Đang tải... (xem toàn văn)
1. Ảnh hưởng của những yếu tố khách quan đối với sự phát triển của toán học Xuất phát từ lịch sử của toán học chúng ta có thể phân chia tất cả những yếu tố quan trọng nhất có ảnh hưởng đến qua trình phát triển của toán học thành những yếu tố bên ngoài và yếu tố bên trong. Có thể nói rằng tất cả những nhu cầu của sản xuất xã hội, của kinh tế và kỹ thuật, đồng thời cả những nhu cầu của khoa học xã hội nhân văn và khoa học tự nhiên đều có liên quan đến yếu tố bên ngoài của sự phát triển những học thuyết và tư tưởng toán học. Trên thực tế, triết học, hệ tư tưởng thống trị và môi trường văn hóa khoa học của thời đại cũng có ảnh hưởng to lớn đến sự phát triển của toán học.
QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ CƠ SỞ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC Ảnh hưởng yếu tố khách quan phát triển toán học Xuất phát từ lịch sử toán học phân chia tất yếu tố quan trọng có ảnh hưởng đến qua trình phát triển tốn học thành yếu tố bên ngồi yếu tố bên Có thể nói tất nhu cầu sản xuất xã hội, kinh tế kỹ thuật, đồng thời nhu cầu khoa học xã hội - nhân văn khoa học tự nhiên có liên quan đến yếu tố bên phát triển học thuyết tư tưởng toán học Trên thực tế, triết học, hệ tư tưởng thống trị mơi trường văn hóa - khoa học thời đại có ảnh hưởng to lớn đến phát triển toán học Trước hết toán học tất khoa học khác, xuất thiết phải đáp ứng cho nhu cầu sản xuất xã hội Điều thể rõ từ thời Ai Cập cổ đại, tốn học có tính chất thực dụng cách túy, đồng thời đa số phương pháp toán học sử dụng để giải nhiệm vụ nhu cầu thực tiễn việc đo đạc đất đai, việc tính tốn thể tích vật thể xây dựng cơng trình (chẳng hạn cơng trình tiếng kim tự tháp) v.v Rõ ràng rằng, từ cội nguồn xuất phát đó, phép đếm sơ đẳng cách đo đạc sử dụng nhiều kỷ Nhưng với xuất văn minh, phát triển tri thức toán học diễn tác động qua lại, gắn bó hữu với tự nhiên học Lịch sử tốn học văn hóa nói chung tích lũy khối tư liệu khổng lồ, chứng tỏ cách chắn khái niệm xuất phát phương pháp ngành cổ xưa tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn, cụ thể số học hình học Trên thực tế tư tưởng toán học hình thành ảnh hưởng nhu cầu sản xuất xã hội, kinh tế, kỹ thuật, thương mại, quân v.v tại, đa số nhà khoa học khơng phủ nhận điều Trong lịch sử khoa học đặc biệt triết học có khơng nhà hoạt động khoa học xem xét phát triển toán học độc lập với kinh nghiệm thực tiễn Những quan điểm tính chất tiên nghiệm tri thức toán học truyền bá rộng rãi triết học tâm, kể xã hội đại Về vấn đề này, số nhà khoa học có quan niệm sai lầm rằng, lý thuyết toán học thiết lập với việc giải vấn đề khoa học kỹ thuật tự nhiên, điều dường chứng tỏ tốn học phát triển sở tài liệu tự nhiên học khoa học cụ thể khác, sản xuất, kỹ thuật kinh tế v.v Sự thực người đứng phía quan điểm thừa nhận đặc điểm quan trọng phát triển tri thức toán học chỗ, từ thời điểm xác định đó, nhu cầu sản xuất, kỹ thuật kinh tế thường xuyên phản ánh thông qua nhu cầu khoa học gần gũi với sản xuất Nhưng điều lại hồn tồn khơng phải sở để loại trừ tác động thực tiễn đến phát triển toán học Đồng thời khơng chứng tỏ rằng, tốn học phát triển dựa sở tư liệu tri thức túy Điều quan trọng phải lý giải cần thiết việc tác động nhu cầu sản xuất, kỹ thuật kinh tế phát triển tốn học Sự tác động trở nên gián tiếp ngày phức tạp Ở đây, cần phải nói rằng, tốn học phát triển dựa sở khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật khoa học xã hội nhân văn, khoa học lại khai thác tư liệu, vấn đề đưa mục đích từ thực tiễn Cho dù khoa học có tính độc lập tương đối, có tính lơgic bên phát triển khái niệm lý thuyết khơng phải mà nghi ngờ rằng, mối liên hệ chúng với sản xuất xã hội, với kỹ thuật kinh tế bị giảm bớt Mặt khác, chất trừu tượng tốn học tính chất tư biện phép chứng minh toán học, tác động yếu tố bên mạnh Chính vậy, người ta thường vin vào tình tiết với tư cách chứng cớ để chứng minh rằng, phát triển toán học diễn độc lập với thực tiễn Tính thiếu chứng cớ chỗ, cường điệu tuyệt đối hóa cách mức thời điểm tính độc lập tương đối phát triển tri thức tốn học, mà khơng cân nhắc đến vai trị yếu tố bên ngồi, đặc biệt vai trò sản xuất xã hội phát triển khoa học nói chung qua kéo theo phát triển toán học Trong giải thích sai lệch vai trị yếu tố bên phát triển toán học, nhà khoa học tâm đơi phủ định hồn tồn khuynh hướng nhận thức tốn học Điều thể rõ quan điểm số nhà khoa học, xuất phát minh hình học phi ơclít Các nhà triết học tâm, giải thích vai trò yếu tố bên phát triển tốn học khơng ý đến tính kế thừa phát triển lý luận khả phát triển nội tri thức toán học Từ lập trường vật biện chứng, có đầy đủ sở khoa học để nhận thấy rằng, biến đổi thân toán học nhiều mặt định nhu cầu khoa học tự nhiên, kỹ thuật qua chúng định nhu cầu sản xuất xã hội Chẳng hạn, việc chuyển từ toán học đại lượng bất biến sang toán học đại lượng biến thiên dẫn đến đời mơn giải tích tốn học, mà sở phép tính vi phân tích phân Sự chuyển biến định trước hết nhu cầu học, thiên văn học tri thức kỹ thuật Cụ thể hơn, vấn đề nghiên cứu vận động trình biến đổi vật, tượng giới khách quan tạo phát triển khoa học nói trên, hệ thống tốn học đại lượng biến thiên thành lập để phân tích vấn đề Tiếp theo, nhu cầu phát triển lực lượng sản xuất việc chuyển từ lao động chân tay sang sản xuất khí xã hội tư kích thích học thiên văn học phát triển Chính điều nói cách mạng tốn học, đánh dấu việc mở rộng phạm vi nghiên cứu toán học, việc chuyển từ việc nghiên cứu tính phụ thuộc đại lượng đến việc nghiên cứu cấu trúc trừu tượng hình dạng khơng gian quan hệ số lượng phức tạp Việc thành lập môn kỹ thuật - điện toán mở rộng cách đáng kể khả áp dụng phương pháp toán học khoa học, kinh tế kỹ thuật Có thể nói rằng, việc áp dụng rộng rãi phương pháp tốn học kết phát triển mạnh mẽ khoa học - kỹ thuật rốt dẫn đến cách mạng khoa học công nghệ đại Sự tác động yếu tố bên triết học văn hóa tinh thần nhìn chung thể trước hết nguyên tắc lập luận toán học, chất giá trị khoa học tập trung ý đến vấn đề lý luận hay lý luận khác Đặc biệt tác động cịn thể việc giải thích vấn đề tốn học như: tính chân lý phép chứng minh, mối quan hệ qua lại vô hạn hữu hạn, lơgic trực giác, nội dung hình thức Trên thực tế, vấn đề nói thường vũ đài tranh luận chương trình khác lập luận tốn học, chẳng hạn chúng đưa với việc xuất nghịch lý lý thuyết tập hợp Bản thân triết học có vai trị to lớn việc giải thích chất lý thuyết tập hợp, rõ thực chất tranh luận trường phái triết học khác chất tập hợp khách thể trừu tượng khác toán học Sự ảnh hưởng tiêu cực triết học tiên nghiệm kinh nghiệm đến phát triển toán học thể rõ việc phát minh hình học phi ơclít Trái lại với quan điểm trên, chủ nghĩa vật biện chứng cho phát minh hình học phi ơclít chứng tỏ cách đắn sức sáng tạo tri thức lý luận đường biện chứng nhận thức qua chân lý tương đối Như vậy, ảnh hưởng tư tưởng triết học văn hóa tinh thần nói chung đến phát triển tốn học rõ ràng Để minh chứng cho điều xem xét số thí dụ lịch sử khoa học Trước hết hoạt động nhà triết học kiêm toán học vĩ đại Hy Lạp cổ đại - Đêmơcrít Ơng nhà bác học sử dụng có kết phép phân chia vật thể thành lớp mỏng để tính thể tích chúng Về thực chất, phương pháp liên hệ chặt chẽ với học thuyết cấu tạo ngun tử vật thể mà Đêmơcrít phát triển sau Lơxíp Bằng phương pháp đó, Đêmơcrít chứng minh quy tắc khơng để tính thể tích hình chóp, mà cịn tính thể tích hình trụ, hình nón, hình cầu nhờ ơng khắc phục khó khăn mà trước nhà hình học trường phái Pitago khơng thể vượt qua Như vậy, Đêmơcrít tiến bước việc xây dựng tiên đề phép tính tích phân lý thuyết giới hạn, từ ta đốn trước kết cần tìm Nhà tốn học cổ đại Hy Lạp tiếng Acsimét đánh giá tác dụng phương pháp Đêmơcrít, phát triển phương pháp sử dụng để giải tốn tĩnh học hình học phức tạp Nhờ việc đánh giá phương pháp Đêmơcrít, Acsimét thấm nhuần địi hỏi thực tiễn nghiên cứu tiến thời đại Trong đó, Platơn - người sáng lập chủ nghĩa tâm khách quan, lại tỏ thái độ hồn tồn khác Đêmơcrít Platơn thể thái độ đối đầu với học thuyết Đêmơcrít giới, sở vật quan điểm Đêmơcrít chuyển động vĩnh viễn tiêu diệt nguyên tử dung hòa với tư tưởng sai lầm công nhận tồn thượng đế Platon khơng phê bình học thuyết Đêmơcrít mà muốn mua tất đốt tất cơng trình Đêmơcrít Điều mà Platon khơng làm kẻ có quyền lực tư tưởng với ông ta thực thời gian ngắn Ở thời đại Acsimét, việc tìm kiếm tác phẩm Đêmơcrít khó khăn trường hợp Rõ ràng điều cản trở truyền bá rộng rãi tư tưởng tiến Đêmơcrít, đặc biệt tư tưởng vật ông Một thật lịch sử vào thời kỳ phong kiến, đặc biệt nước tây Âu, thống trị nhà thờ, người ta ban hành đạo luật trừng phạt nặng nhà khoa học, ngược lại lý thuyết thần học Dưới đạo luật đó, khơng phải nhà khoa học Brunơ bị chết lửa thiêu Cơ sở thực tế kiện dã man thời kỳ phong kiến, ngồi nhận thức trị lý luận khác nhau, yêu cầu hoạt động sản xuất tốn học nói chung nhỏ, khơng đáng kể Để sáng tỏ thêm vấn đề, xem xét thêm hoạt động nhà toán học vĩ đại người Pháp Cô-si, đồng thời tín đồ tơn giáo Như biết vào nửa đầu kỷ XIX, lý thuyết giới hạn thiết lập đánh dấu đời mơn giải tích học Những vấn đề vô hạn tiềm trở thành khái niệm sở giải tích học Bây tìm hiểu quan điểm Cơ-si vơ hạn Đầu tiên Cô-si cách đắn rằng, tập hợp vật thể vơ hạn hay vật thể chia đến vơ hạn, đặc điểm số lượng tập hợp tất vật thể đó, tập hợp phần vật thể biểu diễn số tự nhiên Đó luận điểm đúng, để mô tả cho nội dung có sử dụng số vơ hạn Nhưng Cơ-si lại khẳng định rằng, khơng thể có ý kiến số vô hạn sinh vật số vô hạn vật thể tồn mà không rơi vào mâu thuẫn hiển nhiên Theo Cô-si, mâu thuẫn khái niệm tập hợp vô hạn chỗ, tập hợp đối tượng mà vơ hạn ta đặt tất đối tượng theo dãy đó, đánh số chúng cho số hiệu chúng lập thành dãy số tự nhiên 1, 2, 3, , n, phải giả thiết dãy số kéo dài đến vô hạn Cô-si cho điều giả thiết vơ lý Ơng lập luận sau: Nếu dãy số tự nhiên kéo dài đến số vô hạn mặt, có số tự nhiên có nhiêu số tự nhiên phương, vì, với số tự nhiên n tương ứng với số n2 ngược lại 1, 2, 3, , n, 12, 22, 33, , n2, Mặt khác, số tự nhiên n lớn, tỷ số số phương từ đến n trở nên nhỏ đi, từ phải kết luận rằng, dãy số tự nhiên kéo dài đến vơ hạn, bình phương dãy số phận vơ nhỏ bé dãy số Theo Cơ-si, giả thiết dãy số kéo dài đến vô hạn đưa đến mâu thuẫn rõ ràng, cần phải bác bỏ giả thiết Đó lý Cơ-si khơng nghiên cứu tính chất tập hợp vô hạn, ông ta, vô hạn vô hạn tiềm Kết luận Cô-si sai lầm chỗ, ông xuất phát từ việc đồng tính chất tập hợp vơ hạn tập hợp hữu hạn cách khơng có Điều khẳng định Cô-si phủ nhận tính chất khách quan khái niệm tập hợp vơ hạn, mà chứng tỏ rằng, tập hợp hữu hạn vơ hạn có nhiều tính chất khác Ví dụ, điều khẳng định "tồn thể lớn phận nó" với tập hợp hữu hạn, mà không lĩnh vực tập hợp vơ hạn Lịch sử phát triển tốn học ghi nhận rằng, chuyển biến quan trọng phát triển nội dung phương pháp luận tốn học giải tích gắn liền với tên tuổi Cơ-si Nhưng đây, Cơ-si lại phản bác lại phương pháp luận khoa học vấn đề chất tập hợp vô hạn Điều dễ hiểu, Cơ-si tín đồ tôn giáo, mà theo lời dạy tôn giáo nguồn gốc giới có người đầu tiên, khoảnh khắc mà trái đất xuất không gian bắt đầu tồn Điều hoàn toàn trái ngược với việc công nhận tồn tập hợp vơ hạn đồ vật Có thể nói rằng, đầu thần bí luận ngăn cản Cơ-si nhìn thấy cơng cụ có hiệu tốn học giải tích khái niệm vơ hạn thực Nhưng thần bí luận cản trở khơng phải Cơ-si, thật lịch sử tốn học vào nửa cuối kỷ XIX, học thuyết nhà thờ nhà toán học theo lý luận ngăn cản nhà tốn học Cantor hoàn thiện lý thuyết tổng quát tập hợp Họ tìm cách để ngăn cản cơng trình nghiên cứu Cantor, đồng thời lời công kích Cantor, họ sử dụng cơng trình nghiên cứu Cô-si vô hạn thực Nhưng thời đại Cantor, lý thuyết tập hợp trở nên cần thiết cho phát triển sau tốn học, Cantor bất chấp cơng kích nhà thần học, tiếp tục hồn thiện cơng trình Nhưng nghịch lý lý thuyết tập hợp phát nhà thần học lại lần cơng kích kịch liệt khái niệm vô hạn thực Tuy nhiên, cần phải thấy rằng, tư tưởng thần học hệ tư tưởng thống trị giai cấp bóc lột cản trở nhiều phát triển khoa học tự nhiên nói chung tốn học nói riêng, song điều khơng thể buộc khoa học ngược lại quy luật khách quan Điều dễ nhận thấy thời kỳ tư công nghiệp, việc sử dụng cách tự giác nội dung khách quan khoa học tự nhiên tốn học vơ cần thiết cho phát triển sản xuất, nhà thần học phải hạn chế tham vọng Một mặt, nhà tâm thần học nắm lấy lý luận mà theo họ khoa học để phủ định chân lý toán học nhằm bảo vệ trong lý thuyết họ Mặt khác, họ nhà tư có khả sử dụng toán học theo cần thiết thực tế Một thực tế chân lý khoa học tự nhiên toán học có tính chất khách quan chủ nghĩa vật luôn sở triết học chúng Những thành tựu tốt đẹp khoa học tự nhiên toán học gắn liền với thực trạng thực tiễn hoạt động khoa học, nhà bác học quan điểm vật đối tượng đạo Tiếp đó, ta nhận thấy, xã hội nào, đặc biệt xã hội xây dựng sở bóc lột áp quần chúng lao động, ta thấy có người tiến thời đại Những người nhận thức rõ vai trò cao khoa học nghiệp phục vụ nhân dân cách vô tư kiên đấu tranh chống lại việc sử dụng khoa học vào mục đích có hại cho lồi người, đồng thời phản đối lại xuyên tạc nội dung khoa học Vào kỷ thứ XIX, quan điểm toán học phổ biến vấn đề khoa học, đổi vĩ đại mặt tư tưởng nhận thức rõ ý nghĩa xã hội quan trọng bậc giáo dục hoạt động khoa học, nét đặc sắc gắn liền với sáng tạo toán học tiến nhân loại Chẳng hạn, Lôbasepxki nhà vật có tinh thần chiến đấu cao Ơng nhìn nhận vấn đề sở phát triển toán học quan điểm vật, đấu tranh chống lại luận điệu xuyên tạc tâm siêu hình nhận thức nội dung quy tắc tốn học Điều đóng vai trò to lớn thành tựu sáng tạo Lơbasepxki, đặc biệt việc xây dựng hình học Hypecbơlíc Quan điểm vật vấn đề giảng dạy tốn học giúp cho Lơbasepxki hồn thiện cách khoa học loạt vấn đề phương pháp dạy tốn trường phổ thơng Đối với Se-bư-trép, phát triển tốn học có liên quan chặt chẽ đến phân tích khoa học tồn diện vấn đề thực tiễn Những thành công Sê-bư-trép, đặc biệt cơng trình nghiên cứu ông hàm số gắn liền với quan điểm vật khoa học mối quan hệ tương hỗ tốn học thực tiễn Nói tóm lại, chủ nghĩa tâm lẫn chủ nghĩa vật mác-xít cơng nhận rằng, phát triển tốn học, ngun nhân tư tưởng đóng vai trò quan trọng Nhưng chủ nghĩa tâm giải thích lực lượng tư tưởng cách sai lệch, siêu hình Nó giải thích chúng nguyên nhân xuất phát sáng tạo nhà khoa học, khơng nhìn thấy suy cho lực lượng sinh từ vấn đề phát triển đời sống vật chất xã hội Ảnh hưởng yếu tố bên đến q trình phát triển tốn học Xuất phát từ phân tích cách khoa học ảnh hưởng yếu tố bên đến phát triển tốn học, khẳng định cách chắn chắn rằng, tốn học có nguồn gốc từ hoạt động thực tiễn người Nhưng khơng phải mà lại kết luận rằng, lý thuyết tốn học xuất có yêu cầu cụ thể hoạt động thực tiễn người Ở ta muốn đề cập đến vai trò yếu tố bên q trình phát triển tốn học Những yếu tố bên phát triển toán học bắt đầu thể rõ nét từ thời điểm hình thành tốn học khoa học lý thuyết, có nghĩa từ thời điểm tốn học xuất vấn đề đặc thù có liên quan đến việc hệ thống hóa chỉnh lý tư liệu thực tích lũy, liên quan với việc hoàn thiện phát triển phương pháp, khái niệm, lý thuyết toán học, đồng thời liên quan tới việc khắc phục khó khăn nghịch lý xuất toán học Chừng tất vấn đề xuất lĩnh vực tốn học chúng gọi yếu tố bên phát triển tri thức toán học Chủ nghĩa vật biện chứng chứng minh rằng, nhờ tính khách quan quy luật lôgic kiện khoa học tự nhiên, đặc biệt nhờ xu hướng thực tế lý thuyết khoa học tự nhiên mà thân chúng có khả nội phát triển Điều có nghĩa là, phát triển khoa học tự nhiên có tính độc lập tương đối Trong toán học, xem xét tiền đề thực trình hình thành khái niệm số thực số ảo, xem xét điều kiện phát sinh 10 thuẫn nội lý luận Cách giải Cac-da-nơ xác lại dẫn đến bế tắc Vấn đề phải quan tâm đến cần phải xét lại bậc hai số âm Giả sử ta coi dạng số mới, kí hiệu i tính tốn bình thường số khác, đồng thời áp dụng phương pháp Cac-da-nơ, ta tìm ba nghiệm số x = 1; x2 = x3 = -3 Trong trường hợp này, số ảo i (i2 = -1) cầu nối từ thực đến thực Nhưng sử dụng công thức để giải việc từ thực đến thực phải mượn khái niệm trừu tượng ảo làm cầu nối Điều có nghĩa nhận thức từ thực đến thực khác đường phải thông qua tư trừu tượng Theo quan điểm vật biện chứng, chặng đường tư trừu tượng toán học phong phú phức tạp, phải chấp nhận tư trừu tượng có khơng liên quan tới thực ta phải ln ln tơn trọng tính độc lập tương đối tư trừu tượng Trong lịch sử toán học, nhiều nhà triết học toán học cách chứng minh rằng, chân lý khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn theo họ, định lý toán học thiết phải phản ánh quan hệ thực Chính điều làm nghèo nàn tranh nhận thức Trên thực tế ta cần phải hiểu rõ điều rằng, xét tồn thể chân lý cần phải kiểm nghiệm thực tiễn, song thực tiễn lúc tiêu chuẩn để xét chân lý tương đối, phán đoán rút tồn q trình nhận thức, đặc biệt khâu tư trừu tượng Bởi vậy, tốn học ln ln có phán đốn, kết luận không thiết phải phản ánh thực thời điểm Lịch sử tốn học chứng tỏ rằng, đường chủ yếu phát triển xây dựng sở lý thuyết toán học, khái niệm, nguyên lý mệnh đề toán học đường mở, khái quát hóa, mà cũ phản ánh dạng thống nhất, xem mâu thuẫn không đối kháng thể thống tổng 12 quát Chẳng hạn, xây dựng lý thuyết trường số thực, người ta xuất phát từ thực tế hạn chế phạm vi số hữu tỷ khơng thể biểu diễn độ dài cạnh huyền tam giác vng có cạnh đơn vị, độ dài đường trịn diện tích hình trịn số Từ đó, người ta khám phá rằng, trường số hữu tỷ khơng có tính liên tục, cịn đường thẳng có tính liên tục Từ khám phá đó, người ta bắt đầu xem xét hai loại lát cắt đối lập lĩnh vực số hữu tỷ Đó loại cắt xác định số hữu tỉ loại cắt không xác định số hữu tỷ Khi đó, loại lát cắt xác định số hữu tỉ có tính chất số hữu tỷ (tập hợp tất lát cắt loại đẳng cấu với tập hợp tất số hữu tỷ) gọi chúng số hữu tỷ, cịn lát cắt khơng xác định số hữu tỷ xem số thuộc loại gọi chúng số vô tỷ Tập hợp tất hai loại lát cắt số thực Việc nghiên cứu tính chất trường số thực cho thấy rằng, trường số thực có tính chất liên tục tập hợp điểm đường thẳng Nhờ mà điểm đường thẳng số thực ta thiết lập tương ứng - một, bảo tồn thứ tự nối tiếp phần tử giải toán hình học giải tích tốn học Cũng từ đó, ta tìm thấy kết cần thiết cho tốn học, tập hợp tất lát cắt trường số thực coi thống mâu thuẫn, mà cụ thể thống dạng lát cắt đối lập Nghiên cứu dạng lát cắt cho phép ta khám phá quan hệ tương hỗ khác nhau, cho phép ta xây dựng lý thuyết số thực loại trừ mâu thuẫn khái niệm thống số thực Về nguyên tắc, đường phát triển lôgic dạng số khác số dương số âm, số hữu tỷ số phức, xây dựng dựa lý thuyết cặp tiến hành Từ đó, ta rút kết luận: Sự phân 13 đơi thống đấu tranh phận mâu thuẫn quy luật chi phối cho việc đặt sở lý thuyết số tốn học đại Chính quy luật đóng vai trị sở cho phát triển lơgic giải tích tốn học Chính lịch sử xây dựng phát triển sở lôgic cho khái niệm hàm số tích phân chứng minh điều Trong lịch sử tốn học, phát minh hình học Hypeclơlic, Lơbasepxki Bơliai nhận thức rằng, hình học bao hàm hình học ơclít Thế nhiều nhà tốn học đương thời khơng cơng nhận điều coi hình học Hypecbơlic đối lập hồn tồn với hình học ơclít Sự đối lập sâu sắc đến mức việc xác minh tương đương với việc thừa nhận sai Nhưng sau này, nhà toán học phủ nhận luận điệu đối lập siêu hình Rieman phát minh hình học - hình học Eliptíc chứng minh rằng, ba mơn hình học ơclít, Eliptic Hypecbôlic lĩnh vực riêng biệt lý thuyết thống không gian Trên sở đó, Rieman rằng, tiến trình phát triển lơgic mình, hình học tn theo quy luật giống lý thuyết số giải tích tốn học Một vấn đề liên quan chặt chẽ với khả phát triển nội tốn học, lý thuyết toán học xây dựng thường xảy vấn đề tốn trình bày với lập luận lý thuyết đó, khơng thể giải phương tiện Các nhà tốn học liên tục tìm cách giải vấn đề tốn thường vượt xa khỏi giới hạn lý thuyết nghiên cứu Những cố gắng động lực bên thúc đẩy mạnh mẽ phát triển toán học Nhìn chung, kết đạt quý báu so với toán vấn đề sản sinh Chẳng hạn, cố gắng nhằm chứng minh định lý lớn Phecma: "Phương trình xn + yn = zn với n > x, y giải trường hợp số nguyên" thúc đẩy nhà toán học xây dựng nên lý thuyết Iđêan sở lý thuyết vành toán học đại Đồng thời, nỗ 14 lực nhà toán học cổ Hy Lạp để giải ba toán tiếng thời xưa: Bài toán chia ba góc; gấp đơi hình lập phương cầu phương vịng trịn thúc đẩy họ nghiên cứu thiết diện hình nón số đường cong siêu việt, phát triển phương pháp hình học để giải phương trình bậc ba Nói tóm lại, xuất hiện, lý thuyết toán học thường thúc đẩy toán học phát triển mạnh mẽ Dưới ánh sáng phát minh mới, khái niệm phương pháp toán học có nội dung phát triển nội dung thành kiện toán học Chẳng hạn, biết, phát minh phép tính vi phân tích phân có ảnh hưởng to lớn đến việc xây dựng lý thuyết số, lý thuyết hình học vi phân nhiều lý thuyết toán học khác Trên sở nghiên cứu phát triển nội tốn học, có nghĩa xem xét yếu tố bên ảnh hưởng đến trình phát triển tốn học, rút số kết luận sau đây: Thứ nhất, phát triển nội toán học người ta thiết lập mối liên hệ lôgic kết riêng lẻ tốn học thống kết phạm vi lý thuyết toán học xây dựng tiên đề Đồng thời, xem xét tiên đề khẳng định đắn ta bổ sung cho chúng cách giải thích cụ thể khác nhau, từ sử dụng chúng phương tiện để nghiên cứu hệ thống khác vật Mặt khác, sở so sánh tiên đề dễ dàng thiết lập mối liên hệ phân biệt lý thuyết toán học khác Như vậy, nói rằng, phương pháp tiên đề công cụ quan trọng lập luận tốn học mà cịn phương tiện phát triển sáng tạo toán học Thứ hai, phân hóa tri thức tồn yếu tố thúc đẩy phát triển nội toán học Quá trình diễn khoa học định việc hướng tới nghiên cứu lĩnh vực phù hợp với đối tượng Ví dụ, phát triển hình học đơi với xuất 15 tất lý thuyết, phận mơn hình giải tích, hình học xạ ảnh, hình học Afin, hình học vi phân, hình học đại số v.v Q trình phân hóa tri thức dẫn đến mở rộng đào sâu đáng kể tri thức toán học, đồng thời tăng cường số lượng mơn tốn học phân cơng lao động nhà khoa học Trong q trình phân hóa này, bên cạnh mặt tích cực, cịn có mặt trái nó, xuất khó khăn mối giao tiếp nhà toán học hạn chế lĩnh vực nghiên cứu họ, phạm vi mơn tốn học riêng rẽ bị thu hẹp cách đáng kể Thứ ba, liên kết tri thức toán học yếu tố bên có ảnh hưởng đến phát triển toán học Trong bối cảnh phát triển tốn học, phân hóa tri thức đơi với q trình mâu thuẫn biện chứng liên kết tri thức Sự liên kết tri thức toán học dẫn tới xuất lý thuyết Những lý thuyết kết hợp hai số lý thuyết mơn tốn học khác Trong lịch sử tốn học, xuất hình học giải tích chứng rõ nét kết hợp Như biết, hình học giải tích phương pháp đại số sử dụng để nghiên cứu tính chất hình hình học Ngày nay, giải tích hàm ứng dụng rộng rãi vật lý lý thuyết đại ví dụ sinh động phép tổng hợp quan niệm lấy từ đại số, hình học, giải tích học, Tơpơ học v.v Những ví dụ nêu chứng tỏ liên kết tri thức nguồn gốc quan trọng phát triển bên tốn học, liên kết tạo điều kiện thúc đẩy xuất lý thuyết toán học khái quát sâu sắc Thứ tư, phát triển nội toán học có việc mở rộng khái niệm lý thuyết yếu tố bên nguồn gốc phát triển tốn học Nhờ có mở rộng mà ý nghĩa ngoại diên khái niệm cũ thay đổi cách phạm vi ứng dụng mở rộng Chẳng hạn, 16 xuất khái niệm số hữu tỷ, số thực, số phức ví dụ quen thuộc mở rộng nói Tất khái niệm xem mở rộng liên tục số tự nhiên Trong hình học, mở rộng khái niệm khơng gian sở không gian ba chiều điều đáng nói Các khái niệm khơng gian hữu hạn chiều vô hạn chiều, khái niệm xạ ảnh, Tơpơ, Mêtric dạng khác khơng gian tốn học trừu tượng xuất nhờ có q trình mở rộng Chừng mở rộng diễn bình thường phạm vi lý thuyết xác định với sở nói mở rộng lý thuyết tốn học Trong trình mở rộng khái niệm lý thuyết tốn học cần thiết phải giữ gìn mối liên hệ tính kế thừa lý thuyết cũ Tất điều kể nói nguồn gốc bên quan trọng phát triển tri thức toán học, chúng tác động lẫn hỗ trợ cho tạo thành động lực bên cho phát triển tốn học Ví dụ, q trình liên kết tri thức ước tính mở rộng quan niệm cũ, việc đưa giả thuyết mới, chỉnh lý mặt lôgic kiến thức Nhờ kết tác động lẫn yếu tố bên mà trình phát triển độc lập tương đối tốn học diễn Q trình dẫn đến xuất lý thuyết vượt xa nhu cầu thực tiễn (chẳng hạn lý thuyết mặt Cơnic, số phức, hình học phi ơclít v.v ) Chính điều giải thích ta lại khơng thể khơng coi trọng tính lơgic bên phát triển tư tưởng tốn học khơng lấy việc giải nhiệm vụ thực dụng để hạn chế mục tiêu toán học Sự tác động qua lại yếu tố bên bên phát triển toán học Lịch sử toán học rằng, phát triển toán học trình chứa đầy mâu thuẫn biện chứng vơ phức tạp, phải kể đến tác động qua lại yếu tố bên bên động lực quan trọng Trong suốt q trình đó, yếu tố bên ngoài; 17 yếu tố bên trội lên hàng đầu Nói cách cụ thể hơn, khoảng thời gian khác nhau, nhiệm vụ đặt trước toán học, đặt trước thực tiễn khoa học ứng dụng; vấn đề xuất thân toán học với nghiên cứu lý luận túy nguồn gốc vận động chủ yếu phát triển toán học Tất nhiên, cần phải quán triệt điều, nhu cầu thực tiễn xã hội ứng dụng thực tế yếu tố giữ vai trò định, tốn học tất khoa học khác, nói chung phục vụ lợi ích người, đồng thời coi việc hiểu biết sâu sắc đầy đủ quy luật khách quan giới thực việc sử dụng chúng hạnh phúc người mục đích cao Vấn đề mối quan hệ biện chứng yếu tố bên bên ngồi q trình phát triển tốn học sáng tỏ sở phân tích cụ thể thời kỳ phát triển toán học Thời kỳ lịch sử phát triển toán học, xét thực chất gọi thời kỳ hình thành, đời tốn học khoa học Như biết, tri thức tốn học giai đoạn mang tính chất thực dụng kinh nghiệm Xét chất coi tốn học phương pháp đa dạng, đề xuất cách thức giải nhiệm vụ thực tiễn cách túy Nhưng giai đoạn này, nhiều cách diễn giải tư liệu lý luận hình thành, chủ yếu q trình giảng dạy học tập tốn học trường học Sự cần thiết phát triển cách diễn giải bắt buộc phải có, khơng số lượng tăng lên hình thức phương pháp giải nhiệm vụ khác nhau, mà cịn khát vọng tìm kiếm mối liên hệ nhóm xác định nhiệm vụ việc mở rộng nhiệm vụ Đến lượt đa dạng tính phức tạp tăng lên nhiệm vụ định tất tính phức tạp ngày tăng thực tiễn sản xuất xã hội Do giai đoạn phát triển toán học, thực tiễn thể với tư cách động lực định phát triển tri thức toán học 18 Giai đoạn thứ hai lịch sử phát triển toán học từ kỷ thứ VI (trước công nguyên) đến kỷ XV (sau công nguyên) Đây giai đoạn toán học sơ cấp, ta tách thời kỳ hình thành toán học khoa học lý thuyết khoảng từ kỷ thứ VI đến kỷ thứ III (trước cơng ngun), tốn học có nguồn gốc từ thông tin đa dạng phương pháp giải nhiệm vụ mang tính thực tiễn biến thành hệ thống suy luận tri thức Cụ thể, thời gian đó, yếu tố bên phát triển toán học bắt đầu thể rõ nét nhất, mà trước hết khuynh hướng hệ thống hóa chỉnh lý mặt lơgic tri thức hoàn thiện nhờ thiết lập nguyên lý tác phẩm "cơ sở" ơclít Những nguyên lý suốt gần 2000 năm mẫu mực cách trình bày toán học Trên thực tế, cho dù nhu cầu sản xuất kỹ thuật kích thích phát triển toán học mức độ định giai đoạn lịch sử lâu dài sau thời kỳ cổ đại, nhìn chung phát triển toán học diễn chậm, đặc biệt vào thời trung cổ, người ta lãng quên "di sản khứ" toán học người Hy Lạp, bước vào thời đại phục hưng khoa học nghệ thuật, người khám phá nhiều tài liệu toán học thời cổ đại Nói chung, tồn tốn học từ thời Hy Lạp cổ đại đến cuối kỷ XVI xem tốn học đại lượng bất biến Dưới ảnh hưởng tác giả thời cổ đại, vào cuối giai đoạn này, yếu tố bên phát triển toán học thể cách rõ nét hơn, điều dễ thấy ước muốn hoàn thiện mở rộng thành tựu toán học thời kỳ cổ đại Tuy vậy, thời kỳ yếu tố khơng thể sánh với nhu cầu phát triển công nghiệp, thương nghiệp, yêu cầu học, thiên văn học, thủy lực học, khoa học kỹ thuật - tự nhiên khác trình thúc đẩy phát triển toán học Giai đoạn thứ ba phát triển toán học giai đoạn chuyển từ toán học đại lượng bất biến sang toán học đại lượng 19 biến thiên Giai đoạn phát triển toán học định trước hết tác động yếu tố bên ngoài, sau thúc đẩy tăng cường vai trị yếu tố bên Sự tác động yếu tố bên biểu phân hóa tri thức tốn học xuất phận khác giải tích học như: Lý thuyết phương trình vi phân, phép tính biến phân, hình học vi phân áp dụng đa dạng phương pháp giải tích học vào việc giải nhiệm vụ ứng dụng học, thiên văn học, vật lý học khoa học kỹ thuật Sự liên kết toán học với ứng dụng thực tiễn vào giai đoạn chặt chẽ đến mức từ cuối kỷ XVI - đầu kỷ XVIII, người ta thường gọi thời kỳ phát triển rực rỡ toán học Những nghiên cứu túy lý luận ứng dụng vào thời gian tạo nên khả cho phát triển toán học Nhiều nhà tốn học tiếng thời nghiên cứu đồng thời vấn đề học, thiên văn học ngành khác khoa học tự nhiên Vào kỷ XIX, liên kết tốn học với ứng dụng thực tiễn khơng bị giảm bớt, năm 30, vai trò yếu tố bên trở nên trội Sự tác động yếu tố kích thích khát vọng đưa lại cách lập luận chặt chẽ cho phân tích đại lượng vơ bé Mặc dù đạt kết to lớn ứng dụng phép phân tích này, xuất mâu thuẫn nghịch lý liên quan đến cách tiếp cận đại lượng vô bé đại lượng thực Trong thời gian đó, lý thuyết giới hạn thiết lập nhằm khắc phục trở ngại nghịch lý xuất giải tích Tuy nhiên, vào kỷ XIX, việc phát minh hình học phi ơclít Lơbasepxki, Bơliai, Rieman, đồng thời việc thiết lập lý thuyết trừu tượng tập hợp Cantor kiện vĩ đại lịch sử tốn học Về thực chất, phát minh định gương mặt toán học vào kỷ XX Đó giai đoạn thứ tư phát triển toán học 20 ... kiện phát sinh 10 mơn hình học phi ơclít hình học Lơbasepxki, hình học Rieman v.v thấy rõ tính độc lập tương đối phát triển toán học Như vậy, theo quan điểm vật biện chứng, khả phát triển nội toán. .. nhà khoa học có quan niệm sai lầm rằng, lý thuyết toán học thiết lập với việc giải vấn đề khoa học kỹ thuật tự nhiên, điều dường chứng tỏ toán học phát triển sở tài liệu tự nhiên học khoa học cụ... phát triển tư tưởng tốn học khơng lấy việc giải nhiệm vụ thực dụng để hạn chế mục tiêu toán học Sự tác động qua lại yếu tố bên bên phát triển toán học Lịch sử toán học rằng, phát triển toán học