5 0,25 điểm H1H2 với CB (các điểm H1, I, J, H2 thẳng hàng) Vậy I giao điểm H1H2 với AC, J giao điểm H1H2 với 0,25 CB tam giác HJI có chu vi bé V 1 1 1 65 20233 40 2,0 Chứng minh rằng: A 1 1 53 63 73 20233 *) Với n > 1, ta có < (n - 1)n(n + 1) = n3 – n < n3 1 n3 (n 1)n(n 1) 0,25 Do đó: A 1 1 1 B 53 63 73 20233 4.5.6 5.6.7 2022.2023.2024 Ta có 1 1 (n 1)n(n 1) ( n 1) n n( n 1) nên 0,25 1 4.5.6 5.6.7 2022.2023.2024 1 1 1 ( ) 4.5 5.6 5.6 6.7 2022.2023 2023.2024 1 1 1 ( ) 4.5 2023.2024 4.5 2023.2024 1 1 40 2023.2024 40 B AB 40 0,5 (1) Vậy *) Với n > 1, ta có Do đó: A 1 n3 n(n 1)(n 2) 1 5.6.7 6.7.8 2023.2024.2025 1 1 1 ( 5.6 6.7 6.7 7.8 2022.2023 1 ) 2023.2024 2023.2024 2024.2025 0,5 1 ( ) 5.6 2024.2025 1 1 5.6 2024.2025 1 1 13 1 60 2.2024.2025 60 780 780 65 A (2) 65 Vậy Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Lưu ý: - Câu IV: Nếu thí sinh khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng chấm điểm - Điểm thi làm trịn đến 0,25 - Nếu thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa 0,25 0,25