Tóm tắt luận án tiến sĩ một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————– * ——————— Đặng Thanh Sơn MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 Công trình hoàn thành tại: Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Xuân Tiếp PGS TS Cung Thế Anh Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Vào hồi giờ, ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, không khí, dầu mỏ, , chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng khoa học hàng không, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, Một lớp hệ phương trình quan trọng học chất lỏng hệ Navier-Stokes, miêu tả dòng chảy chất lỏng nhất, nhớt, không nén có dạng:   ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p ∂t ∇ · u = f (x, t), = 0, u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng hàm vectơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, hệ số nhớt ν > f hàm ngoại lực Được đưa lần vào năm 1822, lí thuyết hệ Navier-Stokes đạt nhiều kết sâu sắc (xem chuyên khảo Constantin-Foias (1988), Temam (1979, 1995, 2000)) Các vấn đề đặt nghiên cứu là: • Tính đặt toán Sự tồn nghiệm, phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện cho • Dáng điệu tiệm cận nghiệm Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian t vô thông qua nghiên cứu tồn tính chất tập hút đa tạp bất biến, tồn tính ổn định nghiệm dừng Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm quan trọng cho phép ta hiểu dự đoán xu phát triển hệ động lực tương lai, từ đưa đánh giá, điều chỉnh thích hợp • Bài toán điều khiển Bao gồm toán điều khiển được, toán điều khiển tối ưu toán ổn định hóa: Tìm điều khiển thích hợp cho chuyển quỹ đạo hệ từ vị trí sang vị trí khác, tìm điều khiển thích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại cực tiểu phiếm hàm cho trước Trong năm gần đây, việc nghiên cứu hệ phương trình cặp học chất lỏng hướng nghiên cứu thời Ở hệ Navier-Stokes trường vectơ vận tốc kết hợp phù hợp với phương trình khác cho ta mô hình toán học mô tả nhiều trình vật lí, hóa học, kỹ thuật, công trình Cabral-Rosa-Temam (2004), Cao-Wu (2010), Fucci-Wang-Singh (2009), Jia-Zhou (2012), Temam (1997), Hệ phương trình cặp xuất nghiên cứu dòng chảy chất lỏng hỗn hợp như: hệ Cahn-Hilliard-Navier-Stokes Các kết đạt tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua tồn tập hút toàn cục, chủ yếu miền bị chặn Cho đến nay, kết dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình cặp phong phú hoàn thiện Tuy nhiên kết tương ứng trường hợp không ôtônôm miền không bị chặn Bên cạnh kết toán điều khiển hệ phương trình cặp học chất lỏng ít, tính phức tạp Chúng điểm qua số kết cho hệ phương trình cặp học chất lỏng liên quan đến nội dung luận án • Hệ phương trình Bénard (một trường hợp riêng hệ Boussinesq): Là kết hợp hệ Navier-Stokes trường vectơ vận tốc u với phương trình đối lưu-khuếch tán nhiệt độ T có dạng:  → ∂t u + (u · ∇)u − ν∆u + ∇p = fu + α− e (T − Tr ), ∂t T + u · ∇T − κ∆T = fT , ∇ · u = (1) Hệ Bénard mô tả chuyển động chất lỏng nhớt, không nén tác dụng nhiệt độ Các tác giả C Foias, O Manley R Temam nghiên cứu tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ (1) với điều kiện biên như: Dirichlet, Neumann, tuần hoàn (1987, 1993, 1997) Gần đây, Cabral-Temam (2004) chứng minh tồn tại, đánh giá số chiều Hausdorff tập hút toàn cục cho hệ (1) xét miền không bị chặn hai chiều • Hệ phương trình động lực học thủy từ trường: Là mô hình đề cập lần T.G Cowling (1957) kết hợp hệ Navier-Stokes trường vectơ vận tốc u với hệ Maxwell từ trường B Hệ MHD miêu tả dòng chảy chất lỏng dẫn điện từ trường, có dạng sau:  ( |B|2 ) ∆u   ∂t u + (u · ∇)u − − S(B · ∇)B = f, +∇ p+S    Re ∂t B + (u · ∇)B − (B · ∇)u + curl(curl B) = 0,  Rm    ∇ · u = 0, ∇ · B = (2) Sự tồn nghiệm yếu nghiệm mạnh chứng minh lần Duvaut-Lions (1972) Năm 1983, Sermange-Temam đưa khái niệm tập bất biến để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ (2), đồng thời chứng minh số chiều Hausdorff hữu hạn cho tập bất biến • Hệ phương trình Navier-Stokes hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi: Khi mô tả chuyển động chất lỏng có mật độ khối lượng thay đổi, ta dùng hệ Navier-Stokes có mật độ khối lượng ρ(x, t) cho bởi:  ∂t (ρu) − ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf, ∂t ρ + ∇ · (ρu) = 0, ∇ · u = (3) Khi điều kiện ban đầu ρ0 (x) ≥ c0 > 0, tồn nghiệm yếu chứng minh lần Antontsev-Kazhikov (1973) Trong trường hợp ρ0 (x) ≥ 0, tồn nghiệm yếu, nghiệm mạnh, vấn đề liên quan đến toán điều khiển trình bày hoàn chỉnh E.F Cara (2012) Khác với hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng số, câu hỏi tính nghiệm yếu chưa giải chí không gian chiều Khi kết hợp hệ (3) với phương trình đối lưu-khuếch tán nhiệt độ có mật độ thay đổi ta hệ sau:  →  ∂ (ρu) − ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf + γ − e N θ,   t ∂t (ρθ) − κ∆θ + ∇ · (ρθu) = ρg,    ∂t ρ + ∇ · (ρu) = 0, ∇ · u = (4) Hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi (4) miêu tả chuyển động chất lỏng có mật độ ρ, nhớt, không nén ảnh hưởng nhiệt độ Theo hiểu biết chúng tôi, chưa có kết liên quan đến hệ Như vậy, lớp hệ phương trình cặp xuất học chất lỏng, kết gần tập trung vào việc nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm, toán điều khiển, nhiên kết có chủ yếu dừng lại trường hợp ôtônôm miền bị chặn hệ phương trình xét có mật độ khối lượng chất lỏng số Do vậy, vấn đề quan tâm nghiên cứu luận án bao gồm: • Nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm cho hệ phương trình Bénard (1) hệ MHD (2) trường hợp không ôtônôm miền xét toán thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré Khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, quỹ đạo nghiệm không bất biến dương phép tịnh tiến theo thời gian lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không thích hợp Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, sử dụng lí thuyết tập hút lùi, lí thuyết phát triển gần tỏ hữu ích nghiên cứu hệ động lực không ôtônôm (xin xem chuyên khảo Carvalho, Langa Robinson (2013)) • Nghiên cứu tồn tại, tính nghiệm có điều kiện, toán điều khiển tối ưu toán thời gian tối ưu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi miền bị chặn Khi nghiên cứu hệ Bénard hệ MHD miền không bị chặn, khó khăn lớn gặp phải phép nhúng Sobolev cần thiết liên tục không compact; dẫn đến Bổ đề compact AubinLions cổ điển phương pháp thường dùng cho miền bị chặn không thích hợp Để khắc phục khó khăn này, sử dụng bổ đề compact phù hợp để chứng minh tồn nghiệm tính liên tục yếu trình, sử dụng phương pháp phương trình lượng để chứng minh tính compact tiệm cận lùi, điều kiện quan trọng cho tồn tập hút lùi Khi nghiên cứu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi, khó khăn gây chủ yếu mật độ không số; điều dẫn đến việc nghiên cứu phức tạp lên nhiều Để chứng minh tồn nghiệm, sử dụng phương pháp nửa Galerkin kết hợp với kết Lions phương trình chuyển dịch (1989) Tính có điều kiện nghiệm chứng minh cách sử dụng ý tưởng P.-L Lions (1996) Để nghiên cứu toán điều khiển tối ưu toán thời gian tối ưu, phát triển ý tưởng E.F Cara (2012) cho hệ NavierStokes với mật độ khối lượng thay đổi; nhiên việc nghiên cứu khó khăn nhiều hệ xét có cấu trúc phức tạp Từ phân tích trên, chọn vấn đề nghiên cứu tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi) hệ Bénard MHD trường hợp ngoại lực phụ thuộc vào biến thời gian; đồng thời nghiên cứu tồn tại, tính nghiệm có điều kiện, toán điều khiển tối ưu toán thời gian tối ưu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi, làm đề tài nghiên cứu Luận án "Một số hệ phương trình cặp học chất lỏng" MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Luận án tập trung nghiên cứu tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Bénard, hệ MHD trường hợp không ôtônôm; tồn tại, tính nghiệm có điều kiện, toán điều khiển tối ưu toán thời gian tối ưu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi Cụ thể sau: Nội dung Nghiên cứu tồn tại, tính nhất, dáng điệu tiệm cận nghiệm đánh giá số chiều fractal tập hút lùi hệ Bénard hai chiều miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré Nội dung Nghiên cứu tồn tại, tính nhất, dáng điệu tiệm cận nghiệm đánh giá số chiều fractal tập hút lùi hệ MHD hai chiều miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré điều kiện nón Nội dung Nghiên cứu tồn tại, tính nghiệm có điều kiện, toán điều khiển tối ưu toán thời gian tối ưu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi miền bị chặn PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Để nghiên cứu tồn nghiệm, sử dụng phương pháp công cụ Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ Galerkin, xấp xỉ nửa Galerkin kết hợp dạng phù hợp Bổ đề compact bổ đề xử lí số hạng phi tuyến • Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, sử dụng công cụ phương pháp lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều không ôtônôm • Để nghiên cứu toán điều khiển tối ưu, sử dụng phương pháp lí thuyết điều khiển tối ưu phương trình đạo hàm riêng công cụ giải tích lồi KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN • Đối với hệ Bénard MHD không ôtônôm miền không bị chặn hai chiều: Chứng minh tồn nghiệm yếu toán (1), (2); chứng minh tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi • Đối với hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi miền bị chặn hai ba chiều: Chứng minh tồn tính có điều kiện nghiệm yếu; chứng minh tồn nghiệm thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp toán điều khiển tối ưu toán thời gian tối ưu cho hệ (4) Các kết luận án mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần vào việc hoàn thiện lí thuyết hệ phương trình cặp học chất lỏng Nội dung luận án công bố 02 báo tạp chí khoa học quốc tế, 02 gửi đăng báo cáo tại: Đại hội Toán học toàn quốc VIII, Nha Trang, 2013; Hội thảo tối ưu tính toán khoa học XIII, Ba Vì, 2015; Xêmina Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; Xêmina Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương sau; Chương trình bày kết tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu cho hệ Bénard hai chiều; Chương trình bày kết tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu cho hệ động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều; Chương trình bày kết tồn tính nghiệm có điều kiện nghiệm yếu, toán điều khiển tối ưu toán thời gian tối ưu hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi miền bị chặn hai ba chiều Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại không gian hàm cần dùng để nghiên cứu, thiết lập đánh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến hệ phương trình Chúng trình bày kết tổng quát lí thuyết tập hút lùi số kết bổ trợ dùng chương sau 1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM Cho Ω tập mở RN với biên ∂Ω Kí hiệu Q := Ω×(0, T ) ∑ trụ không-thời gian với T < ∞ := ∂Ω × (0, T ) Với ≤ m, p ≤ +∞, ta thường kí hiệu Lp (Ω) = Lp (Ω)N , Wm,p (Ω) = W m,p (Ω)N , Hm (Ω) = H m (Ω)N , H10 (Ω) = H01 (Ω)N để xét hàm vectơ không gian N chiều Đặt V1 = {u ∈ C0∞ (Ω)N : ∇ · u = 0}, V2 = {B ∈ C ∞ (Ω)N : ∇ · B = B · n|∂Ω = 0}, V1 , H1 bao đóng V1 H10 (Ω), L2 (Ω), V2 , H2 bao đóng V2 H1 (Ω), L2 (Ω), V3 = H01 (Ω), H3 = L2 (Ω) Tích vô hướng chuẩn tương ứng Vi , i = 1, sau: • ((u, v))1 N ∫ ∑ = j=1 ∥u∥1 • ((B, C))2 ∥B∥2 • ((θ, φ))3 ∥θ∥3 ∇uj · ∇vj dx, ∀u, v ∈ V1 , 1/2 ((u, u))1 , = = = Ω ∫ ∀u ∈ V1 curl B · curl Cdx, ∀B, C ∈ V2 , 1/2 ∀B ∈ V2 ((B, B))2 , ∫ = Ω ∇θ · ∇φdx, ∀θ, φ ∈ V3 , 1/2 ∀θ ∈ V3 = ((θ, θ))3 , Ω Kí hiệu V := V1 × V3 , H := H1 × H3 Ta định nghĩa tích vô hướng chuẩn V , H sau ˜ , ∥z∥ = ((z, z))1/2 , ∀z, z˜ ∈ V, ((z, z˜)) = ((v, v˜))1 + γ((θ, θ)) ˜ |z| = (z, z)1/2 , ∀z, z˜ ∈ H, (z, z˜) = (v, v˜) + γ(θ, θ), α2 γ cho γ ≥ λ1 νκ Đặt A : V → V ′ toán tử xác định ˜ ⟨Az, z˜⟩ = a(z, z˜) = ν((v, v˜))1 + γκ((θ, θ)) Đặt B : V × V → V ′ toán tử xác định ˆ θ), ˜ ⟨B(z, zˆ), z˜⟩ = b(z, zˆ, z˜) = b1 (v, vˆ, v˜) + γb2 (v, θ, dạng ba tuyến tính cho ∫ ∑ ∂ˆ vj b1 (v, vˆ, v˜) = vi v˜j dx, ∂xi Ω i,j=1 ˆ θ) ˜ = b2 (v, θ, ∫ ∑ ∂ θˆ ˜ vi θdx, ∂xi Ω i=1 ta viết tắt B(z) = B(z, z) Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1 Giả sử Ω ⊂ R2 z, z˜ ∈ V , |b(z, z, z˜)| ≤ |z|∥z∥∥˜ z ∥ Giả sử ub Tb xác định miền Ω dòng chảy nhiệt độ cho ub = φu , Tb = φT ∂Ω Ta đặt v = u − ub θ = T − Tb , (2.1) viết lại sau:  → ∂t v + (v · ∇)v − ν∆v + ∇p = f¯u − (ub · ∇)v − (v · ∇)ub + α− e θ, ∂t θ + v · ∇θ − κ∆θ = f¯T − ub · ∇θ − v · ∇Tb , ∇ · v = 0, (2.4) với f¯u f¯T xác định → f¯u = fu + ν∆ub − (ub · ∇)ub + α− e (Tb − Tr ), f¯T = fT + κ∆Tb − ub · ∇Tb (2.5) 11 Điều kiện biên cho hệ (2.4) v(x, t) = 0, θ(x, t) = 0, với x ∈ ∂Ω (2.6) Và điều kiện ban đầu v(., τ ) = v0 = u0 − ub , θ(., τ ) = θ0 = T0 − Tb (2.7) Đặt R : V → V ′ toán tử cho → ⟨Rz, z˜⟩ = ¯b(zb , z, z˜) + ¯b(z, zb , z˜) − α(− e θ, v˜), ∫ ∫ ˆ v · vˆdx − γ Ω v · ∇θ˜θdx ¯b(z, zˆ, z˜) = − Ω (v · ∇)˜ Đặt e : V → R cho e(z) = ⟨f¯u , v⟩V1′ ,V1 +γ⟨f¯T , θ⟩V3′ ,V3 = ⟨Ψ, z⟩, − với Ψ = (fu , fT ) − (ν∆ub , κ∆Tb ) − B(zb , zb ) + (α→ e (Tb − Tr ), 0) 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếu toán (2.4)-(2.7) Định nghĩa 2.1 Hàm z = (v, θ) gọi nghiệm yếu toán (2.4)-(2.7) khoảng (τ, T )   z ∈ L2 (τ, T ; V ) ∩ L∞ (τ, T ; H),   z ′ + (A + R)z + B(z) = Ψ V ′ , với hầu khắp t ∈ (τ, T ),    z(τ ) = z0 (2.8) Sự tồn nghiệm yếu định lí sau Định lí 2.1 Giả sử fu ∈ L2loc (R; V1′ ), fT , Tr ∈ L2loc (R; V3′ ), zb = (ub , Tb ) cho trước Khi đó, với z0 ∈ H, τ ∈ R, T > τ cho trước, toán (2.8) có nghiệm yếu z khoảng (τ, T ) 2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI Ta định nghĩa trình liên tục Z(t, τ ) : H → H cho Z(t, τ )z0 = z(t; τ, z0 ), 12 τ ≤ t, z0 ∈ H, z(t) = z(t; τ, z0 ) nghiệm yếu toán (2.8) với điều kiện ban đầu z(τ ) = z0 Bổ đề 2.2 Cho {z0n }n ⊂ H dãy hội tụ yếu H đến phần tử z0 ∈ H Khi Z(t, τ )z0n ⇀ Z(t, τ )z0 H, với t ≥ τ Z(., τ )z0n ⇀ Z(., τ )z0 L2 (τ, T ; V ), với T > τ Định lí 2.2 Giả sử Ψ ∈ L2loc (R; V ′ ) thỏa mãn ∫ t eσs ∥Ψ(s)∥2∗ ds < +∞ với t ∈ R −∞ Khi tồn tập Dσ -hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} trình {Z(t, τ )} sinh toán (2.8) 2.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI Giả sử fu ∈ L∞ (−∞, T ∗ ; V1′ ), fT , Tr ∈ L∞ (−∞, T ∗ ; V3′ ), Ψ ∈ L∞ (−∞, T ∗ ; V ′ ) với T ∗ ∈ R (2.9) Định lí 2.3 Giả sử điều kiện Định lí 2.1 (2.9) thỏa mãn Khi tập Dσ -hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} trình Z(t, τ ) sinh toán (2.8) có số chiều fractal hữu hạn ( ) { ( ) µ + (ν/κ)3/2 } dF A(τ ) ≤ max 1, C Θ , δ λ1 (ν + κ) ) α2 ( ∥fT ∥2L∞ (−∞,T ∗ ;V3′ ) + κ2 ∥∆Tb ∥2V3′ + c2buT λ1 ν κ ) 1( + ∥fu ∥2L∞ (−∞,T ∗ ;V1′ ) + ν ∥∆ub ∥2V1′ + c2buu + α2 ∥Tb − Tr ∥2V3′ ν Θ = Chú ý cuối chương Bằng cách sử dụng phương pháp phương trình lượng phương pháp đánh giá số chiều fractal hữu hạn chương này, chứng minh kết tương ứng cho hệ Newton-Boussinesq miền không bị chặn hai chiều (2014) 13 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY TỪ TRƯỜNG (MHD) HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM Trong chương này, xét hệ phương trình động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều miền không thiết bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré điều kiện nón Đầu tiên, sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin phương pháp compact, chứng minh tồn tại, nghiệm yếu toán Tiếp theo, chứng minh tồn số chiều fractal hữu hạn tập Dσ -hút lùi Nội dung chương dựa báo [2] Danh mục công trình công bố tác giả 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN Giả sử Ω miền tùy ý R2 thỏa mãn điều kiện nón Xét hệ MHD không ôtônôm sau: ( )  S ∂u   + (u · ∇)u − ∆u + ∇ p + |B| − S(B · ∇)B = f (x, t),   Re  ∂t ∂B + (u · ∇)B − (B · ∇)u + curl(curlB) = 0,   ∂t Rm    ∇ · u = 0, ∇ · B = 0, (3.1) với điều kiện ban đầu u(x, τ ) = u0 (x), B(x, τ ) = B0 (x), ∀x ∈ Ω, (3.2) điều kiện biên u = 0, B · n = curl B = ∂Ω, (3.3) u = u(x, t) hàm vectơ vận tốc chất lỏng; B = B(x, t) vectơ từ trường; p = p(x, t) |B|2 /2 hàm áp suất chất lỏng áp suất từ trường; f (x, t) hàm ngoại lực 14 tác động lên chất lỏng; n vectơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω; S = M /(Re Rm ) với M, Re , Rm hệ số Hartman, Reynolds Reynolds từ trường Kí hiệu V := V1 × V2 , H := H1 × H2 Trên V ta trang bị tích vô hướng ˜ , ∀z = (u, B), z˜ = (˜ ˜ ∈ V, ((z, z˜)) = ((u, u ˜))1 + S((B, B)) u, B) tích vô hướng sinh chuẩn tương ứng ∥z∥ = ((z, z˜))1/2 Tích vô hướng chuẩn H cho ˜ ˜ ∈ H, (z, z˜) = (u, u ˜) + S(B, B), ∀z = (u, B), z˜ = (˜ u, B) |z| = (z, z)1/2 , ∀z ∈ H Đặt A : V → V ′ toán tử xác định S ˜ ⟨Az, z˜⟩ = a(z, z˜) = ((u, u ˜))1 + ((B, B)) Re Rm Đặt B : V × V → V ′ toán tử xác định ⟨B(z1 , z2 ), z3 ⟩ = b(u1 , u2 , u3 ) − Sb(B1 , B2 , u3 ) + Sb(u1 , B2 , B3 ) − Sb(B1 , u2 , B3 ), ∀zi = (ui , Bi ) ∈ V, i = 1, 2, 3, dạng ba tuyến tính b cho ∫ ∑ ∂vj b(u, v, w) = ui wj dx, ∂x i i,j=1 Ω ta viết tắt B(z) = B(z, z) Tính bị chặn toán tử B chứng minh bổ đề sau Bổ đề 3.1 Giả sử miền Ω ⊂ R2 thỏa mãn điều kiện nón Khi |⟨B(z, z), z˜⟩| ≤ C|z|∥z∥∥˜ z ∥, z, z˜ ∈ V Trong chương này, nghiên cứu vấn đề sau: • Sự tồn nghiệm yếu • Sự tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi 15 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU Trong mục này, phương pháp xấp xỉ Galerkin, chứng minh tồn nghiệm yếu Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếu toán (3.1)-(3.3) sau Định nghĩa 3.1 Đặt Ψ = (f, 0), hàm z = (u, B) gọi nghiệm yếu toán (3.1)-(3.3) khoảng (τ, T )   z ∈ L2 (τ, T ; V ) ∩ C([τ, T ]; H),   z ′ + Az + B(z) = Ψ V ′ , với hầu khắp t ∈ (τ, T ),    z(τ ) = z0 (3.4) Kết tồn tính nghiệm yếu toán trình bày định lí sau Định lí 3.1 Giả sử f ∈ L2loc (R; V1′ ) Khi đó, với z0 ∈ H, τ ∈ R, T > τ , toán (3.4) có nghiệm yếu (τ, T ) Hơn nữa, với t > τ , hàm cho z0 → z(t) liên tục H 3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI Theo kết Định lí 3.1, ta định nghĩa trình liên tục Z(t, τ ) : H → H cho Z(t, τ )z0 = z(t; τ, z0 ), τ ≤ t, z0 ∈ H, đó, z(t) = z(t; τ, z0 ) nghiệm yếu toán (3.4) với điều kiện ban đầu z(τ ) = z0 Bổ đề 3.2 Cho {z0n }n ⊂ H dãy hội tụ yếu H đến phần tử z0 ∈ H Khi Z(t, τ )z0n ⇀ Z(t, τ )z0 H, với t ≥ τ Z(., τ )z0n ⇀ Z(., τ )z0 L2 (τ, T ; V ), với T > τ 16 Bổ đề 3.3 Giả sử f ∈ L2loc (R; V1′ ) thỏa mãn ∫ t eσs ∥f (s)∥2V1′ ds < +∞ với t ∈ R (3.5) −∞ Khi tồn họ hình cầu Bˆσ = {z ∈ H : |z(t)| ≤ Rσ (t), t ∈ R} họ Dσ -hấp thụ lùi trình Z(t, τ ) Bổ đề 3.4 Giả sử f ∈ L2loc (R; V1′ ) thỏa mãn (3.5) Khi trình Z(τ, t) sinh toán (3.4) Dσ -compact tiệm cận lùi Từ hai bổ đề trên, ta có kết quan trọng sau Định lí 3.2 Giả sử f ∈ L2loc (R; V1′ ) thỏa mãn (3.5) Khi tồn tập Dσ -hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} trình {Z(t, τ )} sinh toán (3.4) 3.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI Giả sử: (C1 ) Ngoại lực f ∈ L∞ (−∞, T ∗ ; V1′ ) với T ∗ ∈ R đó; (C2 ) Tập R2 \ Ω chứa nửa nón Định lí 3.3 Giả sử điều kiện Định lí 3.1 giả thiết (C1 )-(C2 ) thỏa mãn Khi tập Dσ -hút lùi Aˆ = {A(t) : ( ) t ∈ R} có số chiều fractal thỏa mãn d A(τ ) F ]≤ max(1, K/L), [(√ )2 √ Re + Rm Re + (Re Rm )3/2 ∥f ∥2L∞ (−∞,T ∗ ;V ′ ) , K = µ 1 ( λ1 c0 ) L= + Re Rm Chú ý cuối chương Từ kết chương này, trường hợp từ trường B ≡ 0, ta thu lại kết tương ứng tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Navier-Stokes chiều không ôtônôm Đồng thời kết mở rộng tương ứng Temam (1997) từ trường hợp ôtônôm miền bị chặn sang trường hợp không ôtônôm miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré điều kiện nón 17 Chương HỆ BOUSSINESQ VỚI MẬT ĐỘ KHỐI LƯỢNG THAY ĐỔI Trong chương này, xét hệ Boussinesq với mật độ khối lượng (mà sau ta gọi tắt mật độ) thay đổi miền bị chặn Ω ⊂ RN , N = 3, với biên trơn Đầu tiên sử dụng phương pháp xấp xỉ nửa Galerkin, chứng minh tồn nghiệm yếu Tiếp theo, chứng minh nghiệm yếu đủ trơn Cuối cùng, xét toán gồm: điều khiển tối ưu thời gian tối ưu Nội dung chương dựa báo [3, 4] Danh mục công trình nghiên cứu tác giả 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN Cho Ω miền bị chặn RN (N = 3) với biên trơn ∂Ω Hệ Boussinesq với hàm mật độ thay đổi cho bởi:  →  ∂t (ρu) − ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf + γ − e N θ,        ∂t (ρθ) − κ∆θ + ∇ · (ρθu) = ρg, ∂t ρ + ∇ · (ρu) = 0, ∇ · u =     u = 0, θ = 0,     ρ| t=0 = ρ0 , (ρu)|t=0 = ρ0 u0 , (ρθ)|t=0 = ρ0 θ0 , 4.2 x ∈ Ω, x ∈ Ω, x ∈ Ω, (4.1) x ∈ ∂Ω, x ∈ Ω SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM YẾU Định lí 4.1 Với T > cho trước Giả sử z0 = (u0 , θ0 ) ∈ H, ρ0 ∈ L∞ (Ω) với ρ0 ≥ hầu khắp Ω, f ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)), g ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) Khi tồn ba (ρ, z, p), z = (u, θ), thỏa mãn ρ ∈ L∞ (Q) ∩ C ([0, T ]; Lr (Ω)), ∀1 ≤ r < +∞, z ∈ L2 (0, T ; V ), p ∈ W −1,∞ (0, T ; L2 (Ω)), ρz ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω) × L2 (Ω)) ∩ N 1/4,2 (0, T ; W−1,3 (Ω) × W −1,3 (Ω)), inf ρ0 ≤ ρ(x, t) ≤ sup ρ0 Ω 18 Ω hầu khắp Q, cho ∫ [ ] − →  ρ (∂ u + (u · ∇)u − f ) · v − γ e θ · v dx t N  Ω     +ν((u, v))1 = 0, ∀v ∈ V1 , theo nghĩa phân bố D ′ (0, T ),   ∫ Ω [ρ (∂t θ + u · ∇θ − g) · φ] dx     +κ((θ, φ))3 = 0, ∀φ ∈ V3 , theo nghĩa phân bố D′ (0, T ),    ∂ρ   + ∇ · (ρu) = 0, ∂t (4.2) điều kiện ban đầu ρ|t=0 = ρ0 , ) ∫ ρu · vdx (0) = ρ0 u0 · vdx, ∀v ∈ V1 , Ω Ω (∫ ) ∫ ρθ · φdx (0) = ρ0 θ0 · φdx, ∀φ ∈ V3 (∫ Ω 4.3 (4.3) Ω SỰ DUY NHẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM YẾU Giả sử toán (4.2)-(4.3) tồn nghiệm (ρ, z) thỏa mãn ∇ρ ∈ L2 (0, T ; L3 (Ω)), ρ ∈ C (Q), z ∈ C (Q)N × C (Q), ∇z ∈ L2 (0, T ; L∞ (Ω) × L∞ (Ω)), z t ∈ L2 (0, T ; L3 (Ω) × L3 (Ω)) (4.4) Khi ta có kết sau nghiệm ( ) Định lí 4.2 Giả sử (f, g) ∈ L2 0, T ; L3 (Ω) × L3 (Ω) √ γ ≤ λ1 νκ (4.5) Gọi (ρ, z) nghiệm toán (4.1) thỏa mãn (4.4) Khi (ρ, z) ≡ (ρ, z) hầu khắp Q 4.4 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Trong mục xét toán điều khiển tối ưu hàm mục tiêu cho ∫ ∫ J(h, ρ, z) = + a′1 ∫∫ a1 |z(x, T ) − ze (x)|2 dx + Ω |z(x, t) − zd | dxdt + 2 Q a′2 ∫∫ a2 |ρ(x, T ) − ρe (x)|2 dx Ω b |ρ(x, t) − ρd | dxdt + ∫∫ 2 Q |h|2 dxdt, ω×(0,T ) (4.6) 19 ω tập mở khác rỗng Ω; số thực không âm a1 , a′1 , a2 , a′2 với số thực dương; số dương b cho biết chi phí điều khiển; trạng thái ze (x) = (ue (x), θe (x)) ∈ H, zd = (ud , θd ) ∈ L2 (Q) × L2 (Q) ρe ∈ L∞ (Ω), ρd ∈ L∞ (Q) cho trước Khi hàm mật độ ρ(x, t), trạng thái z = (u, θ) điều khiển h = (v, w) thỏa mãn hệ Boussinesq sau:  →  ∂t (ρu) − ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = γ − e N θ + v1ω ,        ∂t (ρθ) − κ∆θ + ∇ · (ρθu) = w1ω , ∂t ρ + ∇ · (ρu) = 0, ∇ · u = 0,     u = 0, θ = 0,     ρ| t=0 = ρ0 , (ρu)|t=0 = ρ0 u0 , (ρθ)|t=0 = ρ0 θ0 , (x, t) ∈ Q, (x, t) ∈ Q, (x, t) ∈ Q, ∑ (x, t) ∈ , (4.7) x ∈ Ω, với ρ0 , z0 = (u0 , θ0 ) cho trước Từ đây, xét trường hợp ρ0 ∈ L∞ (Ω), ρ0 ≥ α > hầu khắp Ω Xét toán sau:  Cực tiểu hóa phiếm hàm J(h, ρ, z), trong (ρ, z) nghiệm (4.7) với h ∈ Uad 4.4.1 (4.8) Sự tồn nghiệm tối ưu Định lí 4.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: Tập ∅ ̸= Uad ⊂ L2 (ω × (0, T )) × L2 (ω × (0, T )) lồi đóng J nửa liên tục yếu, tức (hm , ρm , z m ) nghiệm (4.7), hm ⇀ h L2 (ω × (0, T )) × L2 (ω × (0, T )), ρm ⇀∗ ρ L∞ (Q) z m ⇀ z L2 (0, T ; V ) lim inf J(hm , ρm , z m ) ≥ J(h, ρ, z) m→∞ Uad bị chặn J cưỡng h, tức J(hm , ρm , z m ) → +∞ hm ∈ Uad , ∥hm ∥L2 (ω×(0,T ))×L2 (ω×(0,T )) → ∞ Khi toán tối ưu (4.8) có nghiệm 4.4.2 Điều kiện cần tối ưu cấp Định lí 4.4 Giả sử Uad ⊂ L2 (ω × (0, T )) × L2 (ω × (0, T )) tập khác rỗng, đóng, lồi J cho (4.6) Gọi (h∗ , ρ∗ , z ∗ ) 20 nghiệm tối ưu toán (4.8), giả sử (ρ∗ , z ∗ ) thỏa mãn ∇ρ∗ ∈ L2 (0, T ; W 1,∞ (Ω)), ρ∗ ∈ C (Q), ∇z ∗ ∈ L2 (0, T ; L∞ (Ω) × L∞ (Ω)), z ∗ ∈ C (Q)N × C (Q), z ∗ ∈ L∞ (0, T ; H2 (Ω) × H (Ω)) ∩ L2 (0, T ; H3 (Ω) × H (Ω)), ∇zt∗ ∈ L2 (Q) × L2 (Q), (4.9) zt∗ ∈ L2 (0, T ; L∞ (Ω) × L∞ (Ω)), (4.5) thỏa mãn Khi đó, Định lí 4.2, (ρ∗ , z ∗ ) nghiệm yếu toán (4.7), tồn nghiệm yếu (η, z), với z = (ξ, ψ), toán  [ ] ∂ξ   −ρ∗ − ν∆ξ + ρ∗ − (u∗ · ∇)ξ + (ξ · ∇)u∗ + ψ∇θ∗ − ∇η   ∂t     +∇q = a′1 (u∗ − ud ), ∇ · ξ = 0, (x, t) ∈ Q,     ∂ψ  →   ρ∗ + κ∆ψ + ρ∗ u∗ · ∇ψ + γ − e N · ξ = −a′1 (θ∗ − θd ), (x, t) ∈ Q,   ∂t [ ∗ ] [ ∗ ]    − ∂η − u∗ · ∇η + ∂u + (u∗ · ∇)u∗ · ξ + ∂θ + u∗ · ∇θ ∗ ψ ∂t ∂t ∂t   ′ ∗  = a2 (ρ − ρd ), (x, t) ∈ Q,    ∑    ξ = 0, ψ = 0, (x, t) ∈ ,      η|t=T = a2 (ρ∗ |t=T − ρe ), x ∈ Ω,    a1 a1   (u∗ |t=T − ue ), ψ|t=T = ∗ (θ ∗ |t=T − θe ), x ∈ Ω ξ|t=T = ∗ ρ |t=T ρ |t=T (4.10) Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau  ∫∫   (bh∗ + z)(h − h∗ )dxdt ≥ (4.11) ω×(0,T )  ∀h ∈ U , ad 4.5 ∗ h ∈ Uad BÀI TOÁN THỜI GIAN TỐI ƯU Xét hàm mục tiêu b I(h, ρ, z) = T ∗ (h, z; ze , δ)2 + 2 ∫∫ |h|2 dxdt, ω×(0,T ) ze = (ue , θe ) ∈ H, δ > T ∗ (h, z; ze , δ) := inf{T > : |u(., T ) − ue | ≤ δ, |θ(., T ) − θe | ≤ δ} 21 4.5.1 Sự tồn nghiệm tối ưu Xét Uad ⊂ L2 (ω × (0, T0 )) × L2 (ω × (0, T0 )), T0 > cố định E0 = {(h, ρ, z) : h ∈ Uad , (ρ, z) nghiệm (4.7) Ω×(0, T0 )} Chúng ta xét toán thời gian tối ưu sau  Tìm (h∗ , ρ∗ , z ∗ ) ∈ E0 cho I(h∗ , ρ∗ , z ∗ ) = I(h, ρ, z) (4.12) (h,ρ,z)∈E0 Bây toán (4.12) có nghiệm Định lí 4.5 Giả sử tập hợp ba (h, ρ, z) chứa E0 cho I(h, ρ, z) < +∞ khác rỗng Khi đó, toán (4.12) tồn nghiệm 4.5.2 Điều kiện cần tối ưu cấp Chúng xét hàm mục tiêu Φ cho  ∫∫  Φ(T, h) = T + b |h|2 dxdt, 2 Ω×(0,T0 )  ∀(T, h) ∈ [0, T ] × L2 (ω × (0, T )) × L2 (ω × (0, T )) 0 Khi đó, xét toán (4.12) sau   Cực tiểu hóa phiếm hàm Φ(T, h),   T ∈ [0, T0 ], (h, ρ, z) ∈ E0 ,    |u(., T ) − ue | = |θ(., T ) − θe | = δ (4.13) Định lí 4.6 Giả sử điều kiện Định lí 4.5 thỏa mãn (T ∗ , h∗ ) nghiệm (4.13) ứng với trạng thái (ρ∗ , z ∗ ) Ta giả sử < T ∗ < T0 , ∃τ > cho t → z ∗ (., t) thuộc lớp C [T ∗ − τ, T ∗ ], 22 ( ) u∗ (., T ∗ ) − ue , u∗t (., T ∗ ) < 0, ( ) θ∗ (., T ∗ ) − θe , θt∗ (., T ∗ ) < 0, kí hiệu E ∗ không gian lượng ứng với T ∗ Ta giả sử (ρ∗ , z ∗ ) nghiệm (4.9) (4.5) thỏa mãn, dẫn đến (ρ∗ , z ∗ ) nghiệm yếu (4.7) (Định lí 4.2) ứng với T = T ∗ h = h∗ Khi đó, tồn λ1 , λ2 ∈ R nghiệm yếu (η, z) ∈ E ∗ , z = (ξ, ψ), toán sau  [ ] ∂ξ  −ρ∗ − ν∆ξ + ρ∗ − (u∗ · ∇)ξ + (ξ · ∇)u∗ + ψ∇θ∗ − ∇η    ∂t     +∇q = 0, ∇ · ξ = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T ∗ ),     ∂ψ  →  ρ∗ + κ∆ψ + ρ∗ u∗ · ∇ψ + γ − e N · ξ = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T ∗ ),    ∂t [ ∗ ]   ∂η ∂u  ∗ ∗ ∗  − − u · ∇η + + (u · ∇)u · ξ ∂t [ ∂t ∗ ] ∂θ  ∗ ∗   + + u · ∇θ ψ = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T ∗ ),   ∂t      ξ = 0, ψ = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ∗ ),      η|t=T ∗ = 0, x ∈ Ω,      λ1 λ2  ξ|t=T ∗ = (u∗ |t=T ∗ − ue ), ψ|t=T ∗ = ∗ (θ∗ |t=T ∗ − θe ), x ∈ Ω ∗ ρ |t=T ∗ ρ |t=T ∗ Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau  ∫∫   (bh∗ + z)(h − h∗ )dxdt ≥ ω×(0,T ∗ )  ∀h ∈ U , ad h∗ ∈ Uad , với thời gian tối ưu ( ( ) ( )) T ∗ = P[0,T0 ] −λ1 u∗ (., T ∗ )−ue , u∗t (., T ∗ ) −λ2 θ∗ (., T ∗ )−θe , θt∗ (., T ∗ ) , |u∗ (., T ∗ ) − ue | = |θ∗ (., T ∗ ) − θe | = δ thỏa mãn Ở P[0,T0 ] : R+ → [0, T0 ] phép chiếu trực giao Chú ý cuối chương Từ kết chương này, trường hợp nhiệt độ θ ≡ 0, ta thu lại kết tương ứng tồn tại, tính có điều kiện nghiệm yếu, toán điều khiển tối ưu toán thời gian tối ưu hệ phương trình Navier-Stokes với mật độ thay đổi E.F Cara (2012) 23 KẾT LUẬN KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án nghiên cứu số hệ phương trình cặp không ôtônôm học chất lỏng, bao gồm hệ Bénard, hệ MHD hai chiều hệ Boussinesq hai ba chiều với mật độ (khối lượng) thay đổi Các kết đạt bao gồm: 1) Đối với hệ Bénard hệ MHD hai chiều miền thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré: Chứng minh tồn nghiệm yếu, tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi 2) Đối với hệ Boussinesq có mật độ thay đổi miền bị chặn: Chứng minh tồn tính có điều kiện nghiệm yếu, chứng minh tồn nghiệm tối ưu thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp cho toán điều khiển tối ưu với phiếm hàm mục tiêu dạng toàn phương toán thời gian tối ưu KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tính trơn tập hút lùi, tính ổn định toán ổn định hóa nghiệm dừng hệ Bénard hệ MHD nhận luận án • Nghiên cứu tính qui nghiệm hệ Boussinesq với mật độ thay đổi • Nghiên cứu toán điều khiển hệ Boussinesq với mật độ thay đổi 24 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH Đà CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN C.T Anh and D.T Son (2013), Pullback attractors for nonautonomous 2D Bénard problem in some unbounded domains, Mathematical Methods in the Applied Sciences 36, 1664-1684 (ISI) C.T Anh and D.T Son (2015), Pullback attractors for nonautonomous 2D MHD equations in some unbounded domains, Annales Polonici Mathematici 113, 129-154 (ISI) DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN C.T Anh and D.T Son, On the weak solutions to the variable density Boussinesq system, submitted (2015) C.T Anh and D.T Son, Optimal control problems of the variable density Boussinesq system, submitted (2015) [...]... , trong ú cỏc phộp nhỳng l trự mt v liờn tc Ta dựng ký hiu ã cho chun trong V , v ., ch i ngu gia V v V Cỏc khụng gian trờn u l khụng gian Hilbert Tng t, ta cng nh ngha cỏc khụng gian hm ph thuc thi gian thng c s dng trong lun ỏn ny gm: C([a, b]; X); Lp (a, b; X), 1 p +; Lploc (R; X); W m,p (0, T ; X); N s,q (0; T ; B) (khụng gian Nikolskii), trong ú X l khụng gian Banach 1.2 TP HT LI Trong. .. + Rm Re + (Re Rm )3/2 f 2L (,T ;V ) , trong ú K = à 1 1 ( 1 c0 ) L= + 4 Re Rm Chỳ ý cui chng T cỏc kt qu trong chng ny, trong trng hp t trng B 0, ta thu li c cỏc kt qu tng ng v s tn ti, dỏng iu tim cn nghim ca h Navier-Stokes 2 chiu khụng ụtụnụm ng thi cỏc kt qu ny l s m rng tng ng ca Temam (1997) t trng hp ụtụnụm trong min b chn sang trng hp khụng ụtụnụm trong min khụng b chn nhng tha món bt ng... th nh ngha mt quỏ trỡnh liờn tc Z(t, ) : H H cho bi Z(t, )z0 = z(t; , z0 ), t, z0 H, trong ú, z(t) = z(t; , z0 ) l nghim yu duy nht ca bi toỏn (3.4) vi iu kin ban u z( ) = z0 B 3.2 Cho {z0n }n H l mt dóy hi t yu trong H n phn t z0 H Khi ú Z(t, )z0n Z(t, )z0 trong H, vi mi t Z(., )z0n Z(., )z0 trong L2 (, T ; V ), vi mi T > 16 B 3.3 Gi s f L2loc (R; V1 ) tha món t es f (s)2V1 ds... (,T ;V1 ) + 2 ub 2V1 + c2buu + 2 Tb Tr 2V3 trong ú = Chỳ ý cui chng Bng cỏch s dng phng phỏp phng trỡnh nng lng v phng phỏp ỏnh giỏ s chiu fractal hu hn nh trong chng ny, chỳng tụi ó chng minh c nhng kt qu tng ng cho h Newton-Boussinesq trong min khụng b chn hai chiu (2014) 13 Chng 3 H PHNG TRèNH NG LC HC THY T TRNG (MHD) HAI CHIU KHễNG ễTễNễM Trong chng ny, chỳng tụi xột h phng trỡnh ng lc hc... Xột bi toỏn sau: Cc tiu húa phim hm J(h, , z), trong ú (, z) l nghim ca (4.7) vi h Uad 4.4.1 (4.8) S tn ti nghim ti u nh lớ 4.3 Gi s cỏc iu kin sau c tha món: 1 Tp = Uad L2 ( ì (0, T )) ì L2 ( ì (0, T )) li v úng 2 J l na liờn tc di yu, tc l nu (hm , m , z m ) l nghim ca (4.7), hm h trong L2 ( ì (0, T )) ì L2 ( ì (0, T )), m trong L (Q) v z m z trong L2 (0, T ; V ) thỡ lim inf J(hm , m , z m... phộp chiu trc giao Chỳ ý cui chng T cỏc kt qu trong chng ny, trong trng hp nhit 0, ta thu li c cỏc kt qu tng ng v s tn ti, tớnh duy nht cú iu kin ca nghim yu, bi toỏn iu khin ti u v bi toỏn thi gian ti u ca h phng trỡnh Navier-Stokes vi mt thay i ca E.F Cara (2012) 23 KT LUN 1 KT QU T C Trong lun ỏn ny chỳng tụi nghiờn cu mt s h phng trỡnh cp khụng ụtụnụm trong c hc cht lng, bao gm h Bộnard, h MHD... := H1 ì H3 Ta nh ngha tớch vụ hng v chun trong V , H nh sau 3 , z = ((z, z))1/2 , z, z V, ((z, z)) = ((v, v))1 + ((, )) |z| = (z, z)1/2 , z, z H, (z, z) = (v, v) + (, ), 2 1 trong ú cho bi 1 t A : V V l toỏn t xỏc nh bi 3 Az, z = a(z, z) = ((v, v))1 + ((, )) t B : V ì V V l toỏn t xỏc nh bi ), B(z, z), z = b(z, z, z) = b1 (v, v, v) + b2 (v, , trong ú cỏc dng ba tuyn tớnh c cho bi 2... THAY I Trong chng ny, chỳng tụi xột h Boussinesq vi mt khi lng (m v sau ta s gi tt l mt ) thay i trong min b chn RN , N = 2 hoc 3, vi biờn trn u tiờn s dng phng phỏp xp x na Galerkin, chỳng tụi chng minh s tn ti nghim yu Tip theo, chỳng tụi chng minh nghim yu ú l duy nht khi nú trn Cui cựng, chỳng tụi xột cỏc bi toỏn gm: iu khin ti u v thi gian ti u Ni dung ca chng ny da trờn cỏc bi bỏo [3, 4] trong. .. (0, T ; L2 ()) Khi ú tn ti b ba (, z, p), trong ú z = (u, ), tha món L (Q) C 0 ([0, T ]; Lr ()), 1 r < +, z L2 (0, T ; V ), p W 1, (0, T ; L2 ()), z L (0, T ; L2 () ì L2 ()) N 1/4,2 (0, T ; W1,3 () ì W 1,3 ()), inf 0 (x, t) sup 0 18 hu khp trong Q, sao cho [ ] ( u + (u ã )u f ) ã v e ã v dx t N +((u, v))1 = 0, v V1 , theo ngha phõn b trong D (0, T ), [ (t + u ã g) ã... (4.1) tha món (4.4) Khi ú (, z) (, z) hu khp Q 4.4 BI TON IU KHIN TI U Trong mc ny chỳng tụi xột bi toỏn iu khin ti u i vi hm mc tiờu cho bi J(h, , z) = + a1 a1 2 |z(x, T ) ze (x)|2 dx + |z(x, t) zd | dxdt + 2 2 Q a2 a2 2 |(x, T ) e (x)|2 dx b |(x, t) d | dxdt + 2 2 2 Q |h|2 dxdt, ì(0,T ) (4.6) 19 trong ú l tp m khỏc rng trong ; cỏc s thc khụng õm a1 , a1 , a2 , a2 vi ớt nht mt s thc dng; ... z| C|z|z z , z, z V Trong chng ny, chỳng ta s nghiờn cu nhng sau: S tn ti v nht nghim yu S tn ti v ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt lựi 15 3.2 S TN TI V DUY NHT NGHIM YU Trong mc ny, bng phng... Khi iu kin ban u (x) c0 > 0, s tn ti nghim yu c chng minh ln u tiờn bi Antontsev-Kazhikov (1973) Trong trng hp (x) 0, s tn ti nghim yu, nghim mnh, cỏc liờn quan n bi toỏn iu khin ó c trỡnh by... thi gian ti u ca h Boussinesq cú mt lng thay i b chn hai hoc ba chiu Chng MT S KIN THC CHUN B Trong chng ny, chỳng tụi nhc li cỏc khụng gian hm cn dựng nghiờn cu, thit lp cỏc ỏnh giỏ cn thit