Thông tin tài liệu
A ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài: Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn 6, tơi nhận thấy học sinh giải tốn cịn gặp nhiều khó khăn phương pháp, trình bày lời giải, khơng em trình bày chỗ thừa, chỗ thiếu khơng em để lại sai sót Đặc biệt em học thuộc lý thuyết vận dụng vào giải tập Các em lớp lên giải toán “ Tìm x ’’ lớp gặp nhiều khó khăn, thường mắc phải nhiều sai xót khơng đáng có, em thường ngại giải tốn dạng này….Vì thế, để giúp em giải khó khăn, tránh sai xót, tạo hứng thú cho em giải tốn “ Tìm x ’’ tơi chọn đề tài “Khắc phục sai lầm hướng dẫn học sinh lớp giải tốn Tìm x ” Từ nâng cao chất lượng dạy học chất lương mơn tốn lớp Mục đích nghiên cứu: Đề tài giúp học sinh nắm vững hiểu sâu kiến thức bản, có kĩ giải thành thạo tốn “ Tìm x” chương trình tốn lớp Giúp học sinh khắc phục sai lầm thường gặp phải giải toán “ Tìm x” Là tiền đề để em học tốt dạng tốn giải phương trình sau Đề tài tài liệu tham khảo cho giáo viên trình đọc nghiên cứu tài liệu, giảng dạy mơn tốn Đặc biệt kinh nghiệm giúp cho giáo viên tham khảo thiết kế dạy tiết luyện tập, ôn tập, luyện thi trình dạy học Đối tượng nghiên cứu: Các dạng tốn “ Tìm x” chương trình tốn lớp cách giải Đối tượng khảo sát thực nghiệm: Học sinh lớp 6A, 6B trường THCS Đông Quang Phạm vi thời gian nghiên cứu: Trong đề tài giới hạn nghiên cứu vấn đề sau: 1) Nhắc lại tốn “ Tìm x” dạng đơn giản 2) Phân tích thành phần tốn “ Tìm x” đơn giản 3) Phân tích thành phần tốn “ Tìm x” phức tạp 4) Phân tích bước làm tốn “ Tìm x” 5) Vận dụng quy tắc, định nghĩa để giải tốn “ Tìm x” 6) Tìm nhiều lời giải tốn “ Tìm x” 7) Hướng dẫn trình bày ln ý sửa sai cho học sinh tập 8) Kiểm tra kết làm máy tính CASIO fx – 500MS Thời gian nghiên cứu: năm (Từ năm 2018 đến năm 2020) 1/15 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Thực trạng: Các tốn “Tìm x” bậc tiểu học lớp 6, lớp sở để học sinh học tốt phương trình bất phương trình lớp Đồng thời giúp em làm quen rèn luyện giải phương trình thơng qua tốn “ Tìm x ’’ Ở bậc tiểu học em làm quen với toán “ Tìm x” dạng đơn giản Lên lớp em gặp lại dạng toán chương I xuyên suốt năm học với mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Các kiểm tra đề thi số học ln có tốn “ Tìm x” khơng học sinh gặp khó khăn việc giải toán dạng Qua thực tế nhiều năm, đầu năm học lớp 6, chưa giáo viên giúp đỡ, tốn “ Tìm x” kiểm tra học sinh đạt kết thấp Cụ thể: Giỏi Khá Trung Bình Yếu Kém Khối 8% 15% 32% 35% 10% Do đó, kinh nghiệm thân qua nhiều năm dạy toán lớp 6, nghiên cứu áp dụng đề tài “Khắc phục sai lầm hướng dẫn học sinh lớp giải tốn Tìm x ” vào dạy học Qua giúp em học sinh giải khó khăn gặp phải giải tốn “ Tìm x” để em đạt kết cao học tập II Biện pháp thực hiện: 1.Nhắc lại tốn “ Tìm x” đơn giản 1.1) Tìm số hạng chưa biết tổng: - “ Muốn tìm số hạng chưa biết (SHCB) tổng, ta lấy tổng (T) trừ số hạng biết (SHĐB)” Ví dụ: Tìm x biết: x + = 5( x số hạng chưa biết, tổng, số hạng biết) x=5–3 1.2) Tìm “số trừ”, “số bị trừ”, hiệu: - “Muốn tìm số bị trừ (SBT), ta lấy hiệu (H) cộng với số trừ (ST)” Ví dụ: Tìm x biết: x – = 13( x số bị trừ, 13 hiệu, số trừ ) Thì x = 13 + - “Muốn tìm số trừ (ST), ta lấy số bị trừ (SBT) trừ hiệu (H)” Ví dụ: Tìm x biết: 15 – x = ( x số trừ, 15 số bị trừ, hiệu ) x = 15 – 1.3)Tìm thừa số chưa biết tích: - “ Muốn tìm thừa số chưa biết (TSCB), ta lấy tích (T) chia cho thừa số biết (TSĐB)” 2/15 Ví dụ : Tìm x biết: x = 27( x TSCB, 27 tích, thừa số biết ) Thì x = 27 : 1.4) Tìm “số bị chia”, “số chia”, phép chia: - “Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia” Ví dụ: Tìm x biết: x : = ( x số bị chia, thương, số chia ) Thì x = 7.5 - “Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương” Ví dụ : Tìm x biết: 15 : x = ( x la SC, 15 SBC, Th) Thì x = 15 : Ngồi để dễ nhớ em vận dụng sau: * Đối với phép cộng: * Đối với phép trừ: Cho đẳng thức: 2+3=5 Cho đẳng thức: 10 – = Ta có: 2=5–3 Thì : 10 = + 3=5–2 = 10 – Thay đổi vị trí x đẳng thức Thay đổi vị trí x đẳng thức Nếu: x + = ( x vị trí số 2) Nếu : x–7=3 Thì: x=5–3 Thì: x=3+7 x=2 x = 10 Nếu: 2+x=5 ( x vị trí số 3) Nếu : 10 – x = Thì: x=5–2 Thì: x = 10 – x=3 x=7 * Đối với phép nhân: * Đối với phép chia: Cho đẳng thức: 3.4 = 12 Cho đẳng thức: 20 : = Thì: = 12 : Thì: = 20 : 4 = 12 : 20 = Thay đổi vị trí x đẳng thức Thay đổi vị trí x đẳng thức: Nếu: x = 12 ( x vị trí số 3) Nếu: x : = ( x vị trí số 20) Thì: x = 12 : Thì: x=4.5 x=3 x = 20 Nếu: x = 12 ( x vị trí số 4) Nếu: 20 : x = (x vị trí số 5) Thì: x = 12 : Thì: x = 20 : x=4 x=5 2) Phân tích thành phần tốn “Tìm x” phức tạp Khi em phân tích thành thạo thành phần tốn “Tìm x” đơn giản xét tốt mối quan hệ chúng, tơi cho em bắt đầu tập phân tích thành phần mối quan hệ chúng tốn “Tìm x” phức tạp Ví dụ: Tìm số tự nhiên x biết: 3/15 a 213 + (124 – x) = 324 Ở em thường hay nhầm lẫn x số trừ tốn, hay trình bày này: 213 + ( 124 – x ) = 324 x = 324 – 213 Cho nên phải hướng dẫn cho em phân tích từ từ, tốn “Tìm x” “x” ln số chưa biết, kéo theo (124 – x) số hạng chưa biết, 213 số hạng biết, 324 tổng Do ta có: 213 124 x 324 SHÑB T SHCB Mà: SHCB = Tổng – SHĐB Từ ta giải sau: 213 + (124 – x) = 324 124 – x = 324 – 213 124 – x = 111 Đến ta trở tốn “Tìm x” đơn giản, x số trừ chưa biết, giải b [(10 – x) + 5] : – = Đối với này, nhiều học sinh gặp khó khăn, em khơng Tôi lại hướng dẫn em số “x” Vì x chưa biết ( 10 – x ) chưa biết (10 – x ).2 chưa biết [(10 – x).2 + 5] chưa biết [(10 – x).2 + 5] : chưa biết Đến ta xét phép trừ dấu ngoặc: [(10 – x).2 + 5] : SBT chưa biết, ST biết, H biết 10 x 5 : 3 ST H SBT Mà: SBT = H + ST 10 x 5 : + Ta có : = ST H SBT [(10 – x).2 + 5] : = Đến lại phân tích tiếp: 10 x .2 5 : 3 5 SBC SC Th Mà: SBC = Th SC Ta có: [(10 – x).2 + 5] : =5 10 x .2 5 3 T SC SBC (10 – x).2 + = 15 Tiếp tục phân tích ta có: 10 x .2 SHCB 5 15 SHĐH T 4/15 Mà: SHCB = T – SHĐB 10 x.2 15 Do đó, ta có: SHCB T SHĐH (10 – x ) = 10 Và: 10 x TSCB 10 TSĐS TICH Mà: TSCB = Tích : TSĐB Vậy: 10 : 2 x 10 TSCB T TSCB 10 – x = Đến ta trở toán “Tìm x” đơn giản Cuối em tự trình bày giải hoàn chỉnh: [(10 – x) + 5] : – = [( 10 – x ).2 + 5] : = + [( 10 – x ).2 + 5] : = [( 10 – x ).2 + 5] = [( 10 – x ).2 + 5] = 15 ( 10 – x ).2 = 15 – (10 – x ).2 = 10 10 – x = 10 : 10 – x = x = 10 – x=5 Phân tích bước làm tốn ‘Tìm x” Tơi thường tập cho em có thói quen trước sau giải xong tốn ‘Tìm x” phải phân tích kĩ dịng, bước giải ta làm gì? Thực chưa? Cụ thể: Ví dụ 1: Tìm x N , biết: [ (8x – 14 ) : – ] 31 = 341 (8x – 14 ) : – = 341 : 31 (TSCB = Tích : TSĐB ) (8x – 14 ) : – = 11 ( Tính kết VP ) (8x – 14 ) : = 11 + ( SBT = Hiệu + ST ) (8x – 14 ) : = 13 ( Tính VP) 8x – 14 = 13 ( SBC = Thương SC ) 8x – 14 = 26 ( Tính VP ) 8x = 26 + 14 ( SBT = hiệu + ST ) 8x = 40 ( Tính VP ) x = 40 :8 ( TSCB = Tích : TSĐB ) 5/15 x=5 ( Kết quả) Các em thường phải tự trả lời câu hỏi: + Từ dòng qua dòng ta làm gì? + Từ dịng qua dịng ta làm gì? Cứ kết cuối Ví dụ 2: Tìm x N , biết: – (27 – ) = x – ( 13 – ) – 24 = x – (Tính giá trị ngoặc VT VP) – 20 = x – (Tính VT) x – = – 20 ( áp dụng a = b => b = a ) x = - 20 + ( Tìm ST) x = - 11 ( Kết quả) Ví dụ : Tìm x N , biết: 2x – 35 = 15 2x = 15 + 35 ( Tìm SBT) 2x = 50 ( Tính VP ) x = 50 : ( Tìm TSCB) x = 25 ( Kết quả) Vận dụng quy tắc, định nghĩa để giải tốn “ Tìm x” : 4.1) Vận dụng quy tắc chuyển vế: Có tốn “Tìm x” sử dụng quy tắc chuyển vế để giải việc giải toán đơn giản đưa toán nhiều, kể việc trình bày Ví dụ: Tìm x N biết: x – = 10 – 2x Nếu giải cách đưa tốn em lúng túng khơng biết chọn phép trừ để giải trước Các em chuyển vế chuyển lúc vế tử VT sang VP từ VP sang VT Cụ thể: x – = 10 – 2x x + 2x = 10 + ( Chuyển – sang VP – 2x sang VT) x (1 + 2) = 18 ( áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng VT tính VP) x.3 = 18 ( Tính giá trị ngoặc VT) x = 18 : 3( Tìm TSCB x) x = ( Kết quả) 4.2) Vận dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối số nguyên a 6/15 Ở mức độ lớp 6, em làm quen với giá trị tuyệt đối số nguyên a dạng cụ thể, nên toán “Tìm x” có chứa giá trị tuyệt đối mức đơn giản Phương pháp chung nên đưa toán bản: │x│ = a x = a x = – a Ví dụ: Tìm x biết: │x + 2│= Giáo viên đặt câu hỏi “Giá trị tuyệt đối 5?” gợi ý cho học sinh đặt x + = X ta có tốn: │X│= ( toán bản) X = X = - + Với X = ta có: x + = + Với X = - 5, ta có: x+ = - x=5–2 x=-5–2 x=3 x=-7 Vậy x = ; x = - 4.3) Vận dụng định nghĩa hai phân số “ Hai phân số a c b d gọi a.d = b.c” Ví dụ: Tìm x, y biết: y 36 x 35 84 Đối với em vận dụng định nghĩa hai phân số để giải Trước hết cần rút gọn phân số 36 84 y x 35 y x 35 Ta có: Giáo viên cần gợi ý: Nên đưa dạng : a c ad bc b d Tách riêng tìm x, tìm y Cụ thể: Ta có: x 3.7 = x.(- 3) 21 = x.(-3) x.(- 3) = 21 x = 21 : (- 3) x= -7 Hoặc giải này: Và: y 35 y = (-3) y = -105 y = ( -105) : y = -15 Hoặc giải cách khác: 7/15 y 35 y 15 35 35 y 15 x 3 x x Vậy: y = -7; y = -15 4.4) Vận dụng định nghĩa lũy thừa bậc n a, hai lũy thừa Đối với tốn “ Tìm x” có chứa lũy thừa em học sinh lớp thường thấy khó khăn, tơi ln nhắc lại cho em nhớ định nghĩa lũy thừa bậc n a: a n a a a.a a n thừa số a Ví dụ: 25 = = 32 Ta xét ví dụ cụ thể sau: Ví dụ: Tìm x N biết: a) 2x = HD: Theo định nghĩa ta có: 23 = = Ta có: 2x = 23 x = c) x4 = 625 x4 = 54 x=5 Và an = am n = m x = 35 x = b) 2x : = 16 2x = 16.2 2x = 32 2x = 25 x=5 x-5 d) = 16 2x-5 = 24 x–5=4 x=4+5 x=9 5.Tìm nhiều cách giải cho tốn “Tìm x” Khi dạy tốn cho em, tơi ln khuyến khích em sau giải xong tốn em phải ln tự đặt câu hỏi như: Còn cách giải khơng? Bài có cách giải? Cách giải hay nhất? Ta xét ví dụ sau đây: 5.1) Tìm x Z biết: - 20 = x – - Cách 1: - 20 = x – - Cách 2: - 20 = x – x – = - 20 - 20 = x x = - 20 + - 11 = x x = - 11 x = - 11 5.2) Tìm x Z biết: 15 – (x – ) = - 21 - Cách 1: Bỏ dấu ngoặc đằng trước có - Cách 2: Xem (x – 7) số trừ: dấu trừ: 15 – x + = - 21 x – = 15 – ( - 21) 5.3) Tìm x Z biết: 15 – x + = - 21 8/15 - Cách 1: - Cách 2: - x = - 21 – 15 – ( chuyển (15 – 7) - x = - 12 ( giao hoán, kết 15 17 sang VP) hợp) 22 – x = - 21 5.4) Tìm x biết: - Cách 1: x = : x=1: x=1 x= 11 4 11 x 1 - Cách 2: x = 11 x =1 x= 11 11 Hướng dẫn trình bày sửa sai cho học sinh tập Tôi thường tập cho em sửa sai lầm phổ biến cách trình bày giải khơng xác em học sinh Ngay từ lớp 6, không sửa sai kịp thời, sau lên lớp em khó khắc phục Tơi xin đưa vài sai lầm mà em lớp thường mắc phải ( số học mà hình học) 6.1)Trình bày giải Tơi đặc biệt ý lỗi trình bày em học sinh Ví dụ để giải tốn: Tìm x biết: 5411 + (2518 – x ) = 735 Có em trình bày này: 5411 + (2518 – x ) = 735 = 735 – 541 = 194 ( lỗi nhiều em mắc phải) Hoặc cho tốn tìm x: 2( x + 2) = 24 : + Có em trình bày này: 2( x + 2) = 2x + = 24 : + = + = Đối với lỗi thường cho em thấy bất thường cách trình bày Cụ thể theo ví dụ ta có: 735 = 194 điều khơng thể) Cịn ví dụ tơi thường nhắc em khơng nên viết mà nên tách thành dòng 2(x + 2) = 24 : + 2x + = + 2x + = … 9/15 Ngồi tơi cố gắng gợi ý cho em nên trình bày tốn “ tìm x” cho dấu “ = ” dịng hẳng hàng từ xuống tốn rõ ràng có thẩm mỹ Đối với tốn có chứa phân số, tơi ln lưu ý em phải viết: chữ “x”; dấu “=”; gạch phân số phải thẳng hàng; đầu gạch phân số phải vị trí ngang dấu “=” Ví dụ: x Hoặc giải tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối có em trình bày này: x 2 x = = - Hoặc x = – Viết sai, phải sửa lại là: x = x = - Hoặc viết dấu ngoặc em viết tuỳ tiện: Ví dụ: ( 10 – x) = 10 (1) ( 10 – x) = 10 : (2) ( sai) Do em không hiểu kỹ dùng dấu ngoặc, không Tôi gợi ý; dấu ngoặc dịng dùng để làm ? ( ta biết phép trừ làm trước, phép nhân làm sau) Vậy dấu ngoặc dịng để làm gì? ( khơng làm cả).Do dấu ngoặc dịng khơng cần thiết, nghĩa dư Dịng viết là: 10 – x = 10 : 6.2) Một số sai lầm em thường mắc phải giải tốn “Tìm x” Ví dụ: Tìm x biết: Có em trình bày sau: x 11 73 24 x 11 73 24 x 73 11 24 x 73 33 24 24 x 40 ( Đến em xem giải xong) 24 Đối với sai lầm tơi thường nhắc em: tốn u cầu ta tìm x khơng phải tìm x Do em cần giải tiếp: x 40 24 x 3 x 5 ( trước hết phải rút gọn phân số) 10/15 Hoặc cho tốn: Tìm x : x + |- | = Có em làm sau: x + |- | = x = - |- | ( xong không làm nữa) Ở tơi giải thích : em xem giá trị tuyệt đối số cụ thể phép tính, tính được: x + |- | = x+2=0 x=0–2 x= –2 * Hoặc em thường viết dấu “=” trước dòng phép tính, viết dấu ngoặc khơng cần thiết Ví dụ: Tìm x: 2,8 x 32 : 2,8 x 90 32 90 = (2,8x – 32) = - 60 = 2,8x = - 60 + 32 = x = ( -28 ) : 2,8 = x = - 10 ( dấu ngoặc vế trái không cần thiết dấu “=” đứng trước sai) Ở em bị lẫn lộn với dạng tốn tính giá trị biểu thức Tôi thường nhấn mạnh em viết sai * Hoặc em thường mắc sai lầm sau: x.31 = 341 x = 341 31 x = 341 – 31 Nguyên nhân sai lầm: Do em chưa nắm vững mối quan hệ thành phần phép toán cộng, trừ, nhân, chia (đã nói phần đầu) 6.3 ) Học sinh thường mắc sai lầm giải tốn “Tìm x” sau: 4x + 15 : = 21 4x + 15 = 21 4x + 15 = 63 4x = 63 – 15 4x = 48 x = 48 : x = 12 Do em nhầm lẫn (4x + 15) số chia, số chia nên giải sai Có hai cách khắc phục: 11/15 - Cách 1: Cho học sinh thử lại: 12 + 15 : = 21 48 + = 21 53 = 21 ( vô lí) Và cho em giải lại cho - Cách : Giáo viên cho hai đề bài: 4x + 15 : = 21 (4x + 15) : = 21 Và cho em tự tìm khác hai đề bài, bên trái phép chia thực trước, phép cộng thực sau Ở đề bên phải phép cộng thực trước, phép chia thực sau Giải là: 4x + 15 : = 21 4x + = 21 4x = 21 – 4x = 16 x = 16 : x=4 (4x + 15) : = 21 4x + 15 = 21 4x + 15 = 63 4x = 63 – 15 4x = 48 x = 48 : x = 12 Từ học sinh thấy khác hai đề dẫn đến hai kết khác thấy sai lầm để rút kinh nghiệm cho sau 6.4) Đối với tốn “ Tìm x” có chứa lũy thừa, em thường sai lầm sau: 2x = 32 hoặc: x5 = 3125 x = 32 : x = 3125 : x = 16 x = 625 Nguyên nhân em chưa nắm định nghĩa lũy thừa bậc n a nhầm lẫn 2x với 2.x; x5 với x.5 Cách khắc phục: n a Giáo viên nhắc lại: a a a.a.a n thừa số a Và cho ví dụ cụ thể để học sinh thấy 2x khác 2.x x5 khác 5.x Ví dụ: 23 = = 2.3=6 = =1024 = 20 Từ đưa cách giải cho hai ví dụ là: 2x = 32 2x = 25 x=5 x5 = 3125 x5 = 55 x=5 12/15 Kiểm tra kết làm máy tính CASIO fx – 500MS Đối với học sinh lớp tơi thường khuyến khích em nên sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra lại kết làm, máy tính giúp ta kiểm tra lại kết làm nhanh ( tốn phức tạp) Ví dụ: Lấy ví dụ trên: [(10 – x ) + 51] : – = Các em tìm được: x = 28 Kiểm tra lại giá trị tìm x Tôi cho em lấy số 28 thay vào vị trí x đầu sử sụng máy tính tính xem hai vế có khơng - Có hai cách bấm máy: + Tuần tự bấm dấu ngoặc phép tính đầy đủ đề ( vế trái) + Thay x = 28, ta tính 10 – 28 , nhân với 2, cộng với 51, chia cho 3, xong trừ xem có khơng Hoặc bài: y 36 x 84 Sau tìm : x = – y = – 15 Cho em thay – – 15 vào vị trí x, y đầu kiểm tra máy tính xem ba phân số có khơng Ngồi tơi cịn hướng dẫn em đổi từ phân số sang hỗn số, số thập phân tiện lợi Những lúc thấy em hứng thú, sau kiểm tra máy tính thấy kết trùng khớp với làm C KẾT LUẬN, KHUYẾN NGHỊ 1) Nhận định kết Nhờ thực mà sau nhiều năm dạy toán lớp 6, dạng tốn “ Tìm x” ( phương trình bậc lớp trên), em khơng cịn thấy sợ giải chúng Kết thi, tốn “ Tìm x” em đạt kết cao Các em biết trình bày xác, chặt chẽ rõ ràng Đối với học sinh giỏi em giải tốn “ Tìm x” phức tạp khó lớp Đối với học sinh trung bình yếu em giải tốn “ Tìm x” Đây nguồn động viên to lớn tôi, thấy hạnh phúc Hạnh phúc làm giáo viên, 13/15 đứng bục giảng, dạy cho em bước học hết chương trình toán lớp cách vững vàng Sau áp dụng biện pháp trên, tốn “ Tìm x” kiểm tra, thi học kì em học sinh gặt hái kết cao Trước áp dụng đề tài vào dạy học Sau áp dụng đề tài vào dạy học - Loại Giỏi: 8% - Loại giỏi đạt: 30 % - Loại Khá: 15% - Loại đạt: 48% - Loại Trung Bình: 32% - Loại trung bình đạt: 22% - Loại Yếu: 35% - Loại yếu: 0% - Loại Kém: 10% - Loại Kém: 0% 2) Khuyến nghị đề xuất nhà trường a) Thư viện: Bổ sung thêm sách tham khảo mơn tốn lớp 6, sách tập trắc nghiệm, sổ tay toán học… b) Thiết bị: Nên mua máy tính CASIO fx- 570 MS để cho học sinh khó khăn khơng mua máy, tạo điều kiện mượn máy để học Vì qua q trình dạy tơi thấy em có máy tính học thuận lợi em khơng có máy tính nhiều c) Chuyên môn: Tổ chức nhiều buổi chuyên đề để giáo viên chia sẻ áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào dạy học 3) Kết luận Như nói trên, dạng tốn “ Tìm x” lớp dạng tốn giải phương trình sau học lớp Nếu lớp em hướng dẫn 14/15 rèn luyện thật vững giải thành thạo tốn “ Tìm x” sau em điểm cao giải phương trình Do đó, khơng nên xem nhẹ việc giải tốn “ Tìm x” trái lại cần coi chúng viên gạch xây đắp cho học sinh khả giải phương trình sau Trên số kinh nghiệm thân việc giảng dạy mơn tốn lớp thời gian qua Rất mong góp ý lãnh đạo đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn thầy đọc tài liệu đóng góp ý kiến cho Đông Quang, ngày 20 tháng năm 2020 Tác giả Kiều Thị Phương Thủy 15/15
Ngày đăng: 19/06/2023, 15:27
Xem thêm:
