Vấn đề nhận thức luận qua sự phân tích đối tượng của toán học 1

1 Mở đầu Tính cấp thiết đề tài Trong thời đại ngày không nghi ngờ vai trò quan trọng toán học đời sống xà hội nh phát triĨn cđa khoa häc, kinh tÕ vµ kü tht, v.v Chính thâm nhập ngày sâu rộng toán học vào hầu hết lĩnh vực khoa học đại chứng sinh động để khẳng định điều Đặc biệt, loài ngời bớc sang kỷ XXI, kinh tế tri thức đà bắt đầu phát triển có ảnh hởng mạnh mẽ phạm vi quốc tế Đặc điểm bật kinh tế tri thức vai trò ngày to lớn đổi liên tục công nghệ sản xuất vị trí chủ đạo thông tin tri thức với t cách nguồn lực tạo nên tăng trởng lùc c¹nh tranh cđa nỊn kinh tÕ Do vËy, kinh tế đại luôn xuất yếu tố phi tuyến, có nghĩa mô hình giải đợc vận dụng công cụ suy luận phân tích tính toán định lợng toán học truyền thống đây, để toán học phát huy đợc sức mạnh việc giải qut c¸c nhiƯm vơ kinh tÕ - x· héi hiƯn đại thiết trình xây dựng mô hình, toán học phải có kết hợp với phơng pháp khoa học khác (chẳng hạn nh phơng pháp tin học) Nếu thực đợc kết hợp đó, khó khăn nảy sinh xuất yếu tố phi tuyến đợc khắc phục nhờ phơng pháp mô hình hóa mô đồ họa máy tính Điều có nghĩa lực nhận thức ngời đợc phát triển nhờ vào trực cảm suy luận định tính Thực trạng đà chứng tỏ rằng, toán học cã vai trß to lín nhËn thøc khoa häc Nhng lý đà làm cho toán học có đợc sức mạnh đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt chỗ, đối tợng toán học có nét đặc thù khác biệt so với đối tợng khoa học khác Chính vậy, lúc hết, phải phân tích đợc cách đắn, nghiêm túc rõ ràng chất đối tợng toán học từ lập trờng cđa chđ nghÜa vËt biƯn chøng Thùc tÕ ®· khẳng định rằng, với phát triển sản xuất xà hội, khoa học công nghệ nh trí tuệ ngời, thân đối tợng toán học không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ trừu tợng trình độ thấp đến trừu tợng trình độ cao Nh vậy, vấn đề nhận thức đắn nguồn gốc chất đối tợng toán học, tìm hiểu khía cạnh triết học toán học sở phân tích đối tợng vấn đề có ý nghĩa lớn phát triển khoa học, mà c¶ thùc tiƠn x· héi Tõ quan niƯm cđa Ph.Ăngghen: Đối tợng thực toán học quan hệ số lợng hình thức không gian cđa thÕ giíi hiƯn thùc, chóng ta ®i ®Õn mét kết luận quan trọng, đối tợng toán học dù có trừu tợng đến đâu có nguồn gốc từ thực khách quan tri thức toán học kết phản ánh tích cực, đắn, sáng tạo thực khách quan Đồng thời, xuất phát từ thực tiễn phát triển toán học, đối tợng trực tiếp lý thuyết toán học hệ thống khách thể lý tởng trừu tợng, không tồn thực khách quan, mà trờng phái triết học khác nhau, chí giới toán học với đà diễn không tranh luận chất đối tợng toán học nh vai trò toán học trình nhận thức Vì vậy, vấn đề đặt luận án luôn vấn đề mang tính thời riêng toán học, mà tất lĩnh vực khoa học nói chung Từ đó, việc làm sáng tỏ vấn đề triết học phân tích đối tợng toán học góp phần làm sáng tỏ chất, vai trò phát triển toán học nói riêng khoa học nói chung, đáp ứng yêu cầu cách mạng khoa học công nghệ đại Đồng thời, việc làm sở thống biện chứng tri thức toán học với thực khách quan, từ có để xác lập giá trị nhận thức toán học thông qua đối tợng Điều phù hợp với nhận xét Lênin: "Tất trừu tợng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" [25, tr 179] Chính lý nêu trên, đà chọn đề tài "Vấn đề nhận thức luận qua phân tích đối tợng toán học" làm đề tài cho luận án Tình hình nghiên cứu đề tài Xung quanh vấn đề triết học toán học (trong có vấn đề nhận thức luận) Việt Nam nớc đà có nhiều công trình đề cập tới nghiên cứu nhiều góc độ khác Các công trình bao gồm tác phẩm kinh điển chủ nghĩa Mác - Lênin, sách tham khảo, viết tạp chí khoa học kỷ yếu khoa học nớc Trong số tác phẩm kinh điển có tác phẩm nh: "Các thảo toán học" C Mác; "Biện chứng tự nhiên", "Chống Đuy-rinh" Ph.Ăngghen; "Chủ nghĩa vật chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán", "Bút ký triết học" V.I Lênin Trong số tác phẩm nghiên cứu có cuốn: "Một số vấn đề triết học sở toán học" V.N Mơlôtsi; "Sự phát triển nhận thức toán học" A Nsanbaev G Shliakhin (tiếng Nga); "Về chất tri thức toán học" G.I Ruzavin (tiếng Nga); "Phơng pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học" (hai tập) Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn; "Kỷ yếu hội nghị ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất" Hội Toán học Việt Nam - Bé C«ng nghiƯp (2000), v.v Chóng ta cã thĨ khái quát t tởng công trình khía cạnh sau đây: Thứ nhất, công trình đà tập trung vào phân tích khả ứng dụng to lớn toán học ngành khoa học khác Thứ hai, công trình đà đề cập đến vấn đề mối quan hƯ cđa to¸n häc víi thÕ giíi hiƯn thùc Thứ ba, vai trò nhận thức toán học đợc đề cập đến thông qua việc khẳng định toán học nh công cụ khoa học cụ thể khác việc khám phá tri thức Thứ t, ý nghĩa toán học ph¸t triĨn cđa c¸c khoa häc kh¸c, cđa kü tht kinh tế - xà hội v.v Thứ năm, toán học với t cách ngôn ngữ khoa học Tác giả luận án kế thừa thành nghiên cứu tác giả trớc, sâu vào phân tích nguồn gốc chất đối tợng toán học, khai thác ý nghĩa triết học tri thức toán học, chủ yếu vấn đề nhận thức luận Mục đích nhiệm vụ luận án Mục đích luận án làm sáng tỏ nguồn gốc chất đối tợng toán häc tõ lËp trêng vËt biƯn chøng, ®ång thêi vai trò toán học nhận thức khoa học, yếu tố ảnh hởng đến phát triển đối tợng toán học sở phân tích đối tợng toán học Để thực mục đích trên, luận án tập trung giải nhiệm vụ sau đây: Phân tích làm rõ chất đối tợng toán học, đợc mối quan hệ chặt chẽ toán học với giới thực nh toán học với khoa học kh¸c theo lËp trêng cđa chđ nghÜa vËt biƯn chứng Phân tích vai trò tri thức toán học nhận thức khoa học thông qua quan điểm khác lịch sử triết học nh thùc tÕ vËn dơng cđa to¸n häc c¸c khoa học cụ thể Phân tích ảnh hởng hoàn cảnh thực tiễn xà hội, khả phát triển nội nh lĩnh vực hoạt động khoa học khác với t cách động lực phát triển toán học Từ xác định đợc ®êng biƯn chøng cđa sù ph¸t triĨn c¸c tri thøc toán học Cơ sở lý luận, thực tiễn phơng pháp nghiên cứu luận án - Luận án dựa sở lý luận chủ nghĩa vật biện chứng vị trí vai trò khoa học trình phát triển xà hội - Luận án đợc trình bày dựa thực tiễn hoạt động nhà toán học qua thời đại lịch sử khác nhau, dựa vào tác phẩm kinh điển, sách báo, tạp chí, công trình khoa học nớc nớc - Luận án vận dụng phơng pháp luận chung phơng pháp vật biện chứng phơng pháp khác nh mô tả, phân tích, tổng hợp, lôgíc lịch sử, so sánh v.v Những đóng góp mặt khoa học luận án Trớc hết, phải khẳng định rằng, luận án phát minh khoa học độc đáo vấn đề hoàn toàn mẻ cha đợc đề cập đến Cái mà luận án đạt đợc chỗ, xuất phát từ lập trờng vật biện chứng tác giả đà phân tích cách có hệ thống cô đọng vấn đề nguồn gốc, chất trình phát triển đối tợng toán học Từ đó, tác giả làm rõ tính độc lập tơng đối nhận thức toán học trình nhận thức nói chung Tính độc lập tơng đối nhận thức toán học đợc thể chỗ, toán học khoa học có tính trừu tợng cao nhng lại thể phản ¸nh tÝch cùc, s¸ng t¹o cđa ngêi vỊ thÕ giới khách quan; lôgic phát triển nội mình, đặc biệt nét đặc thù việc kiểm nghiệm tính chân lý toán học Tất điều nói đợc luận án làm sáng tỏ đà khẳng định giá trị nhận thức toán học thông qua phân tích đối tợng nó, đặc biệt điều kiện phát triển mạnh mẽ phức tạp khoa học đại 6 ý nghĩa luận án - Những kết nghiên cứu luận án đà góp phần làm sáng tỏ quan ®iĨm khoa häc cđa chđ nghÜa vËt biƯn chứng khẳng định toán học môn khoa học thực Từ làm rõ vai trò toán học nhận thức khoa học tính quy luật phát triển đối tợng toán học Luận án dùng làm tài liệu tham khảo nghiên cứu, giảng dạy học tập môn Lý luận Mác - Lênin, đặc biệt triết học khoa học tự nhiên trờng đại học, cao đẳng Luận án dùng làm tài liệu bồi dỡng giáo viên, giáo viên giảng dạy nghiên cứu toán học Kết cấu luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận án bao gồm chơng, tiết Chơng quan điểm vật biện chứng đối tợng toán học 1.1 Đối tợng thực đối tợng trực tiếp toán học xét từ quan điểm vật biện chứng 1.1.1 Khái lợc lịch sử hình thành phát triển đối tợng toán học Toán học khoa học đợc hình thành sớm Từ thời cổ đại đến nay, toán học đà trải qua nhiều thời kỳ phát triển khác Mỗi thời kỳ đợc đánh dấu mức độ phát triển đối tợng toán học nói riêng khoa học nói chung Theo quan điểm vật biện chứng, đối tợng toán học hình thức không gian quan hệ số lợng giới thực Quan điểm đợc luận chứng sở xem xét cách cô đọng có hệ thống thời kỳ phát triển khác lịch sử toán học thời kỳ đầu, gọi giai đoạn toán học kinh nghiệm, thời cổ đại đến kỷ thứ VII - VI (Trớc công nguyên), hiểu biết toán học gắn liền với yêu cầu sèng kinh tÕ Cã thÓ nãi r»ng, ë thêi kỳ đầu phát triển xà hội, ngời sống thành bầy đàn, nhờ vào hái lợm, săn bắn để sinh tồn, đời sống vật chất đà đòi hỏi cân đối, đồng việc phân công, sử dụng công cụ lao động phân chia sản phẩm Phép đếm đà nảy sinh từ nhu cầu cần thiết xác định số lợng động vật bầy số lợng sản phẩm thu hoạch mùa màng Khi ngời đà biết sản xuất nhu cầu cân đối, đồng ngày tăng, có đếm cha đủ, cần phải cân, đong, đo đạc, so sánh xếp thứ tự Lúc đầu, nhu cầu xác thấp, số lợng việc đong, đo, ớc lợng cha nhiều, ngời ta đong đo trực tiếp ớc lợng kinh nghiệm, chẳng hạn nh dùng nớc hay cát để đong mà so sánh thể tích Chính đo lờng đại lợng nguyên nhân xuất phân số Đồng thời nhu cầu đơn giản đo diện tích khu đất, đo thể tích vật thể khác nhau, đo chi tiết kiến trúc, đà mang lại tích lũy tài liệu thùc tÕ to lín vỊ h×nh häc Cã thĨ nãi rằng, lợng tài liệu khổng lồ hình học đà đợc tích lũy thời Ai Cập cổ đại Lịch sử ghi lại việc phải đo đạc lại đất đai sau vụ lụt sông Nin khiến cho lu vực sông Nin nôi sinh môn hình học Những tài liệu toán học Babylon cổ đại chủ yếu phơng pháp khác để giải toán số học, có phơng pháp không liên quan trực tiếp ®Õn nhu cÇu kinh tÕ Do ®ã, chóng ta cã đầy đủ sở để khẳng định rằng, phần công việc hệ thống hóa tinh chế lý thuyết t liệu thực tế số học hình học đà bắt đầu đợc thực toán học tiền Hy Lạp, đặc biệt toán học Babylon Ai Cập Nói tóm lại, thời kỳ hình thành khái niệm toán học Các tri thức toán học thời kỳ gắn liền với nhu cầu đời sống kinh tế Các khái niệm nh số hình xuất phát trực tiếp từ khách thể thực, tức từ vật cụ thể, cảm tính Toán học cha đợc xem khoa học lý thuyết trừu tợng, thời kỳ đợc coi thời kỳ phôi thai đời toán học, hay nói xác hơn, thời kỳ hình thành toán học nh khoa học Đối tợng toán học thời kỳ gắn liền với khách thể thĨ Thêi kú thø hai sù ph¸t triĨn toán học ngời cổ Hy Lạp kéo dài liên tục đầu kỷ XVII Thời kỳ đợc gọi thời kỳ phát triển toán học đại lợng không đổi Vào thời kỳ sức sản xuất đà phát triển mạnh mẽ, sản phẩm d thừa tăng lên, nhu cầu trao đổi, lu thông hàng hóa trở nên cấp thiết Đồng thời, phơng pháp cân, đong, đo, đếm trực tiếp không thích hợp Trớc thực trạng đó, ngời bắt đầu ý đến phụ thuộc lẫn đại lợng vấn đề từ rút kết luận việc cân, đong, đo, đếm, ta cần thực số công đoạn định dùng lập luận mà suy kết khác Chẳng hạn, lĩnh vực hình học xuất lý luận so sánh hình dựa so sánh số đoạn thẳng hay góc (ví dụ nh trờng hợp hay đồng dạng tam giác) Trong đại số xuất công thức, phơng trình để tìm số cha biết theo số đà biết Nhng phát triển toán học lại nguyên nhân xuất mâu thuẫn mới, chẳng hạn, nh bế tắc việc tính xác độ dài đờng chéo hình vuông có cạnh đơn vị, bất lực việc tìm nghiệm phơng trình x + = 0, v.v Mặt khác, kinh nghiệm sống cho thấy, có đại lợng tính theo hai chiều nh đờng có ngợc xuôi, chiều cao có dới, tiền nong có lỗ, lÃi, v.v Những mâu thuẫn nói đòi hỏi phải bổ sung thêm vào số tự nhiên phân số loại số nh: số âm, số vô tỷ Chính khái niệm số thực từ ®ã mµ sinh Thùc tÕ cc sèng ®· thóc đẩy việc nghiên cứu số tự nhiên theo chiều sâu, đụng chạm đến vấn đề nh số nguyên tố, ớc số, bội số, phơng trình với nghiệm số nguyên v.v Có thể nói rằng, từ loạt phơng pháp khác để giải toán thực tế, nhà toán học thời kỳ đà xây dựng số học thành khoa học số phép tính số Hình học đạt đợc trình độ cao hoàn thiện mặt logic Điều đợc thể rõ việc lần ngời ta đà xây dựng phơng pháp tiên đề Trong số tác phẩm lý luận toán học, tiêu biểu tác phẩm "Cơ sở" nhà toán học Hy Lạp cổ đại Ơclít Tác phẩm xuất vào kỷ thứ ba trớc công nguyên, nguyên lý tiếng nguồn cung cấp tri thức toán học cho hệ sau suốt thời gian dài Đồng thời, tác phẩm mẫu mực cách lập luận toán học cách sáng sủa Tóm lại, giai đoạn này, toán học từ trình độ kinh nghiệm đà tiến lên trình độ lý luận Tuy vậy, lý luận dừng chỗ phát mối liên hệ có tính quy luật đợc thể định lý, công thức, vật tợng tĩnh tại, riêng lẻ Do kìm hÃm chế độ phong kiến, học vật lý cha phát triển đợc, vận động lúc cha thể vào toán học đợc, mà từ tác phẩm "Cơ sở" Ơclít trở đến hết kỷ XVI, toán học không tiến xa đợc bao nhiêu, đến kỷ XVII toán học bắt đầu vợt xa thời kỳ cổ đại Giai đoạn thứ ba phát triển toán học đợc kỷ thứ XVII Thời kỳ Phục hng châu Âu đà giải phóng cho xà hội loài ngời thoát khỏi kìm hÃm chế độ phong kiến, mở đờng cho khoa học công nghệ phát triển Nhu cầu nghiên cứu dạng vận động học vật lý đà thúc đẩy toán học bớc sang giai đoạn Những vấn đề nh vận tốc, gia tốc tức thời, thêm vào phơng pháp tọa độ Đêcactơ đà làm nảy sinh phát triển mạnh mẽ phép tính vi phân, tích phân Có thể nói rằng, vào thời kỳ vận động đà thực vào toán học Trọng tâm toán học hớng vào việc nghiên cứu biến thiên hàm số theo biến số, nghiên cứu đạo hàm nguyên hàm tích phân Phơng pháp tọa độ đà cho phép biểu diễn hàm số đồ thị, điều làm nảy sinh hình học giải tích hình học vi phân Những khái niệm nh đạo hàm, tích phân đợc liên hệ chặt chẽ với khái niệm tiếp tuyến, độ cong, độ dài, diện tích, thể tích, v.v Những toán học, vật lý làm nảy sinh vấn đề tìm hàm số cha biết vào mối liên hệ hàm số đạo hàm chúng định luật học, vật lý cung cấp Từ phơng trình vi phân thờng phơng trình đạo hàm riêng đời Ăngghen viết: "Đại lợng khả biến Đêcactơ đà đánh dÊu