Một số vấn đề triết học trong sự phân tích đối tượng của toán học

Mở đầu Tính cấp thiết đề tài Trong thời đại ngày không nghi ngờ vai trò quan trọng toán học ®êi sèng x· héi cịng nh sù ph¸t triĨn cđa khoa häc, kinh tÕ vµ kü tht v.v Chính thâm nhập ngày sâu rộng toán học vào hầu hết lĩnh vực khoa học đại chứng sinh động để khẳng định điều Đặc biệt, loài ngời bớc sang kỷ XXI, kinh tế tri thức đà bắt đầu phát triển có ảnh hởng mạnh mẽ phạm vi quốc tế Đặc điểm bật kinh tế tri thức vai trò ngày to lớn đổi liên tục công nghệ sản xuất vị trí chủ đạo thông tin tri thức với t cách nguồn lực tạo nên tăng trởng lùc c¹nh tranh cđa nỊn kinh tÕ Do vËy, viƯc sử dụng toán học nh công cụ thiếu đợc kinh tế tri thức thực tế rõ ràng Thực trạng đà chứng tỏ rằng, toán học có vai trò to lớn nhận thức khoa học Nhng lý đà làm cho toán học có đợc sức mạnh đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt chỗ, đối tợng toán học có nét đặc thù khác biệt so với đối tợng khoa học khác Chính vậy, lúc hết, phải phân tích đợc cách đắn, nghiêm túc rõ ràng chất đối tợng toán học từ lËp trêng cđa chđ nghÜa vËt m¸c-xÝt Thùc tÕ đà khẳng định rằng, với phát triển sản xuất xà hội, khoa học công nghệ nh trí tuệ ngời, thân đối tợng toán học đà không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ trừu tợng trình độ thấp đến trừu tợng trình ®é cao h¬n Nh vËy, vÊn ®Ị nhËn thøc ®óng đắn nguồn gốc chất đối tợng toán học, tìm hiểu khía cạnh triết học toán học sở phân tích đối tợng vấn đề có ý nghĩa lớn phát triển khoa học, mà thực tiễn xà hội Từ quan niệm Ph.Ăngghen: Đối tợng toán học quan hệ số lợng hình thức không gian cđa thÕ giíi hiƯn thùc, chóng ta ®i ®Õn mét kết luận quan trọng, đối tợng toán học dù có trừu tợng đến đâu có nguồn gốc từ thực khách quan tri thức toán học kết phản ánh tích cực, đắn, sáng tạo thực khách quan Đồng thời, xuất phát từ quan niệm cho rằng, đối tợng trực tiếp toán học hệ thống khách thể lý tởng trừu tợng, không tồn thực khách quan, mà trờng phái triết học khác nhau, chí giới toán học với đà diễn không tranh luận chất đối tợng toán học nh vai trò toán học trình nhận thức Vì vậy, vấn đề đặt luận án luôn vấn đề mang tính thời riêng toán học, mà tất lĩnh vực khoa học nói chung Từ đó, việc làm sáng tỏ vấn đề triết học phân tích đối tợng toán học góp phần làm sáng tỏ chất, vai trò phát triển toán học nói riêng khoa học nói chung, đáp ứng yêu cầu cách mạng khoa học công nghệ đại Đồng thời, việc làm sở thống biện chứng tri thức toán học với thực khách quan, từ có để xác lập giá trị nhận thức toán học thông qua đối tợng Điều phù hợp với nhận xét Lênin: "Tất trừu tợng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" Chính lý nêu trên, đà chọn ®Ị tµi "Mét sè vÊn ®Ị triÕt häc sù phân tích đối tợng toán học" làm đề tài cho luận án Tình hình nghiên cứu đề tài Những vấn đề triết học đợc rút từ phân tích chất đối tợng toán học đà đợc nhà kinh điển chủ nghĩa Mác - Lênin đề cập đến tác phẩm Cụ thể là, Ăngghen tác phẩm "Chống Đuyrinh", "Biện chứng tự nhiên", C.Mác tập "Bản thảo toán học" Lênin tác phẩm "Chủ nghĩa vật chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán" "Bút ký triết học" Nhìn chung, tác phẩm kinh điển nói tác giả đà đề cập đến vấn đề triÕt häc to¸n häc nh»m chØ mèi quan hƯ cđa c¸c tri thøc to¸n häc víi thÕ giíi thực, khẳng định vai trò tích cực toán học nhận thức khoa học, đồng thời phủ định quan điểm sai lầm chất toán học - Trong điều kiện nay, sách xuất nớc có tác giả Liên Xô (cũ) nh A.Nsanbaev G.Shliakhin: Sự phát triển nhận thức toán học, Nxb Kazacxtan, 1971 G.I.Ruzavin: Về chất tri thức toán học, Nxb T tëng, Matxc¬va, 1968 - ë níc ta cã mét số tác phẩm nhà nghiên cứu toán học triết học, điển hình là: + Giáo s Phan Đình Diệu với phát biểu "Những vấn ®Ị triÕt häc cđa to¸n häc", ViƯn TriÕt häc, 1993 + Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn với hai tập "Phơng pháp vật biện chứng với việc học, dạy nghiên cứu toán học", Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội, 1997 + PGS.TS Vũ Văn Viên với "Vấn đề vô hạn toán học", Tạp chí Triết học, số , 2003 Các t liệu đà quan tâm đến vấn đề vị trí, vai trò toán häc sù ph¸t triĨn cđa khoa häc nãi chung sản xuất xà hội đây, tác giả luận án không đề cập đến tất vấn đề triết học toán học, mà sở tác giả trớc, sâu vào tìm hiểu khía cạnh triết học, chủ yếu giá trị nhận thức thông qua việc phân tích chất đối tợng toán học Mục đích nhiệm vụ luận án Mục đích luận án làm sáng tỏ nguồn gốc chất đối tợng toán học từ lập trờng vật mácxít, đồng thời vai trò toán học nhận thức khoa học sở phân tích đối tợng toán học yếu tố ảnh hởng đến phát triển đối tợng toán học Để thực mục đích trên, luận án tập trung giải nhiệm vụ sau đây: - Phân tích làm rõ chất đối tợng toán học, đợc mối quan hệ chặt chẽ toán học với giới thực nh toán học với khoa học khác theo lËp trêng cđa chđ nghÜa vËt biƯn chøng - Phân tích vai trò tri thức toán học nhận thức khoa học thông qua quan điểm khác lịch sử triết học nh thực tÕ vËn dơng cđa to¸n häc c¸c khoa häc cụ thể - Phân tích ảnh hởng hoàn cảnh thực tiễn xà hội, khả phát triển nội nh lĩnh vực hoạt động khoa học khác với t cách động lực phát triển toán học Từ xác định đợc đờng biƯn chøng cđa sù ph¸t triĨn c¸c tri thøc to¸n học Phạm vi nghiên cứu luận án: Luận án tập trung phân tích đặc điểm, chất đối tợng toán học qua thời kỳ phát triển khác nhau, từ làm rõ ảnh hởng toán học - xét từ khía cạnh đối tợng đến phát triển nhận thức khoa học Cơ sở lý luận, thực tiễn phơng pháp nghiên cứu luận án - Luận án dựa sở lý luận quan điểm triết học mác-xít vị trí vai trò khoa học trình phát triển xà hội - Luận án đợc trình bày dựa thực tiễn hoạt động nhà toán học qua thời đại lịch sử khác nhau, dựa vào tác phẩm kinh điển, sách báo, tạp chí, công trình khoa học nớc nớc - Luận án vận dụng phơng pháp luận chung phơng pháp vật biện chứng phơng pháp khác nh mô tả, phân tích, tổng hợp, lôgíc lịch sử, so sánh v.v Những đóng góp mặt khoa học luận án - Luận án góp phần làm sáng tỏ sâu sắc chất đối tợng toán học trình lịch sử phát triển - Xét từ khía cạnh đối tợng toán học, luận án góp phần làm rõ vai trò toán học tiến khoa học nói riêng với phát triển nhận thức khoa học nói chung, từ rút đợc nét đặc thù việc vận dụng phơng pháp toán học khoa học khác - Luận án bớc đầu làm rõ yếu tố tác động đến phát triển toán học nh nhu cầu nội phát triển toán học ý nghĩa luận án - Những kết nghiên cứu luận án đà góp phần làm sáng tỏ quan điểm khoa học chủ nghĩa vật biện chứng khẳng định toán học môn khoa học thực Từ làm rõ vai trò toán học nhân thức khoa học - Luận án dùng làm tài liệu tham khảo nghiên cứu, giảng dạy học tập môn Lý luận Mác - Lênin, đặc biệt triết học khoa học tự nhiên trờng đại học, cao đẳng - Luận án dùng làm tài liệu bồi dỡng giáo viên, giáo viên giảng dạy nghiên cứu toán học Kết cấu luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận án bao gồm chơng, tiết Chơng quan điểm vật biện chứng đối tợng toán học 1.1 Sự phê phán quan điểm phi mác-xít đối tợng toán học Theo quan điểm vật biện chứng, đối tợng trực tiếp toán học hệ thống khách thể tinh thần trừu tợng, không tồn thực khách quan, chúng phản ánh nội dung phong phú toán học Chính điều đà tạo chứng cớ cho chủ nghĩa tâm khẳng định tính thứ t tởng hình thành quan niệm tâm triết học toán học Bởi vậy, lịch sử phát triển khoa học ngẫu nhiên mà số lợng nhà toán học tiếng, chí lỗi lạc nhà tâm triết học lại lớn nhiều so với số lợng nhà tâm khoa học tự nhiên khác Điều dễ hiểu, khoa häc tù nhiªn nh VËt lý häc, Hãa häc, Sinh vËt häc v.v kh¸c víi to¸n häc ë chỗ, đối tợng trực tiếp chúng khách thể vật chất, khách thể tinh thần Trong khoa học đó, đối tợng chúng tồn thực khách quan, chúng đợc xem xét dễ nhiều so với đối tợng toán học Xuất phát từ quan niƯm vỊ tÝnh thø nhÊt cđa t tëng, triÕt häc tâm đà khẳng định rằng, khách thể toán học trừu tợng tồn độc lập với giới vËt chÊt, cã tríc thÕ giíi vËt chÊt, thËm chÝ sinh giới vật chất, đối tợng trực tiếp toán học không liên hệ với thực khách quan Chẳng hạn nh Platôn quan niệm rằng, khái niệm toán học vị trí trung gian giới vật có tri giác giới ý niệm, đồng thời chúng hình bóng yếu ớt ý niệm Điều chứng tỏ rằng, triết học tâm đà đa cách giải vấn đề mối liên hệ toán học với thực khách quan hoàn toàn trái ngợc với triết học mác-xít Ví dụ, theo quan điểm Hê-ghen, tất định nghĩa toán học phân chia đối tợng thực tế ý thức thực không phù hợp cho thân đối tợng, mà đợc ý thức đem đến cách tùy ý đối tợng Ông khẳng định rằng, số kết hợp lại phân chia nh nào, điều hoàn toàn phụ thuộc vào giả định ngời nhận thức Trong thời kỳ cổ đại, khuynh hớng bật khuynh hớng coi toán học đối tợng nh kiến tạo có xa lạ với giới thực đợc tri giác cảm tính, mà trái lại nh phận cấu thành giới Quan điểm thể đặc biệt rõ nÐt quan niƯm cđa trêng ph¸i Pitago vỊ c¸c số Trờng phái Pitago đà coi số khởi thủy toàn tồn Những ngời thuộc trờng phái đà cố gắng số quan hệ số nét tơng tự với tợng giới bên đợc tri giác cảm tính Đối với họ, tất vật cảm giác đợc, số hợp thành Còn Platôn, đối thoại ông đà thể rõ khuynh hớng xây dựng vũ trụ theo mẫu dạng thức toán học mẫu tơng tự với chúng Trong phê phán quan điểm tâm trờng phái Pitago, Lênin "Tóm tắt giảng lịch sử triết học Hê-ghen" đà viết: "Các số, chúng đâu? phân cách không gian, liệu tự chúng có gia nhập vào bầu trời ý niệm không? chúng trực tiếp thân đồ vật đồ vật lại khác với số - đồ vật tí giống với số" [21, tr 225] Theo quan điểm tâm, toán học đợc thừa nhận khoa học tiên nghiệm, không phụ thuộc vào kinh nghiệm, chí có trớc kinh nghiệm, có nghĩa toán học nằm mối liên hệ với thực Đó sai lầm nghiêm trọng việc giải vấn đề mèi quan hƯ cđa to¸n häc víi thÕ giíi kh¸ch quan Ăngghen, phê phán triết học tâm toán học đà tình tiết quan trọng để tới quan niệm đắn mối quan hệ toán học thực Tình tiết đợc thể chỗ, quan hệ số lợng giới khách quan đợc tách dạng túy đòi hỏi phải đợc trừu tợng hóa khỏi nội dung nh đối tợng nghiên cứu Tuy nhiên điều nghĩa là, tồn quan hệ số lợng hoàn toµn ë ngoµi néi dung vµ ë ngoµi hiƯn thùc khách quan Trong trừu tợng hóa nội dung, chủ nghĩa tâm đà tuyệt đối hóa khả trừu tợng hóa hình thức khỏi nội dung, chí xem việc nghiên cứu hình thức riêng biệt Từ đó, chủ nghĩa tâm đà hoàn toàn tách rời quan hệ số lợng khỏi giới thực coi chúng tiên nghiệm, độc lập tuyệt thực Chẳng hạn nh Poanh ca rê nhà toán học, lý học tiếng nhng lại nhà triết học tầm thờng, ông đà đa quan ®iĨm mang tÝnh chÊt nhËn thøc ln tâm nh sau: "không phải giới tự nhiên đem lại cho chóng ta (hay Ðp bc chóng ta ph¶i nhËn) khái niệm không gian thời gian, mà đem khái niệm lại cho giới tự nhiên"; "phàm gì, t tởng h vô túy" [20, tr 312] Xuất phát từ sở đó, ông quan niệm rằng, toán học sản phẩm hoạt động tự cđa trÝ t ngêi Nh vËy, nÕu nh quan điểm tâm bắt buộc phải thừa nhận rằng, lịch sử toán học nh lịch sử toàn khoa học trình hợp quy luật Đồng thời phải thừa nhận phát triển toán học dÃy khám phá ngẫu nhiên, theo sau kia, không không thấy trớc đợc tính chất liên tục vị trí chúng Nói tóm lại, nh toán học sản phẩm t túy, tiên nghiệm, không cần phải liên quan đến tính chất mối quan hệ giới thực, câu hỏi xác đáng sau đợc trả lời sao: Vì toán học lại đợc áp dụng cách rộng rÃi để giải nhiệm vụ thực tiễn khác nhau? Từ lập trờng chủ nghĩa tâm, nói mối liên hệ toán học với thực đành phải thừa nhận rằng, có mối liên hệ ngẫu nhiên Sự thật toán học không nghiên cứu quan hệ trực tiếp đối tợng thực thân đối tợng đó, mà nghiên cứu khách thể trừu tợng Chính điều đà nguyên nhân đa nhiều nhà khoa học giỏi chuyên môn nhng yếu triết học đến kết luận tâm mối tơng quan toán học thực khách quan Ví dụ, chủ nghĩa trực giác đà tuyên bố toán học khoa học hoạt động sáng tạo, phong phú thiết lập cấu trúc tởng tợng, mà khoa học nghiên cứu khía cạnh hay khía cạnh khác giới vật chất Một trào lu triết học khác chủ nghĩa quy ớc luận đà khẳng định rằng, khách thể nghiên cứu toán học quan hệ với giới vật chất, mà chúng thỏa thuận có điều kiện nhà toán học với nhau, chúng khác, mà quy tắc trò chơi độc đáo Theo lập trờng chủ nghĩa vËt biƯn chøng, suy cho cïng to¸n häc cịng nh khoa học khác phản ánh thực Chính vậy, khái niệm toán học có nguồn gốc từ giới thực liên hệ chặt chẽ với giới thực Trong tác phẩm "Chống Đuy rinh", Ăngghen đà viết: "Những khái niệm số lợng hình dáng rút từ đâu khác, mà từ giới thực mà Mời ngón tay mà ngời ta dùng để tập đếm, nghĩa để làm toán số học đầu tiên, đợc, nhng sản phẩm mà lý tính tự sáng tạo ra" [26, tr 58] Từ nhận thấy rằng, chất toán học nh mét khoa häc nhËn thøc chÝnh lµ ë phản ánh quan hệ số lợng giới thực, quan hệ đợc tách khỏi thực để nghiên cứu dạng túy Nếu cảm xúc nhận thấy đợc quan hệ đó, mà ta tách chúng nhờ t trừu tợng sở tổng hợp lý tởng hóa Để có đợc quan niệm đắn đối tợng toán học, với việc phê phán chủ nghĩa tâm, cần phải sai sót cách tiếp cận siêu hình chất lý thuyết toán học Theo quan ®iĨm vËt biƯn chøng, sù ¸p dơng réng r·i toán học vào việc giải vấn đề cụ thể thực tiễn khoa học khác đà đợc quy định tính thống vật chÊt cđa thÕ giíi, bëi mèi quan hƯ qua l¹i mặt: Nội dung hình thức, cụ thể trừu tợng, số lợng chất lợng v.v Toán học nghiên cứu quan hệ số lợng hình dạng không gian giới thực, quan hệ hình dạng phù hợp với phạm vi đặc trng phơng diện chất lợng thực Đồng thời, quan hệ đa dạng mặt chất lợng đà yêu cầu lý thuyết toán học đợc thiết lập phải mô tả chúng cách phù hợp Nh vậy, thống nhất, mối liên hệ qua lại tính toàn vẹn tồn giới khách quan đà tìm đợc thể thống đa dạng tri thức toán học Sự đa dạng chất tợng giới thực, mối liên hệ thống chúng đà tìm đợc mô tả gián tiếp môn toán học khác Chẳng hạn, toán học sơ cấp nghiên cứu quan hệ số lợng đại lợng bất biến Việc chuyển sang nghiên cứu đại lợng biến thiên đà dẫn đến thành lập môn giải tích toán học Toán học đại đợc định nghĩa nh khoa học quan hệ cấu trúc số lợng với chất đa dạng Trong phạm vi giai đoạn phát triển toán học, ta phân môn