ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2022-2023 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề UBND THỊ Xà SƠN TÂY CỤM CHUN MƠN SỐ 02 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (5,0 điểm) 1/ Thực phép tính a/ M = �1 − � : b/ N = 236 312 − 418 96 36 (23 3)12 + 169 312 − 26.33.�1 − � + 73 (−5)10 − 255 492 (125.7)3 + (−5)9 (−14)3 2/ Tìm số hữu tỉ x biết: a/ �3 − �𝑥𝑥 − �� � b/ 𝑥𝑥+1 2022 + 𝑥𝑥+2 2021 = − �+ 15 𝑥𝑥+3 2020 + 𝑥𝑥+4 2019 =1 Bài 2: (3,0 điểm) Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2 Tìm số học sinh tổ Bài 3: (4,0 điểm) a/ Cho ba số x, y, z tỉ lệ với 3, 4, Tính giá trị biểu thức P = 2022𝑥𝑥+2023𝑦𝑦−2024𝑧𝑧 2022𝑥𝑥−2023𝑦𝑦+2024𝑧𝑧 b/ Tìm hệ số a cho đa thức G(x) = x4 + x2 + a chia hết cho đa thức M(x) = x2 – x + Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC điểm I Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = AB a/ Chứng minh BI = ID b/ Tia DI cắt tia AB điểm E Chứng minh ∆IBE = ∆IDC, Từ suy BD // CE c/ Gọi H trung điểm EC Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng AH ⊥ BD � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � Chứng minh AB + BI = AC d/ Cho 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Bài 5: (1,0 điểm) Cho biết xyz = Tính giá trị A = 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 + 𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦+𝑦𝑦+1 + 𝑧𝑧 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑧𝑧+1 _HẾT _ Họ tên học sinh: ………………………………………….SBD:………… Lưu ý: Giáo viên khơng giải thích thêm; học sinh khơng dùng máy tính HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1.1a (1,5đ) Nội dung 1 1a/ M = �1 − � : 36 36 3)12 + 169 + 12 236 312 − 236 312 = (23 + 12 3)12 + 169 73 510 (1−7) 10 =- a/ �3 − �𝑥𝑥 − �� � 15 1 0,5 0,5 0,5 73 (−5)10 − 255 492 (125.7)3 + (−5)9 (−14)3 73 510 − 510 74 59 73 + 59 23 73 0,5 0,5 59 73 (1 + 23 ) 5.(−6) = (1,0đ) 3 33 236 312 − 418 96 1b/ N = (23 =0+ 1.2a 3 36 − 26.33 = – =0 (1,5đ) − 26.33.�1 − � = � − � 36 − � − � = 1.1b Điểm 0,5 − �+ =1 �=1− �3 − �𝑥𝑥 − �� � − 15 15 �3 − �𝑥𝑥 − �� = 1 �3 − �𝑥𝑥 − �� = : − �𝑥𝑥 − � = 0,5 �𝑥𝑥 − � = − = 2 𝑥𝑥 − = ±2 � 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 2 = 𝑥𝑥 = + = 2 ⇔� −3 = −2 𝑥𝑥 = −2 + = Vậy x ∈ � ; −3 � 2 0,5 b/ 1.2b (1,0đ) � 𝑥𝑥+1 2022 𝑥𝑥+1 + 𝑥𝑥+2 2021 + 1� + � 2022 𝑥𝑥+2023 2022 + 2020 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥+4 + 2019 + 1� = � 2021 𝑥𝑥+2023 𝑥𝑥+2023 2021 (x + 2023) � 2022 x + 2023 = ( 𝑥𝑥+3 = = + 2020 2021 2022 + + − 𝑥𝑥+3 2020 𝑥𝑥+2023 2019 2020 2021 + 1� + � − − 2019 − + 1� �=0 2019 2020 𝑥𝑥+4 2019 0,5 0,5 ≠ 0) x = - 2023 Vậy x = - 2023 Gọi số học sinh tổ 1; tổ 2; tổ a, b, c (học sinh; a, b, 0,5 * (3,0đ) c ∈ N ; a, b, c < 52) Vì lớp 7A có 52 học sinh chia làm tổ nên ta có 0,5 a + b + c = 52 (1) số học sinh tổ 1; tổ 2; tổ sau thêm bớt a - 1, b 0,5 2, c + ( học sinh) Vì tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2 nên ta có 3(a – 1) = 4(b – 2) = 2(c + 3) 0,5 ⇒ 𝑎𝑎−1 = 𝑏𝑏−2 = 𝑐𝑐+3 (2) Từ (1) (2) áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có 𝑎𝑎−1 = 𝑏𝑏−2 = 𝑐𝑐+3 = 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐−1−2+3 4+3+6 a - 1= 4.4 = 16 ⇒ a = 17 b - = 4.3 = 12 ⇒ b = 14 = 52 13 =4 1,0 c + = 4.6 = 24 ⇒ c = 21 Vậy số học sinh tổ 1; tổ 2; tổ lớp 7A 17; 14; 21 học sinh 3a 𝑥𝑥 Ta có x, y, z thỉ lệ với 3; 4; nên ta có = (2,0đ) ⇒ x = 3k; y = 4k ; z = 5k Thay vào P ta có P = = = 2022.3𝑘𝑘+2023.4𝑘𝑘−2024.5𝑘𝑘 2022.3𝑘𝑘−2023.4𝑘𝑘+2024.5𝑘𝑘 6066𝑘𝑘+8092𝑘𝑘−10120𝑘𝑘 6066𝑘𝑘−8092𝑘𝑘+10120𝑘𝑘 4038𝑘𝑘 2019 8094𝑘𝑘 = 4047 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 0,5 1,0 0,5 3b x4 + x2 + a x2 – x + x4 –x3 + x2 x2 + x + (2,0đ) x3 +a x –x + x x2 – x + a x2 – x + a-1 đa thức x + x + a chia hết cho đa thức x2 – x + ⇔a–1=0 a=1 Vậy với a = đa thức G(x) = x4 + x2 + a chia hết cho đa thức M(x) = x2 – x + A 1,0 1,0 D B C I 0,5 H E 4a (1,5đ) 4b a/ Xét ∆ABI ∆ADI có 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝑔𝑔𝑔𝑔) � = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � (𝑔𝑔𝑔𝑔)� ⇒ ∆ABI = ∆ADI (c.g.c) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑐𝑐ạ𝑛𝑛ℎ 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑐𝑐ℎ𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 ( hai cạnh tương ứng) 1,0 *) Ta có ∆ABI = ∆ADI (cmt) � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � (hai góc tương ứng) (2,0đ) ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 � + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 � = 1800 ( kề bù) � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Mà 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � � = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ⇒ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 Xét ∆IBE ∆IDC có � ( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) � = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝐼𝐼 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) � ⇒ ∆IBE = ∆IDC (g.c.g) � ( đố𝑖𝑖 đỉ𝑛𝑛ℎ) � = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 0,5 0,5 Ta có ∆IBE = ∆IDC (cmt) ⇒ BE = DC ( hai cạnh tương ứng) Mà AB = AD ⇒ AB + BE = AD + DC hay AE = AC � = ⇒ ∆AEC cân A ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � 1800 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � = Lại có AB = AD (gt) ⇒ ∆ABD cân A ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � 1800 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � Chúng vị trí đồng vị hai đường thẳng ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 4c 0,5 0,5 BD CE ⇒ BD // CE ( đfcm) Xét ∆AEH ∆ACH có (2,0đ) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑐𝑐ℎ𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 � ⇒ ∆AEH = ∆ACH (c.c.c) 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝑔𝑔𝑔𝑔) � = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 � ( hai góc tương ứng) ⇒ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 ⇒ AH phân giác góc BAC Mà AI phân giác góc BAC ⇒ AH trùng AI hay ba điểm A, I, H thẳng hàng 0,5 0,5 Ta có ∆AEH = ∆ACH (cmt) � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � ( hai góc tương ứng) ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 1800 ( kề bù) Mà 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 1800 : = 900 ⇒ AH ⊥ EC mà EC // BD ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 4d (1,5đ) ⇒ AH ⊥ BD ( đfcm) 0,5 0,5 Ta có ∆IBE = ∆IDC ( cmt) � (hai góc tương ứng) � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 BE = DC ( hai cạnh tương ứng) � = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � ( Góc ngồi ∆BEI) Mà 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 0,5 � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � ⇔ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � hay 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒ ∆ BEI cân B ⇒ BE = BI mà BE = DC ( cmt) ⇒ BI = DC lại có AB = AD (gt) ⇒ AC = AD + DC = AB + BI ( đfcm) 0,5 (1,0đ) Với xyz = ta có A= = = = 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 + + + 𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦+𝑦𝑦+1 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 =1 + 𝑧𝑧 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑧𝑧+1 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦+𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥+1 Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tương đương 0,5 0,5