Phát triển tư duy hàm của học sinh lớp 10 trung học phổ thông trong khi dạy học hàm số, phương trình và bất phương trình

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN TỪ VIẾT TẮT ĐƢỢC HIỂU LÀ SGK Sách giáo khoa GV Giáo viên HS Học sinh VD Ví dụ HĐ Hoạt động TDH Tƣ hàm PT Phƣơng trình BPT Bất phƣơng trình BĐT Bất đẳng thức BBT Bảng biến thiên TXĐ Tập xác định ĐK Điều kiện KN Khả Tr Trang PTTH Phổ thông trung học TNSP Thực nghiệm sƣ phạm HDG Hƣớng dẫn giải i MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận .3 Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ TƢ DUY HÀM VÀ THỰC TIẾN SƢ PHẠM 44 1.1 Lịch sử phát triển, vị trí tầm quan hàm tốn học mơn tốn trƣờng phổ thơng 1.1.1 Sơ lƣợc lịch sử hình thành phát triển khái niệm hàm số 1.1.2 Quá trình hình thành phát triển khái niệm hàm số chƣơng trình sách giáo khoa mơn Tốn trƣờng phổ thông Việt Nam nay…………… 1.1.3 Vị trí tầm quan trọng hàm số Tốn học mơn tốn trƣờng phổ thơng 16 1.2 Tƣ hàm biện pháp chủ đạo nhằm phát triển tƣ hàm cho học sinh 17 1.2.1 Khái niệm tƣ hàm 17 1.2.2 Mối quan hệ tƣ hàm với tƣ biện chứng, tƣ lơgic hình thức tƣ thuật toán 18 1.2.3 Những biện pháp chủ đạo việc hình thành phát triển tƣ hàm cho HS cấp III nói chung HS lớp 10 nói riêng 19 1.2.4 Thực trạng bồi dƣỡng tƣ hàm cho HS lớp 10 trƣờng THPT 24 KẾT LUẬN CHƢƠNG I 26 Chƣơng PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM CỦA HỌC SINH LỚP 10 TRONG KHI DẠY HỌC HÀM SỐ, PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH 27 2.1 Phát triển tƣ hàm qua loại tốn phƣơng trình 27 2.1.1 Bài tốn phƣơng trình 27 2.1.2 Bài tốn phƣơng trình 29 2.1.3 Bài toán phƣơng trình 39 2.1.4 Bài toán phƣơng trình 42 2.2 Phát triển tƣ hàm qua loại tốn bất phƣơng trình 49 2.2.1 Bài tốn bất phƣơng trình 49 ii 2.2.2 Bài tốn bất phƣơng trình 69 2.2.3 Bài tốn bất phƣơng trình 73 2.3 Phát triển tƣ hàm qua loại tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 78 2.3.1 Bài toán giá trị lớn giá trị nhỏ 78 2.3.2 Bài toán giá trị lớn giá trị nhỏ 91 KẾT LUẬN CHƢƠNG 97 Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 98 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 98 3.1.1 Mục đích 98 3.1.2 Nhiệm vụ: 97 3.2 Nội dung thực nghiệm 98 3.3 Phƣơng pháp thực nghiệm 98 3.4 Tiến trình tổ chức thực 100 3.5 Các đề kiểm tra thực nghiệm sƣ phạm 100 3.6 Kết kiểm tra thực nghiệm sƣ phạm 102 3.7 Nhận xét kết thực nghiệm 103 KẾT LUẬN CHƢƠNG 104 KẾT LUẬN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Hàm khái niệm quan trọng toán học đại toán học dạy trƣờng phổ thơng “Tƣ tƣởng hàm xun suốt chƣơng trình mơn tốn trƣờng phổ thơng, thể qua chƣơng trình giảng dạy, học tập, gồm: hệ thống số, biến đổi đồng nhất, hàm số cụ thể, PT BPT, kể hình học” [2] “Những hiểu biết hàm vận dụng nội dung quan trọng yếu tố văn hoá toán học, ngƣời lao động mới” [4] Vì hiểu biết vận dụng thành thạo cung cấp cho HS cơng cụ sắc bén để nghiên cứu số quy luật giới khách quan với đối tƣợng luôn biến đổi 1.2 Đến lớp 10, khái niệm hàm hàm số nói riêng đƣợc xây dựng tƣơng đối hồn chỉnh chƣơng trình SGK: từ định nghĩa hàm đến biến thiên hàm số, tính chẵn lẻ hàm số, đồ thị hàm số, cách cho hàm số… Sau chƣơng trình SGK Đại số 10 trình bày việc sâu vào nghiên cứu hai hàm số cụ thể, là: §2 Hàm số y = ax + b §3 Hàm số y = ax2 + bx + c (chƣơng II - SGK) 1.3 Thực tiễn giảng dạy lớp 10 cho thấy, sau dạy xong chƣơng II- Hàm số, đến chƣơng III - PT BPT bậc chƣơng IV - PT BPT bậc hai, nhiều nơi, có nhiều GV “bỏ qn” ln hàm số Cụ thể GV dạy chƣơng III chƣơng IV với cơng thức nghiệm, thuật tốn giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, chứng minh BĐT…, tách biệt hồn tồn với hàm số Do HS “bỏ qn” ln hàm số bƣớc vào học chƣơng III chƣơng IV Điều vừa tạo ngăn cách giả tạo chƣơng SGK Đại số 10, vừa làm cho HS phƣơng thức tƣ sắc bén để “ứng xử” với nhiều tập Nếu HS hiểu rõ khái niệm hàm số, có ý thức vận dụng hiểu biết tính chất hàm số học (bậc bậc hai) biết cách vận dụng để giải toán từ đơn giản đến phức tạp, HS tiệm tiến đến tƣ tƣ hàm Ngƣợc lại, nhờ có TDH mà nhiều vấn đề, tốn lớp 10 có đƣợc đƣờng lối cách giải nhanh chóng, rõ ràng, chặt chẽ Đây sức mạnh TDH biểu cụ thể, sinh động tƣ biện chứng Nhận định đƣợc chứng minh gián tiếp cụ thể qua hệ thống vấn đề, tốn nêu khóa luận, nhận định khơng phải đề tài khóa luận 1.4 Thực tiễn giảng dạy học tập môn Đại số 10 đặt nhu cầu là: Làm để phá bỏ đƣợc ngăn cách giả tạo chƣơng chƣơng trình Đại số 10 ? Làm để hàm số không bị “bỏ quên” dạy học chƣơng III IV: PT BPT bậc nhất, bậc hai ? Làm để HS thấy đƣợc có TDH “sức mạnh” để HS hứng thú tiếp nhận, tự bồi dƣỡng phát triển TDH ? Đó lý dẫn đến việc chọn đề tài nghiên cứu: Phát triển tư hàm học sinh lớp 10 trung học phổ thông dạy học hàm số, phương trình bất phương trình Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Hệ thống hoá nội dung dạy học hàm số, phƣơng trình bất phƣơng trình thuộc chƣơng trình Đại số 10 có khả phát triển tƣ hàm học sinh 2.2 Để đạt đƣợc mục đích nghiên cứu, khóa luận có nhiệm vụ trả lời câu hỏi khoa học sau đây: - Tƣ hàm ? phát triển TDH lại lớp 10? - Có biện pháp chủ đạo mơn Tốn đủ để hình thành phát triển TDH học sinh ? - Hệ thống tốn phƣơng trình Đại số 10 ngầm ẩn khả phát triển TDH ? - Hệ thống tốn bất phƣơng trình Đại số 10 ngầm ẩn khả phát triển TDH ? - Hệ thống toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đại số 10 ngầm ẩn khả phát triển TDH ? Giả thuyết khoa học Nếu tiến hành dạy học hàm số, phƣơng trình, bất phƣơng trình cho học sinh lớp 10 THPT tồn hệ thống nội dung hàm số, phƣơng trình bất phƣơng trình đƣợc phân bậc, đƣợc đề xuất từ quan điểm hoạt động, có khả phát triển TDH học sinh từ lớp 10 Phƣơng pháp nghiên cứu 4.1 Nghiên cứu lý luận Các SGK, sách báo chuyên đề bồi dƣỡng nâng cao Đại số 10, sách báo phƣơng pháp giảng dạy mơn tốn, sách báo rèn luyện phát triển tƣ cho HS dạy học mơn tốn 4.2 Điều tra - Thực trạng giảng dạy Đại số 10 với chủ đề hàm GV số trƣờng THPT - Thực trạng học tập Đại số 10 HS số lớp trƣờng THPT Triệu Sơn 4.3 Tổng kết kinh nghiệm - Sƣu tầm vấn đề, tập liên quan đến phát triển TDH cho HS lớp 10 từ sách báo đồng nghiệp - Sàng lọc, phân loại vấn đề, tập sƣu tầm đƣợc - Dùng lý luận TDH soi sáng 4.4 Thực nghiệm sƣ phạm: Trực tiếp dạy phối hợp với bạn đồng nghiệp dạy kiểm tra HS trƣờng THPT Triệu Sơn Cấu trúc khóa luận Khóa luận ngồi phần mở đầu, phần kết luận thƣ mục tài liệu tham khảo, gồm có ba chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận tƣ hàm thực tiễn sƣ phạm Chƣơng 2: Phát triển tƣ hàm học sinh lớp 10 dạy học hàm số, phƣơng trình bất phƣơng trình Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ TƢ DUY HÀM VÀ THỰC TIẾN SƢ PHẠM 1.1 Lịch sử phát triển, vị trí tầm quan hàm toán học mơn tốn trƣờng phổ thơng 1.1.1 Sơ lược lịch sử hình thành phát triển khái niệm hàm số 1.1.1.1 Lịch sử hình thành phát triển a Thời cổ đại Khoảng 2000 đến 1000 năm trƣớc công nguyên, nhà toán học Babylon sử dụng rộng rãi bảng bình phƣơng, bảng bậc hai, bảng lập phƣơng, bảng bậc ba hệ thập phân Ngƣời Hy Lạp thiết lập bảng sin Những bảng xuất chủ yếu từ nhu cầu giải vấn đề Tốn học (đo đạc hình học, nghiên cứu đƣờng cong, …) hay ngành khoa học tự nhiên: Vật lí, Thiên văn học, … Thuật ngữ “Hàm số” chƣa đƣợc xuất thời kì Ở thấy “phụ thuộc” hai đại lƣợng, đặc tính phụ thuộc khơng xuất tƣờng minh b Thời trung đại Ngƣời ta tiếp tục nghiên cứu phụ thuộc hai đại lƣợng, đặc biệt đại lƣợng có liên quan đến chuyển động nhƣ: vận tốc, thời gian, chủ yếu mặt định tính cách mơ tả chiều biến thiên nhƣng không tới quan hệ số lƣợng Mặt định lƣợng đƣợc đề cập vào cuối thời kì trung đại, cách mô tả vài giá trị tách rời tƣợng Tính phụ thuộc đại lƣợng đƣợc mô tả lời, nhƣng chủ yếu đƣợc mô tả bảng số (nhƣ thời cổ đại) hình hình học Nhƣ thời trung đại xuất (một cách chƣa rõ ràng) đặc trƣng biến thiên hai đại lƣợng phụ thuộc đƣợc biểu diễn hình hình học Điều đánh dấu bƣớc tiến khái niệm hàm số với tƣ cách biến phụ thuộc Tuy nhiên thân thuật ngữ “biến thiên” khái niệm biến chƣa xuất cách rõ ràng c Thế kỷ 16 - 17 Trong giai đoạn này, việc gia tăng mạnh mẽ phép tính tốn học đặc biệt đời kí hiệu chữ đóng vai trò định phát triển sau khái niệm hàm số Đề-các (1596 - 1650) ngƣời nêu lên cách rõ ràng phụ thuộc lẫn hai đại lƣợng biến thiên “Bằng cách lấy lần lƣợt vô hạn đại lƣợng khác đƣờng x, ta có vô hạn đại lƣợng khác đƣờng y Nhƣ ta có vơ hạn điểm khác nhau, nhƣ điểm đƣợc đánh dấu c, nhờ vào ta mơ tả đƣợc đƣờng cong mong muốn” Trong mô tả Đề-các, ta thấy yếu tố chủ yếu khái niệm hàm số diện rõ ràng Những “đƣờng x”, “đƣờng y” biến: Giá trị chúng phụ thuộc lẫn Tuy nhiên thuật ngữ “hàm số”, “phụ thuộc”, “biến thiên” chƣa xuất tƣờng minh Ngƣời dùng thuật ngữ “functio” - danh từ “hàm số” - nhà tốn học ngƣời Đức Leibniz Ơng dùng thuật ngữ từ 8/1673 thảo Nhƣng định nghĩa tƣờng minh hàm số chƣa xuất Cho đến đầu kỉ 17, hàm số gắn liền với biểu diễn hình học Cuối kỉ 17, đặc trƣng biến thiên khái niệm hàm số đƣợc đặc biệt nhấn mạnh hàm số đặc tính học hình học Đặc trƣng tƣơng ứng diện ngầm ẩn d Thế kỷ 18 Đây giai đoạn chuyển việc biểu diễn tƣơng quan hàm số từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích Năm 1718, Bec-nu-li định nghĩa: “Hàm số biến lƣợng biểu thức giải tích gồm biến lƣợng đại lƣợng không đổi” Năm 1748, Đa-lăm-be định nghĩa: “Hàm số biểu thức Giải tích” Năm 1755, Ơle định nghĩa: “Khi đại lƣợng phụ thuộc vào đại lƣợng khác cho thay đổi đại lƣợng thứ hai kéo theo thay đổi đại lƣợng thứ đại lƣợng thứ gọi hàm số đại lƣợng thứ hai” e Nửa đầu kỉ 19 Đầu kỉ 19, ngƣời ta nhận chủ yếu định nghĩa hàm số biểu thức giải tích mà tƣơng ứng Đi-rich-lê (1805 - 1859) định nghĩa: “ y hàm số x với giá trị x, tƣơng ứng với giá trị hồn tồn xác định y Cịn tƣơng ứng đƣợc thiết lập cách điều khơng quan trọng” [2] Ơng nêu ví dụ tiếng mà sau ta gọi hàm số Đi-rich-lê: y = D(x) = x số h ữ u tỉ x số vô tỉ nh ngha ny cho thy, c trƣng “tƣơng ứng” đƣợc đƣa lên hàng đầu Các đặc trƣng phụ thuộc biến thiên diện ngầm ẩn Tuy nhiên cần phải nhấn mạnh: chúng diện ngầm ẩn bị loại bỏ Hàm số thời kì đƣợc biểu diễn bảng, đồ thị, công thức tổng quát hơn, phƣơng tiện cho phép xác định tƣơng ứng hai đại lƣợng f Cuối kỉ 19 kỉ 20 Cuối kỉ 19, đầu kỉ 20 có đời “Lý thuyết tập hợp” Canto (1845 - 1918), tốn học có nhiều chuyển biến sâu sắc Khái niệm hàm đòi hỏi phải mở rộng để áp dụng khoa học thực tiễn Đến giai đoạn ngƣời ta định nghĩa hàm số dựa vào “Lý thuyết tập hợp”, coi hàm số nhƣ quy tắc tƣơng ứng hay quan hệ phần tử hai tập hợp thỏa mãn số điều kiện Thời kì hàm số đƣợc biểu diễn dƣới nhiều dạng khác nhau: Biểu đồ Ven, bảng, đồ thị, công thức, cặp phần tử 1.1.1.2 Một số nhận xét a Về đặc trưng Hàm số có ba đặc trƣng “phụ thuộc, biến thiên, tƣơng ứng” Xét qua lịch sử hình thành khái niệm hàm số, có ba giai đoạn sau: Giai đoạn cổ đại trung đại: Trong giai đoạn này, ba đặc trƣng “phụ thuộc”, “biến thiên” “tƣơng ứng” diện, nhƣng ngầm ẩn qua bảng số sau qua hình hình học Giai đoạn cịn gọi giai đoạn ngầm ẩn Giai đoạn kỉ 16 - 17: Trong ba đặc trƣng nêu, đặc trƣng “biến thiên” diện cách tƣờng minh đặc biệt nhấn mạnh Đặc trƣng “phụ thuộc” đƣợc lƣu ý nhƣng rõ ràng Đặc trƣng “tƣơng ứng” diện cách ngầm ẩn Giai đoạn gọi giai đoạn bán tƣờng minh Giai đoạn từ kỉ 18 đến cuối kỉ 20: Hầu hết định nghĩa khái niệm hàm số giai đoạn này, đặc trƣng “tƣơng ứng” đƣợc nhấn mạnh Hai đặc trƣng lại diện cách ngầm ẩn Giai đoạn gọi giai đoạn tƣờng minh b Về phương tiện biểu diễn Giai đoạn cổ trung đại: Hàm số đƣợc biểu diễn bảng, hình hình học đƣờng cong hình học Giai đoạn từ kỉ 16 đến kỉ 17: Hàm số đƣợc biểu diễn chủ yếu biểu thức giải tích Giai đoạn từ kỉ 18 đến cuối kỉ 20: Hàm số đƣợc biểu diễn bảng, đồ thị, biểu thức giải tích,… 1.1.2 Q trình hình thành phát triển khái niệm hàm số chương trình sách giáo khoa mơn Tốn trường phổ thơng Việt Nam Khái niệm hàm số đƣợc đƣa vào chƣơng trình SGK trƣờng phổ thơng gồm hai giai đoạn: - Giai đoạn ngầm ẩn (trƣớc lớp 7) - Giai đoạn tƣờng minh (từ lớp đến lớp 12) 1.1.2.1 Giai đoạn ngầm ẩn - trước lớp Bậc Tiểu học Ở lớp 1, thông qua chủ đề liên quan đến trình hình thành khái niệm số, SGK có ý đồ ngầm hình thành cho HS quan niệm “tƣơng ứng” phần tử tập hợp đồ vật, “sự tƣơng ứng” số lƣợng phần tử tập hợp hữu hạn với số số lƣợng Cũng nhƣ vậy, khái niệm “ít hơn”, “nhiều hơn” đƣợc xây dựng nhờ x 2y m với 2x y m 11 m Hãy tìm biểu thức: A = x2 + y2 + m2 Hƣớng dẫn giải HĐ2 - Phát hiện, thiết lập: x 2y m 2x y m 11 Có hệ điều kiện x m y m Thay: A = (6 - m)2 + (m - 1)2 + m2 = 3m2 - 14m + 17 Đặt f(m) = 3m2 - 14m + 17 Vậy cần tìm m [3; 5] để f(m) đạt HĐ3 - Nghiên cứu: b 2a Xét hàm số bậc hai f(m), có BBT: m - + + + f(m) HĐ4 - Lợi dụng: Căn vào BBT f(m) = 22 m = Vậy A = 22 m = x = 3; y = Lời bàn: Bài khơng địi hỏi thuật toán lắt léo, lời giải đơn giản, cần TDH dẫn đƣờng; coi A phải hàm số m Bài 1(57): Cho phƣơng trình: 3x2 - 2x + 4m - = Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm x1; x2 cho biểu thức: E = x13 + x23 đạt min? đạt max? Hƣớng dẫn giải 92 HĐ2 - Phát hiện, thiết lập: Sẽ có điều kiện m để phƣơng trình có nghiệm x1; x2 Quan hệ tƣơng ứng m với biểu thức E ngầm ẩn qua PT đầu Điều kiện cần đủ để phƣơng trình có nghiệm x1; x2 ’ - 3(4m - 1) m x1 x Áp dụng hệ thức Viét, ta có: x1 x x13 x 23 4m 4m 27 3 (x1 x )3 3x1x (x1 x ) 26 72m 27 HĐ3 - Nghiên cứu: 26 72m 27 Xét hàm số f(m) = 26 m ; m 27 ; hàm số bậc biến m Có BBT: m - + + f(m) 27 HĐ4 - Lợi dụng: Căn vào BBT E = f (m) f ( ) ; m 27 khơng có max f(m), tức khơng có max E Lời bàn: Bài khơng khó Lỗi HS hay mắc phải tính ln E = x13 x 23 26 72m , quên điều kiện  27 khơng có max E E 93 Rồi từ kết luận Bài thích hợp cho chƣơng IV - Phƣơng trình bậc hai, SGK Đại sơ 10 Bài 2(58): Cho phƣơng trình: 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + = 0(1) a) Tìm điều kiện m để phƣơng trình có hai nghiệm x1; x2 b) Tìm max biểu thức: E = |x1 + x2 + 3x1x2| Hƣớng dẫn giải HĐ2 - Phát hiện, thiết lập: ĐK để phƣơng trình (1) có nghiệm x1; x2  2 m - m2 - 4m - 0 (là đáp số câu a) Quan hệ m biểu thức E ngầm ẩn qua phƣơng trình (1) Áp dụng x1 x hệ thức Viét, ta có: x1x m m | 3m2 10m | E 4m HĐ3 - Nghiên cứu: Xét HS: f(m) = 3m2 + 10m + |f(m)|, m có b 2a ; 4a 2; 2 = T 10 Ta có BBT: m - 2 10 3 10 2 + + + 10 f(m) + + 2 10 |f(m)| 3 2 0 94 HĐ4 - Lợi dụng: Căn vào BBT max | f (m) | 2 T max E = 3+2 m 2 x y m Tìm m để hệ có nghiệm xy m Bài 3(59): Cho hệ phƣơng trình: (x0; y0) biểu thức E = x02 + y02 đạt max? đạt min? Hƣớng dẫn giải HĐ2 - Phát hiện, thiết lập: Hệ phƣơng trình cho có dạng hệ thức Viét (x0; y0) nghiệm phƣơng trình ẩn u sau: u2 - (m + 1)u + - m = (3) Điều kiện cần đủ để hệ có nghiệm (x0; y0) PT (3) có nghiệm u1; u2  = (m + 1)2 - 4(3 - m) m 20 m 20 Có E = x02 + y02 = (x0 + y0)2 - 2x0y0 = (m + 1)2 - 2(3 - m) = m2 + 4m - Đặt f(m) = m2 + 4m - HĐ3 - Nghiên cứu: Xét hàm số f(m), với m có b 2a ; 20 = T, 20; BBT: m - -3 - 20 -2 -3 + + f(m) + 20 + 12 20 12 20 HĐ4 - Lợi dụng: Căn vào BBT f (m) 12 20 m T khơng có max E 95 20 E 12 20 Lời bàn: Bài không khó Lỗi HS hay phạm phải tính ln E = x02 + y02 = m2 + 4m - 5, qn khơng tìm điều kiện m để hệ phƣơng trình có nghiệm Từ HS đến kết sai Bài thích hợp cho chƣơng IV, §2 - Hệ phƣơng trình bậc hai, SGK Đại số 10 x y 2m Bài 4(60): Cho hệ phƣơng trình: x2 y2 m2 4m (*) Gọi (x0; y0) nghiệm hệ phƣơng trình Tìm m để biểu thức E = x0y0 đạt max? đạt min? Hƣớng dẫn giải HĐ2 - Phát hiện, thiết lập: Cần phải có điều kiện m để hệ phƣơng trình có nghiệm (x0; y0) mà đầu cố tình khơng nêu Quan hệ tƣơng ứng m E ngầm ẩn qua hệ phƣơng trình (*) x y 2m x y 2m Hệ phƣơng trình (x y) 2xy m 4m xy Hệ phƣơng trình có dạng hệ thức Viét 3m2 nghiệm (x0; y0) hệ nghiệm phƣơng trình ẩn u sau: 3m2 u - (2m + 1)u + = (3) 2 Điều kiện để hệ phƣơng trình có nghiệm (x0; y0) phƣơng trình (3) có nghiệm u1; u2  - 2m2 + 4m - 2 m 3m2 Có E = x0y0 = = f(m) HĐ3 - Nghiên cứu: Xét hàm số f(m), với m 2 96 2 ; 2 Có BBT: 2 m - 2 2 + + + 11 f(m) 11 HĐ4 - Lợi dụng: Căn vào BBT f (m) T 11- max f (m) T 11+ E m maxE m 2 2 KẾT LUẬN CHƢƠNG Các hội có đƣợc dạy học môn Đại số 10 nhằm phát triển TDH cho HS nhiều Ở chương III - Phương trình BPT bậc nhất, chương IV - PT BPT bậc hai tiềm ẩn nhiều hội nhƣ GV cần phải phát hội nhƣ HS tiếp cận Qua HS thấy rõ “sức mạnh” TDH, hứng thú với hoạt động TDH phát triển đƣợc TDH loại toán phƣơng trình; loại tốn BPT; loại toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cần đƣợc GV khéo léo lồng ghép vào chƣơng 2, chƣơng 3, chƣơng - SGK Đại số 10 97 Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.1 Mục đích: Nhằm kiểm nghiệm lại giả thuyết khoa học xem xét tính khả thi, tính hiệu phát triển TDH hệ thống tốn phân bậc phƣơng trình, bất phƣơng trình tìm giá trị lớn nhất, giá tri nhỏ nêu chƣơng 3.1.2 Nhiệm vụ: ● Biên soạn tài liệu thực nghiệm để hƣớng dẫn GV cách chuẩn bị thực dạy theo ý tƣởng khóa luận ● Đánh giá kết thực nghiệm theo hai mặt: - Tính khả thi (cách sử dụng, phạm vi sử dụng) - Tính hiệu ● Phân tích xử lí số liệu thực nghiệm phƣơng pháp thống kê (lớp thực nghiệm lớp đối chứng) mức độ hình thành phát triển TDH 3.2 Nội dung thực nghiệm Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm theo SGK [9], có tham khảo thêm SGK [16], với thời gian 10 tiết Cụ thể kế hoạch nhƣ sau: Chƣơng 2: Hàm số §3 - Hàm số bậc hai - tập- tiết Chƣơng 4: PT BPT bậc hai §3 - BPT bậc hai - tập- tiết §5 - Định lí đảo dấu tam thức bậc hai- tập- tiết 3.3 Phƣơng pháp thực nghiệm 3.3.1 Biên soạn tài liệu thực nghiệm dạy học: Biên soạn tài liệu TNSP dạy học 10 tiết lồng ghép vào chƣơng trình khố Đối với GV có ba phiếu giảng dạy: - Phiếu (4 tiết): Dùng để giảng dạy vào tập hàm số bậc hai Phiếu dạy ba buổi (1 tiết + tiết + tiết) - Phiếu (3 tiết): Dùng để giảng dạy vào tập BPT bậc hai Phiếu dạy hai buổi (2 tiết + tiết) 98 - Phiếu (3 tiết): Dùng để giảng dạy vào tập sau học xong định lí đảo dấu tam thức bậc hai Phiếu dạy hai buổi (2 tiết + tiết) Đối với HS có ba phiếu tập nhà phiếu có nội dung tƣơng ứng với ba phiếu giảng dạy GV GV giao tập nhà cho HS phiếu Buổi học sau GV kiểm tra kết làm nhà HS Nếu tập có từ 60% HS trở lên làm GV bỏ qua Ngƣợc lại GV phải chữa tập cho HS Tuy nhiên GV lƣờng trƣớc có nhiều HS làm đáp số nhƣng cách làm dài dịng khơng phƣơng pháp TDH GV khơng bỏ qua mà phải lợi dụng hội để sửa lại lời giải Từ đề cao phƣơng pháp TDH 3.3.2 Trao đổi với GV đƣợc nhờ dạy thực nghiệm để họ hiểu đƣợc ý tƣởng thực nghiệm dạy theo ý tƣởng Ngồi ra, cịn đƣa thảo hệ thống tập nhằm hình thành phát triển TDH cho HS đến tận tay GV dạy thực nghiệm Hệ thống tập đƣợc phân bậc lồng ghép vào SGK nhƣ sau: Chƣơng II (SGK) lồng ghép: §1 - Hàm số, có bài: 11; 15 §2 - Hàm số y = ax + b, có bài: 17; 36; 37; 48 §3 - Hàm số y = ax2 + bx + c, có bài: 13; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 26; 27; 41; 49; 50; 51; 52; 53; 54; 55; 56; 57; 58; 59; 60 Chƣơng III (SGK) lồng ghép: §2 - PT HPT bậc nhất, có bài: 58; 59 §3 - Bất đẳng thức, có bài: 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 14; 16; 52; 53; 54; 55 §4 - BPT bậc nhất, có bài: 34 §5 - Hệ BPT bậc nhất, có bài: 42 Chƣơng IV (SGK) lồng ghép: §1 - Phƣơng trình bậc hai, có bài: 1; 2; 3; 25; 60 §2 - Hệ phƣơng trình bậc hai, có bài: 58; 59 §3 - BPT bậc hai, có bài: 19; 26; 27; 28; 33; 34; 41; 43; 45 §4 - Hệ BPT bậc hai, có bài: 31; 32; 44; 46; 47 99 §5 - Định lí đảo dấu tam thức bậc hai, có bài: 28; 29; 30; 33; 34; 35; 38; 39; 40; 43; §6 - Phƣơng trình BPT quy bậc hai, có bài: 20; 21; 22; 23; 24; 35; 40 3.3.3 Ra đề kiểm tra, 25 phút - theo nội dung dạy phiếu 1, phiếu 2, phiếu 3.4 Tiến trình tổ chức thực Tiến hành tổ chức TNSP trƣờng THPT Triệu Sơn Chọn hai lớp trình độ tƣơng đƣơng nhau: chọn lớp 10A3 làm lớp thực nghiệm chọn lớp 10A4 làm lớp đối chứng, thầy Lê Xuân Bằng dạy Thời gian thực nghiệm từ tháng 2/2017 đến tháng 4/2017 Đề kiểm tra lần tất lớp nhƣ 3.5 Các đề kiểm tra thực nghiệm sƣ phạm ĐỀ KIỂM TRA SỐ Nội dung: Hàm số bậc hai Thời gian làm bài: 25 phút Câu 1: (6 điểm) a) Lập bảng biến thiên hàm số: y = (x - 2)|x + 1| + b) Biện luận theo tham số m số nghiệm phƣơng trình: (x - 2)|x + 1| = m Câu 2: (4 điểm) Tìm GTLN GTNN biểu thức: E = (x + 1)(x + 3)(x + 2)2 với x ∈[- 3; 1] Yêu cầu kiểm tra đề nhằm: Đánh giá kiến thức kỹ lập BBT hàm số bậc hai (câu 1a) Đánh giá khả biết lợi dụng BBT lập để biện luận theo m số nghiệm phƣơng trình có liên quan (câu 1b) Câu có ý nghĩa đánh giá mức độ hình thành phát triển TDH HS đến mức thể ở: - Khả biến đổi biểu thức cho biểu thức hàm số bậc hai - Biết lập BBT hàm số bậc hai đoạn 100 - Biết lợi dụng BBT để tìm max, ĐỀ KIỂM TRA SỐ Nội dung: Bất phƣơng trình bậc hai Thời gian làm bài: 25 phút Câu 1: (5 điểm) Tìm điều kiện m để BPT sau có nghiệm x: (m + 1)x2 - 2mx - m + < Câu 2: (5 điểm) Cho biểu thức: E = x + + |x2 - x - 12| Tìm max E E, với x ∊ [- 4; 6] Yêu cầu kiểm tra đề nhằm: Đánh giá kiến thức kỹ giải BPT bậc hai HS (câu 1) Câu có ý nghĩa đánh giá mức độ phát triển TDH HS Các thao tác TDH có trợ giúp thuật toán giải BPT bậc hai kỹ phá dấu giá trị tuyệt đối biểu thức ĐỀ KIỂM TRA SỐ Nội dung: Định lí đảo dấu tam thức bậc hai Thời gian làm bài: 25 phút Câu 1: (5 điểm) Tìm điều kiện m để PT sau vô nghiệm x: 2x - x - = m Câu 2: (5 điểm) Tìm điều kiện m để bất phƣơng trình sau: (x2 – 4x - 9)(x2 - 4x + - m) = nghiệm với x ∈ [3; 4] Yêu cầu kiểm tra đề nhằm: Câu câu giải hai cách: Cách 1: Có sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai 101 Cách 2: Không sử dụng định lí đảo mà dƣới dẫn đƣờng TDH tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ HS làm theo cách cách Qua GV đánh giá đƣợc mức độ hình thành phát triển TDH HS đến mức độ 3.6 Kết kiểm tra thực nghiệm sƣ phạm Kết điểm qua ba lần kiểm tra thực nghiệm (Bảng 1): Số HS đạt điểm Xi 10 ĐC n = 80 11 14 28 TN n = 82 12 39 16 ĐC n = 80 16 19 12 11 TN n = 82 13 18 34 10 ĐC n = 80 17 21 12 11 TN n = 82 10 27 22 10 13 10 Chú ý: + Lớp ĐC = Lớp đối chứng + Lớp TN = Lớp thực nghiệm Số liệu bảng đƣợc xử lí tốn thống kê nhằm làm bộc lộ chất kết thực nghiệm Sơ có tham số sau: Điểm trung bình cộng lớp ĐC (hoặc TN) lần kiểm tra là: X n 10 n i Xi i Phƣơng sai (S ): S = n 2 10 n i Xi X i Độ lệch chuẩn (S): Là đại lƣợng đánh giá độ phân tán dãy điểm thống kê quanh giá trị trung bình Độ lệch chuẩn đƣợc tính: S = 102 n 10 n i Xi i X Bảng so sánh kết điểm lần kiểm tra lớp đối chứng với lớp thực nghiệm Lần KT Tổng số Điểm Phƣơng Độ lệch KT trung sai S2 chuẩn S ĐC 80 6,5 X bình 2,83 1,68 TN 82 7,1 1,29 1,14 ĐC 80 6,3 2,91 1,71 TN 82 7,8 1,38 1,18 ĐC 80 6,0 2,42 1,56 TN 82 7,5 1,69 1,3 Lớp 3.7 Nhận xét kết thực nghiệm Về điểm trung bình cộng kiểm tra: X Ở ba kiểm tra thực nghiệm, điểm trung bình cộng X lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng Điểm trung bình cộng X lớp đối chứng có xu hƣớng giảm qua ba lần kiểm tra (từ 6,5 6,3 6,0), điểm trung bình cộng lớp thực nghiệm khơng có xu hƣớng giảm mà diễn biến quanh co (7,1 7,8 7,5) Điều chứng tỏ nhiều HS lớp đối chứng khơng có khơng phát triển TDH nên phải dùng lời giải dài dòng hiệu lực gặp phải tốn phức tạp cần có TDH Nhiều HS lớp thực nghiệm đƣợc phát triển TDH nên giải tốt đƣợc toán đề kiểm tra Sự chênh lệch điểm trung bình cộng X lớp thực nghiệm lớp đối chứng ngày tăng: Bài kiểm tra 1: XTN X §C 7,1 6,5 0,6 Bài kiểm tra 2: XTN X §C 7,8 6,3 1,5 Bài kiểm tra 3: XTN X §C 7,5 6,0 1,5 Điều chứng tỏ khoảng cách trình độ lớp TN lớp ĐC ngày tăng Có thể nhận định: 103  Trình độ TDH lớp ĐC đứng yên qua ba lần kiểm tra  Trình độ TDH lớp TN có bƣớc tiến lên đáng kể qua ba lần kiểm tra Về phƣơng sai độ lệch chuẩn: Phƣơng sai độ lệch chuẩn lớp ĐC qua ba lần kiểm tra cao lớp thực nghiệm Điều chứng tỏ: trình độ TDH HS lớp thực nghiệm đồng lớp đối chứng Kết có đƣợc q trình thực nghiệm, GV nhiều lần đặt HS vào tốn phát triển TDH yêu cầu HS giải tốn dƣới dẫn đƣờng TDH Việc GV cảnh báo cho HS khơng giải tốn cách dài dòng khác với đƣờng lối TDH, gián tiếp phát triển TDH cho HS lớp Vì đồng trình độ HS lớp TN phải cao lớp ĐC KẾT LUẬN CHƢƠNG Thực nghiệm sƣ phạm đƣợc làm cẩn thận cố gắng loại trừ nhiễu thông tin từ mơi trƣờng bên ngồi tác động vào lớp đối chứng lớp thực nghiệm (Dù biết khơng loại trừ hết đƣợc) Từ nói kết thực nghiệm đáng tin cậy Kết thực nghiệm chứng tỏ rằng: Việc hình thành phát triển TDH cho HS làm từ lớp 10 Hệ thống tập nêu chƣơng khóa luận (chạy dọc theo chƣơng trình SGK) đƣờng tốt để hình thành phát triển TDH cho HS 104 KẾT LUẬN Khóa luận thu đƣợc kết sau đây: - Khóa luận đƣa đƣợc sở lý luận thực tiễn đề tài Nghiên cứu, hệ thống lại quan điểm tƣ hàm, làm rõ hoạt động đặc trƣng tƣ hàm Bên cạnh đó, khóa luận nêu rõ phƣơng tiện biểu diễn hàm số ba giai đoạn lịch sử - Làm rõ q trình hình thành phát triển khái niệm hàm số chƣơng trình sách giáo khoa mơn Tốn trƣờng phổ thơng - Khóa luận xác định tƣờng minh khái niệm TDH sở phân tích ba nét đặc trƣng nó, phân tích mối quan hệ với tƣ lôgic tƣ biện chứng, đồng thời luận án nêu tóm tắt q trình phát triển khái niệm hàm, trình bày khái niệm hàm phát triển TDH trƣờng PT - Góp phần làm sáng tỏ thực trạng bồi dƣỡng tƣ hàm cho học sinh trƣờng phổ thông - Đƣa đƣợc sở khoa học để xậy dựng biện pháp sƣ phạm nhằm phát triển tƣ hàm cho học sinh - Đã đề xuất đƣợc biện pháp sƣ phạm góp phần phát triển tƣ hàm cho học sinh - Xây dựng đƣợc hệ thống tập, ví dụ nhằm minh họa khăc sâu phần lý luận nhƣ thực hành dạy toán theo quan điểm tƣ hàm trƣờng phổ thông - Tổ chức kiểm chứng sƣ phạm để bƣớc đầu kiểm tra tính khả thi hiệu biện pháp sƣ phạm đề xuất - Đề xuất số ý tƣởng việc dạy học tập, giảng cụ thể 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Thị Hồ Châu (2002) - “Lịch sử hình thành khái niệm hàm số” - Tạp chí THTT, số [2] Nguyễn Bá Kim (2004) - Phƣơng pháp dạy học môn toán - NXB Đại học Sƣ Phạm [3] Nguyễn Bá Kim (1998) - “Đảm bảo vai trò chủ đạo khái niệm hàm tồn chƣơng trình tốn học phổ thông” - GD cấp III - số [4] Trần Kiều (1998) - “Toán học nhà trƣờng u cầu phát triển văn hố tốn hak;jkghmk ¹eykle [5] Vƣơng Dƣơng Minh - Truyền thụ cho ngƣời học tri thức phƣơng pháp tƣ hàm - Tạp chí KHGD [6] Đinh Quang Minh - Vận dụng quan điểm hàm dạy học tốn lớp 10 phổ thơng nhằm phát triển kỹ giải toán cho học sinh - Luận án tiến sĩ giáo dục - Hà Nội 2004 [7] G.Polya - Toán học suy luận có lý - NXB Giáo dục - 1995 [8] G.Polya - Giải toán nhƣ - NXB Giáo dục - 1997 [9] Trần Thúc Trình - Đề cƣơng mơn học rèn luyện tƣ dạy học tốn - 2003 [10] Nguyễn Cảnh Toàn - Phƣơng pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học (Tập 1, 2) - NXB Đại học Quốc gia - 1997 [11] Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Tơn Thân - Khuyến khích số hoạt động trí tuệ học sinh qua mơn tốn trƣờng THCS - NXB Giáo dục - 1998 [12] Toán (Tập 1, 2) - NXB Giáo dục - 2003 [13] Đại số 10 - NXB Giáo dục - Sách chỉnh lí hợp năm 2000 [14] Đại số Giải tích 11 - NXB Giáo dục - Sách chỉnh lí hợp năm 2000 [15] Giải tích 12 - NXB Giáo dục - Sách chỉnh lí hợp năm 2000 [16] Đại số 10 (SGK thí điểm, ban KHTN, sách thứ hai) - NXB Giáo dục - 2003 106