“Phát triển năng lực mô hình hóa toán học khi dạy học giải bài tập tổ hợp – xác suất cho học sinh lớp 11 trường thpt hoằng hóa 4”

Nghiên cứu làm rõ những vấn đề lí luận về phát triển năng lực mô hình hóa toán học khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4 .... CƠ SỞ LÝ LU

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học

khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4” đã được hoàn thành tại Trường Đại học Hồng Đức Trong quá trình làm

khóa luận tốt nghiệp em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ để hoàn tất khóa luận

Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn cô giáo Th.S Nguyễn Thị Thu đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, những người đã truyền đạt kiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian học tập vừa qua

Sau cùng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các bạn sinh viên lớp K19 – Đại học Sư phạm Toán đã luôn động viên, giúp đỡ em trong quá trình làm khóa luận Đồng thời xin gửi lời cám ơn đến các thầy, cô và các em học sinh Trường THPT Hoằng Hóa 4 đã nhiệt tình tham gia thử nghiệm sư phạm giúp em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Do thời gian và năng lực hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, mong thầy cô và bạn đọc đóng góp, cho ý kiến để khóa luận được hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng của đề tài

Em xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, tháng 5 năm 2020

Sinh viên

Đinh Thị Hoài

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

3.1 Nghiên cứu làm rõ những vấn đề lí luận về phát triển năng lực mô hình hóa toán học khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4 3

3.2 Điều tra thực trạng dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4 3

3.3 Quy trình tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4 3

3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của các tình huống đã đề xuất 3

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 3

4.1 Phạm vi nghiên cứu 3

4.2 Đối tượng nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

5.1 Nhóm phương pháp nghiên cứu lí luận 3

5.2 Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn 3

5.3 Phương pháp xử lí thống kê toán học kết quả thực nghiệm: Sử dụng phương pháp thống kê toán học trong nghiên cứu khoa học giáo dục để xử lí số liệu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Cấu trúc của khóa luận 3

NỘI DUNG 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP

TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11, TRƯỜNG THPT HOẰNG

HÓA 4 5

1.1 Năng lực, năng lực toán học, năng lực mô hình hóa toán học 5

1.1.1 Năng lực 5

1.1.2 Năng lực toán học 6

1.1.3 Năng lực mô hình hóa toán học 7

1.1.4 Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh 8

1.2 Nội dung dạy học giải bài tập “Tổ hợp – Xác suất” 9

1.2.1 Yêu cầu cần đạt 9

1.2.2 Nội dung 10

1.2.2.1 Hai quy tắc đếm cơ bản 11

1.2.2.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 11

1.2.2.3 Nhị thức Niu-tơn 12

1.2.2.4 Biến cố và xác suất của biến cố 12

1.2.2.5 Các quy tắc tính xác suất 13

1.2.2.6 Biến ngẫu nhiên rời rạc 14

1.3 Thực trạng ở trường THPT Hoằng Hóa 4 14

1.4 Thực trạng dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh ở trường THPT Hoằng Hóa 4 15

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 16

CHƯƠNG 2 TỔ CHỨC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 17

2.1 Quy trình tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học 17

2.1.1 Giáo viên xác định được những mục tiêu cần đạt được khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 17

2.1.2 Giáo viên thiết kế các bài toán thực tiễn của chủ đề “Tổ hợp – Xác suất”

nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học 18

2.1.3 Học sinh thực hiện mô hình hóa các bài toán thực tiễn “Tổ hợp – Xác suất” ở trên 19

2.1.4 Học sinh xây dựng chiến lược giải dựa vào sự định hướng của giáo viên 19 2.1.5 Học sinh giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bài toán thực tiễn 20 2.1.6 Giáo viên và học sinh đánh giá bài học 20

2.2 Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn trong dạy học giải bài tập “Tổ hợp – Xác suất” lớp 11 20

2.2.1 Phương pháp chung giải bài toán 20

2.2.2 Phương pháp giải bài toán thực tiễn 22

2.3 Hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất lớp 11 25

2.3.1 Những bài toán thực tiễn liên quan đến tổ hợp 25

2.3.1.1 Những bài toán thực tiễn liên quan đến đếm số phương án 25

BÀI TẬP TỰ GIẢI 30

2.3.1.2 Những bài toán thực tiễn của tổ hợp liên quan đến thành lập số từ các số cho trước 34

2.3.1.3 Những bài toán thực tiễn của tổ hợp có liên quan đến yếu tố hình học 40 2.3.2 Những bài toán thực tiễn liên quan đến xác suất 44

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 56

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 57

3.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 57

3.2 Tổ chức và nội dung của thực nghiệm sư phạm 57

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 57

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 57

3.3 Một số giáo án nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4 58 3.3.1 Giáo án số 1 58

3.3.2 Giáo án số 2 61

3.3.1 Giáo án số 3 64

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 68

3.4.1 Đánh giá định tính 68

3.4.2 Đánh giá định lượng 70

3.4.2.1 Đề kiểm tra 1 tiết chương 2 Tổ hợp – Xác suất 70

3.4.2.2 Đáp án và thang điểm 73

3.4.2.3 Kết quả thử nghiệm 74

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 75

KẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay, Việt Nam đang hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại, ngang

tầm với các nước trong khu vực và thế giới và trong đó “học để làm” là một trong bốn

trụ cột của giáo dục Chương I, điều 8, khoản 2 của Luật Giáo dục năm 2019 nêu rõ

“ Chương trình giáo dục phải bảo đảm tính khoa học và thực tiễn; kế thừa, liên thông

giữa các cấp học, trình độ đào tạo; tạo điều kiện cho phân luồng, chuyển đổi giữa các trình độ đào tạo, ngành đào tạo và hình thức giáo dục trong hệ thống giáo dục quốc dân để địa phương và cơ sở giáo dục chủ động triển khai kế hoạch giáo dục phù hợp; đáp ứng mục tiêu bình đẳng giới, yêu cầu hội nhập quốc tế Chương trình giáo dục là

cơ sở bảo đảm chất lượng giáo dục toàn diện ” Và trong chương II, mục 1, điều 30, khoản 1 Luật Giáo dục năm 2019 quy định “ Nội dung giáo dục phổ thông phải bảo

đảm tính phổ thông, cơ bản, toàn diện, hướng nghiệp và có hệ thống; gắn với thực

tiễn cuộc sống, phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi của học sinh, đáp ứng mục tiêu giáo

dục ở mỗi cấp học ”; khoản 3 quy định “ Phương pháp giáo dục phổ thông phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng từng môn học, lớp học và đặc điểm đối tượng học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học,

hứng thú học tập, kỹ năng hợp tác, khả năng tư duy độc lập; phát triển toàn diện

phẩm chất và năng lực của người học; tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin và

truyền thông vào quá trình giáo dục” Những quy định trên đã khẳng định giáo dục Việt Nam đang hướng tới mục tiêu đảm bảo học đi đôi với hành, nội dung dạy học gắn

liền với thực tiễn cuộc sống Giáo dục cần chuyển từ giúp người học “học được cái gì” sang học thì phải “làm được cái gì” Nói cách khác giáo dục phổ thông bảo đảm phát

triển phẩm chất và năng lực người học thông qua nội dung giáo dục với những kiến thức,

kĩ năng cơ bản, thiết thực, hiện đại; hài hoà đức, trí, thể, mĩ; chú trọng thực hành, vận dụng kiến thức, kĩ năng đã học để giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển

Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực

tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hóa học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM

Nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần đảm bảo sự cân đối giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể

Thống kê và Xác suất là một trong ba thành phần bắt buộc của giáo dục toán học trong nhà trường, góp phần tăng cường tính ứng dụng và giá trị thiết thực của giáo dục toán học Thống kê và Xác suất tạo cho học sinh khả năng nhận thức và phân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suất của nhiều sự phụ thuộc trong thực tế, hình thành sự hiểu biết về vai tr của thống kê như là một nguồn thông tin quan trọng về mặt xã hội, biết áp dụng tư duy thống kê để phân tích dữ liệu Từ đó, nâng cao sự hiểu biết và phương pháp nghiên cứu thế giới hiện đại cho học sinh

Bởi những tiềm năng to lớn trong việc phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh khi dạy học Thống kê và Xác suất, mà Tổ hợp - Xác suất là một bộ phận quan trọng của nónên chúng tôi lựa chọn đề tài khóa luận là: Phát triển năng lực mô hình hóa toán học khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu những vấn đề lý luận và thực tiễn về năng lực mô hình hoá toán học của học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4 khi dạy học giải bài tập Tổ hợp –

Xác suất từ đó đề xuất quy trình tổ chức dạy học giải và đưa ra hệ thống bài tập Tổ

hợp – Xác suất nhằm phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức của học sinh, góp phần đổi mới phương pháp dạy học nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học toán ở trường THPT Hoằng Hóa 4 hiện nay

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu làm rõ những vấn đề lí luận về phát triển năng lực mô hình hóa toán học khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4

3.2 Điều tra thực trạng dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4

3.3 Quy trình tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4

3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của các tình huống đã đề xuất

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

4.1 Phạm vi nghiên cứu

- Bài tập Tổ hợp - Xác suất

- Lớp 11, Trường THPT Hoằng Hóa 4, huyện Hoằng Hóa, tỉnh Thanh Hóa

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học thông qua dạy học giải bài tập

Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nhóm phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận, phân tích tổng hợp

và hệ thống hóa một số vấn đề lí luận liên quan đến đề tài, khái quát hóa các nhận định độc lập

5.2 Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Sử dụng phương pháp điều tra thực tiễn, khảo sát và thực nghiệm

5.3 Phương pháp xử lí thống kê toán học kết quả thực nghiệm: Sử dụng phương pháp thống kê toán học trong nghiên cứu khoa học giáo dục để xử lí số liệu

6 Giả thuyết khoa học

Nếu thiết kế và thực hiện được quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học khi dạy học giải bài tập Tổ hợp - Xác suất cho học sinh thì sẽ hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4 theo hướng tiếp cận năng lực

7 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, khóa luận được trình bày theo ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát triển năng lực mô hình hóa

toán khi dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 trường THPT Hoằng Hóa 4

Chương 2 Tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất lớp 11 trường

THPT Hoằng Hóa 4 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11, TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4 1.1 Năng lực, năng lực toán học, năng lực mô hình hóa toán học

1.1.1 Năng lực

Năng lực được nhiều nhà tâm lý học, nhà triết học, nhà giáo dục học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Chương trình giáo dục phổ thông ở Việt Nam sau năm 2015 theo định hướng hình thành và phát triển năng lực Khái niệm này cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau

- Theo quan điểm di truyền học, năng lực phụ thuộc vào yếu tố bẩm sinh của di truyền và yếu tố môi trường sống của con người và xem nh yếu tố giáo dục Các nhà tâm lí học Mác xit không tuyệt đối hoá vai tr của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với năng lực mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập trong việc hình thành năng

lực Có thể hiểu, năng lực là những đặc trưng tâm lý của cá nhân thích hợp để hoàn thành có kết quả tốt hoạt động nào đó

- Nhấn mạnh đến tính mục đích của năng lực, Phạm Minh Hạc - Nguyên chủ

tịch Hội khoa học Tâm lý - Giáo dục Việt Nam định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người c n gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lý của một nhân cách , tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”[8]

- Theo quan điểm của những nhà tâm lý học Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiểu quả cao

- Theo Từ điển Bách khoa Việt Nam (năm 2005): Năng lực là đặc điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo, tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn một hay một số dạng hoạt động nào đó Năng lực gắn liền với những phẩm chất

về trí nhớ, tính nhạy cảm, trí tuệ, tính cách của cá nhân Năng lực có thể phát triển trên

cơ sở năng khiếu (đặc điểm sinh lý của con người, trước hết là của hệ thần kinh trung ương), song không phải là bẩm sinh, mà là kết quả phát triển của xã hội và của con người (đời sống xã hội, sự giáo dục và rèn luyện, hoạt động của cá nhân)

- Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể của Bộ giáo dục, Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể

Khóa luận định nghĩa năng lực theo định nghĩa Năng lực của chương trình giáo dục phổ thông tổng thể của Bộ giáo dục Theo đó, Chương trình giáo dục phổ thông hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:

a) Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo;

b) Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất [9]

1.1.2 Năng lực toán học

Năng lực toán học là một vấn đề mà ở nhiều nước trên thế giới đều có sự quan tâm đặc biệt cả trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện, trong đó đặc biệt chú ý đến việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu về Toán Đến nay vẫn chưa có được định nghĩa thống nhất về năng lực Toán Song từ những nghiên cứu về năng lực toán học, có thể thấy:

- Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán

- Năng lực Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền với) các hoạt động của học sinh nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán, …

- Năng lực Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền với) các hoạt động của học sinh nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán, [10]

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, Năng lực tính toán của học sinh được thể hiện qua các hoạt động sau đây:

Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

1.1.3 Năng lực mô hình hóa toán học

Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán của Việt Nam có tương đối ít các bài toán về mô hình hóa, chỉ chiếm khoảng 2% đến 5% số lượng các bài toán, bài tập Bài toán có thể được xây dựng từ vấn đề thực tiễn hoặc từ các vấn đề thuộc các môn học khác như Sinh học, Hóa học hay Vật lí Sau đó, các công cụ và ngôn ngữ toán học được sử dụng để thiết lập các mô hình Đây gọi là quá trình toán học hóa Bài toán sau

đó được giải bằng kiến thức toán học Kết quả được phiên dịch lại để có câu trả lời trong tình huống thực tế ban đầu Cuối cùng, sự phù hợp của kết quả phải được kiểm tra Quy trình mô hình hóa toán học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa

- Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tế (bài toán ban đầu)

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của

mô hình hóa toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng

Vậy năng lực mô hình hóa toán học là gì? Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa toán học và nó gồm có nhiều kĩ năng thành phần Năng lực mô hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình mô hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định Như vậy, có thể hiểu năng lực mô hình hóa toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán nhằm giải quyết vấn đề Toán học được đặt ra

Năng lực mô hình hoá toán học là một trong năm thành phần cốt lõi của năng lực toán học Năng lực mô hình hoá toán học thể hiện qua việc:

- Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

- Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Cụ thể với cấp trung học phổ thông thì nó là:

- Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình

vẽ, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

- Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, ) để đưa đến những bài toán giải được

Như vậy, phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy học giúp học sinh sử dụng các kĩ năng toán học có hiệu quả hơn và hiểu sâu kiến thức hơn

1.1.4 Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

Theo quan điểm của Triết học, Phát triển là phạm trù triết học chỉ ra tính chất của những biến đổi đang diễn ra trên thế giới Phát triển là một thuộc tính của vật chất Mọi sự vật và hiện tượng của hiện thực không tồn tại trong trạng thái khác nhau từ khi xuất hiện đến lúc tiêu vong,… nguồn gốc của phát triển là sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập

Trong dạy học: “Phát triển” là “rèn luyện” những tri thức cập nhật trên cơ sở những cái đã có để củng cố, mở mang, phát triển thêm, có giá trị làm tăng hệ thống những tri thức, kĩ năng, làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao hiệu quả học tập

Định hướng đổi mới dạy học trong giai đoạn hiện nay là: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học” (Nghị quyết số 29 – NQ/TW, ngày 04/11/2013) Từ quan điểm hoạt động giáo dục, Nguyễn Bá Kim khẳng định: “Năng lực có thể và chỉ có thể được hình thành, phát triển và biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt động của chính người học” Như vậy, để phát triển một năng lực cụ thể cho người học, cần tạo ra cho học sinh những tình huống học tập mà ở đó, học sinh phải thể hiện mức độ thành thạo của các kĩ năng khi tiến hành các hoạt động đặc thù của năng lực đó

Trên cơ sở mối quan hệ mật thiết giữa năng lực và hoạt động, có thể xác định bản chất của việc bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh là nhằm nâng cao hiệu quả

học tập, hoàn thiện một quá trình dạy học Nói một cách khái quát, phát triển năng lực toán học cho học sinh là quá trình tổ chức, rèn luyện cho học sinh vận dụng kiến thức,

kĩ năng toán học để thực hiện các hoạt động học tập tương thích với thành tố và các biểu hiện đặc trưng của từng năng lực

Trên cơ sở của rèn luyện năng lực toán học và năng lực mô hình hóa toán học,

ta có thể khẳng định rằng: “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học là quá trình tổ chức cho học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng và các phẩm chất cần thiết cho hoạt động mô hình hóa toán học để thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mô hình hóa nhằm giải quyết các vấn đề toán học đặt ra

1.2 Nội dung dạy học giải bài tập “Tổ hợp – Xác suất”

- Tính được số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

- Nhận biết được một số khái niệm về xác suất cổ điển: phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố (biến cố là tập con của không gian mẫu), biến cố đối, định nghĩa cổ điển xác suất, nguyên lý xác suất bé

- Nhận biết được một số khái niệm về xác suất cổ điển: hợp và giao các biến cố; biến cố độc lập

- Mô tả được không gian mẫu, biến cố trong một số thí nghiệm đơn giản (Ví dụ: tung đồng xu hai lần, tung đồng xu ba lần, tung xúc xắc hai lần)

- Tính được xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản bằng phương pháp tổ hợp (trường hợp xác suất phân bố đều)

- Tính được xác suất trong một số thí nghiệm lặp bằng cách sử dụng sơ đồ cây (Ví dụ: tung xúc xắc hai lần, tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần tung bằng 7)

- Mô tả được các tính chất cơ bản của xác suất

- Tính được xác suất của biến cố đối

- Tính được xác suất của biến cố hợp bằng cách sử dụng công thức cộng

- Tính được xác suất của biến cố giao bằng cách sử dụng công thức nhân (cho trường hợp biến cố độc lập)

- Tính được xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản bằng phương pháp tổ hợp

- Tính được xác suất trong một số bài toán đơn giản bằng cách sử dụng sơ đồ cây

- Xác xuất của biến cố và các tính chẩ cơ bản của xác suất

- Biến cố xung khắc, công thức cộng xác suất

- Biến cố độc lập, công thức nhân xác suất

- Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc

Chương “Tổ hợp – Xác suất” ở sách Đại số và giải tích 11 cơ bản gồm những nội dung sau:

- Quy tắc đếm

- Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp

- Nhị thức Niu-tơn

- Phép thử và biến cố

- Xác suất của biến cố

1.2.2.1 Hai quy tắc đếm cơ bản

Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A

hoặc phương án B Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án

B Khi đó, công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách

Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B

Công đoạn A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó, công việc có thể được thực hiện bởi n.m cách

1.2.2.4 Biến cố và xác suất của biến cố

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:

- Kết quả của nó không đoán trước được;

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của các phép thử Phép thử thường được ký hiệu chữ T

 Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được ký hiệu bởi chữ (đọc là ô-mê-ga)

 Biến cố

- Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà xảy ra hay không xảy ra của A tùy

thuộc vào kết quả của T

- Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho

A

- Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho A ký hiệu là A Khi đó, người ta nói biến

số A được mô tả bởi tập A

Xác suất của biến cố

- Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có không gian mẫu  là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và Alà tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một

số, ký hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

- Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B Biến cố “A hoặc B xảy ra”, ký hiệu là AB

được gọi là hợp của hai biến cố A và B

Tổng quát: Cho k biến cốA A1, 2, ,A k Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố

1, 2, , k

A A A xảy ra”, ký hiệu là A1A2  A kđược gọi hợp của k biến cố đó

- Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A và B Hai biến cố A và B được gọi là xung

khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu   A B

- Quy tắc cộng xác suất: Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B

xảy ra là P A BP A P B 

Tổng quát: Cho k biến cố A A1, 2, ,A k đôi một xung khắc Khi đó:

- Biến cố đối: Cho A là một biến cố Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, ký hiệu là A

được gọi là biến cố đối của A

Định lý: Cho biến cố A Xác suất của biến cố đối A là P A  1 P A 

Quy tắc nhân xác suất:

- Biến cố giao: Cho hai biến cố A và B Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, ký hiệu là

AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B

- Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia

- Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

P AB P A P B

1.2.2.6 Biến ngẫu nhiên rời rạc

- Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc: Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên

rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu

nhiên, không dự đoán trước được

- Kì vọng: Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trịx x1, , ,2 x n Kì vọng của X ký hiệu là E(X), là một số được tính theo công thức:

- Độ lệch chuẩn: Căn bậc hai của phương sai ký hiệu là   X được gọi là độ lệch

chuẩn của X, nghĩa là  X  V X 

1.3 Thực trạng ở trường THPT Hoằng Hóa 4

Trường THPT Hoằng Hóa 4 là một trường thuộc huyện Hoằng Hóa, tỉnh Thanh Hóa; trường là một trong những trường thuộc Top đầu về chất lượng đào tạo của Tỉnh Trường tính đến nay đã thành lập được hơn 30 năm với chất lượng đội ngũ GV giảng dạy luôn đạt kết quả cao Trường THPT Hoằng Hóa 4 có lượng học sinh đa dạng từ 11

xã phường khác nhau trong huyện Hơn nữa, nhà trường thường xuyên chăm lo các em thuộc diện khó khăn, gia đình chính sách, chất độc màu da cam, học sinh nghèo có tinh thần vượt khó trong học tập được trích từ quỹ chữ thập đỏ, khuyến khích để tặng quà cho các em học sinh Bên cạnh đó, nhà trường có đội ngũ giáo viên trẻ năng động, nhiệt huyết với nghề luôn quan tâm giúp đỡ các em học sinh Ngày nay, trường đã nỗ lực phấn đấu cố gắng vươn lên nhờ lao động của các thầy cô giáo tâm huyết với nghề, cán bộ công nhân viên nhiệt tình, nhà trường đã đổi mới toàn diện dãy nhà cao tầng,

khang trang được xây dựng, khuôn viên trường sạch sẽ thoáng mát để các emhọc sinh học tập thật tốt

1.4 Thực trạng dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh ở trường THPT Hoằng Hóa 4

- Ứng dụng toán học vào thực tiễn được coi là một vấn đề quan trọng và cần thiết trong việc dạy học ở trường phổ thông Tuy nhiên, việc rèn luyện vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh hiện nay chưa được đặt ra đúng mức, chưa đáp ứng được những yêu cầu cần thiết

- Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên thường chỉ quan tâm, chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lí thuyết quy định trong chương trình và sách giáo khoa, sao nhẵng việc thực hành, đặc biệt là những bài toán có nội dung thực tiễn nên học sinh thường lung túng thậm chí c n không hoàn chỉnh được những bài toán có nội dung thực tiễn

- Giảng dạy Toán “c n thiên về sách vở, hướng việc dạy Toán về việc giải nhiều loại bài tập hầu hết không có nội dung thực tiễn” Việc dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nh thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống Mối liên hệ giữa Toán học và thức tế c n yếu Theo tôi có thể có những nguyên nhân sau đây:

 Thứ nhất, do ảnh hưởng trực tiếp của sách giáo khoa và tài liệu tham khảo: Số lượng bài tập mang nội dung thuần túy Toán học cũng như kiến thức dành cho mỗi tiết học khá nặng đã khiến cho giáo viên vất vả trong việc hoàn thành kế hoạch giảng dạy,

số lượng bài toán, chất lượng và quy mô bài toán ứng dụng vào thực tiễn c n rất ít ở các chủ đề môn Toán trong giảng dạy Hơn nữa khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của giáo viên c n nhiều khó khăn

 Thứ hai, do yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tiễn không được đặt ra một cách thường xuyên cụ thể là trong các đề thi không có các bài toán có nội dung thực tiễn Mặt khác, lối dạy phục vụ thi cử chỉ chú ý đến những gì để phục vụ cho học sinh

đi thi như hiện nay cũng là một nguyên nhân góp phần tạo nên tình trạng này Ngoài ra trong chương trình đào tạp ở các trường Đại học và Cao đẳng sư phạm tình hình ứng dụng (trong giáo trình, trong đánh giá, trong thi cử…) cũng xảy ra tương tự Do vậy, nó ảnh hưởng trực tiếp đến tiềm năng dạy các vấn đề ứng dụng Toán học của thầy cô giáo

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

- Trong chương này tôi đã nghiên cứu về năng lực nói chung, năng lực toán học nói riêng và cụ thể là năng lực mô hình hóa toán học Đồng thời trong chương 1 cũng nghiên cứu về cơ sở lí luận của dạy học phát triển năng lực mô hình hóa

- Ngoài ra trong chương 1 tôi còn hệ thống lại nội dung chương Tổ hợp – Xác suất ở sách Đại số và giải tích lớp 11 và thực trạng dạy học chương này ở trường THPT Hoằng Hoá 4

- Qua việc tìm hiểu lí luận và thực tiễn các vấn đề trên sẽ là cơ sở để xây dựng quy trình tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp - Xác suất ở chương 2

CHƯƠNG 2 TỔ CHỨC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4 NHẰM PHÁT TRIỂN

NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 2.1 Quy trình tổ chức dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học

2.1.1 Giáo viên xác định được những mục tiêu cần đạt được khi dạy học giải bài

tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11

Xuất phát từ chương trình tổng thể chương trình giáo dục phổ thông, chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, giáo viên cần xác định nội dung chính mà học sinh cần học, thông qua nội dung này, các năng lực nào được rèn luyện và phát triển thuận lợi; từ đó xác định các năng lực và các cấp độ cần đạt

Giáo viên xác định được những mục tiêu cần đạt được khi dạy học giải bài

tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11

Giáo viên thiết kế các bài toán thực tiễn của Tổ hợp – Xác suất nhằm phát

triển năng lực mô hình hóa toán học

Học sinh giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bài toán thực tiễn Học sinh thực hiện mô hình hóa các bài toán thực tiễn Tổ hợp – Xác suất ở trên

Học sinh xây dựng chiến lược giải dựa vào sự định hướng của giáo viên

Giáo viên và học sinh đánh giá bài học

Để phát triển được năng lực mô hình hóa toán học khi giải bài tập Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 cần những mục đích sau:

- Thiết lập được mô hình hóa toán học bao gồm: công thức, phương trình, sơ

đồ, hình vẽ, … của Tổ hợp – Xác suất để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn

- Giải quyết được những vấn đề toán học của Tổ hợp – Xác suất trong mô hình được thiết lập

- Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) trong Tổ hợp – Xác suất Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh các yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ,

bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hóa, …) để đưa đến những bài toán Tổ hợp – Xác suất giải được

2.1.2 Giáo viên thiết kế các bài toán thực tiễn của chủ đề “Tổ hợp – Xác suất” nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học

Trên cơ sở các nội dung cần học và các năng lực cần đạt; giáo viên lựa chọn, thiết kế các bài toán Tổ hợp – Xác suất thực tiễn tương ứng Các bài toán Tổ hợp – Xác suất thực tiễn có thể là những bài toán được chế tác ra từ các bài toán truyền thống, cũng có thể là những bài toán xuất phát từ những vấn đề thực trong thực tiễn Các bài toán này cần đảm bảo yêu cầu gần gũi với học sinh, sát thực với thực tiễn trong cuộc sống hằng ngày Để cho bài toán Tổ hợp – Xác suất bám sát với thực tiễn, giáo viên có thể kèm theo các hình ảnh, bảng biểu, … để minh họa Điều này làm cho học sinh thấy thú vị hơn, một mặt vì nó sinh động hơn nhiều các bài toán truyền thống, mặt khác các em luôn cảm thấy mình đang giải quyết một vấn đề thực trong cuộc sống Tuy nhiên, không phải nội dung nào cũng có thể tìm được hình ảnh để minh họa, những vấn đề của thực tiễn vì thế mà để tạo ra các bài toán Tổ hợp – Xác suất thực tiễn thì nó có thể làm mất nhiều thời gian, công sức của các thầy cô Các bài toán thực tiễn này cần đảm bảo các yêu cầu:

Một là, lời giải tối ưu của bài toán Tổ hợp – Xác suất phải là nội dung mà các

em cần học

Hai là, để đi đến kết quả có thể có bằng nhiều cách nhưng bằng cách nào cũng cần phải đảm bảo các em phải thực hiện một số hoạt động vừa sức để rèn luyện và phát triển các năng lực đặt ra

Ngoài những yếu tố ở trên giáo viên cần xác định các phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học cho thật phù hợp với yêu cầu của bài toán Tổ hợp – Xác suất thực tiễn Chẳng hạn như một số phương pháp dạy học khám phá, dạy học giải quyết vấn đề, dạy học thông qua kiểm tra, dạy học thông qua tr chơi, … Một số phương tiện thiết yếu cần phục vụ: bảng thông minh, máy chiếu, tranh ảnh, dụng cụ học tập (thước kẻ, compa, kéo, giấy, …), phiếu học tập, phiếu hoạt động nhóm, … Tùy vào yêu cầu hoạt động của từng bài, giáo viên có thể thiết lập ra các phương tiện cần

có trong mỗi bài dạy Hình thức tổ chức dạy học cũng có tác động lớn đến hiệu quả học tập của học sinh Hiện nay trong nền giáo dục Việt Nam, hình thức lớp bài vẫn là hình thức dạy học chính thống phổ biến nhất, đã có một số tiết học ngoại khóa nhưng mang tính tuyên truyền hơn là tạo môi trường học tập thực sự Tuy nhiên, ta có thể sử dụng một cách linh hoạt làm đổi mới cách tổ chức sao cho phù hợp: tranh luận, đối thoại, nhóm, kiểm tra, chơi tr chơi, …

2.1.3 Học sinh thực hiện mô hình hóa các bài toán thực tiễn “Tổ hợp – Xác suất” ở trên

Trong trường hợp học sinh chưa tìm ra được cách chuyển từ bài toán thực tiễn

về bài toán Tổ hợp – Xác suất thì giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh chuyển bài toán Tổ hợp – Xác suất từ thế giới thực sang thế giới toán học bằng cách xác định các vấn đề

về thực tiễn theo các khái niệm toán học và xác định các yếu tố Tổ hợp – Xác suất tương thích cho bài toán thực tiễn Sau đó đặt giả thiết, khái quát hóa, mô hình hóa theo ngôn ngữ toán, chuyển thành các vấn đề của Tổ hợp – Xác suất Cuối cùng, từ bài toán thực tiễn các em học sinh đã chuyển về bài toán thuần túy

2.1.4 Học sinh xây dựng chiến lược giải dựa vào sự định hướng của giáo viên

Việc tổ chức dạy học theo quan điểm này tôi thấy khác với một số bài giảng truyền thống, nó có thể phá vỡ không khí nghiêm trang thường thấy, thay vào đó là các tiết học sẽ sôi nổi và đôi khi náo nhiệt hơn bình thường Giáo viên không còn là trung tâm, không truyền thụ kiến thức một chiều Sau khi đã chuyển bài toán Tổ hợp – Xác suất thực tiễn về bài toán thuần túy học sinh vận dụng các kiến thức mà mình đã được học để giải quyết bài toán Tổ hợp – Xác suất sao cho phù hợp nhất Một bài toán Tổ hợp – Xác suất có thể có nhiều hướng giải quyết, mỗi một hướng giải sẽ phát triển theo một cách khác nhau Từ đó dẫn đến việc học sinh sẽ phát triển các khả năng phân tích vấn đề, giải quyết vấn đề theo nhiều hướng khác nhau Do đó sẽ chọn được đường

hướng giải tối ưu nhất Nếu là vấn đề quá rộng của một mình học sinh không giải quyết được thì nhiều học sinh liên kết lại và tạo thành các nhóm để mỗi bạn giải quyết từng nhiệm vụ trong vấn đề đó

2.1.5 Học sinh giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bài toán thực tiễn

Học sinh dùng các tri thức toán học để giải bài toán thuần túy toán học và từ đó

có mối liên hệ để đưa ra lời giải thực giải quyết cho bài toán thực tiện yêu cầu

2.1.6 Giáo viên và học sinh đánh giá bài học

Sau khi tổ chức cho học sinh học tập, giáo viên cần phải đánh giá lại bài học

Từ cơ sở thực tiễn là các hoạt động của học sinh, giáo viên rà soát lại các khâu trong quy trình từ lựa chọn nội dung đến xác định các năng lực cần đạt, bài toán thực tế, phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học để điều chỉnh và rút kinh nghiệm cho bài học sau

Khi đánh giá bài học, cần chú ý đánh giá tổng thể nhiều mặt, một mặt so sánh kiến thức mà các em khám phá được với nội dung toán cần học có đảm bảo hay không; mặt khác đánh giá sự phát triển năng lực có đạt yêu cầu như kỳ vọng ban đầu không Xác định được những khó khan trong hoạt động của học sinh; những khó khăn trong điều khiển, tổ chức của giáo viên; từ đó điều chỉnh lại đúng bước đó của quy trình

2.2 Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn trong dạy học giải bài tập “Tổ hợp – Xác suất” lớp 11

2.2.1 Phương pháp chung giải bài toán

Theo G.Polya, phương pháp chung để giải một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải bài toán

- Tìm t i, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương

tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích, …

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan, …

- Tìm t i những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ 1: Một bộ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài, chia thành 4 chất: rô và cơ –

màu đỏ; bích và nhép – màu đen Mỗi chất có 13 quân bài lần lượt là: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, J, Q, K, A Bốn quân 2 gồm: 2 rô, 2 cơ, 2 bích, 2 nhép lập thành một bộ; bốn quân 3 gồm: 3 rô, 3 cơ, 3 bích, 3 nhép lập thành một bộ; …; bốn quân A gồm: A rô, A

cơ, A bích, A nhép lập thành một bộ Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài Tính xác suất để trong 5 quân bài có 1 bộ

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Đề bài yêu cầu tính xác suất để trong 5 quân bài được chọn ngẫu nhiên từ một bộ bài có một bộ

Bước 2: Tìm cách giải của bài toán

 Để giải bài toán này ta cần đi tính số phần tử không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất

 Phần tử của không gian mẫu là lần rút ra 5 quân bài tùy ý Có 52 quân bài, rút ra 5 quân bài tức là lấy ra tổ hợp chập 5 của 52 Ta có, số phần tử của không gian

 Số cách rút được một bộ 4 quân là 13 cách Sau đó: Nếu đã rút được một bộ, tức là đã rút được 4 quân bài Nên quân bài thứ 5 là 1 trong 48 quân c n lại Vậy có 48 khả năng của các biến cố: “Có 5 quân trong đó có một bộ”

 Áp dụng quy tắc nhân ta có: Số phần tử của biến cố B là: 13 x 48 = 624

 Vậy xác suất cần tìm là:   5

52

6240,00024

P B

C

Bước 3: Trình bày lời giải

- Số phần tử của không gian mẫu là:

5

52 2598960

C

- Gọi B là biến cố: “Trong 5 quân bài được chọn có 1 bộ bài”

- Nếu đã rút được một bộ, tức là đã rút được 4 quân bài Nên quân bài thứ 5 sẽ là

1 trong 48 quân bài c n lại Vậy có 48 khả năng của các biến cố “Có 5 quân bài trong

P B

C

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

2.2.2 Phương pháp giải bài toán thực tiễn

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với nhũng gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợp với những đặc thù riêng của bài toán thực tiễn, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán thực tế như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán

- Phát biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm

Bước 2: Chuyển đổi bài toán thực tiễn sang xây dựng mô hình toán học

- Toán học hóa tình huống, chuyển bài toán với những ngôn ngữ, những dữ kiện trong cuộc sống thực tế thành bài toán với ngôn ngữ toán học Các ràng buộc giữa yếu tố trong bài toán thực tiễn được chuyển thành các biểu thức, các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình toán học, …

- Bước này có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc giải quyết một bài toán thực tiễn, đồng thời nó cũng phản ánh khả năng, trình độ của người học đối với việc hiểu và vận dụng các tri thức toán học

Bước 3: Tìm cách giải của bài toán mô hình toán học

- Tìm t i, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương

tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích, …

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan, …

- Tìm t i những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Bước 4: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước thực hiện theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 5: Đưa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của bài toán thực tiễn

Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả lời giải Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Đây là nhằm phát huy khả năng tư duy, tìm t i sang tạo của học sinh

Ví dụ 2: Trong giờ sinh hoạt lớp, học sinh là những người chơi Học sinh tham

gia trả lời câu hỏi của giáo viên đặt ra Chia lớp thành 4 nhóm, các nhóm cử ra một người chơi ném các đồng xu vào một bảng được kẻ những ô vuông Nếu một đồng xu dính vào biên thì bị loại Nếu lăn ra khỏi bảng, nó sẽ được ném lại Nhưng nếu đồng

xu nằm lọt vào trong ô vuông, người chơi thắng được trả lời câu hỏi và trả lời đúng sẽ

có một phần thưởng Xác suất để học sinh ném đồng xu nằm trong ô vuông là bao nhiêu?

Rõ ràng bài tập xuất phát từ tình huống thực tiễn Trước hết học sinh nhận ra rằng xác suất để thắng phụ thuộc vào kích cỡ tương ứng của các ô vuông và đồng xu (xác định các biến số quan trọng) Sau đó, chuyển vấn đề thực tiễn thành bài toán, học sinh nhận thấy rằng chỉ cần xét mối quan hệ giữa một hình vuông và một hình tr n nhỏ

hơn (cắt gọt bớt thực tiễn) Các em quyết định xây dựng một ví dụ cụ thể (giải quyết vấn đề thông qua giải một bài toán được xây dựng từ vấn đề đó)

Chẳng hạn, học sinh xét bài toán với bán kính của đồng xu là 2 cm và cạnh của hình vuông là 8 cm Các em đã nhận ra để thắng tr chơi thì tâm của đồng xu phải cách mỗi cạnh ít nhất 2 cm, khi đó không gian c n lại là hình vuông cạnh 4 cm (gọi là hình vuông không biến cố); nếu không thì cạnh của hình vuông sẽ cắt đồng xu Các mối quan hệ được chỉ ra trong sơ đồ dưới đây

Xác suất thắng là tỷ số giữa diện tích hình vuông không biến cố và không gian

mẫu (trong VD trên 16

64

P )

Từ đó HS xem xét những đồng xu có kích cỡ khác và tổng quát bài toán bằng cách diễn đạt lời giải của mình theo ngôn ngữ toán học Cuối cùng học sinh mở rộng những kết quả của mình cho nhiều tình huống thực hành, các em làm các bảng và thử lại một cách thực nghiệm (làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo tình huống thực tiễn) Quy trình toán học hóa bài toán trên:

1/ Bắt đầu vấn đề từ tình huống thực tiễn: Xác suất để ném đồng xu nằm lọt trong ô vuông Tổ chức vấn đề theo các khái niệm toán học: Bảng có kẻ những ô vuông thể hiện các hình vuông, đồng xu thể hiện hình tr n Hình vuông chứa hình tr n thì người chơi thắng, nếu cạnh hình vuông cắt hình tr n thì người chơi thua

2/ Cắt gọt dữ kiện để thoát dần ra khỏi thực tiễn thông qua quá trình như đặt giả thiết về các yếu tố trọng tâm, tổng quát hóa và hình thức hóa (chú trọng các yếu tố toán học của tình huống và chuyển dịch vấn đề thực tiễn sang bài toán đại diện cho tình huống): Vấn đề được chuyển thành mối liên hệ giữa diện tích hình tr n (đồng xu)

và diện tích của hình vuông

3/ Giải bài toán: Dùng công thức tính diện tích hình tr n, diện tích hình vuông Tính tỷ số giữa diện tích hình tr n và diện tích hình vuông không biến cố Tỷ số tìm được là xác suất của bài toán

4/ Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tiễn: Thực nghiệm lại tình huống để đối chiếu với kết quả tìm được nhằm phản ánh về lời giải Ta nhận ra rằng xác suất để thắng tr chơi là tương đối thấp (25%) Các yếu tố cạnh hình vuông, bán kính đồng xu là những yếu tố ảnh hưởng đến xác suất thắng tr chơi Bán kính đồng xu càng nhỏ hay cạnh hình vuông càng lớn thì xác suất ném trúng càng cao

2.3 Hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học giải bài tập Tổ hợp – Xác suất lớp 11

2.3.1 Những bài toán thực tiễn liên quan đến tổ hợp

Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xác định số phần tử của một tập hợp hoặc phải tính xem khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên là bao nhiêu Sau đây tôi xin đưa ra một số loại bài toán thực tiễn về tổ hợp

2.3.1.1 Những bài toán thực tiễn liên quan đến đếm số phương án

Bài 1: Đội thanh niên xung kích của trường A có 12 học sinh, gồm 5 học sinh khối 10,

4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 12

a) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho học sinh thuộc không quá 2 khối lớp?

b) Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 6 học sinh sao cho tổ nào cũng có học sinh khối 12 và có ít nhất 2 học sinh khối 10?

 Phân tích:

- Trong một đội thanh niên xung kích của trường A có 12 học sinh của các khối 10,

11 và 12 tham gia Khi chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ thì sẽ có rất nhiều cách để chọn như trong 4 học sinh được chọn thuộc cả 3 khối lớp, chỉ thuộc 2 khối lớp hoặc chỉ thuộc một khối lớp Như vậy khi chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ thuộc không quá 2 khối lớp thì ta loại bỏ các trường hợp không phù hợp yêu cầu rồi tính số cách

chọn cần tìm

- Khi chia học sinh ra làm 2 tổ mà mỗi tổ yêu cầu tổ nào cũng có học sinh khối 12

và có ít nhất 2 học sinh khối 10 thì sẽ có rất nhiều cách chọn như 6 học sinh được chọn ở tổ 1 sẽ có 2 học sinh khối 10, 3 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 12; 2 học sinh khối 10, 2 học sinh khối 11, 2 học sinh khối 12; 3 học sinh khối 10, 2 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 12 hoặc 3 học sinh khối 10, 1 học sinh khối 11, 2 học sinh khối 12 Như vậy khi chọn ra 6 học sinh cho tổ 1 thì ta tính trực tiếp số cách chọn cần

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối lớp có ít nhất 1 học sinh được tính như sau:

- Chọn 2 học sinh khối 10, các khối 11, 12 chọn 1 học sinh nên có 2 1 1

5 .4 3 120

C C C  cách

- Chọn 2 học sinh khối 11, các khối 10, 12 chọn 1 học sinh nên có C C C1 2 1 90 cách

- Chọn 2 học sinh khối 12, các khối 10, 11 chọn 1 học sinh nên có C C C51 .14 32 60 cách Vậy số cách chọn thỏa mãn là: 495 – (120 + 90 + 60) = 225 (cách)

b) Ta chọn 6 học sinh thỏa mãn đề bài bào vào tổ 1, 6 học sinh c n lại tạo thành tổ 2

Bài 2: Một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 4

viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ

cả 3 màu, biết rằng các viên bi là khác nhau?

 Phân tích:

- Trong một hộp có 10 viên bi bao gồm 3 màu sắc: đỏ, trắng và vàng Khi lấy ra 4 viên bi bất kỳ từ hộp thì sẽ có rất nhiều trường hợp xảy ra như trong 4 viên bi được

lấy có cả 3 màu, 2 màu hoặc 1 màu

- Như vậy để 4 viên bi được lấy ra không đủ 3 màu thì ta sẽ loại các trường hợp

không phù hợp yêu cầu rồi tính số cách chọn cần tìm

 Lời giải:

- Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi bất kì trong hộp ta có C104cách chọn

- Chọn 4 viên bi sao cho có 2 viên bi màu đỏ, 1 viên bi màu trắng, 1 viên bi màu vàng ta có C C C cách chọn 22 13 51

- Chọn 4 viên bi sao cho có 1 viên bi màu đỏ, 2 viên bi màu trắng, 1 viên bi màu vàng ta có C C C cách chọn 12 32 51

- Chọn 4 viên bi sao cho có 1 viên bi màu đỏ, 1 viên bi màu trắng, 2 viên bi màu

vàng ta có 1 1 2

2 3 5

C C C cách chọn

Vậy có 4 2 1 1 1 2 1 1 1 2

10 2 3 5 2 3 5 2 3 5 105

C C C C C C C C C C  cách chọn sao cho số viên bi lấy ra không đủ cả 3 màu

Bài 3: Có 12 cây giống gồm 3 loại: xoài, mít, ổi trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít, 2

cây ổi Muốn chọn ra 6 cây giống để trồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra mỗi loại

Vậy theo quy tắc nhân có 15.6.1 = 90 (cách)

Bài 4: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu

trung bình và 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đƣợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi

đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

Lời giải:

Vì đề thi có 5 câu hỏi, phải đủ cả 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 nên

số câu hỏi dễ ít nhất là 2 và nhiều nhất là 3 Khi đó, có 3 khả năng xảy ra:

Gọi A là tập hợp cách chọn đề có 3 câu dễ, 1 câu khó, 1 câu trung bình

Gọi B là tập hợp cách chọn đề có 2 câu dễ, 2 cấu khó, 1 câu trung bình

Gọi C là tập hợp cách chọn đề có 2 câu dễ, 1 câu khó, 2 câu trung bình

Gọi D là tập hợp cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài ra

Vậy có 56875 cách chọn đề kiểm tra thỏa mãn bài toán

Bài 5: <Hoạt động 2, trang 52 SGK Đại số & Giải tích nâng cao 11>

Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người

và 6 đề tài về văn hóa Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?

Lời giải:

Nếu chọn đề tài về lịch sử có 8 cách

Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách

Nếu chọn đề tài về con người có 10 cách

Nếu chọn đề tài về văn hóa có 6 cách

Theo qui tắc cộng, ta có 8+7+10+6=31 cách chọn

Vậy mỗi thí sinh có 31 khả năng lựa chọn đề tài

Bài 6: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau Trong đó có 5 cuốn sách

văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 em A, B, C, D, E, F Mỗi em 1 cuốn sao cho khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều c n lại ít nhất một cuốn Hỏi

Bài 7: Một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 4

viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ

cả 3 màu, biết rằng các viên bi là khác nhau?

Có C cách chọn 4 viên bi không có màu đỏ 8

C - 4 5

C - 4 5

C =105 cách chọn

Bài 8: <VD4 trang 53 SGK ĐS&GT nâng cao 11>

Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã tỉnh) có 6 ký tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một

số thuộc tập 1, 2, 3, , 9, mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {0,

1, …, 9} Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

Lời giải:

Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên

Tương tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ hai

Có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí c n lại

Theo quy tắc nhân, ta có:

26.9.10.10.10.10 = 2340000 (biển số xe)

Bài 9: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học

sinh lớp T, 4 học sinh lớp L, 3 học sinh lớp H Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh không thuộc quá 2 lớp trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Lời giải:

Gọi A là tập hợp mọi cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh

Gọi B là tập hợp cách chọn không thỏa mãn yêu cầu đề bài

Gọi C là tập hợp cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài 10: Có n nam và n nữ Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) 2n người ngồi quanh một bàn tr n

b) 2n người ngồi vào 2 dãy ghế đối diện sao cho nam nữ ngồi đối diện

Bài 11: Một người đi từ Thái Nguyên về Hà Nội và từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí

Minh Biết từ Thái Nguyên về Hà Nội có thể đi bằng ôtô, tàu hỏa, xe máy Từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh có thể đi bằng ôtô, tàu hỏa, xe máy, máy bay Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ Thái Nguyên đến thành phố Hồ Chí Minh Biết để đi từ Thái Nguyên đến thành phố Hồ Chí Minh phải đi qua Hà Nội?

Bài 12: Khi đến trường bạn Hoa có một trong hai cách chọn trang phục sau: Mặc bộ

trang phục gồm: Một quần trắng và một áo dài hoặc bộ gồm một quần tây xanh và một

áo sơ mi Biết bạn Hoa có 5 quần trắng, 6 áo dài, 4 áo sơ mi và 3 quần tây xanh Hỏi bạn Hoa có bao nhiêu bộ trang phục?

Bài 13: Số điện thoại di dộng của mạng Vinaphone gồm 10 chữ số Hỏi có tối đa bao

nhiêu thuê bao di động biết bốn chữ số đầu là 0914?

Bài 14: Hỏi có bao nhiêu cách để xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh vào một bàn dài có 4

chỗ?

Bài 15: Trong một ph ng học có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn sắp

xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu:

a) Các học sinh ngồi tùy ý

b) Các học sinh nam ngồi một bàn, các học sinh nữ ngồi một bàn

Bài 16: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài có 5 chỗ sao cho:

a) Bạn C ngồi chính giữa

b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế

Bài 17: <Ví dụ 3, tr 53 sách giáo khoa Đại số & Giải tích nâng cao 11>

An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có

4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi tới nhà Cường?

Bài 18: <Ví dụ 2, tr 52 sách giáo khoa Đại số & Giải tích nâng cao 11>

Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ôtô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay Hỏi mỗi ngày có bao nhiêu sự lựa chọn phương tiện để đi từ tỉnh A đến tỉnh B?

Bài 19: Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 4 nam và 3 nữ thành một hàng dọc soa cho:

a) Nam, nữ tùy ý

b) Nam, nữ xen kẽ

Bài 20: Có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý, 6 quyển sách Hoá Hỏi có bao nhiêu

cách xếp chúng vào cùng một kệ sách sao cho:

a) Chúng được xếp tùy ý

b) Những quyển cùng môn thì được xếp cạnh nhau

Bài 21: Trong cuộc họp Thượng đỉnh các nước công nghiệp phát triển G7 Mỗi nước

có 3 đại diện tham gia, riêng nước Nga được mời và Nga có 2 đại diện Những người chung quốc tịch thì ngồi chung với nhau

a) Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi thành một hàng?

b) Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi quanh một bàn tr n?

Bài 22: Trong một tủ sách có tất cả 10 quyển sách Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao

cho:

a) Quyển sách thứ nhất luôn xếp cạnh quyển thứ hai

b) Quyển sách thứ nhất không xếp cạnh quyển sách thứ hai

Bài 23: <Ví dụ 3, tr 57 sách giáo khoa Đại số & Giải tích nâng cao 11>

Có 18 đội bóng tham gia thi đấu Hỏi có bao nhiêu cách trao ba loại huy chương vàng, bạc, đồng cho ba đội nhất, nhì, ba Biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận được một huy chương vàng và đội nào cũng có thể đoạt huy chương?

Bài 24: Có bao nhiêu cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ để đá bóng luân lưu 11m, biết

rằng cả 11 cầu thủ (kể cả thủ môn) đều có khả năng như nhau?

Bài 25: Có 20 đội bóng tham gia thi đấu Thể lệ cuộc thi là bất kỳ 2 đội bóng nào cũng

chỉ gặp nhau một lần Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

Bài 26: Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi Mỗi ph ng thi chỉ cần 2 giám khảo Hỏi có

bao nhiêu cách ghép 6 thầy giáo thành đôi để hỏi thi?

Bài 27: Một tổ gồm 6 nam và 4 nữ Có bao nhiêu cách chọn một ban đại diện gồn 5

người sao cho:

a) Không phân biệt nam, nữ

b) Có đúng 2 nữ

c) Có nhiều nhất 3 nữ

Bài 28: Một lớp có 20 học sinh gồm 10 nam và nữ Có bao nhiêu cách chọn một ban

cán sự gồm 6 người sao cho:

a) Số nam nữ bằng nhau

b) Có ít nhất 4 nam

c) Có 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 4 ủy viên

Bài 29: Một lớp có 30 học sinh gồm 18 nam và 12 nữ Có bao nhiêu cách chọn một

ban cán sự gồm 5 người sao cho:

a) Mọi người đều vui vẻ tham gia

b) Bạn Tâm và bạn Nhi không thể dời nhau

c) Bạn Sang, bạn Quyên không thể làm việc chung với nhau

Bài 30: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 5 nhà toán học, 6 nhà vật lý, 7 nhà hoá học

Chọn ra 4 người đi dự hội thảo khoa học Có bao nhiêu cách chọn nếu:

a) Phải có đủ 3 bộ môn

b) Có nhiều nhất một nhà toán học và có đủ 3 bộ môn

Bài 31: Một hộp đựng 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng Lấy ngẫu nhiên 3

bóng đèn (không kể thứ tự) ra khỏi hộp Có bao nhiêu cách lấy để có 1 bóng đèn bị hỏng?

Bài 32: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4

viên từ hộp bi đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ 3 màu?

Bài 33: Một người muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bó hoa để cắm vào một bình hoa Biết

bó thứ nhất có 10 bông hồng, bó thứ hai có 6 bông thược dược, bó thứ tư có 4 bông cúc

a) Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn?

b) Nếu người đó muốn chọn đúng 2 bông hoa hồng, 2 bông thược dược và 2 bông cúc thì người đó có bao nhiêu cách chọn?

Bài 34: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nahu Người ta muốn chọn ra từ

đó 3 tem thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn Mỗi bì chỉ dán một tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?

Bài 35: Một bộ bài có 52 quân trong đó có 4 quân át

a) Có bao nhiêu cách rút 3 quân bài trong 52 quân?

b) Có bao nhiêu cách rút 3 quân trong đó có đúng một quân át?

Bài 36: Một lớp có 50 học sinh được chia thành 5 tổ Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ? Bài 37: Trong một kỳ thi một học sinh phải trả lời 7 câu trong 10 câu hỏi

a) Có bao nhiêu cách chọn nếu 4 câu đầu là bắt buộc?

b) Nếu chọn tùy ý?

Bài 38: <Bài tập 2.5, trang 62 sách bài tập Đại số & Giải tích nâng cao 11>

Một đoàn tàu có 3 toa I, II, III chở khách toa Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp có 4 vị khách lên 3 toa?

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để 1 toa có 3 trong 4 vị khách đó?

Bài 39: Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5

người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và

có ít nhất 1 nữ Hỏi cso bao nhiêu cách lập tổ công tác?

Bài 40: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó Người

ta chọn ra 10 câu hỏi để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra?

Bài 41: Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ Từ hội

đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ?

Bài 42: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12,

6 em khối 11 và 5 em khối 10 Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn

Bài 43: Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5

học sinh khối C Chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C Tính số cách chọn

Bài 44: Một cửa hàng có 10 lon nước giải khát đôi một khác nhau dùng để bày hàng

Người ta xếp các lon đó thành hình quả núi, số lon từ hàng dưới cùng đến hàng trên cùng lần lượt là 4, 3, 2, 1 Hàng ngày người ta đổi vị các lon cho nhau sao cho không

có hai ngày bày như nhau Hỏi bắt đầu từ ngày 01-01-2000 thì có thể tiến hành đến ngày nào?

Bài 45:

a) Tính số hoán vị v ng quanh của n phần tử khác nhau

b) Một hội nghị bàn tr n có phái đoàn của các nước: Anh 3 người, Nga 5 người, Mỹ 2 người, Pháp 3 người, Trung Quốc 4 người Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tich thì ngồi cạnh nhau?

2.3.1.2 Những bài toán thực tiễn của tổ hợp liên quan đến thành lập số từ các số cho trước

Bài 46: Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số có chứa chữ số 5?

6, 7, 8, 9 và trong mỗi số các chữ số có thể lặp lại)

+ Số lượng cần tìm chính là hiệu của hai kết quả trên

- Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm ta có 9 cách chọ chữ số hàng chục (chọn một trong các chữ số khác chữ số 5)

- Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm ta có 9 cách chọ chữ số hàng đơn vị (chọn một trong các chữ số khác chữ số 5)

Ta có số lượng các số có ba chữ số không chứa chữ số 5 là :

8 x 9 x 9 = 648 (số) Vậy số các số gồm ba chữ số có chứa chữ số 5 là:

900 – 648 = 252 (số)