(Skkn 2023) hướng dẫn học sinh lớp 6 giải một số dạng toán về số chính phương

MỤC LỤCC LỤC LỤCC I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng, khách thể nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phạm vi thời gian nghiên cứu II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Khảo sát thực tế Số liệu điều tra trước thực Những biện pháp thực 3.1 Cơ sở lí thuyết số phương 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Một số tính chất số phương 3.1.3 Một số kiến thức liên quan 3.2 Các biện pháp phương pháp giảng dạy 3.3 Phân loại dạng toán phương pháp giải cụ thể 3.3.1 Dạng 1: Chứng minh số số phương 3.3.2 Dạng 2: Chứng minh số khơng số phương 3.3.3 Dạng 3: Tìm số để kết số phương 3.4 Bài tập tự luyện Kết thực III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Khuyến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 1 1 2 3 4 7 11 16 20 21 22 22 22 I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Tốn học mơn học có vai trị đặc biệt quan trọng với học sinh nói chung học sinh THCS nói riêng Đó mơn học cơng cụ, môn học rèn luyện cho học sinh kĩ tính tốn, phương pháp suy luận độc lập sáng tạo, giúp em rèn luyện tư lơgíc, khoa học góp phần tạo điều kiện cho em học tốt mơn khoa học tự nhiên khác Trong chương trình Tốn THCS, phần Số học chiếm tỷ lệ khơng cao, song kiến thức mở đầu lại tảng, sở cho kiến thức khác Trong phân môn số học, em lớp bước đầu tìm hiểu kiến thức số phương, làm quen số tốn liên quan đến kiến thức Trong nhiều năm giảng dạy, tơi nhận thấy kiến thức số phương sách giáo khoa Tốn (Bài 72 – trang 31 SGK tập 1; 101, 8.2 – trang 17,18 SBT tập 1), chủ yếu học sinh tiếp cận, làm quen trình đọc tài liệu tham khảo, chuyên đề bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Có thể nói dạng tốn số phương dạng tốn khó học sinh lớp khơng học sinh cảm thấy “sợ” học dạng toán Khi bắt gặp tốn số phương sách tham khảo hay kì thi học sinh giỏi đa số em gặp phải khó khăn, lúng túng chưa nắm vững chất dạng toán, thiếu kinh nghiệm việc huy động lượng kiến thức liên quan nên chưa định hình hướng giải Là giáo viên dạy tốn 6, tơi trăn trở cho học sinh hiểu ham học phần tốn bồi dưỡng tốt cho em học sinh khá, giỏi để tạo nguồn cho kì thi học sinh giỏi Chính lẽ tơi nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp giải số dạng tốn số phương” Mục đích nghiên cứu - Trang bị cho học sinh lớp số phương pháp giải tập số phương - Giúp giáo viên nâng cao trình độ, áp dụng vào công tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Đối tượng, khách thể nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Một số tốn số phương - Khách thể nghiên cứu: + Khách thể nghiên cứu chính: Học sinh khá, giỏi lớp năm học 2020 2021 tạo nguồn cho đội tuyển HSG trường THCS Tản Đà nơi công tác + Khách thể nghiên cứu bổ trợ: Gồm giáo viên toán khối học sinh khá, giỏi khối năm học 2019 -2020 làm đối chứng Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp đặt vấn đề giải vấn đề - Phương pháp đàm thoại, vấn đáp - Phương pháp phân tích - Phương pháp tổng hợp - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp thống kê toán học Phạm vi thời gian nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu toán sơ phương thuộc phạm vi chương trình lớp phù hợp với đối tượng học sinh thuộc khóa học khác mà tơi trực tiếp giảng dạy năm học vừa qua thông qua số tốn điển hình học luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh theo nhu cầu, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi - Thời gian nghiên cứu: Năm học 2019 - 2020 năm học 2020 - 2021 II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Khảo sát thực tế Qua công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi để tạo nguồn cho đội tuyển học sinh giỏi trường nơi công tác dạy chun đề số phương, tơi nhận thấy có số vấn đề sau: - Về phía SGK sách tham khảo Toán 6: SGK Toán có đề cập đến số phương dừng lại định nghĩa nêu tập 72 (Trang 35 - SGK Tốn 6, tập một) cịn lượng tập số phương sách giáo khoa Tốn 6, sách tập Toán 6, số sách tham khảo khác - Về phía giáo viên: Là giáo viên đứng lớp giảng dạy năm qua, dự đồng nghiệp nhiều lần tơi thấy nhiều giáo viên cịn “ngại khó” bồi dưỡng dạng tốn số phương cho học sinh giỏi nên chưa ý đầu tư sưu tầm tư liệu cho giảng, chưa phân loại hệ thống dạng tập mà gặp luyện Đơi đưa tập khơng phân tích kĩ cho học sinh phương pháp hướng phân tích để tìm lời giải tốn mà áp đặt cách giải mà giáo viên cho phù hợp Vì vậy, hiệu đạt chưa cao - Về phía học sinh: Đối với học sinh lớp kiến thức số phương mẻ, em nắm kiến thức ban đầu, chưa có nhiều hội để tìm hiểu sâu dạng tốn Đa số em học số phương nắm định nghĩa làm tập nhận dạng số phương làm số tập dạng khác liên quan đến số phương em gặp phải khó khăn, lúng túng chưa nắm vững chất dạng toán, thiếu kinh nghiệm việc huy động lượng kiến thức liên quan khả ngôn ngữ hạn chế chưa quen với việc sử dụng lập luận có Số liệu điều tra trước thực Bám sát với thực trạng trên, trước thực nghiên cứu đề tài này, năm học 2019 – 2020 sau em học số phương tơi cho học sinh giỏi khối làm kiểm tra bồi dưỡng với thời lượng 30 phút ĐỀ BÀI: Bài 1: (4đ) Mỗi tổng sau có số số phương không? a) 52 + 122 b) 11 + 112 + 113 Bài 2: (4đ) Cho bốn chữ số 0, 2, 3, Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn chữ số Bài 3: (2đ) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) cho ab  ba số phương Kết thu cụ thể sau: Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu Số HS khảo sát SL % SL % SL % SL % 35 14,3 10 28,6 16 45,7 11,4 Nhận thấy tỉ lệ học sinh đạt điểm khá, giỏi cịn thấp nhiều em lập luận chưa chặt chẽ (một số em mị tìm kết quả), cịn đa số em cách làm Những biện pháp thực Trong trình làm đề tài thân vận dụng phương pháp nghiên cứu học : Thống kê kết quả, so sánh đối chứng Phương pháp phân tích tổng hợp, đánh giá Hệ thống hố tài liệu, đối chiếu, nghiên cứu thêm nhiều tài liệu có liên quan để chọn lọc kiến thức bản, trọng tâm Giúp làm tư liệu đưa kết xác Ngồi ra, thân cần phải học hỏi thêm kinh nghiệm đồng nghiệp trước để làm kinh nghiệm cho thân Đồng thời để đạt hiệu cao dạy học, trước hết thường xây dựng hệ thống tập hợp logic Khai thác toán theo mảng, mảng lại chia phần cho phần có liên kết chặt chẽ với cấu trúc phương thức giải tốn Đặt vào tình có vấn đề; làm nảy sinh tình mới, vấn đề nhu cầu khám phá kiến thức Đối với toán sau giải có phần nhận xét thể loại hướng phát triển Khuyến khích HS tự tìm hiểu tương tự tốn từ thêm vài kiện để có tốn có nội dung phong phú Với kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng HS giỏi với tham khảo kinh nghiệm đồng nghiệp, xin giới thiệu vài biện pháp để giúp em lớp giải tốt tốn số phương sau: 3.1 Cơ sở lí thuyết số phương 3.1.1 Định nghĩa Số phương số bình phương số tự nhiên Tức là, A số phương A = k2 (k  N) * Ví dụ: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 3.1.2 Một số tính chất số phương Số phương có nhiều tính chất hay, mức độ tiếp thu em học sinh lớp tơi dẫn dắt giúp em phát số tính chất số phương sau: * Từ tập 101 (SBT), giáo viên giúp học sinh phát tính chất số phương: Tính chất 1: Số phương có chữ số tận số 0, 1, 4, 5, 6, 9; khơng thể có chữ tận 2, 3, 7, Chứng minh Thật vậy:t vật vậy:y: Tận a Tận a 6 Chú ý: + Số có tận 0, 1, 4, 5, 6, chưa số phương + Thường dùng tính chất để kết luận số khơng số phương * Giáo viên cho học sinh phân tích số phương 4, 9, 25, 36, 100, 225 thừa số nguyên tố Rồi từ kết đó, có nhận xét số mũ thừa số nguyên tố  Dự đốn tính chất số phương ? Giải thích sao? Tính chất 2: Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Chứng minh Giả sử A = k với k  N Phân tích k thừa số nguyên tố ta có: k = ax by cz (trong a, b, c số nguyên tố khác x , y, z,  N*) Khi A = (ax by cz )2 = a2x b2y c2z (đpcm) - Từ tính chất ta có hệ quả: Nếu A số phương, p số nguyên tố A  p A  p2 Cụ thể: Số phương   (1) Số phương   (2) Số phương   25 (3) Số phương   16 (4) - Chú ý: + Điều ngược lại (1), (2) , (3) , (4) không + Dùng tính chất hệ để chứng tỏ số khơng số phương * Từ tính chất kết hợp cơng thức tính số lượng ước số tự nhiên giáo viên dẫn dắt để học sinh tự rút tính chất số phương là: Tính chất 3: Số ước số phương (khác 0) số lẻ Ngược lại, số có số ước số lẻ số số phương Chứng minh Gọi A số tự nhiên khác - Nếu A = A số phương có ước - Nếu A > A có dạng phân tích thừa số nguyên tố là: A = ax.by.cz… (Với a, b, c, … số nguyên tố đôi khác nhau) Suy số lượng ước A (x + 1)(y + 1)(z + 1) … a) Nếu A số phương x; y; z; … số chẵn Nên x + 1; y + 1; z + 1; … số lẻ, số lượng ước A số lẻ b) Ngược lại số lượng ước A số lẻ (x + 1)(y + 1)(z + 1) … số lẻ Do thừa số x+1; y+1; z+1; … số lẻ Suy x; y; z; … số chẵn Đặt x = 2x’, y = 2y’; z = 2z’; … (x’; y’; z’;…  N) A = (ax’by’cz’…)2 nên A số phương (đpcm) Tính chất 4: Nếu số A nằm bình phương hai số tự nhiên liên tiếp A khơng thể số phương Nghĩa là: Nếu n2 < A < (n+1)2 A khơng số phương Chú ý: - Tính chất chứng minh lớp - Thường dùng tính chất để kết luận số khơng số phương 3.1.3 Một số kiến thức liên quan Để giải tốt tốn số phương học sinh cần đến số kiến thức liên quan sau: - Cách phân tích cấu tạo số - Cách phân tích số thừa số nguyên tố; - Cách xác định số lượng ước số; - Các tính chất chia hết tổng, hiệu, tích - Các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, 4, 25, 8, 125, 11; - Cách tìm chữ số tận lũy thừa; - Hai đẳng thức thường dùng giải toán số phương: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (1) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 (1) Chứng minh Chứng minh đẳng thức (1): Ta có: a2 + 2ab + b2 = (a2 + ab ) + (ab + b2) = a (a + b) + b (a + b) = (a+ b) (a + b) = (a + b)2 Chứng minh tương tự ta có đẳng thức (2) 3.2 Các biện pháp phương pháp giảng dạy Giáo viên cần có loạt tập từ đơn giản đến phức tạp để củng cố định nghĩa tính chất số phương theo trình tự bước sau: + Giáo viên giải mẫu Với dạng toán số phương giáo viên cần có ví dụ điển hình cho dạng giải mẫu cho học sinh (khi giải cần phân tích cụ thể bước đưa phương pháp giải chung cho dạng toán) + Giáo viên học sinh giải Bằng phương pháp đàm thoại, vấn đáp giáo viên học sinh giải dạng toán phân số tối giản mà học sinh gặp Giáo viên gợi ý thấy học sinh lúng túng + Học sinh giải, giáo viên nhận xét 7 Học sinh độc lập giải Giáo viên nhận xét trước tập thể lớp Trong trình nhận xét, ý phân tích sai lầm học sinh Tìm nguyên nhân dẫn đến sai lầm để học sinh khắc phục sửa chữa + Học sinh khá, học sinh giỏi nhận xét Học sinh độc lập giải bài, giáo viên gọi học sinh khá, giỏi nhận xét bước giải (dưới dẫn giáo viên) để tập thể học sinh thấy dược chỗ đúng, sai để đối chiếu vào 3.3 Phân loại dạng toán phương pháp giải cụ thể Từ kiến thức học không vận dụng vào giải tốn học sinh khơng hiểu kỹ, hiểu sâu nội dung kiến thức học sinh quên nhanh nội dung học Do cần thiết phải có hoạt động giải tốn, thơng qua giải tốn để khắc sâu kiến thức, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Trong giải tốn người giáo viên có vai trị quan trọng, tìm tốn, dạng tốn bản, có hệ thống, định hướng giải, tìm lời giải hay nhất, cách trình bày hồn chỉnh nhất, khai thác tốn theo nhiều hướng, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa … nhằm đạt hiệu cao việc dạy - học toán Đối với em lớp bước đầu làm quen tốn số phương nên q trình dạy chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi số phương cho em tơi tập trung số dạng toán sau: 3.3.1 Dạng 1: Chứng minh số số phương * Phương pháp giải: Để chứng minh số A số phương, tùy tốn ta lựa chọn phương pháp phù hợp Sau hai phương pháp thường hay sử dụng: + Phương pháp 1: Khẳng định số A viết dạng bình phương số tự nhiên (theo định nghĩa) + Phương pháp 2: Tính số ước A, số ước lẻ số A số phương (theo tính chất 3) * Các ví dụ Khi giải tốn dạng ta thường dùng phương pháp dựa vào định nghĩa Cịn phương pháp tính số ước dùng áp dụng cho số dễ phân tích thừa số nguyên tố Trước hết giáo viên đưa ví dụ thật đơn giản để khắc sâu định nghĩa số phương Ví dụ 1: (Bài tập 72 – tr31/SGK): Mỗi tổng sau có số phương khơng? a) 13 + 23 b) 13 + 23 + 33 c) 13 + 23 + 33 + 43 Đây toán nên hầu hết học sinh dễ dàng khẳng định tổng số phương Từ ví dụ giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác mở rộng toán cách tổng quát hóa sau: ?1: Hãy so sánh: 13 + 23 với (1 + 2)2 13 + 23 + 33 với (1 + + 3)2 13 + 23 + 33 + 43 với (1 + + + 4)2 ?2: Hãy đưa nhận xét dự đốn cho trường hơp tổng qt? Lời giải: Ta có: 13 + 23 = = 32 = (1 + 2)2 13 + 23 + 33 = 62 = (1 + + 3)2 13 + 23 + 33 + 43 = 102 = (1 + + + 4)2 Nhận xét: 13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + + + + n)2 (với n  N*) Giáo viên nhấn mạnh: Nhận xét tổng quát chứng minh chương trình lớp Tiếp theo giáo viên dẫn dắt để đưa học sinh đến ví dụ Từ nhận xét: + = = 22 + + = = 32 + + + = 16 = 42 Hãy nêu nhận xét tổng quát chứng tỏ nhận xét đúng?  từ ta có ví dụ Ví dụ 2: Hãy chứng tỏ tổng dãy số tự nhiên lẻ số phương Hướng dẫn: Tức cần chứng tỏ với n  N* + + + + + (2n – 1) số phương Lưy ý: + + + + + (2n – 1) tổng dãy số cách Lời giải: Tổng + + + + + (2n + 1) dãy số cách có n số hạng (1 + 2n  1) n = n2 Do + + + + + (2n + 1) = Vậy tổng dãy số tự nhiên lẻ số phương Ví dụ 3: Cho a = 111115 b = 111119 Chứng minh rằng: ab + số phương Giáo viên hướng dẫn: ?: Muốn chứng tỏ ab + số phương ta làm nào? Học sinh trả lời: Viết ab + dạng bình phương số tự nhiên ?: Có nên thay giá trị a, b để tính ab + khơng? Học sinh trả lời: Cách khơng hợp lí a, b có giá trị lớn 9 Giáo viên: Hãy tìm hướng làm khác theo gợi ý sau: ?: Số a b có quan hệ với ? Học sinh trả lời: b = a + Thay b = a + vào ab + áp dụng đẳng thức a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Học sinh thực tìm lời giải tốn Lời giải: Ta có: b = 111119 = 111115 + = a + Suy ab + = a (a + 4) + = a2 + 4a + = (a + 2)2 = 1111172 Vậy ab + số phương Khai thác tốn: Nhìn nhận mối quan hệ hai số a b ví dụ ta khái qt hóa tốn nào? Học sinh quan sát, nhìn nhận chất tốn dễ dàng đưa tốn tổng qt sau: Với a = 11 15 (n chữ số 1) b = 11 19 (n chữ số 1) ab + số phương (chứng minh tương tự) Ví dụ 4: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng số phương Lời giải: Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + (a  N) Xét T = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + = [a(a + 3)] [(a + 1) (a + 2)] + = (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + Đặt x = a2 + 3a, ta có: T = x (x + 2) + = x2 + 2x + = (x + 1)2 hay T = (a2 + 3a + 1)2 Vì a số tự nhiên nên (a2 + 3a + 1)2 phải số phương Vậy T số phương (đpcm) Nhận xét: - Trong ví dụ ta khơng biết a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + số phương mà cịn biết cịn bình phương số Chẳng hạn: a) + = 25 = 52 + = 121 = 112 + = 361 = 192 + = 841 = 292 b) Biểu thức sau bình phương số tự nhiên ? +) 10 11 12 13 + = ? Vì a = 10 nên a2 + 3a + = 102 + 3.10 + = 131 Do 10 11 12 13 + = 1312 +) 15 16 17 18 + = ? 10 Vì a = 15 nên a2 + 3a + = 152 + 3.15 + = 271 Do 10 11 12 13 + = 2712 - Với cách chứng minh tương tự ta khai thác giải hai tốn sau: i) Chứng minh tích số tự nhiên chẵn liên tiếp cộng 16 số phương ii) Chứng minh tích số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng 16 số phương * Bài tập vận dụng Bài toán 1: Trong số sau, số số phương? 21000; 31993 ; 4161; 19 Hướng dẫn giải: Ta có: 21000 = 22.500 = (2500)2 Số số nguyên tố mà 31993 có 1994 (số chẵn) ước số 4161 = (22)161 = (2161)2 1945 192 1945 192 1994 (192 ) 1994 Vậy ba số 21000; 4161; 19 số phương Bài tốn 2: Chứng minh tích số tự nhiên chẵn liên tiếp cộng 16 số phương Hướng dẫn giải: Gọi bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp 2a, 2a + 2, 2a + 4, 2a + (a  N) Xét T = 2a(2a + 2)(2a + 4)(2a + 6) + 16 = 16 a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 16 = 16 [a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1] Đến toán giải (dùng kết ví dụ 4) Bài tập phát triển trí tuệ (dành cho học sinh có khiếu) Bài toán 3: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh A – B số phương Hướng dẫn giải: 1945  Để lời giải trình bày khoa học, đặt C = 11 biến đổi A B 50 c/s theo C, từ xét A – B viết A – B dạng bình phương số tự nhiên Học sinh thực tìm lời giải tốn sau: 50 A 11 11 1.00  11 11 1.10  11       , 100 c/s 50 c/s 50 c/s 50 c/s 50 c/s 50 c/s 11 B 22 2 11   50 c/s 50 c/s  1050   Đặt C = 11  9C  99 50 c/s 50 c/s  A  C (9C + 1)  C = 9C2 + 2C; B = 2C  A - B  C 1050  C - 2C = C 1050  C = C  1050  1 Ta có 10 50  99 9C  50 c/s 2  A  B C 9C = 9C =  3C  = (3 11 1) (33 3) số phương   50 c/s 50 c/s Nhận xét: Khi biến đổi số có nhiều chữ số giống thành a 99  10n 9a    số phương ta nên đặt 11 n n Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên A gồm 2k chữ số số tự nhiên B gồm k chữ số Chứng minh A  B số phương 3.3.2 Dạng 2: Chứng minh số không số phương * Phương pháp giải: Để chứng minh số A khơng số phương, ta thường sử dụng cách sau: + Phương pháp 1: Chứng minh chữ số tận A số 2; 3; 7; + Phương pháp 2: Chứng minh A  p (với p số nguyên tố) A  p2 + Phương pháp 3: Chứng minh n2 < A < (n + 1)2 + Phương pháp 4: Tính số ước A, số ước lẻ số A số phương * Các ví dụ Dưa vào phương pháp nhìn chữ số tận em giải ví dụ sau đây: Ví dụ 1: Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không số phương Lời giải: Ta thấy chữ số tận số: 2004 2, 20032, 20022, 20012 6, 9, 4, Do n có chữ số tận Nên n số phương 12 Chú ý: Nhiều số cho có chữ số tận số 0, 1, 4, 5, 6, không số phương Khi cần lưu ý thêm chút nữa: Nếu số phương chia hết cho số ngun tố p chia hết cho p2 Ví dụ 2: Chứng minh số 1234567890 số phương Lời giải: Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90  25) Do số 1234567890 khơng phải số phương Chú ý: Cũng lập luận số 1234567890 chia hết cho không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90  4) Ví dụ 3: Có hay khơng hình vng mà độ dài cạnh số tự nhiên, cịn diện tích 11…1 (có 2001 chữ số 1) Phân tích tìm lời giải: Giáo viên cho học sinh nhắc lại cơng thức tính diện tích hình vng Vậy muốn tồn hình vng có cạnh a (a  N) số đo diện tích phải thỏa mãn điều gì? Học sinh trả lời: Số đo diện tích phải số phương Với gợi ý học sinh thấy ví dụ trở thành quen thuộc, tương tự cách  1 có số phương khơng? làm ví dụ 2: Cần kiểm tra số 11 2001 c/s Lời giải: 11  Số 2001 có tổng chữ số 2001 chia hết cho không chia hết cho c/s 11  Suy 2001 không số phương c/s Do khơng tồn hình vng Ví dụ 4: Chứng minh tổng sau khơng số phương a) A = + 32 + 33 + … +320 b) B = 004 000 c) C = 1010 + Lời giải: a) Ta có 3n  với n  nên 32 + 33 + … +320  Suy A = + 32 + 33 + … + 320 chia cho dư Như A 3 A  nên A khơng phải số phương b) Số phương có tận số phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn phải có tận chẵn chữ số Mà B = 004 000 có tận lẻ chữ số nên B không số phương 13 c) Ta có C = 1010 + có chữ số tận 05 chia hết cho không chia hết cho 25 nên C khơng phải số phương Ví dụ 5: Chứng minh số 014 025 khơng phải số phương Nhận xét: Số có hai chữ số tận 25 có tổng chữ số 17 nên áp dụng phương pháp phương pháp để giải tốn Từ ta nghĩ đến phương pháp 3: kẹp hai số phương liên tiếp n (n + 1)2 Lời giải: Ta thấy: 20032 = 012 009; 20042 = 016 016 Nên 20032 < 014 025 < 20042 Do số 014 025 khơng phải số phương Ví dụ 6: Cho A = 31 + 32 + 33 +…+ 3100 Chứng minh 2A + khơng số phương Lời giải: Ta có: B = 31 + 32 + 33 +…+ 3100 Nên 3B = 32 + 33 + 34 +…+ 3101 Suy 3B – B = 3101 – Do 2B + = 3101 – + = 3101 = 3100 = (350)2 khơng số phương Ví dụ 7: Viết liên tiếp từ đến 12 số A = 1234 … 1112 Số A có 81 ước khơng ? Lời giải: Giả sử A có 81 ước Vì số lượng ước A 81 (là số lẻ) nên A số phương (1) Mặt khác, tổng chữ số A + + +…+ 12 = 51 Vì 51  3; 51  nên A chia hết cho A khơng chia hết cho 9, A khơng số phương mâu thuẫn với (1) Vậy A khơng thể có 81 ước * Bài tập vận dụng Bài tốn 1: Các số sau có phải số phương khơng ? a) A = 1010 + b) B = 100! + c) C = 20012001 Hướng dẫn giải: a) A = 1010 + có chữ số tận nên khơng phải số phương b) B = 100! + có chữ số tận nên B khơng phải số phương Mà B có tận lẻ chữ số nên B không số phương 14 c) C = 20012001 = (20011000)2 2001 Mà số 2001 có tổng chữ số chia hết cho không chia hết 2001 khơng số phương  C khơng số phương Bài tốn 2: Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Hướng dẫn giải: Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + (a  N) Xét S = a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) + = 4a + Dễ thấy S 2 S  4, S khơng số phương Bài tốn 3: Chứng tỏ số sau khơng số phương a) abab b) abcabc Hướng dẫn giải: Viết abab , abcabc dạng tích thừa số nguyên tố (nếu có thể), dùng phương pháp phản chứng, giả sử abab , abcabc số phương thừa số nguyên tố dạng phân tích phải có số mũ nào) từ tìm điều vơ lí  kết luận Cụ thể phần b: Ta có: abcabc = 1001 abc = 11 13 abc Giả sử abcabc số phương  7, 11 13 phải có số mũ chẵn  abc  1001, điều vơ lí abc < 1001 Vậy abcabc khơng số phương Bài tập phát triển trí tuệ (dành cho học sinh có hiếu) Bài tốn 4: Tìm chữ số tận số B sau đây, từ suy số B khơng thể số phương: B = + 31 + 32 + 33 + … + 330 Hướng dẫn giải: Tách ghép tổng B thành nhóm số hạng từ trái sang phải, ta nhóm thừa số hạng cuối: B = (1 + 31 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 +37) + … + (324 + 325 + 326 +327) + 328+ 329 + 330 = (1 + 31 + 32 + 33) + 34 (1 + 31 + 32 + 33) + …+ 324 (1 + 31 + 32 + 33) + 328 + 329 + 330 = 40 ( + 34 + 38 + … + 324) + 328 + 329 + 330 Có: 40 (1 + 34 + 38 + … + 324) có chữ số tận 328 = (34) = 817 có tận 329 = 328 có tận 330 = 328 32 có tận 15 Suy B có tận Do B khơng số phương Bài tốn 5: Viết dãy số tự nhiên từ đến 101 làm thành số A a) A có hợp số hay khơng ? b) A có số phương hay khơng ? c) A có 35 ước hay không ? Hướng dẫn giải: Hãy chứng tỏ A  A  Muốn vậy, phải tìm tổng chữ số A Ta viết chữ số A theo thứ tự sau: … 10 11 12 13 … 19 20 21 22 23 … 29 …………………… 90 91 92 93 … 99 100 101 Trong số A có chữ số 1? Chữ số 2? Chữ số 3? … Chữ số 9?  Tổng chữ số A ? Học sinh thực tìm lời giải toán sau: A = 1234567…100101 Từ đến 101: - Có 23 chữ số (11 chữ số hàng đơn vị, 10 chữ số hàng chục chữ số hàng trăm) - Có 20 chữ số ( (10 chữ số hàng đơn vị, 10 chữ số hàng chục) - Các chữ số 3, 4, 5, 6, 7, 8, có mặt 20 lần - Có 12 chữ số Suy số A có tổng chữ số là: 23 + 20 (2 + + + … + 9) + 12 = 23 + 20 44 = 903 Vì 903  mà 903  nên A  A  a) Vì A  mà A > nên A hợp số b) A  mà A  nên A khơng số phương c) Vì A khơng số phương nên số uwóc A khổng thể số lẻ Vậy A có 35 ước 3.3.3 Dạng 3: Tìm số để kết số phương * Phương pháp giải Vận dụng linh hoạt định nghĩa tính chất số phương, ý đến điều kiện chữ số tận cùng, số mũ để số số phương * Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm số phương có bốn chữ số 3, 6, 8, Lời giải: 16 Gọi A số phương phải tìm Vì số phương không tận 3, nên A phải tận  Hai chữ số tận A 86 36 - Nếu A có hai chữ số tận 86 chia hết cho không chia hết số phương (tính chất 2) - Nếu A có hai chữ số tận 36 A = 8836 Thử lại, ta có: 8836 = 942 số phương Vậy số cần tìm 8836 Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết nhân với 135 ta số số phương Lời giải: Gọi số phải tìm n, ta có 135.n = a2 (a  N) hay 33.5.n= a2 Vì số phương thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 3.5.k2 (k  N) - Với k = n =15 - Với k = n = 60 - Với k  n  135, có nhiều hai chữ số nên loại Vậy số phải tìm 15 60 Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) cho ab  ba số phương Lời giải: Ta có: ab  ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9(a – b) = 32(a – b) Để ab  ba số phương a – b phải số phương Ta thấy ≤ a – b ≤ nên a – b  {1; 4} - Với a – b = ab  {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98} lọai hợp số 21; 32; 54; 65; 76; 87; 98; lại 43 số nguyên tố - Với a – b = ab  {51; 62; 73; 84; 95} lọai hợp số 51; 62; 84; 95; 73 số nguyên tố Vậy ab 43 73 Ví dụ 4: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Lời giải: Gọi số phải tìm ab (a, b  N, ≤ a ≤ , ≤ b ≤ 9) Theo giả thiết ta có: ab = ( a + b )3  ab lập phương a + b số phương Vì 10 ≤ ab ≤ 99 mà ab lập phương  ab  {27; 64} 17 - Nếu ab = 27 a + b = số phương  thỏa mãn - Nếu ab = 64 a + b = 10 khơng số phương  loại Vậy số cần tìm 27 Ví dụ 5: Tìm số phương có bốn chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Lời giải: Cách 1: Gọi số phương cần tìm n2 = aabb (a, b  N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ 9) Ta có n2 = aabb = 1100a + 11b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) Nhận xét thấy aabb 11  (99a + a + b)  a + b 11 Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a + b ≤ 18  a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) n2 = 11 (99a + 11) = 112 (9a + 1)  9a + số phương Thử với a = 1, 2, 3, 4, …, a 9a + 10 19 28 37 46 55 64 73 82 Ta thấy có a = 9a + = 64 = 82 số phương Vậy a =  b = số cần tìm 7744 = 112 82 = 882 Cách 2: Biến đổi n2 = aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11.a0 b , Do a0 b 11k (k  N) Ta có 100 ≤ a0b ≤ 909 nên 100 ≤ 11k2 ≤ 909  k 11k 11 k 82 => ≤ k ≤ 9 11 176 275 396 539 704 891 Ta chọn 704 có chữ số hàng chục Suy k = số cần tìm 11 11 82 = 7744 Ví dụ 6: Tìm số tự nhiên n  cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương Lời giải: Với n = 1! = = 12 số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương Với n = 1! + 2! + 3! = + 1.2.3 = = 32 số phương 18 Với n  ta có 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … n! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy n = hay n = giá trị cần tìm * Bài tập vận dụng Bài toán 1: Cho bốn số 7, 4, 2, Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn chữ số Hướng dẫn giải: Gọi A số phương phải tìm Số phương khơng tận 2, có tận phải có tận chẵn chữ số Vậy nên A phải tận  A  Mà số phương chia hết cho phải chia hết cho  A   Hai chữ số tận A 04 24 (không thể 74) Xét số 2704, 7204, 7024 ta có: 2704 = 522 số phương 842 = 7086 < 7204 < 7225 = 852 nên 7204 không số phương 832 = 6889 < 7024 < 7086 = 842 nên 7024 khơng số phương Vậy có số 2704 số thỏa mãn đề Bài tốn 2: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết 2n + 3n + số phương Hướng dẫn giải: Vì n có hai chữ số nên 10 ≤ n ≤ 99  21 ≤ 2n + ≤ 199 Các số phương lẻ khoảng 25; 49; 81; 121; 169 Ta có: 2n + 25 49 81 121 169 n 12 24 40 60 84 3n + 37 73 121 181 253 Chỉ có số 3n + = 121 số phương Vậy n = 40 Bài tốn 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho cộng với số có hai chữ số viết theo chiều ngược lại ta số phương Hướng dẫn giải: Bài tốn đưa : Tìm số ab cho ab + ba số phương  làm tương tự ví dụ 19 Bài tốn 4: Tìm số phương có bốn chữ số, biết rằng: chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần Hướng dẫn giải: Số cần tìm có dạng a  a 1  a    a  3 (a N, ≤ a ≤ 9) Dựa vào tính chất chữ số tận số phương kết hợp ≤ a ≤ suy (a + 3)  {4; 5; 6; 9} Sau thử chọn ta có kết tốn Bài tốn 5: Tìm số có bốn chữ số vừa số phương vừa lập phương Hướng dẫn giải: Gọi số phương cần tìm abcd (a, b, c d  N, < a ≤ 9, ≤ b, c, d ≤ 9) Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên abcd = x2 = y3 (x, y  N) Vì y3 = x2 nên y số phương Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999  1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 mà y số phương  y = 16  abcd = 163 = 4096 Vậy số cần tìm 4096 Trên tốn số phương phân loại dạng toán hướng dẫn phương pháp giải cụ thể để giúp học sinh khai thác từ mức độ thấp đến cao, phù hợp với trình tự nhận thức học sinh Từ vừa làm cho học sinh thích ứng dần với dạng tốn vừa gây thích thú, lơi kích thích tìm tịi đồng thời cách khai thác sâu toán rèn luyện khả diễn đạt cho em Ngoài ra, cần để ý đến số sai lầm mà em hay mắc phải để giúp em tháo gỡ trình giải tốn Sau hướng dẫn học sinh giải ba dạng toán trên, giáo viên cần chốt lại hướng khai thác từ toán ban đầu thành toán dạng Đến để học sinh khắc sâu dạng tốn số phương, giáo viên cần tiếp tục cho HS rèn luyện đồng thời khai thác kiến thức thông qua hệ thống tập tự luyện 3.4 Bài tập tự luyện Bài toán 1: Các số sau có số phương khơng: a) A = 10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20 b) B = 51 + 52 + 53 +…+ 5100