Trong thời đại ngày nay không một ai có thể nghi ngờ về vai trò quan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triển của khoa học, kinh tế và kỹ thuật v.v... Chính sự thâm nhập ngày càng sâu rộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằng chứng sinh động nhất để khẳng định điều đó. Đặc biệt, khi loài người bước sang thế kỷ XXI, thì nền kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnh hưởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế. Đặc điểm nổi bật của nền kinh tế tri thức là vai trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệ trong sản xuất và vị trí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách là nguồn lực cơ bản tạo nên sự tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nền kinh tế. Do vậy, việc sử dụng toán học như một công cụ không thể thiếu được trong nền kinh tế tri thức là một thực tế quá rõ ràng.
1 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong thời đại ngày khơng nghi ngờ vai trị quan trọng tốn học đời sống xã hội phát triển khoa học, kinh tế kỹ thuật v.v Chính thâm nhập ngày sâu rộng toán học vào hầu hết lĩnh vực khoa học đại chứng sinh động để khẳng định điều Đặc biệt, lồi người bước sang kỷ XXI, kinh tế tri thức bắt đầu phát triển có ảnh hưởng mạnh mẽ phạm vi quốc tế Đặc điểm bật kinh tế tri thức vai trò ngày to lớn đổi liên tục cơng nghệ sản xuất vị trí chủ đạo thông tin tri thức với tư cách nguồn lực tạo nên tăng trưởng lực cạnh tranh kinh tế Do vậy, việc sử dụng tốn học cơng cụ khơng thể thiếu kinh tế tri thức thực tế rõ ràng Thực trạng chứng tỏ rằng, tốn học có vai trị to lớn nhận thức khoa học Nhưng lý làm cho tốn học có sức mạnh đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt chỗ, đối tượng tốn học có nét đặc thù khác biệt so với đối tượng khoa học khác Chính vậy, lúc hết, phải phân tích cách đắn, nghiêm túc rõ ràng chất đối tượng toán học từ lập trường chủ nghĩa vật mác-xít Thực tế khẳng định rằng, với phát triển sản xuất xã hội, khoa học công nghệ trí tuệ người, thân đối tượng tốn học khơng ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ trừu tượng trình độ thấp đến trừu tượng trình độ cao Như vậy, vấn đề nhận thức đắn nguồn gốc chất đối tượng tốn học, tìm hiểu khía cạnh triết học tốn học sở phân tích đối tượng vấn đề có ý nghĩa lớn phát triển khoa học, mà thực tiễn xã hội Từ quan niệm Ph.Ăngghen: Đối tượng toán học quan hệ số lượng hình thức khơng gian giới thực, đến kết luận quan trọng, đối tượng tốn học dù có trừu tượng đến đâu có nguồn gốc từ thực khách quan tri thức toán học kết phản ánh tích cực, đắn, sáng tạo thực khách quan Đồng thời, xuất phát từ quan niệm cho rằng, đối tượng trực tiếp toán học hệ thống khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn thực khách quan, mà trường phái triết học khác nhau, chí giới tốn học với diễn khơng tranh luận chất đối tượng tốn học vai trị tốn học trình nhận thức Vì vậy, vấn đề đặt luận án luôn vấn đề mang tính thời khơng phải riêng tốn học, mà tất lĩnh vực khoa học nói chung Từ đó, việc làm sáng tỏ vấn đề triết học phân tích đối tượng tốn học góp phần làm sáng tỏ chất, vai trị phát triển tốn học nói riêng khoa học nói chung, đáp ứng yêu cầu cách mạng khoa học cơng nghệ đại Đồng thời, việc làm sở thống biện chứng tri thức toán học với thực khách quan, từ có để xác lập giá trị nhận thức toán học thơng qua đối tượng Điều phù hợp với nhận xét Lênin: "Tất trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" Chính lý nêu trên, chúng tơi chọn đề tài "Một số vấn đề triết học phân tích đối tượng tốn học" làm đề tài cho luận án Tình hình nghiên cứu đề tài Những vấn đề triết học rút từ phân tích chất đối tượng toán học nhà kinh điển chủ nghĩa Mác Lênin đề cập đến tác phẩm Cụ thể là, Ăngghen tác phẩm "Chống Đuyrinh", "Biện chứng tự nhiên", C.Mác tập "Bản thảo toán học" Lênin tác phẩm "Chủ nghĩa vật chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán" "Bút ký triết học" Nhìn chung, tác phẩm kinh điển nói tác giả đề cập đến vấn đề triết học toán học nhằm mối quan hệ tri thức toán học với giới thực, khẳng định vai trị tích cực tốn học nhận thức khoa học, đồng thời phủ định quan điểm sai lầm chất toán học - Trong điều kiện nay, sách xuất nước ngồi có tác giả Liên Xô (cũ) A.Nưsanbaev G.Shliakhin: Sự phát triển nhận thức toán học, Nxb Kazacxtan, 1971 G.I.Ruzavin: Về chất tri thức toán học, Nxb Tư tưởng, Matxcơva, 1968 - Ở nước ta có số tác phẩm nhà nghiên cứu toán học triết học, điển hình là: + Giáo sư Phan Đình Diệu với phát biểu "Những vấn đề triết học toán học", Viện Triết học, 1993 + Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn với hai tập "Phương pháp vật biện chứng với việc học, dạy nghiên cứu toán học", Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội, 1997 + PGS.TS Vũ Văn Viên với "Vấn đề vơ hạn tốn học", Tạp chí Triết học, số , 2003 Các tư liệu quan tâm đến vấn đề vị trí, vai trị tốn học phát triển khoa học nói chung sản xuất xã hội Ở đây, tác giả luận án không đề cập đến tất vấn đề triết học toán học, mà sở tác giả trước, sâu vào tìm hiểu khía cạnh triết học, chủ yếu giá trị nhận thức thông qua việc phân tích chất đối tượng tốn học Mục đích nhiệm vụ luận án Mục đích luận án làm sáng tỏ nguồn gốc chất đối tượng toán học từ lập trường vật mácxít, đồng thời vai trị toán học nhận thức khoa học sở phân tích đối tượng tốn học yếu tố ảnh hưởng đến phát triển đối tượng tốn học Để thực mục đích trên, luận án tập trung giải nhiệm vụ sau đây: - Phân tích làm rõ chất đối tượng toán học, mối quan hệ chặt chẽ toán học với giới thực toán học với khoa học khác theo lập trường chủ nghĩa vật biện chứng - Phân tích vai trị tri thức tốn học nhận thức khoa học thông qua quan điểm khác lịch sử triết học thực tế vận dụng toán học khoa học cụ thể - Phân tích ảnh hưởng hồn cảnh thực tiễn xã hội, khả phát triển nội lĩnh vực hoạt động khoa học khác với tư cách động lực phát triển tốn học Từ xác định đường biện chứng phát triển tri thức toán học Phạm vi nghiên cứu luận án: Luận án tập trung phân tích đặc điểm, chất đối tượng toán học qua thời kỳ phát triển khác nhau, từ làm rõ ảnh hưởng tốn học - xét từ khía cạnh đối tượng đến phát triển nhận thức khoa học Cơ sở lý luận, thực tiễn phương pháp nghiên cứu luận án - Luận án dựa sở lý luận quan điểm triết học mác-xít vị trí vai trị khoa học trình phát triển xã hội - Luận án trình bày dựa thực tiễn hoạt động nhà toán học qua thời đại lịch sử khác nhau, dựa vào tác phẩm kinh điển, sách báo, tạp chí, cơng trình khoa học nước nước - Luận án vận dụng phương pháp luận chung phương pháp vật biện chứng phương pháp khác mô tả, phân tích, tổng hợp, lơgíc lịch sử, so sánh v.v Những đóng góp mặt khoa học luận án - Luận án góp phần làm sáng tỏ sâu sắc chất đối tượng toán học q trình lịch sử phát triển - Xét từ khía cạnh đối tượng tốn học, luận án góp phần làm rõ vai trị tốn học tiến khoa học nói riêng với phát triển nhận thức khoa học nói chung, từ rút nét đặc thù việc vận dụng phương pháp toán học khoa học khác - Luận án bước đầu làm rõ yếu tố tác động đến phát triển toán học nhu cầu nội phát triển toán học Ý nghĩa luận án - Những kết nghiên cứu luận án góp phần làm sáng tỏ quan điểm khoa học chủ nghĩa vật biện chứng khẳng định toán học mơn khoa học thực Từ làm rõ vai trị tốn học nhân thức khoa học - Luận án dùng làm tài liệu tham khảo nghiên cứu, giảng dạy học tập môn Lý luận Mác - Lênin, đặc biệt triết học khoa học tự nhiên trường đại học, cao đẳng - Luận án dùng làm tài liệu bồi dưỡng giáo viên, giáo viên giảng dạy nghiên cứu toán học Kết cấu luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận án bao gồm chương, tiết Chương QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TOÁN HỌC 1.1 SỰ PHÊ PHÁN QUAN ĐIỂM PHI MÁC-XÍT VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TỐN HỌC Theo quan điểm vật biện chứng, đối tượng trực tiếp toán học hệ thống khách thể tinh thần trừu tượng, không tồn thực khách quan, chúng phản ánh nội dung phong phú tốn học Chính điều tạo chứng cớ cho chủ nghĩa tâm khẳng định tính thứ tư tưởng hình thành quan niệm tâm triết học toán học Bởi vậy, lịch sử phát triển khoa học ngẫu nhiên mà số lượng nhà toán học tiếng, chí lỗi lạc nhà tâm triết học lại lớn nhiều so với số lượng nhà tâm khoa học tự nhiên khác Điều dễ hiểu, khoa học tự nhiên Vật lý học, Hóa học, Sinh vật học v.v khác với toán học chỗ, đối tượng trực tiếp chúng khách thể vật chất, khách thể tinh thần Trong khoa học đó, đối tượng chúng tồn thực khách quan, chúng xem xét dễ nhiều so với đối tượng toán học Xuất phát từ quan niệm tính thứ tư tưởng, triết học tâm khẳng định rằng, khách thể toán học trừu tượng tồn độc lập với giới vật chất, có trước giới vật chất, chí sinh giới vật chất, đối tượng trực tiếp tốn học khơng liên hệ với thực khách quan Chẳng hạn Platôn quan niệm rằng, khái niệm tốn học vị trí trung gian giới vật có tri giác giới ý niệm, đồng thời chúng hình bóng yếu ớt ý niệm Điều chứng tỏ rằng, triết học tâm đưa cách giải vấn đề mối liên hệ toán học với thực khách quan hồn tồn trái ngược với triết học mác-xít Ví dụ, theo quan điểm Hê-ghen, tất định nghĩa toán học phân chia đối tượng thực tế ý thức thực không phù hợp cho thân đối tượng, mà ý thức đem đến cách tùy ý ngồi đối tượng Ơng khẳng định rằng, số kết hợp lại phân chia nào, điều hồn tồn phụ thuộc vào giả định người nhận thức Trong thời kỳ cổ đại, khuynh hướng bật khuynh hướng coi toán học đối tượng khơng phải kiến tạo có xa lạ với giới thực tri giác cảm tính, mà trái lại phận cấu thành giới Quan điểm thể đặc biệt rõ nét quan niệm trường phái Pitago số Trường phái Pitago coi số khởi thủy toàn tồn Những người thuộc trường phái cố gắng số quan hệ số nét tương tự với tượng giới bên ngồi tri giác cảm tính Đối với họ, tất vật cảm giác được, số hợp thành Cịn Platơn, đối thoại ông thể rõ khuynh hướng xây dựng vũ trụ theo mẫu dạng thức toán học mẫu tương tự với chúng Trong phê phán quan điểm tâm trường phái Pitago, Lênin "Tóm tắt giảng lịch sử triết học Hê-ghen" viết: "Các số, chúng đâu? phân cách không gian, liệu tự chúng có gia nhập vào bầu trời ý niệm không? chúng trực tiếp thân đồ vật đồ vật lại khác với số - đồ vật khơng có tí giống với số" [21, tr 225] Theo quan điểm tâm, toán học thừa nhận khoa học tiên nghiệm, khơng phụ thuộc vào kinh nghiệm, chí có trước kinh nghiệm, có nghĩa tốn học nằm ngồi mối liên hệ với thực Đó sai lầm nghiêm trọng việc giải vấn đề mối quan hệ toán học với giới khách quan Ăngghen, phê phán triết học tâm tốn học tình tiết quan trọng để tới quan niệm đắn mối quan hệ toán học thực Tình tiết thể chỗ, quan hệ số lượng giới khách quan tách dạng túy đòi hỏi phải trừu tượng hóa khỏi nội dung đối tượng nghiên cứu Tuy nhiên điều khơng có nghĩa là, tồn quan hệ số lượng hoàn toàn nội dung thực khách quan Trong trừu tượng hóa nội dung, chủ nghĩa tâm tuyệt đối hóa khả trừu tượng hóa hình thức khỏi nội dung, chí xem việc nghiên cứu hình thức riêng biệt Từ đó, chủ nghĩa tâm hồn tồn tách rời quan hệ số lượng khỏi giới thực coi chúng tiên nghiệm, độc lập tuyệt thực Chẳng hạn Poanh ca rê nhà toán học, lý học tiếng lại nhà triết học tầm thường, ông đưa quan điểm mang tính chất nhận thức luận tâm sau: "không phải giới tự nhiên đem lại cho (hay ép buộc phải nhận) khái niệm không gian thời gian, mà đem khái niệm lại cho giới tự nhiên"; "phàm gì, khơng phải tư tưởng hư vô túy" [20, tr 312] Xuất phát từ sở đó, ơng quan niệm rằng, toán học sản phẩm hoạt động tự trí tuệ người Như vậy, quan điểm tâm bắt buộc phải thừa nhận rằng, lịch sử toán học lịch sử tồn khoa học khơng phải trình hợp quy luật Đồng thời phải thừa nhận phát triển toán học dãy khám phá ngẫu nhiên, theo sau kia, không không thấy trước tính chất liên tục vị trí chúng 10 Nói tóm lại, toán học sản phẩm tư túy, tiên nghiệm, không cần phải liên quan đến tính chất mối quan hệ giới thực, câu hỏi xác đáng sau trả lời sao: Vì tốn học lại áp dụng cách rộng rãi để giải nhiệm vụ thực tiễn khác nhau? Từ lập trường chủ nghĩa tâm, khơng thể nói mối liên hệ toán học với thực đành phải thừa nhận rằng, có mối liên hệ ngẫu nhiên Sự thật tốn học khơng nghiên cứu quan hệ trực tiếp đối tượng thực thân đối tượng đó, mà nghiên cứu khách thể trừu tượng Chính điều nguyên nhân đưa nhiều nhà khoa học giỏi chuyên môn yếu triết học đến kết luận tâm mối tương quan toán học thực khách quan Ví dụ, chủ nghĩa trực giác tuyên bố toán học khoa học hoạt động sáng tạo, phong phú thiết lập cấu trúc tưởng tượng, mà khoa học nghiên cứu khía cạnh hay khía cạnh khác giới vật chất Một trào lưu triết học khác chủ nghĩa quy ước luận khẳng định rằng, khách thể nghiên cứu tốn học khơng có quan hệ với giới vật chất, mà chúng thỏa thuận có điều kiện nhà tốn học với nhau, chúng khơng phải khác, mà quy tắc trò chơi độc đáo Theo lập trường chủ nghĩa vật biện chứng, suy cho toán học khoa học khác phản ánh thực Chính vậy, khái niệm tốn học có nguồn gốc từ giới thực liên hệ chặt chẽ với giới thực Trong tác phẩm "Chống Đuy rinh", Ăngghen viết: "Những khái niệm số lượng hình dáng khơng thể rút từ đâu khác, mà từ giới thực mà thơi Mười ngón tay mà người ta dùng để tập đếm, nghĩa để làm toán số học đầu tiên, được, khơng phải sản phẩm mà lý tính tự sáng tạo ra" 171 học, mà trước hết liên quan đến xây dựng mơn tốn học mới, lý thuyết phương pháp thích hợp với đối tượng nghiên cứu Chính vậy, việc ứng dụng toán học ngành khoa học tỏ có giá trị với thân tốn học, vượt khỏi phạm vi phương pháp tốn học túy cổ điển Ngày khơng phải có khoa học, có ứng dụng tốn học thay đổi mà thân tốn học qua hồn thiện Trong tốn học thường xuyên xuất chương mới, phương pháp khái niệm Trên thực tế có thâm nhập tốn học vào vật lý, mà cịn có việc "Vật lý hóa" tốn học Việc phát minh máy tính điện tử cho khả giải tốn vốn từ trước đến người khơng làm được, mà cịn dẫn tới phát minh mơn tốn học "tính tốn" Trong thời kỳ đầu việc ứng dụng toán học sinh học diễn việc sử dụng cơng cụ tốn học biết, xây dựng sở phân tích toán kỹ thuật toán giới vơ sinh Có thể nói cách hình ảnh, nhà nghiên cứu muốn đột phá vào lĩnh vực hoàn toàn phương tiện cũ sẵn có quyền hạn sử dụng Nhưng khả ứng dụng sinh học phương pháp toán học xây dựng nhờ khoa học khác hạn chế, chúng liên quan tới khía cạnh dạng vận động sinh học chung cho dạng vận động học, vật lý hóa học Nói tóm lại, ngơn ngữ tốn học kiểu tư tốn học hình thành sở vấn đề vật lý, học, kỹ thuật xa với tính tốn tới đặc điểm sinh lý học, khơng thích hợp với tượng sinh lý khái niệm khoa học sinh lý Như vậy, rõ ràng đường tốn học hóa khoa học sinh học, vấn đề đặt phải nghiên cứu xem tốn học đưa vào sinh học từ bên ?, đồng thời phải xây dựng 172 chương toán học dùng sinh học từ bên trong, từ thân vấn đề đặt trước khoa học sống Một trang bị lại cơng cụ tốn học thật thích hợp, sinh vật học điều khiển học sinh học hợp thành khoa tổng hợp Đây bước phát triển khoa học Như vậy, thực tế rõ ràng toán học q trình liên tục mơ tả phương trình vi phân, tích phân vi - tích phân hồn tồn khơng thích hợp lĩnh vực sinh học, địa chất v.v… điều cốt yếu phải sáng lập nên phận tốn học Tốn học khơng dừng chân chỗ, phát triển mạnh mẽ ảnh hưởng thực tiễn môn khoa học khác, ảnh hưởng đòi hỏi nội tại, đưa vào lĩnh vực nghiên cứu tất hình dạng khơng gian quan hệ số lượng ngày thực Sự phát triển toán học, phát minh cơng cụ tốn phù hợp với ứng dụng lĩnh vực khoa học tạo khả cho toán học thâm nhập vào ngành khoa học khác Như vậy, điều thường xảy cơng cụ tốn học phát minh từ trước, có giá trị nội tốn học sau tìm giá trị thực tiễn bên ngồi tốn học Trong lịch sử phát triển tốn học có thời kỳ lâu dài mối quan hệ tương hỗ tốn học ứng dụng có số sâu ngăn cách Trước kia,cho dù mức độ khác nhau, cách rõ nét lĩnh vực toán học thực hành phần túy lý luận Mối liên hệ tốn học khoa học khác thông qua môn tốn học ứng dụng, cịn mơn cịn lại có giá trị nội tốn học, đáp ứng yêu cầu toán học Đến kỷ XX, rõ ràng khơng có khác biệt thật toán học ứng dụng toán học túy, mà có khác biệt phần 173 tốn học có thời hạn ứng dụng khác Ví dụ, hình học phi Ơclít trở thành sở lý luận thuyết tương đối, lý thuyết nhóm ứng dụng rộng rãi vật lý Lơgic tốn, trước có người chun nghiên cứu vấn đề thuộc sở toán học quan tâm đến ngày khơng cịn túy lý thuyết, mà trở thành khoa học thực hành liên hệ chặt chẽ với toán học tính tốn điều khiển học Với phát triển mạnh mẽ toán học, đặc biệt toán học đại, quan niệm khách thể tốn học trừu tượng có điểm thay đổi Ví dụ trước dạng không gian ba chiều thông thường đối tượng việc nghiên cứu hình học, hình học đại người ta xét đến dạng tương tự với chúng Xét từ quan niệm đối tượng khơng gian n chiều vơ hạn chiều khơng thể đồng với hình nghiên cứu hình học sơ cấp Chẳng hạn, không gian pha n chiều hiểu tập hợp liên tục trạng thái hệ thống xác định có n bậc tự do, tức phụ thuộc vào n biến số Như vậy, khái niệm "điểm", "đường", "mặt", v.v có ý nghĩa rộng rãi Ví dụ thị giác bình thường người thích ứng với ba mầu: Đỏ (Đ), xanh (X), lục (L), cảm giác mầu sắc xem tổng hợp ba mầu sắc nêu với cường độ định x,y, z, hay ta viết: M = Đx + Xy + lz Điều có nghĩa tập hợp xác định mầu sắc tương ứng với tập hợp điểm không gian ba chiều Xét từ cách nhìn hình học sơ cấp định nghĩa mà Ơclit đưa đơn mô tả trực quan kiện kinh nghiệm đời sống hàng ngày chúng có ứng dụng hạn chế Nếu có yêu cầu phải mơ tả nhóm đối tượng khác lại phải xuất phát từ đầu 174 Trong lịch sử phát triển tốn học, xuất cơng trình Hinbec giai đoạn phát triển phương pháp tiên đề, chuyển từ tiên đề có nội dung sang tiên đề hình thức hóa Trong "cơ sở hình học", Hinbec xét ba loại đối tượng "điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" ba loại quan hệ lẫn chúng biểu thị từ "thuộc", "giữa" "tương đẳng", hồn tồn khơng cần thiết gán cho đối tượng quan hệ biểu trực quan thông thường Như vậy, vấn đề chỗ, cần phải hiểu "điểm" hình ảnh tự nhiên có tính chất trực quan hình học "đường thẳng" vật có tính chất "thẳng" Dưới danh từ "điểm", "đường thẳng",v.v Có thể hiểu được, miễn "cái đó" thỏa mãn tiên đề xác định Thực tế, người ta từ bỏ giả thuyết trực quan đối tượng Nhờ mà hệ thống tiên đề mô tả tập hợp đối tượng cụ thể nào, mà lớp trọn vẹn đối tượng đẳng cấu với Với phát triển toán học đại xâm nhập ngày sâu rộng vào lĩnh vực khoa học nêu lên vấn đề cần phải thảo luận đối tượng toán học Phải quan niệm kinh điển Ăngghen đối tượng toán học thay đổi toán học đại Vấn đề cần lý giải chỗ, để xác định lập quan hệ toán học đại số lượng, cần phải nêu quan niệm rõ ràng nội dung phạm trù triết học Chẳng hạn, nhà biện chứng Hêghen nói lượng hiểu rõ lượng xác định tồn thuộc bên ngồi không phân biệt dạng cụ thể tồn tại, lượng khác với chất chỗ, chất xác định trực tiếp đồng với tồn Chính quan niệm Hêghen lượng sở cho nhà khoa học xác định đối tượng toán học 175 Theo quan điểm vật biện chứng, quan hệ lượng phân biệt với quan hệ chất chỗ quan hệ độc lập chất đối tượng gắn với chúng Với quan niệm lượng quan hệ nghiên cứu tốn học ln ln thuộc lượng ý định yêu cầu xem lại phần khơng thuộc lượng tốn học đại khơng có Sẽ khơng đúng, ta đồng lượng phần xác định thực với cách thể hay thể khác thực khoa học nói chung tốn học nói riêng Quan niệm hồn tồn khơng có rằng, tốn học khơng thể bao trùm lúc tính xác định lượng thực tại, nên dạng biểu thực không đồng với lượng Vì tốn học khơng thể định nghĩa khoa học số đại lượng, mà thứ tự, cấu trúc yếu tố tương tự để tái lại khoa học quan hệ lượng thực Để làm sáng tỏ nhận định trên, phân tích thêm quan điểm Hêghen phân biệt lượng túy lượng xác định Theo Hêghen, lượng túy chưa có bên ranh giới nào, vật chất lượng, "kết thành khối, kéo dài bên thống vơ tận" Ví dụ khơng gian, thời gian vật chất nói chung lượng túy Như vậy, dạng khơng gian xem trường hợp riêng quan hệ lượng Chính điều nhấn mạnh tính độc lập tương đối hình học mơn tốn học khác Lượng xác định, lượng có hạn, giới hạn khơng có nghĩa thiết lập giới hạn lượng nói chung Lượng ln ln vượt khỏi ranh giới để tới ranh giới khác mà lượng xác định Tính vơ tận lượng thể lượng xác định 176 Chúng ta giới hạn lượng cách khác nhau, ta nói nhiệt độ 10 độ có nghĩa độ thứ mười theo thứ tự, tổng độ Theo Hêghen, xác định đơn giản lượng lượng xác định theo chiều sâu Lượng đạt xác định đầy đủ lượng theo chiều rộng, biên giới cho giới hạn tập hợp có thật Trong tốn học, người ta gọi cách đơn giản thứ tự số lượng Sự phân biệt thứ tự số lượng phạm vi vơ hạn có ý nghĩa to lớn Chính Rutxen khẳng định toán học đại khoa học thứ tự khơng có nghĩa phủ nhận lượng đối tượng tốn học Thực chất lượng xác định theo chiều sâu Sự khác lượng đại lượng đóng vai trị quan trọng phương pháp luận Mác "Tư bản" tiếng Mác phân biệt đại lượng giá trị với lượng lao động lượng thời gian lao động Mác viết: "Đại lượng giá trị giá trị sử dụng xác định lượng lao động, lượng thời gian lao động xã hội cần thiết để sản xuất nó" [29, tr 48] Trong tốn học đại, khái niệm cấu trúc trở thành khái niệm Do vậy, toán học có khuynh hướng đưa định nghĩa có tính chất cấu trúc cho khái niệm đối tượng tốn học Chẳng hạn nhóm nhà toán học người Pháp mang tên Bourbaki phân biệt ba dạng cấu trúc: Cấu trúc đại số, lấy quan hệ xác định cách đơn trị phần tử thứ ba theo hai phần tử đầu; Cấu trúc thứ tư (dạng x y); Cấu trúc tơ phơ, khái niệm trực quan lân cận, giới hạn liên tục thể dạng toán học Tiến xa nữa, người ta đặt giới hạn xác định lên quan hệ cho, tiên đề cấu trúc xét Trong trường hợp việc xây dựng lý thuyết cấu trúc cho đưa hệ lôgic từ tiên đề thừa nhận 177 Như vậy, quan niệm toán học khoa học lượng không trở nên lỗi thời giai đoạn phát triển tốn học, quan niệm gắn liền với thừa nhận thực khách quan phản ánh khái niệm toán học khác Ngày nay, việc mơ hình hóa tốn học điểm xuất phát, yếu tố quan trọng việc tốn học hóa khoa học đại Bản chất việc mô hình hóa tốn học chỗ, tốn học thân kí hiệu lập thành hệ thống độc lập, với cấu trúc xác định, đồng thời nghiên cứu trực tiếp đối tượng vật chất toán học thay nghiên cứu hệ thống trừu tượng xây dựng cách hình thức Phương tiện kí hiệu trường hợp cho dùng để vạch hệ rút từ sở thừa nhận đường suy diễn Mỗi ứng dụng toán học vào ngành khoa học cụ thể mơ hình hóa tốn học theo ý nghĩa nêu Khi bàn tư tưởng cụ thể việc ứng dụng phương pháp toán học xác định để nghiên cứu tượng hay tượng khác thực tiễn, ta thường gặp đối lập vật chất với dạng tốn học xác định Điều đặc biệt thường thấy tốn học hóa ngành khoa học sinh học, xã hội học v.v Để khắc phục trở ngại trên, người ta sử dụng phương pháp toán học xây dựng sở vấn đề vật lý, học, kỹ thuật Việc sử dụng phương pháp tốn học để tới vấn đề sinh học, địa chất học xã hội học, đưa tới phát minh lý thuyết toán học phù hợp với đối tượng khoa học, có ứng dụng tốn học Hiện việc sáng lập mơn tốn học sinh học, địa chất xã hội học vấn đề cấp thiết mà tất nhà khoa học giới quan tâm Như vậy, thực chất mơ hình hóa tốn học phương tiện nhận thức khoa học, đường tích cực dẫn đến 178 phát minh khoa học Mơ hình hóa tốn học mơ hình khái qt trừu tượng, mơ hình nghiên cứu loại hệ thống có cấu trúc mà không kể đến chất loại hệ thống Nhờ mà mơ hình - cấu trúc phù hợp với cấu trúc nhiều đối tượng có chất khác Do vậy, tư tưởng mơ hình hóa tốn học cho phép ta giải nhiều vấn đề giới hữu sinh, kỹ thuật xã hội quan điểm thống Mặc dù mơ hình tốn học, kí hiệu mối liên hệ chúng khơng rõ thực, điều hồn tồn khơng có nghĩa sáng tạo tùy ý nhà khoa học Điều giải thích tư người cố gắng phân tích quan hệ tồn thực vật, tượng giới tự nhiên để xây dựng nên khơng tồn dạng túy giới tự nhiên, sau tạo biểu tượng chép lại tự nhiên Những mơ hình biểu tượng trừu tượng, khái quát, chúng phản ánh nét chung lớp cấu trúc có thực, bề dường chúng chẳng liên quan đến gì, thực tế giới thực nằm lớp cấu trúc lại liên quan với chúng Điều xảy chừng mà kí hiệu, tượng trưng dù hình thức thức nào, từ đầu phải xây dựng sở tư tưởng - hình ảnh vật khách quan Nhờ mà tốn học ln ln trì mối liên quan với giới khách quan Nhờ vậy, phát triển tốn học điều kiện cần thiết q trình tốn học hóa khoa học đại, đồng thời khẳng định toán học sợi dây liên lạc khoa học ngôn ngữ khoa học nói chung 179 KẾT LUẬN Sự phân tích cách tỉ mỷ, sâu sắc, tồn diện có hệ thống đối tượng tốn học có ý nghĩa to lớn không riêng ngành tốn học, tức khơng nhằm mục đích khẳng định cách có sở khoa học vị trí vai trị tốn học đời sống xã hội phát triển khoa học khác, mà cịn góp phần xác nhận tính đắn triết học vật mác-xít với tư cách phương pháp luận cho phát triển khoa học nói chung Vấn đề khơng phải đơn giản chỗ nguồn gốc chất đối tượng toán học, mà điều đối tượng toán học, mà điều làm bật vấn đề triết học nói chung, đặc biệt vấn đề nhận thức khoa học thông qua phân tích nói Bản thân đối tượng tốn học trừu tượng, nhìn vào hình thức, chẳng hạn số phức, cấu trúc đại số, hình học phi ơclít v.v Chúng ta dễ bị cảm nhận điều đối tượng hoàn toàn xa rời thực, tồn độc lập khách thể tinh thần trừu tượng mối quan hệ với giới thực Nhưng tất vấn đề triết học rút trình khảo sát đối tượng toán học qua thời kỳ lịch sử phát triển khác nhau, mang lại cho giá trị nhận thức to lớn Những kết luận triết học rút vai trị "tác chiến" kí hiệu toán học, ý nghĩa đại lượng toán học biến thiên với việc đời môn lý thuyết xác suất thống kê, cho phép ta nghiên cứu tượng ngẫu nhiên chứng sinh động để khẳng định vai trò tốn học q trình nhận thức giới khách quan Một thật khơng thể bỏ qua tốn học ngày thâm nhập sâu rộng vào ngành khoa học khác nhau, góp phần tích cực vào việc củng cố thúc đẩy khoa học phát triển, vật lý học, toán học, sinh học v.v Việc tốn học hóa khoa học thời đại ngày diễn 180 chiều rộng lẫn chiều sâu xác nhận vấn đề có ý nghĩa thời đại khả ứng dụng sức sáng tạo toán học nhiều lĩnh vực đời sống xã hội Các đối tượng tốn học có q trình hình thành phát triển gắn liền với vận động xã hội lồi người Điều chứng tỏ, thành mà tốn học có kết tinh trí tuệ người thực tiễn sống sinh động Xuất phát từ lập trường vật mác-xít đối tượng toán học, tác giả luận án phân tích sở phát triển tốn học, đặc biệt quan tâm đến ảnh hưởng yếu tố bên bên với tác động qua lại chúng Tất điều nhằm mục đích giải vấn đề có ý nghĩa thực tiễn ngành toán học nước nhà muốn phát triển cách tồn diện có hệ thống, tiến kịp trình độ tốn học văn minh nhân loại cần phải có đầu tư thích đáng Nhà nước, quan tâm toàn dân, để bồi dưỡng tạo hội cho tài toán học vươn lên cống hiến cho khoa học Đó việc làm mang ý nghĩa khoa học nhân văn sâu sắc Nói tóm lại, tồn khía cạnh triết học đề cập đến luận án góp phần khẳng định quan điểm chủ nghĩa vật mác-xít cho rằng, tốn học khoa học có sở từ thực, có giá trị nhận thức to lớn, đồng thời phủ định quan điểm tâm, siêu hình xem tốn học sản phẩm tư túy hoàn toàn độc lập với giới thực Điều có ý nghĩa lớn phát triển tốn học nói riêng khoa học nói chung 181 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạ Quang Bửu (1961), Về cấu trúc Bourbaki, Nxb Khoa học, Hà Nội Nguyễn Trọng Chuẩn (1995), Triết học Tây Âu kỷ XVII - XVIII R Đêcactơ, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội Nguyễn Trọng Chuẩn (chủ biên) (2000), Sức sống tác phẩm triết học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội Nguyễn Trọng Chuẩn - Nguyễn Văn Nghĩa - Lê Hữu Tầng (1973), C.Mác, Ph.Ăngghen, V.I.Lênin mối quan hệ triết học khoa học tự nhiên, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội Nguyễn Trọng Chuẩn (chủ biên) (1997), I.Cantơ - Người sáng lập triết học cổ điển Đức, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội Vương Tất Đạt (1999), Lơgíc học (Sách bồi dưỡng giáo viên phổ thơng Trung học), Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Bá Đơ - Hồ Châu (2001), Các câu chuyện tốn học, tập 1, "Tất nhiên ngẫu nhiên", Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Bá Đô - Hồ Châu (2001), Các câu chuyện toán học, tập 2, "Cái biết chưa biết", Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Bá Đô - Nguyễn Mạnh Hùng - Nguyễn Văn Túc (2003), Các câu chuyện toán học, tập 3, "Khẳng định phủ định", Nxb Giáo dục, Hà Nội 10.Nguyễn Bá Đơ (chủ biên) (2001), Các câu chuyện tốn học, tập 4, "Hữu hạn vô hạn", Nxb Giáo dục, Hà Nội 11.Nguyễn Bá Đô (chủ biên) (2002), Các câu chuyện tốn học, tập 5, "Đại lượng khơng đổi đại lượng biến đổi", Nxb Giáo dục, Hà Nội 182 12.S.L.EDENMAN (1981), Lơgic Tốn, Người dịch: Nguyễn Mạnh Q, Nxb Giáo dục, Hà Nội 13.Đinh Văn Gắng (2003), Lý thuyết xác suất thống kê, Nxb Giáo dục, Hà Nội 14.Lê Văn Giang (2000), Khoa học kỷ XX số vấn đề lớn Triết học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 15.Trần Diên Hiển (2000), Các tốn suy luận lơgic, Nxb Giáo dục, Hà Nội 16.Nguyễn Cảnh Hồ (2000), Một số vấn đề triết học vật lý học, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội 17.Nguyễn Văn Hộ (2001), Xác suất thống kê, Nxb Giáo dục, Hà Nội 18.Tô Duy Hợp (chủ biên) (1985), C.Mác, Ph.Ăngghen, V.I.Lênin bàn lôgic biện chứng, Nxb Thông tin lý luận, Hà Nội 19.Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội 20.V.I.Lênin (1980), Toàn tập, tập 18, Nxb Tiến bộ, Matxcơva 21.V.I.Lênin (1980), Toàn tập, tập 29, Nxb Tiến bộ, Matxcơva 22.V.I.Lênin (1980), Toàn tập, tập 45, Nxb Tiến bộ, Matxcơva 23.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 2, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 24.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 3, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 25.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 19, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 26.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 20, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 183 27.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 21, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 28.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 22, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 29.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 23, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 30.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 25, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 31.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 32, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 32.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 45, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 33.V.N Mơlôtsi (1962), Một số vấn đề triết học sở toán học, Người dịch: Nguyễn Văn Bàng - Nguyễn Văn Thành - Hoàng Chúng, Nxb Giáo dục, Hà Nội 34.K.M Pha-ta-li-ep (1961), Chủ nghĩa vật biện chứng khoa học tự nhiên, Người dịch: Nguyễn Gia Lộc, Nxb Sự thật, Hà Nội 35.Nguyễn Hoàng Phương (1995), Tích hợp đa văn hố Đơng Tây cho chiến lược giáo dục lâu dài, Nxb Giáo dục, Hà Nội 36.K.A.Rúp-ni-cốp (1967), Lịch sử toán học, tập I, Người dịch: Vũ Tuấn Phạm Gia Đức - Hoàng Chúng, Nxb Giáo dục, Hà Nội 37.K.A.Rúp-ni-cốp (1967), Lịch sử toán học, tập II, Nxb Giáo dục, Hà Nội 38.W.W SAWYEK (1979), Đường vào toán học đại, Người dịch: Phan Văn Cự - Trần Trung, Nxb Khoa học Kỹ thuật 39.Phương Kỳ Sơn (2001), Phương pháp nghiên cứu khoa học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 40.A.N.STEWART (1986), Những khái niệm toán học đại, tập 1, Người dịch: Phan Văn Cự, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 184 41 Đinh Ngọc Thanh - Nguyễn Đình Phủ - Nguyễn Công Tâm - Đặng Đức Trọng (2002), Giải tích Hàm biến, Nxb Giáo dục, Hà Nội 42.Nguyễn Duy Thơng (chủ biên) (1997), Vai trị phương pháp luận Triết học Mác - Lênin phát triển khoa học tự nhiên, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội 43.Nguyễn Cảnh Toàn (1962), Cơ sở Hình học, Nxb Giáo dục, Hà Nội 44 Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán, tập I, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội 45.Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán, tập II, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội 46 Từ điển Bách khoa Việt Nam (1995), Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội 47 Từ điển Bách khoa Việt Nam (2002), Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội 48 Từ điển Bách khoa Việt Nam (2003), Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội 49 Từ điển Triết học (1986), Nxb Tiến Matxcơva 50 Vũ Văn Viên (1996), Một số vấn đề triết học toán học (tập giảng dành cho nghiên cứu sinh cao học chuyên ngành triết học), Trung tâm Khoa học Xã hội Nhân văn Quốc gia, Viện Triết học, Hà Nội 51 Viện Triết học (1972), Triết học khoa học cụ thể, tập I, Triết học khoa học tự nhiên, Nxb Khoa học, Hà Nội TIẾNG NGA 52 , 53 54 185 55 "" 56 , " " 57 , , 58 59 , 60 61 62 , " " 63 "" 64 "", 65 , "" 66 67 "", 68 69 , "" 70 " " N0 1, ... đối tượng tốn học Để thực mục đích trên, luận án tập trung giải nhiệm vụ sau đây: - Phân tích làm rõ chất đối tượng toán học, mối quan hệ chặt chẽ toán học với giới thực toán học với khoa học. .. hình đối tượng phát triển theo quy luật toán học 1.2 PHÂN TÍCH QUAN ĐIỂM CỦA CHỦ NGHĨA DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TOÁN HỌC 1.2.1 Quan niệm mác-xít đối tượng trực tiếp tốn học 14 Trong. .. tượng tốn học, tìm hiểu khía cạnh triết học tốn học sở phân tích đối tượng vấn đề có ý nghĩa lớn phát triển khoa học, mà thực tiễn xã hội Từ quan niệm Ph.Ăngghen: Đối tượng toán học quan hệ số