Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học giải các bài toán bất đẳng thức

LỜI CẢM ƠN Trƣớc hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Trịnh Thị Lê Mai, giáo viên mơn hình học phƣơng pháp giảng dạy Toán khoa Khoa học Tự nhiên trƣờng đại học Hồng Đức tận tình giúp đỡ động viên để em hồn thành đề tài khóa luận Em trân trọng cảm ơn quý thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên trƣờng đại học Hồng Đức, mơn hình học phƣơng pháp giảng dạy Toán trang bị cho em kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành đề tài Em xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến ban giám hiệu, quý thầy cô trƣờng THPT Quảng Xƣơng tạo điều kiện giúp đỡ em thời gian thực tập thực nghiệm sƣ phạm để em hoàn thành tốt đề tài khóa luận Đây lần thực khóa luận nên khơng tránh khỏi sai xót kính mong đƣợc đóng góp tận tình q thầy bạn để đề tài đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! i BẢNG TỪ VIẾT TẮT Đƣợc hiểu Từ viết tắt GV Giáo viên HS Học sinh SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông BĐT Bất đẳng thức ii MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tƣợng nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Những đóng góp khóa luận Cấu trúc khóa luận CHƢƠNG 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VỀ TƢ DUY, TƢ DUY SÁNG TẠO VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN THPT 1.1 Tƣ 1.2 Tƣ sáng tạo 10 1.3 Một số thành tố đặc trƣng tƣ sáng tạo 13 1.4 Đặc điểm tƣ học sinh THPT vấn đề bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học toán bất đẳng thức 18 1.4.1 Đặc điểm tƣ học sinh THPT 18 1.4.2 Các dạng tốn bất đẳng thức góp phần phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh 22 1.5 Một số bất đẳng thức thƣờng đƣợc sử dụng chƣơng trình tốn THTP 26 1.6 Các phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức 30 1.7 Thực trạng dạy học giải toán bất đẳng thức trƣờng THPT yêu cầu phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh 37 Kết luận chƣơng 38 iii CHƢƠNG 2: MỘT SỐ GIẢI PHÁP PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH BẬC THPT THƠNG QUA DẠY HỌC GIẢI CÁC BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC 39 2.1 Một số ý dạy học toán bất đẳng thức 39 2.2 Một số định hƣớng xây dựng biện pháp 41 2.3 Một số giải pháp chủ yếu để rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh 41 2.3.1 Giải pháp 1: Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học 41 2.3.2 Giải pháp 2: Chú trọng bồi dƣỡng yếu tố cụ thể tƣ sáng tạo 42 2.3.3 Giải pháp 3: Bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả phát vấn đề khơi dậy ý tƣởng 49 2.3.4 Giải pháp 4: Bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cần kết hợp hữu với hoạt động trí tuệ khác 51 2.3.5 Giải pháp 5: Bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác từ toán gốc cho trƣớc 65 Kết luận chƣơng 71 CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 72 3.1 Mục đích thực nghiệm 72 3.2 Nội dung thực nghiệm 72 3.3 Tổ chức thực nghiệm 72 3.4 Phƣơng pháp thực nghiệm 72 3.5 Đánh giá kết thực nghiệm sƣ phạm 73 3.5.1 Cơ sở đánh giá kết sƣ phạm 73 3.5.2 Đánh giá kết qủa thực nghiệm 73 KẾT LUẬN 75 TÀI LIỆU THAM KHÁO 76 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hiện nay, Đảng nhà nƣớc ta xác định giáo dục quốc sách hàng đầu xem giáo dục công cụ mạnh tiến vào tƣơng lai Hội nghị lần thứ tƣ ban chấp hành trung ƣơng Đảng Cộng sản Việt Nam khóa VII ra: “Giáo dục đào tạo phải hƣớng vào đào tạo ngƣời lao động tự chủ, sáng tạo có lực giải vấn đề thƣờng gặp, qua góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nƣớc dân giàu, nƣớc mạnh, xã hội công bằng, dân chủ văn minh” Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học đƣợc xác định Nghị Quyết Trung ƣơng khóa VII (1-1993), Nghị Quyết Trung ƣơng khóa VIII (12-1996) đƣợc thể chế hóa Luật Giáo dục sửa đổi ban hành ngày 27/06/2005, điều 2, ghi: “Phƣơng pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Việc đổi phƣơng pháp dạy học mơn Tốn bậc học phổ thơng việc cấp thiết Qua lần cải cách sách giáo khoa, thấy rõ phƣơng châm Bộ Giáo dục Đào tạo đổi phƣơng pháp dạy học bậc THPT Điều đƣợc thể qua phân phối chƣơng trình (chƣơng trình đƣợc giảm tải nhiều) với yêu cầu cụ thể có kèm theo hƣớng dẫn giáo viên (thông qua sách hƣớng dẫn giáo viên) Từ yêu cầu giáo viên phải đổi phƣơng pháp dạy với đạo Ban Giám hiệu nhà trƣờng phổ thông theo thị Bộ, giáo viên môn bƣớc đổi phƣơng pháp dạy Đặc biệt phong trào sôi động việc ứng dụng công nghệ dạy học vào giáng dạy Vì cơng đổi hƣơng pháp dạy học giai đoạn đầu nên chƣa có thay đổi nhiều Do đòi hỏi ngƣời giáo viên cần nghiên cứu sâu sắc việc đổi “Đổi phƣơng pháp dạy học tất cấp, bậc học, áp dụng phƣơng pháp giáo dục bồi dƣỡng phát triển tƣ sáng tạo, lực giải vấn đề”[8,tr.25] Với mục tiêu hoạt động dạy học không dừng lại việc truyền thụ cho học sinh kiến thức, kĩ mà đặc biệt quan tâm đến việc hình thành phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh cách hiệu Việc phát triển lực tƣ sáng tạo cho HS học môn tốn có ảnh hƣởng trực tiếp đến chất lƣợng dạy học điều kiện tốt để HS tiếp thu kiến thức, rèn luyện kĩ vận dụng toán, tƣ tốn học phát triển địi hỏi phẩm chất trí tuệ khác phát triển theo Tiến hành hoạt động tƣ tốn học đƣa đến việc hình thành tri thức phƣơng pháp để xem xét, giải vấn đề mong muốn Đã có nhiều tài liệu nghiên cứu phát triển tƣ sáng tạo chẳng hạn nhƣ: Sáng tạo toán học, Toán học suy luận có lý, Tƣ hoạt động tốn học,… Tất cơng trình khẳng định cần thiết phải rèn luyện số lực tƣ sáng tạo cho HS Việc giải vấn đề liên quan đến toán bất đẳng thức chứa đựng nhiều tiềm phát triển tƣ cho HS, giúp HS rèn luyện cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo Giải toán bất đẳng thức giúp HS phát triển lực tìm tịi, khám phá, phát triển đƣợc lối tƣ logic, sáng tạo Điều hồn tồn có sở đắn, biết toán bất đẳng thức toán học ln địi hỏi học sinh phải có tƣ nhạy bén, linh hoạt, biết xử lí vận dụng kiến thức sẵn có vào giải tốn Bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng trƣờng phổ thơng, có mặt hầu hết mơn tốn sơ cấp: Số học, Đại số, Hình học, Lƣợng giác, Giải tích,… Qua thực thời gian thực tập trƣờng THPT với việc trao đổi chuyên mơn qua số GV, việc dạy học nói chung việc phát triển số yếu tố tƣ sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học toán bất đẳng thức đề cập đến nhƣng chƣa đƣợc sâu sắc số tồn nhƣ sau: Số lƣợng dạng toán phần bất đẳng thức đề cập hạn chế, nằm rải rác phận sách tham khảo, toán phần bất đẳng thức chủ đề tốn khó thƣờng hay xuất kỳ thi câu chốt lấy điểm 10 Do HS GV đƣợc đƣợc thƣờng xuyên tiếp cận với dạng tốn nói thực tế GV thờ việc thực dạy học chủ đề Giáo viên quan tâm đến chữa tập hồn thành mà chƣa khai thác tìm cách giải khác nhau; sáng tạo toán; đề xuất tốn mới; tìm lời giải độc đáo hay làm cho học sinh thấy mối liên hệ tốn gần nhau, có liên quan với nhau, xâu chuỗi chúng thành hệ thống dạng Điều dẫn đến việc giải toán bất đẳng thức HS tỏ lúng túng, chƣa đƣợc rèn luyện kỹ giải tốn, chƣa kích thích đƣợc ham mê tìm tịi khám phá HS, từ HS tiếp thu kiến thức cách hình thức hời hợt Việc tiến hành bồi dƣỡng cho đội ngũ HS giỏi chƣa đƣợc tiến hành cách thƣờng xuyên từ đầu Hơn nữa, hệ thống tập bất đẳng thức sách tham khảo đa dạng phong phú nhƣng rời rạc, thiếu liên kết với chủ đề, điều dẫn đến tình trạng GV HS thiếu hệ thống tài liệu tham khảo cho thật phong phú để phục vụ cho công tác dạy học Xuất phát từ lý chọn đề tài nghiên cứu: “ Phát triển lực tƣ sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học giải tốn bất đẳng thức.” Mục đích nghiên cứu - Đề xuất số biện pháp sƣ phạm góp phần phát triển tƣ sáng tạo cho HS bậc THPT qua dạy học giải toán bất đẳng thức Đối tƣợng nghiên cứu - Các toán bất đẳng thức trƣờng THPT - Phát triển lực tƣ sáng tạo cho học sinh THPT Giả thuyết khoa học Trên sở tôn trọng nội dung chƣơng trình SGK hành trƣờng THPT q trình dạy học giải tốn bất đẳng thức xây dựng đƣợc biện pháp thích hợp nhằm phát triển tƣ sáng tạo cho HS góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học toán trƣờng THPT Nhiệm vụ nghiên cứu - Làm rõ sở lí luận tƣ tƣ sáng tạo - Tìm hiểu thực trạng việc bồi dƣỡng phát triển tƣ cho học sinh trƣờng THPT thông qua dạy học giải toán bất đẳng thức - Xây dựng biện pháp nhằm bồi dƣỡng, phát triển tƣ sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải toán bất đẳng thức - Thực nghiệm sƣ phạm Phƣơng pháp nghiên cứu 6.1.Nghiên cứu lí luận - Nghiên cứu tài liệu giáo dục học mơn tốn, tâm lý học, phƣơng pháp dạy học tốn, tạp chí nghiên cứu giáo dục, văn kiện đại hội Đảng, giáo trình phƣơng pháp dạy học tốn,… - Tìm hiểu sách báo, viết khoa học tốn, cơng trình nghiên cứu liên quan trực tiếp đến đề tài 6.2 Điều tra khảo sát Khảo sát thực tiễn dạy học trƣờng phổ thông cách dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh, thăm dò ý kiến giáo viên 6.3 Thực nghiệm sƣ phạm - Tiến hành làm thực nghiệm sƣ phạm lớp học thực nghiệm lớp học đối chứng - Phân tích, xử lí kết thực nghiệm để so sánh kết thu đƣợc rút kết luận Những đóng góp khóa luận 7.1 Về mặt lí luận Góp phần làm sáng tỏ số vấn đề tƣ sáng tạo, đƣa số hƣớng tiếp cận để giải toán bất đẳng thức 7.2 Về mặt thực tiễn - Xây dựng số biện pháp sƣ phạm có tác dụng phát triển tƣ sáng tạo cho HS bậc THPT thơng qua giải tốn bất đẳng thức, đáp ứng yêu cầu đổi phƣơng pháp dạy học - Khóa luận làm tài liệu tham khảo cho HS GV dạy toán, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học tốn bất đẳng thức trƣờng THPT Cấu trúc khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo khóa luận cịn có chƣơng: Chƣơng 1: Một số vấn đề lí luận thực tiễn tƣ duy, tƣ sáng tạo toán bất đẳng thức chƣơng trình tốn THPT Chƣơng 2: Một số giải pháp bồi dƣỡng, phát triển tƣ sáng tạo cho HS bậc THPT thông qua dạy học giải toán bất đẳng thức Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm CHƢƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VỀ TƢ DUY, TƢ DUY SÁNG TẠO VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN THPT 1.1 Tƣ 1.1.1 Tƣ gì? Tƣ gì? Đây vấn đề thu hút quan tâm nhiều ngành khoa học nhiều nhà khoa học nghiên cứu Triết học nghiên cứu tƣ dƣới góc độ lý luận nhận thức Logic học nghiên cứu tƣ quy tắc tƣ Xã hội học nghiên cứu tƣ phát triển trình nhận thức chế độ xã hội khác Sinh lý học nghiên cứu chế hoạt động thần kinh cao cấp với tƣ cách tảng vật chất trình tƣ ngƣời điều khiển học nghiên cứu tƣ để tạo “Trí tuệ nhân tạo” Tâm lý học nghiên cứu diễn biến trình tƣ duy, mối quan hệ qua lại cụ thể tƣ với khía cạnh khác nhận thức Theo từ điển triết học: “Tƣ duy, sản phẩm cao vật chất đƣợc tổ chức cách đặc biệt não, q trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm phán đoán, lý luận” Theo Spieecskin lại cho rằng: “Tƣ ngƣời, phản ánh thực, chất trình truyền đạt gồm hai tính chất: Một mặt, ngƣời hƣớng vật chất, phản ánh nét đặc trƣng mối liên hệ vật với vật khác, mặt khác ngƣời hƣớng xã hội để truyền đạt kết tƣ mình” Từ cách tiếp cận mơ hình xử lý thơng tin, tác giả Đặng Phƣơng Kiệt quan niệm: “Tƣ q trình tâm lí phức tạp, tạo bểu tƣợng cách làm biến đổi thơng tin có sẵn” Theo “Tâm lý học” Phạm Minh Hạc, Lê Khanh, Trần Trọng Thủy, Đại học sƣ phạm, 1988, có định nghĩa: “Tƣ trình tâm lý phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật VT  a  b  c    b  c  a    c  a  b   a  b  c   1 a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c  3a  b  c  2 Dễ thấy dấu xảy a = b = c Nhƣ sau phân chia toán, ta cố gắng tổ hợp lại yếu tố phân tích tốn Việc giải tốn địi hỏi HS phải biết phân tích trƣờng hợp khác nó, chia tốn lớn thành toán nhỏ Giải toán nhỏ kết hợp lại thành toán lớn Trong nhiều toán, HS phải biết tách yếu tố cho để nhận biết đặc điểm riêng rẽ tổng hợp lại, từ rút cách giải Qua giải toán ta thấy rằng, thao tác phân tích tổng hợp thƣờng gắn bó khăng khít với nhau, nhƣng đơi đƣợc thực chủ yếu hƣớng phân tích hƣớng tổng hợp Khi tốn đƣợc hiểu tồn bộ, tìm đƣợc mục đích, ý chủ đạo cần phải vào chi tiết Đặc biệt, gặp tốn khó khăn cách giải đơi cần thiết phải thực xa việc phân chia, khảo sát chi tiết Tóm lại cần phải rèn luyện cho HS khả phân tích tốn để từ định hình đƣợc phƣơng pháp giải Do nhiệm vụ ngƣời GV cần làm thông qua hoạt động toán học nhằm rèn luyện khả tƣ cho HS, để từ HS có khả thích ứng đứng trƣớc vấn đề cần giải GV cần làm cho lời giải toán đến với HS nhƣ trình suy luận - Rèn luyện cho HS khả suy luận xác, thực cách hướng dẫn HS biết áp dụng khái niệm, kiến thức liên quan vào hoạt động giải toán Do đặc điểm khoa học Toán học, mơn tốn có tiềm quan trọng khai thác để bồi dƣỡng, rèn luyện tƣ logic cho HS Nhƣng tƣ tách rời ngôn ngữ, diễn dƣới hình thức ngơn ngữ, đƣợc hồn thiện trau dồi ngôn ngữ ngƣời ngƣợc lại, ngơn ngữ đƣợc hình thành nhờ có tƣ Vì vậy, việc rèn luyện tƣ logic gắn liền với việc rèn luyện ngơn ngữ xác HS 63 Để bồi dƣỡng tƣ logic ngơn ngữ xác cho HS dạy học GV cần phải thƣờng xuyên hƣớng dẫn HS hiểu sử dụng xác ngơn ngữ tự nhiên (ngơn ngữ thƣờng ngày) mơn tốn, đặc biệt việc sử dụng liên từ với ý nghĩa phép tốn logic nhƣ: nếu… thì…, cần, đủ, khi, với mọi… v.v… Ví dụ 6: Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh rằng:  ab  bc  ca  2abc  27 Giải: Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có ab  bc  ca  33 (abc)2 (1) Do giả thiết có  abc   (abc)2  abc (2) Vậy từ (1), (2) suy ab  bc  ca  2abc  abc  (3) Vậy phần bên trái bất đẳng thức đƣợc chứng minh Dấu (3) xảy  đồng thời có dấu (1) (2), tức ta có ab  bc  ca  abc  a  b  c    Trong ba số a, b, c có hai số số Ta chứng minh (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  abc (4) Thật a, b, c  nên khơng thể có khả hai thừa số VT (4) âm, cịn có thừa số VT âm, (4) hiển nhiên abc  Vì ta cần chứng minh (4) trƣờng hợp ba thừa số dƣơng Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có ( x  y)( y  z )( z  x)  8xyz x, y, z  Áp dụng vào với x  a  b  c  0; b  c  a  0; c  a  b  64 Ta suy (4) Tóm lại (4) đƣợc chứng minh dấu xảy  a  b  c Chú ý từ (4) a  b  c  nên (4)  abc  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  abc   2(a  b  c)  4(ab  bc  ca )  8abc  ab  bc  ca  2abc  (1  abc ) (5) Lại theo bất đẳng thức CoSi, có  abc   ( a  b  c 28 )  27 (6) Dấu (6) xảy  a  b  c Từ (5), (6) suy ab  bc  ca  2abc  27 Vậy phần bên phải bất đẳng thức đƣợc chứng minh Dấu xảy  đồng thời có dấu (4) (6) abc Thông qua giải tập, chứng minh định lý cần luôn rèn luyện cho HS ý thức sử dụng từ ký hiệu cách xác Biết chuyển dịch ngơn ngữ thơng thƣờng sang ngơn ngữ tốn học Chẳng hạn nhƣ giải toán cách lập phƣơng trình ngƣợc lại, phát biểu thành lời nội dung đẳng thức GV cần thƣờng xuyên uốn nắn sai lầm mặt thiếu xác sử dụng ngơn ngữ ký hiệu tốn học phát biểu hay trình bày lời giải Cần chống thói quen khơng tốt sử dụng ký hiệu tốn học cách tuỳ tiện Trên sở đó, giúp HS nhìn nhận việc giải tốn phải xuất phát từ luận đúng, luận chứng phải hợp logic 2.3.5 Giải pháp 5: Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh thơng qua khai thác từ tốn gốc cho trước Bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng tập khó trƣờng phổ thơng, để giải đƣợc toán bất đẳng thức địi hỏi HS phải có tƣ 65 cao, nhạy cảm toán học nhƣ kĩ giải tập Đại số nói chung Bài tập chứng minh bất đẳng thức đa dạng, HS làm hết mà nắm đƣợc số dạng Chính HS cần nắm đƣợc chất toán việc phân loại toán việc vô cần thiết Để giúp HS tự tin làm toán, GV cần đƣa cho HS hệ thống tập liên hệ tập dạng với Từ toán ban đầu, GV cần biết khai thác, phát triển để sau tạo tốn mới, dạng tốn Nhƣ vậy, GV vừa giúp HS hệ thống kiến thức vừa giúp học sinh phát triển đƣợc tƣ sáng tạo Trong viết này, minh họa từ việc khai thác toán “gốc” bất đẳng thức chƣơng trình tốn Trung học sở, nhƣng sở cho nhiều tốn khó Bài tốn “gốc”: Bài tốn: Cho a, b hai số không âm chứng minh rằng: a3 +b3  ab(a+b) (*) Giải : Thật bất đẳng thức tƣơng đƣơng với :  (a+b)(a2 –ab+b2) – ab(a+b)   (a+b)(a2 -2ab +b2)   (a+b)(a-b)2  với a,b không âm Đẳng thức xảy a = b Khai thác toán: Nếu a,b số dương bất đẳng thức (*) có thuận lợi thay đổi thành bất đẳng thức khác? - Nếu ta biến đổi bất đẳng thức biến đổi (*) (với a, b dƣơng) theo hƣớng : a  b3  ab có lời giải sau: ab  a2 – ab + b2  ab  ( a - b)2  (đúng) Đẳng thức xảy a = b 66 a3 - Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng thức:  + b2  b a(a+b) ( b>0) a3  + b2  a2 + ab b b3 c3 2 Tƣơng tự với a,b,c dƣơng : + c  b + bc + a2  c2 + ac c a Từ ta có toán 1.1 nhƣ sau: Bài toán 1.1: Với số a,b,c dƣơng chứng minh rằng: a3 b3 c3  ab +bc+ca + + b c a (1.1) Nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật bất đẳng thức CơSi HS a3 thử cách nhƣ sau: + b2  2a ab dấu “=” xảy a = b b b3 c3 Tƣơng tự + c  2b bc ; + a2  2c ac a c Với cách thử GV dẫn HS đến toán 1.2 Bài toán 1.2 : Cho a, b, c số dƣơng Chứng minh rằng: a b3 c 2    2a ab +2b bc +2c ca - (a +b +c ) (1.2) b c a Để tiếp tục giải tốn 1.1 HS phải chứng minh: 2a ab +2b bc +2c ca - (a2+b2+c2)  ab  bc  ca Tuy nhiên bất đẳng thức không Nhƣ giải tốn 1.1 cách mà HS phải tìm cách giải khác Tuy nhiên, nhờ cách thử lại xuất toán 1.3 sau đây: 67 Bài toán 1.3: Cho a, b hai số không âm, chứng minh: ab +bc+ca  2a ab +2b bc +2c ac - (a2+b2+c2) (1.3) Tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) sở a,b số dương, ta có hướng biến đổi khác: c  b3 a  b3  a+b, tƣơng tự  c+b; Từ a +b  ab(a+b) (*) suy ra: cb ab 3 a  c3  a+c (với a,b,c số dƣơng) Từ ta có tốn 1.4: ac Bài toán 1.4: Với a,b,c dƣơng chứng minh rằng: a  b3 c  b3 a  c  2(a+b+c) (1.4) + + cb ac ab Để chứng minh bất đẳng thức (1.4) HS biến đổi thành nhiều cách (có thể áp dụng kết toán ban đầu (bất đẳng thức (*) nhƣng sử dụng bất đẳng thức Cô si: a  b3 2ab ab  = ab ab ab Tƣơng tự: b3  c a  c3 2ac ac 2bc bc   = bc ; = ac Từ bc ac bc ac suy ra: a  b3 c  b3 a  c  ab + bc + ac Tuy nhiên HS + + cb ac ab quen thuộc với bất đẳng thức: 2(a+b+c)  ab + bc + ac (a,b số dƣơng) Do HS phải tìm cách giải khác Nhờ cách thử ta lại có tốn 1.5 nhƣ sau: Bài tốn 1.5: Cho a,b,c số dƣơng Chứng minh rằng: a  b3 c  b3 a  c  ab + bc + ac (1.5) + + cb ac ab Từ bất đẳng thức (*) mở rộng cho ba số dƣơng a, b, c ta có tốn 1.6 sau đây: 68 Bài toán 1.6: Cho a, b, c số dƣơng Chứng minh rằng: 2(a3 +b3 +c3)  ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) (1.6) Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức (*) cho lần lƣợt cặp số a, b, c ta có: a3 +b3  ab(a+b) b3 +c3  bc(b+c) a3 +c3  ca(c+a) Cộng hai vế bất đẳng thức chiều ta đƣợc: 2(a3 +b3 +c3)  ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) Dấu “=” xảy a = b = c Ta thấy từ bất đẳng thức (1.6): 2(a3 +b3 +c3)  ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) sử dụng bất đẳng thức Cô si cho đôi số dƣơng a, b, c: a + b  ab ; b + c  bc c + a  ac ta có tốn sau: Bài toán 1.7: Cho a, b, c số dƣơng Chứng minh rằng: a3 +b3 +c3  ab ab + bc bc + ac ac (1.7) Nếu dùng kĩ thuật tách hạng tử bất đẳng thức Cô si, ta có cách giải khác: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dƣơng ta có: a3 +b3  2ab ab b3 +c3  2bc bc a3 +c3  ac ac Cộng hai vế bất đẳng thức chiều ta đƣợc: a3 +b3 +c3  ab ab + bc bc + ac ac Dấu “=” xảy a = b = c Từ bất đẳng thức 1.7 Nếu ta bổ sung thêm giả thiết abc = để từ suy 1 ab  ; bc  ; ca  ta tạo tốn khó hay c a b toán 1.7 Bài toán 1.8: Cho a, b, c số dƣơng thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 69 a3 +b3 +c3  a a  b b  c c Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) sở a, b số dương, theo hướng sau:  a3 +b3 +abc  ab(a+b) +abc  a3+ b3 +abc  ab(a+b+c)  1  a  b  abc ab(a  b  c) Tƣơng tự ta có: b3  c3  abc  cb(a  b  c) 1  ac(a  b  c) a  c  abc Suy ra: 1 1 + 3 + 3 + +  a  b  abc b  c  abc a  c  abc ab(a  b  c) cb(a  b  c) ac(a  b  c)  abc 1 1  + 3 + 3  a  b  abc b  c  abc a  c  abc a  b  c abc abc Nhƣ bổ sung thêm giả thiết abc = 1, ta lại có tốn 1.9 Bài tốn 1.9: Cho a, b, c số dƣơng thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1 + 3 + 3 1 a  b  abc b  c  abc a  c  abc 70 Kết luận: Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức quen thuộc dễ chứng minh nhƣng bất đẳng thức từ (*) suy khơng phải học sinh làm đƣợc cách gọn gàng Rất nhiều số tập xuất kì thi học sinh giỏi, thi đại học nhƣng tất tập xuất phát từ tập Qua hệ thống tập muốn giúp học sinh có nhìn rộng bất đẳng thức giúp em có ý thức học toán Kết luận chƣơng Trong chƣơng khóa luận nghiên cứu, đề xuất số biện pháp sƣ phạm để bồi dƣỡng cho HS bậc THPT giỏi số yếu tố đặc trƣng tƣ sáng tạo qua việc: - Đƣa số hƣớng tiếp cận để giải toán bất đẳng thức bậc THPT - Xây dựng, khai thác toán toán bất đẳng thức tuyến kiến xuyên suốt chƣơng trình hình học bậc THPT - Rèn luyện cho HS qua thao tác tƣ hoạt động trí tuệ HS toán bất đẳng thức qua: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự… - Rèn luyện cho HS khả phát giải vấn đề thông qua hệ thống tập chứa đựng phƣơng pháp giải điển hình, vừa sức HS, có ý nghĩa quan trọng nội dung chƣơng trình bồi dƣỡng yếu tố đặc trƣng tƣ sáng tạo thể qua: Năng lực nhận biết, tìm tịi phát vấn đề, lực giải vấn đề - Khóa luận xây dựng đƣợc hệ thống tập có tác động trực tiếp vào số yếu tố tƣ sáng tạo với yêu cầu nhƣ: Bài tập gồm nhiều mức độ khác vừa sức học HS, vừa mang tính bao quát 71 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sƣ phạm đƣợc tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi tính hiệu biện pháp phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy giải toán bất đẳng thức 3.2 Nội dung thực nghiệm - Dạy tiết với giáo án thực nghiệm chƣơng Đại số 10: Bài 1: Bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức Bài 2: Luyện tập - Kiểm tra đánh giá thông qua phiếu học tập kiểm tra tiết Bài kiểm tra tiết Câu 1: (3 điểm) Cho a, b  Chứng minh rằng: a3  b3  a 2b  ab2 Câu 2: (3 điểm) Chứng minh rằng: Nếu số nguyên dƣơng a, b, q, p, r, s thỏa mãn điều kiện : qr  ps  p a r   b  q  s q b s Câu 3: (4 điểm) Cho phƣơng trình: x  nx  bx +ax+1=0 (1) Trong a, b Biết (1) có nghiệm thực Chứng minh rằng: a  b  , dấu “=” xảy nào? 3.3 Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sƣ phạm đƣợc tiến hành trƣờng THPT Quảng Xƣơng IV Lớp thực nghiệm: 10A gồm 41 học sinh Lớp đối chứng: 10B gồm 41 học sinh 3.4 Phƣơng pháp thực nghiệm Sử dụng tài liệu tham khảo để lập kế hoạch dạy học, tiến hành hoạt động dạy học, kiểm tra đánh giá kết học tập thu nhận thông tin phản hồi, đánh giá cải tiến để điều chỉnh kế hoạch dạy học tiến hành hoạt động dạy học, kiểm tra đánh giá kết điều chỉnh, thu nhận thông tin phản hồi,… 72 Thực nghiệm đƣợc thực song song lớp thực nghiệm lớp đối chứng giáo viên dạy Để lựa chọn mẫu thực nghiệm sát đối tƣợng học sinh, tiến hành thực hiện: - Trao đổi với GV dạy mơn Tốn, GV chủ nhiệm lớp để biết tình hình học tập HS - Xem xét kết học tập mơn Tốn HS lớp - Phát phiếu điều tra lực học tập HS, mức độ hứng thú em với phần bất đẳng thức Khi tiến hành thực nghiệm: Ở lớp thực nghiệm, giáo viên sử dụng giáo án đƣợc soạn theo biện pháp nêu đề tài tức có đổi phƣơng pháp dạy theo hƣớng tích cực, có chuẩn bị công phu Ở lớp đối chứng, giáo viên viên sử dụng giáo án soạn hoàn toàn theo sách giáo khoa Trong tiết dạy, mời thầy cô mơn tốn đến dự góp ý, nhận xét, đánh giá cách khách quan dạy Căn vào đó, sau dạy rút đƣợc kinh nghiệm kế hoạch dạy học, điều chỉnh, bổ sung kịp thời cho dạy sau 3.5 Đánh giá kết thực nghiệm sƣ phạm 3.5.1 Cơ sở đánh giá kết sư phạm - Dựa vào nhận xét giáo viên tham gia thực nghiệm sƣ phạm kết phiếu học tập phát cho học sinh, kết kiểm tra - Dựa vào bảng thống kê kết học tập học sinh 3.5.2 Đánh giá kết qủa thực nghiệm 3.5.2.1 Đánh giá định tính Để kiểm tra bám sát mục đích thực nghiệm, khơng q khó bám sát vào nội dung trọng tâm học Để kiểm tra có ý tƣởng kiểm tra khả nắm vững kiến thức học sinh đồng thời kiểm tra linh hoạt sáng tạo q trình giải tốn Cụ thể: tiết đòi hỏi học sinh nắm đƣợc kiến thức 73 , tiết đòi hỏi học sinh có tính nhuần nhuyễn, linh hoạt đồng thời khuyến khích học sinh có sáng tạo, ham học hỏi Qua quan sát phiếu điều tra với kết kiểm tra cho thấy: Ở lớp thực nghiệm, học sinh tích cực hoạt động, tìm tịi, chủ động tham gia vào trình học tập lớp đối chứng Đặc biệt, em lớp thực nghiệm thích tìm tịi tài liệu tham khảo để tìm hiểu, mở rộng thêm dạng phƣơng pháp giải lớp đối chứng Rõ kiểm tra lớp thực nghiệm có nhiều cách giải hơn, lời giải thể nắm kiến thức bất đẳng thức với lí luận chặt chẽ mà ngắn gọn 3.5.2.2 Đánh giá định lượng Điểm Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng Tổng 10 12 41 10 41 số Lớp thực nghiệm có 38/41(93%) điểm trung bình trở lên Trong có 60% giỏi Có em đạt em đạt điểm tuyệt đối 10 Lớp đối chứng có 35/41(80%) kiểm tra trung bình trở lên Trong có 35% giỏi Khơng có em đạt điểm tuyệt đối Căn vào kết kiểm tra trên, bƣớc đầu thấy hiệu việc rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học giải tốn bất đẳng thức chƣơng trình THPT 74 KẾT LUẬN Qua q trình thực đề tài, chúng tơi thu đƣợc số kết nhƣ sau: - Làm sáng tỏ khái niệm tƣ duy, tƣ sáng tạo phát triển kĩ tƣ sáng tạo - Tìm hiểu thực trạng dạy học phần bất đẳng thức chƣơng trình tốn trung học phổ thơng - Bƣớc đầu đề xuất giải pháp để nâng cao hiệu rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh dạy học - Đã điều tra, thực nghiệm sƣ phạm xác định đƣợc tính khả thi phƣơng án đề xuất - Đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đề Hơn nữa, đề tài phƣơng pháp nghiên cứu khóa luận áp dụng cho nhiều nội dung khác mơn tốn Do khả thời gian nghiên cứu có hạn nên kết khóa luận dừng lại kết luận ban đầu, nhiều vấn đề khóa luận chƣa đƣợc phát triển sâu tránh đƣợc sai xót Vì vậy, tác giả mong đƣợc quan tâm nhà nghiên cứu giáo dục bạn đồng nghiệp để bổ sung tốt cho biện pháp nêu đề tài góp phần nâng cao hiệu dạy học 75 TÀI LIỆU THAM KHÁO Bộ giáo dục đào tạo Đại số 10 NXB Giáo dục, 2007 Bộ giáo dục đào tạo Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn NXB Giáo dục, 2006 Bộ giáo dục đào tạo Bài tập đại số 10 NXB Giáo dục, 2007 Bộ giáo dục đào tạo Những vấn đề đổi giáo dục trung học phổ thơng mơn tốn NXB Giáo dục, 2007 Bộ giáo dục đào tạo Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiên chương trình sách giáo khoa lớp 10 mơn toán NXB Giáo dục, 2007 Bộ giáo dục đào tạo Đại số 10 – Sách giáo viên NXB Giáo dục, 2007 Bộ giáo dục đào tạo Đổi phương pháp dạy học mơn tốn trung học sở nhằm hình thành phát triển lực sáng tạo cho học sinh NXB Giáo dục, Hà Nội, 2005 Đảng Cộng Sản Việt Nam Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX NXB trị quốc gia, Hà Nội, 2001 Đảng Cộng Sản Việt Nam Văn kiện hội nghị lần thứ hai Ban Chấp Hành Trung ương khóa VIII NXB trị quốc gia, Hà Nội, 1997 10 Viện ngôn ngữ học Từ điển tiếng Việt NXB thành phố Hồ Chí Minh, 2005 11 Phạm Minh Hạc, Lê Khanh, Trần Trọng Thùy Tâm lý học NXB Đại học Sƣ phạm, 1988 12 Nguyễn Thị Mỹ Lộc, Đinh Thị Kim Thoa, Trần Văn Tính Tâm lý học giáo dục NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2009 13 Võ Đại Mau Phương pháp giải toán Bất đẳng thức NXB trẻ, 1998 14 Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn tốn NXB Đại học Sƣ phạm, Hà Nội, 2007 15 Phan Huy Khải 10000 toán sơ cấp bất đẳng thức NXB Hà Nội,1998 16 Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu Phát sửa chữa sai lầm cho học sinh dạy học đại số - giải tích trường phổ thông NXB Đại học Sƣ phạm, 2010 17 Nguyễn Cảnh Toàn Phương pháp luận vật biện chứng với việc dạy học nghiên cứu toán học, tập NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội 76 18 Trần Thúc Trình Rèn luyện tư dạy học tốn Viện khoa học giáo dục, 2003 19 Trần Phƣơng Tuyển tập chun đề luyện thi đại học mơn tốn bất đẳng thức NXB Hà Nội, 2004 20 Davƣđo V.V Các dạng khái quát hóa dạy học NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 21 Polya Sáng tạo toán học NXB giáo dục, 1978 22 Tôn Thân Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh giỏi toán trường THCS Việt Nam NXB Hà Nội 77