PHÒNG GD&ĐT NÔNG CỐNG KÌ THI THƯ CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học 2022 2023 Môn thi Toán Thời gian thi 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi /01/2023 Đề thi gồm 01 trang ĐỀ BÀI Câu 1 (4,0 điểm) Cho[.]
KÌ THI THƯ CHỌN HỌC SINH GIỎI PHỊNG GD&ĐT NƠNG CỐNG Năm học: 2022 - 2023 Mơn thi: Tốn Thời gian thi: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: /01/2023 Đề thi gồm: 01 trang ĐỀ BÀI x 1 2x : 2 x x 1 x x Câu (4,0 điểm): Cho biểu thức: A Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Tìm x để A A Câu (4,0 điểm): 1 2 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x y z 6 x Tính giá trị biểu thức P x Giải phương tr×nh: 2020 y 2021 z y z 2022 x 1 x x x 1 x x 1 x x x 1 Câu (4,0 điểm): Chứng minh số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n N n >1 khơng phải số phương Tìm tất số nguyên x,y thỏa mãn: x4 + x2 + = y2 Câu (6,0 điểm): Cho hình vng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE=AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M, N a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2 b) Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh rằng: MKN 900 c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ nhất? Câu (2,0 điểm): Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b2 c 3 Chứng minh rằng: 2a 2b 2c a b c a b2 b c2 c a - Hết Họ tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ………………… Câu HƯỚNG DẪN CHẤM Hướng dẫn chấm Ý Điểm + ĐKXĐ: x 1; x (2đ) 0,25đ x 21 x x x A (1 x )( x 1) 2x 0,5đ x 1 2x x x A 1 x2 2x 0.25đ x2 x2 A x 2x x 1 2x 0,5đ A 2x 0,25đ 2 A 2x Vậy với x 1; x Câu (4đ) (1đ) (1đ) 0,25đ Để A nhận giá trị nguyên 2(1 x) (1 x) Ư(2) = {-1; -2; 1; 2} Mà – 2x số lẻ nên – 2x {-1; 1} Từ tìm x = x = Giá trị x = 1( không thỏa mãn ĐK) Vậy x = 0,25đ 0,25đ Ta có: 0,25đ 0,25đ 0,25đ A A A 0 0 x x 2x 0,5đ Kết hợp với điều kiện ta có: với x x A A 0,25đ Ta có : x2 y2 z 1 6 x y z x y z 0 x y z 2 Câu (4đ) Câu (4đ) (2đ) (2đ) 1 1 1 x y z 0 x y z 0.5đ x x 0 x 1 y 0 y 1 y z 1 z z P x 2020 y 2021 z 2022 3 0.5đ 0.5đ 1 1 x x x x x x 2 2 Ta có: ; 0.5đ 1 x x x 2 nên phương trình xác định với x 0 0,5đ Phương trình x 1 x x x x x x x x 1 x 1 x x3 x 1 x x 1 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 1 x x 1 x x x 1 4 2 x x x x x 1 x x x 1 0,5đ 0,5đ x 4 x 2 (thỏa mãn) 0,25đ 0,25đ 2 2 n - n + 2n + 2n = n (n - n + 2n +2) = n [n (n-1)(n+1) 0,5đ +2(n+1)] = n 2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - 0,5đ (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) 0,5đ Với n N, n > n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + số 0,5đ phương Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu (4đ) (2đ) Câu (4đ) (2đ) x4 + x2 + = y2 (1) 4x4 + 4x2 + = 4y2 (2x2 + 1)2 + = (2y)2 0.5 [2y – (2x2 + 1)][2y + (2x2 + 1)] = 0.25 Do x, y nguyên => 2y – (2x2 + 1) 2y + (2x2 + 1) ∈ Ư(3) 2 Lại có: 2y + (2x + 1) > 2y – (2x + 1) Do ta có trường hợp sau: 2 y TH1: 2 y 2 y TH1: 2 y 2x 2x 2x 2x 2 2 4 y 4 y 1 1 1 2 x 1 x 0 1 4 y y 1 2 x 1 x 0 3 2 0.5 0.5 0.25 Vậy: (x, y) = (0; 1) (0; -1) Cách khác: Phương pháp đánh giá Do x ≥ nên ta có đánh giá sau: 2 x x x x 1 Từ pt ta suy ra: 2 0,5 mà x x 1 số phương liên tiếp 0,5nên y Thay vào pt ta được: x2 = 0,5 => x = thay vào pt được: y = ±1 Kết luận: x y2 x 0,5 K Câu (6 đ) A B F E N D C M a) Vì ABCD hình vng (2đ) (2đ) AB / /CD AB / /CN,AB / /ND EC AF AD BC mà AF EC FD BE BE FD (1) CM CE (2) Vì AB//CM AB BE AB AF (3) Vì AB//DN DN FD CM AB CM.DN AB2 a Từ (1)(2)(3) AB DN CM AB CM AD ( AD BC AB) b) Theo câu a, ta có: AB DN BC DN Do CMB DAN (c.g.c) CMB DAN (4) Mà DAN AND 900 (Vì DADN vng tai D) Từ (4)(5) CMB AND 900 Do MKN 90 c) Áp dụng BĐT cơsi ta có DN CM 2 DN.CM 2 a 2a (Vì a 0) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (5) 0.5 0.5 0.5 0.5 DN CM CD 3a (Vì CD a ) hay MN 3a (2đ) Dấu "=" xảy DN = CM = a Khi CE AF CM a 1 BE FD AB a CE BE AF FD 0.5 hay Vậy E F trung điểm BC AD MN có độ dài nhỏ 3a 0.5 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca 2a Ta có 2b 2c a b2 b c c a a b2 b c2 c a2 2ab 2bc 2ca 2 a b c 2 a b b c c a Mặt khác ta có: a b 2b a ; b c 2c b ; c a 2a c Suy 2ab 2bc 2ca b ab c bc a ca b a c b a c 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca a b c Ta cần chứng minh a b c a b c ab bc c 0 Câu (2đ) (2đ) 0,5đ 0,5d 0,25đ Thật vậy: Ta có a b c 3 a b c 9 a b c 3 a b c 3 ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca Dấu “=” xảy a b c 1 2a 2b 2c a b c đpcm Vậy: a b2 b c2 c a Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa 0,5đ 0,25đ