Không Điểm Của Đạo Hàm Và Đa Thức Vi Phân Của Hàm Phân Hình P-Adic.pdf

Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH p ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2019 ĐẠI HỌC THÁ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương Thái Nguyên, năm 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Không điểm đạo hàm đa thức vi phân hàm phân hình p-adic" khơng có chép người khác Khi viết luận văn tơi có tham khảo số tài liệu, tất có nguồn gốc rõ ràng hồn thành hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương Nếu có vấn đề tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Hoàng Thị Hương Giang Xác nhận Xác nhận chủ nhiệm khoa Toán người hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương Thầy dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, trả lời thắc mắc, kiểm tra giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ thành viên gia đình ln động viên, ủng hộ tơi suốt thời gian qua Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Sư Phạm Thái Ngun ln nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tơi hồn thành chương trình học bảo vệ luận văn Bản thân tơi suốt q trình học tập nghiên cứu có nhiều cố gắng, nhiên thiếu sót chắn khó tránh Tơi mong thầy cô bạn đọc cho thiếu sót Thái Nguyên, tháng năm 2019 Học viên Hoàng Thị Hương Giang ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các hàm Nevanlinna p-adic 1.1.1 Hàm phân hình p-adic 1.1.2 Các hàm Nevanlinna tính chất 1.2 Các định lý 1.2.1 Định lý thứ 1.2.2 Định lý thứ hai 3 12 14 14 15 Chương KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN 2.1 Không điểm đạo hàm 2.1.1 Một số bổ đề sở 2.1.2 Các kết 2.2 Không điểm đa thức vi phân 2.2.1 Một số kiến thức bổ sung 2.2.2 Các kết 19 19 19 29 40 40 44 KẾT LUẬN 49 Tài liệu tham khảo 50 iii LỜI MỞ ĐẦU Cho K trường đóng đại số, có đặc số không đầy đủ với giá trị tuyệt đối khơng Acsimet (p-adic) f hàm phân hình K Kí hiệu f ′ đạo hàm hàm f kí hiệu F = an f n f (k) + an−1 f n−1 + + a1 f + a0 , aj hàm nhỏ f , đa thức vi phân hàm phân hình f Trong trường hợp phức có nhiều tác giả nghiên cứu số không điểm f F trường hợp khác hàm f Đối với trường hợp hàm phân hình trường p-adic, năm 2012, K Boussaf, A Escassut, J Ojeda ([2]) chứng minh Wronskian hai hàm nguyên hàm đa thức hai hàm ngun đa thức Từ tác giả chứng minh đạo hàm f ′ hàm phân hình siêu việt f K nhận giá trị trường K vơ hạn lần f có hữu hạn cực điểm bội Dựa nghiên cứu K Boussaf, A Escassut, J Ojeda, năm 2012, J-P Bézivin, K Boussaf, A Escassut ([3]) đặt giả thuyết đạo hàm f ′ hàm phân hình f có hữu hạn khơng điểm f có hàm hữu tỷ? Cũng báo này, số kết tổng quát tác giả chứng minh Trong [4], A Escassut, W Lă u, and C C Yang nghiên cứu vấn đề nói cho trường hợp đa thức vi phân F Với mong muốn tìm hiểu vấn đề khơng điểm hàm phân hình đạo hàm nó, chúng tơi lựa chọn đề tài "Không điểm đạo hàm đa thức vi phân hàm phân hình p-adic" Mục tiêu đề tài trình bày lại kết nghiên cứu công bố gần tác giả K Boussaf, A Escassut, J Ojeda, J-P Bézivin, W Lă u, and C C Yang cỏc bi báo [2], [3], [4] Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung chính, phần kết luận tài liệu tham khảo Trong Chương 1, trình bày sở lý thuyết thường sử dụng hàm phân hình p-adic, hàm Nevanlinna tính chất nó, bao gồm định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu, số mệnh đề định lý Các kiến thức tham khảo tài liệu [1] Trong Chương 2, kết nghiên cứu gần tác giả K Boussaf, A Escassut, J Ojeda, J-P Bézivin, W Lă u, and C C Yang cỏc bi bỏo [2], [3], [4] trình bày lại cách tường minh tính tốn lại cẩn thận lập luận Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu số mệnh đề định lý Trong toàn luận văn, ký hiệu trường số hữu tỷ, số thực, số phức Q, R, C, ký hiệu vành số nguyên Z 1.1 1.1.1 Các hàm Nevanlinna p-adic Hàm phân hình p-adic Cho K trường đóng đại số, đầy đủ có đặc số khơng Chúng ta biết hàm |.| : K → R giá trị tuyệt đối trường K ba điều kiện sau thỏa mãn: 1) |x| ≥ với x, |x| = x = 0; 2) |x.y| = |x|.|y| với x, y ∈ K; 3) |x + y| ≤ |x| + |y| với x, y ∈ K Chúng ta biết đến giá trị tuyệt đối thông thường |.| định nghĩa sau:   x x ≥ 0; |x| =  −x x < Với số x, y ∈ Q, ký hiệu d(x, y) = |x − y| d khoảng cách tập hợp số hữu tỷ Điều có nghĩa khoảng cách hai số hữu tỉ x y xác định giá trị tuyệt đối |x − y| Một khoảng cách cần thỏa mãn ba điều kiện sau đây: 1) Khoảng cách hai điểm phân biệt phải số dương hai điểm trùng nhau; 2) Khoảng cách từ điểm x đến điểm y phải khoảng cách từ điểm y đến điểm x; 3) Khoảng cách hai điểm x z phải nhỏ tổng khoảng cách từ x đến y khoảng cách từ y đến z (Bất đẳng thức tam giác) Khoảng cách xác định Thật vậy, tập hợp số hữu tỷ cịn có khoảng cách khác Với số nguyên tố p, ta định nghĩa giá trị tuyệt đối p-adic sau: Định nghĩa 1.1 Với x số hữu tỷ, x = ta định nghĩa a |0|p = Nếu x 6= 0, viết x = pα , α ∈ Z a, b b không chia hết cho p Ta định nghĩa giá trị tuyệt dối p-adic x |x|p = p−α Nhận xét 1.1 Ta có ≤ |k|p ≤ 1, k với số k số nguyên dương Thật vậy, ta viết k = pm k1 , m ≥ p ∤ k1 Biểu diễn đó, 1 = m ≤ m = |k|p ≤ k p k1 p ⇔ ≤ |k|p ≤ k Hàm |.|p xác định giá trị tuyệt đối không Acsimet trường số hữu tỉ Q, tức ba điều kiện giá trị tuyệt đối, |.|p thỏa mãn thêm điều kiện 3’) |x + y)|p ≤ max{|x|p , |y|p }, với x, y ∈ Q Trong thực tế, ta có |x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p }, |x|p 6= |y|p , rõ ràng, ta đặt dp (x, y) = |x − y|p dp khoảng cách trường số hữu tỷ dp thỏa mãn thêm điều kiện 3’) dp (x, y) ≤ max{dp (x, y), dp (y, z)}, với x, y, z ∈ Q Khoảng cách dp gọi siêu metric (hay cịn gọi khoảng cách khơng Acsimet) ta gọi K không gian siêu metric Ta trang bị cho trường K giá trị tuyệt đối p-adic |.|p Khi |.|p cảm sinh K siêu metric dp Với số thực r > phần tử a thuộc K, ta ký hiệu hình cầu đóng mở tâm a, bán kính r d(a, r) = {z ∈ K||z − a|p ≤ r}, d(a, r− ) = {z ∈ K||z − a|p < r} Vành {z ∈ K|r < |z − a|p < R} ký hiệu Γ(a, r, R) Trên không gian siêu metric ta có hai tính chất hình học đặc biệt so với khơng gian metric thơng thường, tam giác cân điểm nằm hình cầu đóng hay mở tâm Khi mở rộng từ số hữu tỷ Q đến số thực R, ta dùng đến dãy Cauchy theo |.|, dãy {an } thỏa mãn với ε > 0, tồn số N cho với m, n > N ta có |an − am | < ε Chúng ta thêm vào Q dãy Cauchy theo |.|p để trường số p-adic Qp Lấy bao đóng ¯ p Nhưng Q ¯ p khơng đóng đại số nên ta lại tiếp tục Qp ta Q bổ sung thêm dãy Cauchy để có Cp Đến đây, Cp trường đầy đủ đóng đại số f ′ g ′ 11 1.1.2 Các hàm Nevanlinna tính chất Cho hàm phân hình f trường đóng đại số K có đặc số không, đầy đủ với giá trị tuyệt đối p-adic giá trị a ∈ K Cố định ρ0 , r ρ cho < ρ0 < r ≤ R < ρ ≤ +∞, trước hết giới thiệu số kiến thức hàm Nevanlinna     1 Ký hiệu 1.10 n r, f −a , n ¯ r, f −a số không điểm hàm f − a kể bội, số không điểm không kể bội hàm f − a d(0, r) Ký hiệu 1.11 n(r, f ) số cực điểm hàm f , điểm đếm số lần bội Định nghĩa 1.11 (Hàm đếm) Ta định nghĩa: i) Hàm đếm không điểm kể bội f a    Zr n t,  f −a N r, dt = f −a t ρ0 N (r, f = a) =     Zr n t, − n 0, f −a f −a t  dt + n 0, log r f −a  ii) Hàm đếm cực điểm tính bội hàm f − a N (r, f ) = Zr n(t, f ) dt t ρ0 N (r, f = ∞) = Zr n (t, f ) − n(0, f ) dt + n (0, f ) log r t 12 Hàm đếm khơng điểm tính bội f cịn ký hiệu Z(r, f ) Z(r, f ) = N r, f    ¯ r, , Chúng ta định nghĩa hàm đếm không kể bội N f −a ¯ (r, f = a), N ¯ (r, f ), N ¯ (r, f = ∞) cách tương tự Tiếp theo ta định N  nghĩa Hàm bù Định nghĩa 1.12 (Hàm bù) Hàm bù định nghĩa công thức m(r, f ) = log+ |f |(r) = max{0, log |f |(r)} Hàm đếm hàm bù có tính chất sau đây: Mệnh đề 1.2 Giả sử fi ∈ M(d(0, R− )), i = 1, 2, , k Khi đó, với < r < R, ta có ! k k X X N (r, fi ) ; fi ≤ N r, m r, i=1 k X N r, fi i=1 fi i=1 i=1 ! k Y ≤ max m (r, fi ) ; m r, i∈{1, ,k} ! k Y ≤ k X N (r, fi ) ; i=1 fi i=1 ! ≤ k X m (r, fi ) i=1 Định nghĩa 1.13 (Hàm đặc trưng Nevanlinna) Cho f ∈ M(K) f ∈ M(d(0, R− )), ta định nghĩa hàm đặc trưng Nevanlinna (gọi tắt hàm đặc trưng) f hàm T (r, f ) = N (r, f ) + m(r, f ) Các tính chất hàm đặc trưng Nevanlinna dễ dàng suy từ tính chất hàm đếm hàm bù Mệnh đề 1.3 Giả sử fi ∈ M(d(0, R− )), i = 1, 2, , k Khi đó, với < r < R, ta có T r, k X i=1 fi ! ≤ k X T (r, fi ) ; T r, k Y i=1 i=1 13 fi ! ≤ k X i=1 T (r, fi ) Hệ 1.3 Một hàm phân hình f K hàm hữu tỷ T (r, f ) = O(log r) (khi r → ∞) Hệ 1.4 Hàm phân hình f hàm siêu việt T (r, f ) = +∞ r→∞ log r lim 1.2 Các định lý Trong lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna p-adic có hai định lý tương tự trường hợp phức Chúng giới thiệu hai định lý số vấn đề liên quan 1.2.1 Định lý thứ Mệnh đề sau tính chất đơn giản hàm đếm, thường gọi công thức Jensen Mệnh đề 1.4 (Công thức Jensen) Cho f ∈ M(d(0, r− )) hàm phân hình Khi đó,  N r, f  − N (r, f ) = log |f |(r) + O(1), hay Z (r, f ) − N (r, f ) = log |f |(r) + O(1), với O(1) đại lượng giới nội Định lý sau hệ đơn giản Công thức Jensen, tương tự với trường hợp phức gọi Định lý thứ Định lý 1.4 Cho hàm phân hình f khác hàm d(0, ρ− ) Khi đó,     1 + N r, = T (r, f ) + O(1), m r, f −a f −a với a ∈ K 14 1.2.2 Định lý thứ hai Mệnh đề sau thường gọi "Bổ đề đạo hàm logarit" Mệnh đề 1.5 (Bổ đề đạo hàm logarit) Cho hàm phân hình f khơng hàm d(0, ρ−) Khi đó, với số nguyên k > với r < ρ ta có |f (k) |(r) ≤ |f |(r) rk Với hàm phân hình f 6= 0, ta ký hiệu hàm giá trị phân nhánh   NRam (r, f ) = 2N (r, f ) − N (r, f ′ ) + N r, ′ f Định lý 1.5 sau gọi Định lý thứ hai Định lý 1.5 Cho hàm phân hình f khác hàm d(0, ρ− ) Với số phân biệt a1 , , aq ∈ K, ta đặt δ = min{1, |ai − aj |}, i6=j A = max{1, |ai |} i Khi đó, với < r < ρ, ta có q X  − NRam (r, f ) − log r + Sf (q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N r, f − a j j=1   q X ¯ r, ¯ (r, f ) + − log r + Sf , N ≤N f − a j j=1  đó, Sf = q X log |f − aj |(ρ0 ) − log |f ′ |(ρ0 ) + (q − 1) log j=1 A δ Sf = r→∞ T (r, f ) Chú ý 1.1 Do đại lượng Sf bị chặn nên lim Tiếp theo số bất đẳng thức dạng Định lý thứ hai 15 Định lý 1.6 Cho hàm phân hình f khác hàm K Ký hiệu a1 , a2 , a3 hàm phân hình phân biệt K Khi đó,   X ¯ r, ¯ (r, f ) + N − log r + S(r), T (r, f ) ≤ N f − a j j=1 S(r) = 4T (r, a1 ) + 4T (r, a2 ) + 5T (r, a3 ) + O(1) Ký hiệu 1.12 (Hàm nhỏ) Cho hàm phân hình f khác số K Ta ký hiệu Mf (K) (tương ứng Af (K)) tập hợp hàm phân hình (tương ứng hàm nguyên) α K thỏa mãn T (r, α) = r→+∞ T (r, f ) lim Tương tự ký hiệu Mf (d(0, R− )) (tương ứng Af (d(0, R− ))) tập hợp hàm phân hình (tương ứng hàm nguyên) α thỏa mãn T (r, α) = 0, r→R T (r, f ) lim Ta gọi hàm α hàm nhỏ f Từ Định lý 1.6 có hệ sau Hệ 1.5 Cho hàm phân hình f khác K, khơng có khơng điểm cực điểm α ∈ M(K) hàm nhỏ f khơng có khơng điểm Khi đó, với r > ta có     1 ¯ r, ¯ (r, f ) + Sf (r), ¯ r, +N +N T (r, f ) ≤ N f f −α Sf (r) = o(T (r, f )) Định lý 1.7 dạng Định lý thứ hai cho hàm nhỏ Định lý 1.7 Cho hàm phân hình f hàm khác K, f (0) 6= u1 , u2 ∈ A(K) hàm nhỏ f khơng có khơng điểm Khi ¯ r, T (r, f ) ≤ N f − u1   ¯ r, +N f − u2 16   + S(r), đó, S(r) = 2T (r, u1 ) + 3T (r, u2 ) − log r + O(1) Ta định nghĩa hàm giá trị phân nhánh bậc công thức   N2,Ram (r, f ) = 3N (r, f ) − N (r, f ′′ ) + N r, ′′ f Định lý 1.8 dạng Định lý thứ hai kiểu phân nhánh bậc Định lý 1.8 Cho hàm phân hình f khác hàm K số phân biệt a1 , a2 , , aq ∈ K Ta đặt δ = min{1, |ai − aj |}, A = max{1, |ai |} i6=j i Khi đó, q X  (q − 1)T (r, f ) ≤ 2N (r, f ) + N r, f − aj j=1  − N2,Ram (r, f ) − log r + Sf , với < r < ρ Sf = q X log |f − aj |(ρ0 ) − log |f ′′ |(ρ0 ) + (q − 1) log j=1 A δ Tương tự Định lý 1.8 thu dạng Định lý thứ hai kiểu phân nhánh bậc k Định lý 1.9 Cho hàm phân hình f khác hàm K Với số phân biệt a1 , a2 , , aq ∈ K, ta đặt δ = min{1, |ai − aj |}, A = max{1, |ai |} i6=j i Khi đó, q X N r, (q − 1)T (r, f ) ≤ kN (r, f ) + f − aj j=1   − Nk,Ram (r, f ) − k log r + Sf , với < r < ρ Sf = q X log |f − aj |(ρ0 ) − log |f (k) |(ρ0 ) + (q − 1) log j=1 17 A δ Định lý 1.10 dạng Định lý thứ hai cho hàm đếm không điểm phân biệt xem xét đến yêu tố bội Định lý 1.10 Cho hàm phân hình f khác hàm K số phân biệt a1 , a2 , , aq ∈ K ∪ {∞} Khi đó, với số nguyên dương kj ∈ Z+ ∪ {∞}, j = 1, 2, , q ta có     q q X kj X k j ¯k r,  − log r + O(1) − 2 T (r, f ) ≤ N j k + k + f − a j j j j=1 j=1 18 Chương KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN 2.1 Không điểm đạo hàm Trong phần này, giới thiệu số bổ đề dùng cho chứng minh kết phần sau 2.1.1 Một số bổ đề sở g ∈ M(K) với g, h ∈ A(K) khơng có không điểm h chung Cho b ∈ K∗ a ∈ K không điểm g ′ h − gh′ + bg mà Bổ đề 2.1 Cho f = không không điểm f ′ + bf Khi a cực điểm đơn f thặng dư f a resa (f ) = b Chứng minh Ta có f ′ + bf = g ′ h − gh′ + bg h2 Giả sử g ′ (a)h(a) − g(a)h′ (a) + bg (a) = f ′ (a) + bf (a) 6= Khi đó, h(a) = Vì g h khơng có khơng điểm chung nên g(a) 6= 0, mà g ′ (a)h(a) − g(a)h′ (a) + bg (a) = ⇔ h′ (a) − bg(a) = 19 Vì h′ (a) = bg(a) nên h′ (a) 6= với b 6= Vậy a cực điểm g(a) g(a) = resa (f ) = ′ = đơn f cho ′ h (a) b h (a) b Chú ý 2.1 Cho hàm nguyên f khác số K, ta biểu diễn k j Y  z 1− f (z) = az m , zj zj ∈Ω,zj 6=0 a ∈ K∗ , Ω tập khác không điểm phân biệt f m = không không điểm f Ta đặt f¯(z) = z m0 Y zj ∈Ω,zj 6=0  z 1− zj  , với m0 = không không điểm m0 = trường hợp cịn lại Khi đó, f¯ hàm nguyên nhận không điểm phân biệt f làm không điểm, tất với bội Ta đặt f = f¯f˜ f˜ hàm nguyên nhận không điểm bội q (q ≥ 2) f làm không điểm, không điểm hàm f˜ có bội q − Như vậy, không điểm f˜ không điểm f¯ Đặc biệt, f hàm hằng, ta đặt f¯ = f˜ = f Ta đặt f ′ = f˜g Nếu a không điểm bội k + f a khơng điểm bội k f ′ không không điểm g Thật vậy, giả sử a không điểm bội k + f ta biểu diễn f (z) = (z − a)k+1 f1 (z), f1 (a) 6= Khi đó, f ′ (z) = (k + 1)(z − a)k f1 (z) + (z − a)k+1 f1′ (z) = (z − a)k [(k + 1).f1 (z) + (z − a).f1′ (z)] , rõ ràng a không điểm bội k hàm f ′ 20 Nếu f = f˜f¯ a không điểm f˜, f¯, f˜′ , f¯′ với số bội k, 1, k − 1, f ′ = f˜′ f¯ + f˜f¯′ = f˜.g Nếu biểu diễn f ′ trên, ta dễ dàng thấy a không điểm g g h Nếu f ′ có hữu hạn khơng điểm tồn đa thức P ∈ K[z] cho ˜ Ở h = h ˜h ¯ theo cách đặt Chú ý 2.1 g ′ h − gh′ = P h Bổ đề 2.2 Cho g, h ∈ A(K) khơng có khơng điểm chung ta đặt f = Chứng minh Nếu h số phát biểu hiển nhiên Giả ˜h ¯ Ta viết h′ = hw ˜ với w ∈ A(K), sử h hàm khác hằng, h = h ˜h ¯ − g hw ˜ ¯ − gw g′h g′h g ′ h − gh′ = = f = ˜ 2h ˜h ¯2 ¯2 h2 h h ˜ h ¯ (a) = h(a) = Theo giả thiết, g h khơng có khơng Nếu h(a) ′ điểm chung nên g(a) 6= Vì a khơng phải không điểm w nên ¯ g ′ (a)h(a) − g(a)w(a) = −g(a)w(a) 6= ¯ − gw h ˜h ¯ khơng có khơng điểm chung Vì thế, Như vậy, hai hàm g ′ h ¯ − gw Theo giả không điểm hàm f ′ không điểm g ′ h ¯ − gw = P với P đa thức thiết f ′ có hữu hạn khơng điểm nên g ′ h ˜h ¯ h′ = hw ˜ ta g ′ h − gh′ = P h ˜ Viết lại h = h Bổ đề sau biết đến với tên gọi "Bổ đề p-adic Schwarz" Bổ đề 2.3 Giả sử r, R ∈ (0; +∞) cho r < R f ∈ M(K) có s khơng điểm có t cực điểm d(0, r), khơng có khơng điểm khơng có cực điểm Γ(0, r, R) Khi đó, |f |(R) = |f |(r)  s−t R r 21 Chứng minh Từ định nghĩa hàm đếm ta tính  N R, f N r, f    ZR n(t, ) f = dt, t N (R, f ) = ρ0 Zr n(t, ) f = dt, t ZR n(t, f ) dt, t ρ0 N (r, f ) = ρ0 Zr n(t, f ) dt t ρ0 Hơn từ cơng thức Jensen, ta có   − N (R, f ) = log |f |(R) − log |f |(ρ0 ), N R, f   N r, − N (r, f ) = log |f |(r) − log |f |(ρ0 ) f Trừ theo vế hai đẳng thức ta     |f |(R) 1 log − N r, − N (R, f ) + N (r, f ) = N R, |f |(r) f f ZR n(t, ) ZR n(t, f ) f = dt − t t r r  s−t R R R = s log − t log = log r r r  s−t |f |(R) R Vậy = |f |(r) r Bổ đề 2.4 Giả sử r, R ∈ (0; +∞) cho r < R f ∈ A(K) có q khơng điểm d(0, R) Khi đó, |f |(R) ≤ |f |(r)  q R r Chứng minh Bổ đề 2.4 suy từ Bổ đề 2.3 Thật vậy,     1 n r, ≤ n R, =q f f  q R |f |(R) ≤ nên có kết |f |(r) r 22