(Skkn 2023) hướng dẫn học sinh lớp 11 trường thpt thường xuân 2 một số kĩ thuật tính khoảng cách trong hình học 11

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Khoảng cách phần kiến thức mơn hình học 11, phần kiến thức thường gặp kiểm tra cuối năm, thi tốt nghiệp THPT tiền đề để hình thành kiến thức khoảng cách mơn hình học 12, nhiên thời lượng lý thuyết tập sách giáo khoa có 03 tiết học Để cho học sinh hiểu rõ phần luyện kỹ tìm khoảng cách hình học khơng gian cần phải hướng dẫn thêm phương pháp làm đưa thêm ví dụ minh hoạ Do biên soạn lựa chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT Thường Xuân số kĩ thuật tính khoảng cách hình học 11” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Truyền đạt đến học sinh phương pháp ví dụ phù hợp tính khoảng cách khơng gian theo tinh thần sách giáo khoa hình học 11 ban Qua rèn luyện kĩ tốn học nâng lực tư cho học sinh gặp tập liên qua đến khoảng cách 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu phương trình đường trịn sách giáo khoa lớp 11 hành tính chất của khoảng cách phần trước 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Đưa phương pháp chung để tính khoảng cách ví dụ minh hoạ cho phương pháp đó, hướng dẫn cách giải khác cho ví dụ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm [1]: 2.1.1 Khoảng cách từ điểm tới đường O thẳng Cho điểm M đường thẳng D Trong mp( M , D ) gọi H hình chiếu vng góc M M H D Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách d ( M , D ) = MH từ điểm M đến D Nhận xét: OH £ OM , " M Ỵ D 2.1.2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng O ( a ) điểm M , gọi H hình Cho mặt phẳng ( a ) Khi khoảng chiếu điểm M mặt phẳng H M α ( a) cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng d M ,( a ) = MH ( ) OH £ MO, " M Ỵ ( a ) Nhận xét: 2.1.3 Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng ( a ) song song với Cho đường thẳng D mặt phẳng Khi khoảng cách từ điểm D ( a ) gọi khoảng cách đường α đến mặt phẳng ( a ) d D,( a) = d M ,( a) , M Ỵ D thẳng D mặt phẳng 2.1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song ( a ) ( b) song song với nhau, M Cho hai mặt phẳng α khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳn gọi khoảng cách hai mặt ( a ) ( b) phẳng d ( a ) ,( b) = d M ,( b) = d N ,( a ) β M' ( ( ) ( ) ( ) ) ( M H ) N N' , M Ỵ ( a ) , N Ỵ ( b) M a 2.1.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a,b Độ dài đoạn vng góc chung MN a bđược gọi khoảng cách hai đường thẳng a b b 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến N kinh nghiệm: Qua năm giảng dạy tơi thấy cịn nhiều học sinh lúng túng làm tập khoảng cách, phần em chưa nắm hiểu kiến thức khoảng cách, phần lại đa số em chưa hiểu phương pháp tính khoảng cách cảm thấy khó học phần nên hay bỏ câu tập khoảng cách trình kiểm tra thi 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D ta cần xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng D , xem MH đường cao tam giác để tính Điểm H thường dựng theo hai cách sau: mp( M , D ) MH ^ D Þ d ( M , D ) = MH  Trong vẽ ( a ) qua M vuông góc với D H Þ d ( M , D ) = MH  Dựng mặt phẳng Hai cơng thức sau thường dùng để tính MH 1 = + MA MB  D MAB vng M có đường cao AH MH 2S MH = MAB AB  MH đường cao D MAB Các ví dụ Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh a Tính khoảng từ đỉnh D ' đến đường chéo AC ' Lời giải D Gọi H hình chiếu D ' AC ' C ìï C 'D ' ^ D 'A ' ï Þ C 'D ' ^ ( ADD 'A ') í ïï C 'D ' ^ DD ' A B Do ợ H ị C 'D ' ^ D ' A C' D' Vậy tam giác D 'AC ' vng D ' có đường cao D 'H 1 1 = + = + = A' 2 2 B' D 'H D 'A D 'C ' a 2a a suy ( ) 3 d ( D ', AC ') = a Vậy Ví dụ Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , ( ABCD) SA = a Gọi I trung điểm cạnh SA vng góc với mặt phẳng cạnh SC M trung điểm đoạn AB Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM Lời giải S ( I CM ) kẻ IH ^ CM Trong d ( I ,CM ) = IH Gi N = MO ầ DC , N ẻ CD I OH OM D MHO : D MNC Þ = A CN MC Ta có B O a M 2 OM = CN = ,CM = BM + BC N Mà H Þ D 'H = a D C ỉư a ÷ = ỗ + a2 = ỗ ữ ỗ ữ è2ø CN OM a OH = = MC ,OI đường trung bình tam giác SAC Suy SA a OI = = 2 nên ìï OI / / SA ï Þ OI ^ ( ABCD ) Þ OI ^ OH í ïï SA ^ ( ABCD ) Þ D OHI vng O Ta có ỵ 2 ỉa ỉư a a 30 ữ ữ ữ IH = OH +OI = ỗ +ỗ =a = ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ç ç 10 10 è2ø è2 5ø nên a 30 10 Vậy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a , · SC ^ ( ABCD ) góc ABC = 120 , SC = h Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SA theo a h Lời giải S d ( O, SA) = OH OH ^ SA , H Ỵ SA Kẻ · Do ABCD hình thoi cạnh a ABC = 120 nên H d ( I ,CM ) = D CBD cạnh a Þ CO = a Þ CA = 2CO = a B A O ( ) SA = CS +CA = h2 + a = 3a2 + h2 C D Hai tam giác vuông AHO va ACS đồng dạng nên a h OH OA OA.SC ah = Þ OH = = = SC SA SA 3a2 + h2 3a2 + h2 Vậy d ( O, SA) = OH = 3ah 3a2 + h2 Dạng 2: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( a ) Phương pháp: Để tính khoảng từ điểm M đến mặt phẳng điều quan trọng ta phải xác định hình chiếu M ( a ) Để xác định vị trí hình chiếu ta có điểm M d số lưu ý sau: d ^ ( a) H  Nếu có MH P d (h1) α ( b) chứa điểm M , xác định giao tuyến h1  Chọn D = ( a ) Ç ( b) ( b) dựng MH ^ D Þ MH ^ ( a ) Trong β M (h2) ( a ) có hai điểm A, B cho MA = MB  Nếu ( a ) kẻ đường trung trực d đoạn AB , H α h2 mp( M ,d) MH ^ ( a ) dựng MH ^ d Khi (h3) Thật vậy, Gọi I trung điểm AB Do MA = MB M M Þ MI ^ AB Ì ( a ) D MAB nên cân Lại có AB ^ d Þ AB ^ mp( M ,d) Þ AB ^ MH ìï MH ^ AB ï Þ MH ^ ( a ) í ïï MH ^ d Vậy î α H d A B I h3 M ( a) có điểm A đường thẳng d d ( a ) kẻ đường không qua A cho MA ^ d H d' A mp M , d ' α ( ) thẳng d ' qua A d ' ^ d , kẻ h4 MH ^ d ' Þ MH ^ ( a ) ( h4) d ^ MA Þ d ^ mp( M ,d ') Þ d ^ MH Thật vậy, d ^ d ' MH ^ d ' Þ MH ^ mp( d,d ') º ( a ) Lại có ( a ) có điểm A1, A2, , An ( n ³ 3) mà  Nếu MA1 = MA2 = = MAn đường thẳng MA1, MA2, , MAn tạo với  Nếu ( a) ( a ) tâm đường góc hình chiếu M tròn ngoại tiếp đa giác A1A2 An ( a ) có điểm A1, A2, , An ( n ³ 3) mà mặt phẳng  Nếu ( MA1A2) ,( MA2A3) , ,( MAnA1) hình chiếu M tâm đường trịn nội tiếp đa giác A1A2 An ( a ) ta có  Đơi khi, thay hình chiếu điểm M xuống thể dựng hình chiếu điểm N khác thích hợp d M ,( a ) = d N ,( a ) MN P ( a ) cho Khi (h5)  Một kết có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tứ diện vuông (tương tư hệ thức lượng tam giác vuông) là:  Nếu tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc 1 1 = + + OA OB OC có đường cao OH OH ( ) ( N M ) α N' M' h5 d(M,(α))=d(N,(α)) A H B O I C Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , ( ABC ) SA = h , góc hai mặt phẳng ( SBC ) cạnh SA vng góc với ( ABC ) 600 Tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) theo a h Lời giải Gọi I trung điểm BC , ta có S ìï AI ^ BC ï Þ ( SAI ) ^ BC í ïï SA ^ BC ỵ · ( SBC ) H Vậy AI S góc hai mặt phẳng · ( ABC ) Þ AIS C = 600 A ( SBC ) kẻ AH ^ SI I Trong ìï BC ^ ( SAI ) B ï Þ AH ^ BC í ïï AH Ì ( SAI ) Ta cú ùợ ỡù AH ^ BC ù ị AH ^ ( SBC ) í ïï AH ^ SI Vậy î ( ) Þ d A,( SBC ) = AH AI = a Tam giác ABC cạnh a nên 1 1 4h2 + 3a2 = + = + = AH AI AS ỉ ư2 h2 3a2h2 a ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø AI S Trong tam giác ta có Þ AH = ah ) ah 4h2 + 3a2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ H đến ( SCD ) mặt phẳng Lời giải S ABCD ( ) gọi M = AB Ç CD , Trong ( SAM ) gọi K = AH Ç SM , kẻ AE ^ SC E E F gọi N trung điểm AD K N D H Dễ thấy ABCN hình vng nên A NC = AB = a Do B NA = NC = ND = a Þ D ACD vng C C Þ CD ^ AC , lại có CD ^ SA Þ CD ^ ( SAC ) M Þ ( SAC ) ^ ( SCD ) ìï ( SAC ) ^ ( SCD ) ïï ïï SAC Ç SCD = SC ) ( ) ïí ( Þ AE ^ ( SCD ) ( 1) ïï AE Ì ( SAC ) ïï ï AE ^ SC Vậy ïỵ ( AK E ) kẻ HF P AE , F Ỵ K E , từ (1) suy HF ^ ( SCD ) Trong Þ d H ,( SCD ) = HF ( 4h2 + 3a2 Hay ( d A,( SBC ) = ) BC P AD Þ MB BC a = = = Þ MA = 2AB = 2a Þ B MA AD 2a Do trung điểm MA BH BH BS BA a2 = = = = 2 2 BS BS AB + AS a2 + a Lại có Vậy H trọng tâm tam giác SAM , HF KH 1 = = Þ HF = AE AE KA 3 Tứ diện ADMS có ba cạnh AD, AM , AS đơi vng góc ( ) 1 1 = + + AE ^ ( SMD ) AD AM AS nên AE 1 1 = 2+ 2+ 2= 4a 4a 2a a Þ AE = a a Þ d H ,( SCD ) = HF = AE = 3 Vậy ( ) Nhận xét: Từ ta thấy đường thẳng AB d A,( a ) IA = ( a ) I d B,( a) IB cắt ( ( ) ) A B α H K I Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' có ba kích thức AB = a, AD = b, AA ' = c Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( DA 'C ') D' Lời giải C' I ADD ' A ' I Gọi tâm hình bình hành trung điểm AD ' A' B' I d A,( DA 'C ') IA C = =1 D ID ' d D ',( DA 'C ') Ta có A B Þ d A,( DA 'C ') = d D ',( DA 'C ') Mặt khác ta có tứ diện D 'ADC ' có cạnh D 'D, D 'A ', D 'C ' đôi vng góc nên ( ( ( ) ) ) ( ) ( d2 D ',( DA 'C ') ) = 1 + + D 'D D 'A '2 D 'C '2 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + + = a2 b2 c2 a2b2c2 abc d A,( DA 'C ') = = 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + + a2 b2 c2 Vây Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có tất mặt hình thoi · · · cạnh a , góc BAA ' = BAD = DAA ' = 60 Tính khoảng cách từ A ' đến ( ABCD ) Lời giải D' C' Do ABCD.A 'B 'C 'D ' có tất mặt hình thoi cạnh a · · · A' BAA ' = BAD = DAA ' = 600 nên tam giác B' ABA ', ABD, ADA ' tam giác đếu cạnh a Þ A 'A = A 'B = A 'D ( A ' cách đếu ba đỉnh D C D ABD ) O H ABCD ( ) B Gọi H hình chiếu A ' A tam giác vuông A 'HA, A 'HB, A 'HD nên HA = HB = HD suy H tâm đường tròn ngoại tiếp D ABD = ( ) 2a a AH = AO = = 3 Gọi O giao điểm AC BD , ta có ổ a 3ử ữ ỗ 2 ữ ỗ A 'H = AA ' - AH = a - ỗ =a ữ ữ ỗ ữ è ø ( ) d A ',( ABCD ) = A 'H = a Vậy Dạng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song  Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( a) song song với khoảng cách từ điểm M thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng ( ) ( a) ( ) ( d a;( a ) = d M ;( a ) = MH M Ỵ ( a ) )  Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng ( ) ( a) ) ( ) d ( a ) ;( b) = d a;( b) = d A;( b) = AH ( a Ì ( a) ,A Ỵ Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢có tất cạnh đáy a ( ABC ) trùng với trung điểm BC Hình chiếu vng góc A ¢trên ( BCC ¢B ¢) a) Tính khoảng cách từ AA ¢đến mặt bên b) Tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ Lời giải: a) Gọi H trung điểm BC ta có: A ¢H ^ BC AH ^ BC Þ BC ^ ( A ¢HA ) Do D ABC u nờn ùỡù HK ^ BB  ị K H ^ ( BCC ¢ B ¢) í ïï K H ^ BC Dng HK ^ AA Âthỡ ợ Do ú ( ) ( ) d AA ¢;( BCC ¢ B ¢) = d K ;( BCC ¢ B ¢) = K H b) Lại có: AH = a a , AA Â= a ị A ÂH = A ÂA - AH = 2 D ¢có cạnh đáy a Ví dụ Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A ¢B ¢C ¢ gọi M, N, P trung điểm AD, DC A ¢D ¢ Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( MNP ) ( ACC ¢) Lời giải: Ta có: MN / / AC , NP / / AA Âị ( MNP ) / / ( ACC  A ¢) 10 Gọi O tâm hình vng ABCD I = DO Ç MN ìï IO ^ AC ù ị IO ^ ( ACC  A Â) ùù IO ^ AA  Ta cú: ợ Do ú ( ) ( ) d ( MNP ) ;( ACC ¢ A ¢) = d I ;( ACC ¢ A ¢) = IO Lại có: IO = OD BD a = = 4 Dạng 4: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau: a  Dựng đoạn vng góc chung MN a b Khi O H b d ( a,b) = MN α Sau số cách dựng đoạn vng góc chung thường dùng: Nếu a ^ b ta dựng đoạn vng góc chung a b sau ( a ) chứa b vng góc với a - Dựng mặt phẳng O = a Ç ( a) - Tìm giao điểm - Dựng OH ^ b Đoạn OH đoạn vng góc chung a b Nếu a,b khơng vng góc với dựng đoạn vng góc chung a b theo hai cách sau: Cách A N a) ( a - Dựng mặt phẳng chứa b song song với a ( a) - Dựng hình chiếu A ' điểm A Î a M ( a ) dựng đường thẳng a ' qua A ' - Trong A' a' b α song song với a cắt b M , từ M dựng đường thẳng song song với AA ' cắt a N Đoạn MN đoạn vng góc chung a b Cách b ( a ) vng góc với a A B - Dựng mặt phẳng O = a Ç ( a) - Tìm giao điểm b' O ( a) H - Dựng hình chiếu b' b α 11 ( a ) dựng OH ^ b' H Trong Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A Đoạn AB đoạn vng góc chung a b Xem khoảng cách hai đường thẳng a,b chéo a M A khoảng cách từ điểm A Ỵ a đến α ( a ) chứa b ( a ) Pa mặt phẳng d ( a,b) = d ( a ) ,( b) = d A,( b) , A Ỵ ( a ) Sử dụng Nb H  Sử dụng phương pháp vec tơ β a) MN đoạn vng góc chung AB uuur uuur ìï M B ïï AM = xAB u u u r u u u r ïï A ïï CN = yCD í uuur uuur ïï MN AB = C ïï uuur uuu r ïï MN CD = N CD ïỵ D O ( a ) có hai vec tơ khơng b) Nếu ur ur phương u1, u2 uuur ur ìï H u1 ïï OH ^ u1 u2 α OH = d O,( a ) Û í uuur ur ïï OH ^ u ;H Ỵ ( a ) ïỵ uuur ur ìï ï OH u = Û ïí uuur ur1 ïï OH u = 0;H Ỵ ( a ) ïỵ  ( ( ) ( ) ) Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh ( ABCD ) SA = a Tính khoảng cách bên SA vng góc với mặt phẳng đáy hai đường thẳng a) SB AD b) BD SC Lời giải S I H j A D K O B C 12 a) Kẻ đường cao AH tam giác SAB Ta có ìï AD ^ AB ï Þ AD ^ ( SAB ) Þ AD ^ AH í ïï AD ^ SA ỵ Vậy AH đoạn vng góc chung d ( AD, SB ) = AH SB AD , nên a AH = SB = 2 Tam giác SAB vng cân A có đường cao AH nên Vậy d ( AD, SB ) = AH a = ìï BD ^ AC ï Þ BD ^ ( SAC ) í ïï BD ^ SA b) Ta có ỵ Gọi O tâm hình vng ABCD kẻ OK ^ SC , K Ỵ SC OK đoạn vng góc chung BD SC d ( BD,SC ) = OK = AI ( I trung điểm SC ) nên AI = AS.AC 2 = a d ( BD, SC ) = a 6 AS + AC Ta có Vậy Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD ' BD Lời giải A' B' Cách Dựng đường vng góc chung (theo I cách 1) tính độ dài đoạn vng góc chung G D' C' ìï BD P B 'D ' H ï í M ï AD ' Ì ( AB 'D ') ( AB 'D ') mặt A Do ïỵ nên phẳng chứa AD ' song song với BD O N Gọi O tâm hình vng ABCD D C AB ' D ' ( ) Ta dựng hình chiếu điểm O ìï B 'D ' ^ A 'C ' ï Þ B 'D ' ^ ( CC 'A ') Þ B 'D ' ^ A 'C ( 1) í ïï B 'D ' ^ CC ' Do ỵ A 'C ^ AD ' ( 2) Tương tự ( 1) ,( 2) suy A 'C ^ ( AB 'D ') Gọi G = A 'C Ç ( AB 'D ') Từ B 13 Do D AB 'D ' A 'A = A 'B ' = A 'D ' nên G trọng tâm tam giác AB 'D ' Vậy Gọi I tâm hình vng A 'B 'C 'D ' AI trung tuyến tam giác AB 'D ' nên A,G, I thẳng hàng ( ACC 'A ') dựng OH PCA ' cắt AI H H hình chiếu Trong O Ỵ BD ( AB 'D ') Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD ' M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD N MN đoạn vng góc d ( AD ', BD ) = MN chung AD ' BD Dễ thấy MNOH hình chữ nhật nên MN = OH Do OH đường trung ACG Þ OH = CG bình tam giác GC AC 2 3a = = Þ CG = 2GA ' Þ CG = CA ' = a = 3 Mặt khác GA ' A 'I 3a a Þ OH = = 3 A' B' a C' D' Vậy I O NA Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách B 2) tính độ dài đoạn vng góc chung H DCB 'A ') ( AD ' Chọn vng góc với trung M D C điểm O AD ' Gọi I tâm hình vng BCC 'B ' BI ^ CB ' BI ^ CD nên BI ^ ( DCB 'A ') ( DCB 'A ') Trong từ DI hình chiếu DB lên ( DCB 'A ') kẻ OH ^ DI , từ H dựng đường thẳng song song với AD ' cắt BD M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt OA N MN d ( AD ', BD ) = MN đoạn vuông góc chung của AD ' BD Ta có OHMN hình chữ nhật nên MN = OH , mạt khác OH đường cao tam giác A' B' ODI vuông nên d ( AD ', BD ) = MN = OH = 1 a = + = Þ OH = OH OD OI a2 Vậy d ( AD ', BD ) = MN = OH = a 3 C' D' M Q D A B P N C 14 Cách Giả sử MN đoạn vng góc chung AD ' BD với M Ỵ AD ', N Ỵ BD Từ M kẻ MP ^ AD , từ N kẻ NQ ^ AD BD ^ ( MNP ) Þ BD ^ NP AD ' ^ ( MNQ ) Þ AD ' ^ MQ Dễ thấy ; Hai tam giác AMQ DNP vuông cân nên a QD = QN = QP = MP = PA = DP 2a a PN = = = 2 Lại có 2 ỉ ỉư a a 2ư a2 a ữ ỗ 2 ữ ỗ ữ MN = PM + PN = ỗ ữ +ỗ = ị MN = ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ç ÷ è3ø è ø Từ Cách Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường A' ìï AD ' Ì ( AB 'D ') ïï ï BD Ì BDC ' í ( ) ïï ï ( AB 'D ') P ( BDC ') Dễ thy ùợ ị d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ') ( I D' A ) B' C' B J D C Gọi I ,J giao điểm A 'C với ( AB 'D ') ,( BDC ') mặt phẳng Theo chứng minh cách I ,J trọng tâm tam ( BDC ') Mạt khác dễ dạng chứng minh giác AB 'D ' A 'C ^ ( AB 'D ') , A 'C ^ ( BDC ') a d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ') = IJ = A 'C = 3 suy Cách Sử dụng phương pháp véc tơ Gọi MN đoạn vng góc chung AD ' BD với M Ỵ AD ', N Ỵ BD uuur r uuur r uuur r r r r r r rr r r AB = x, AD = y, AA ' = z Þ x = y = z = a, xy = yz = zx = Đặt uuuu r r r uuur uuuu r r r uuur r r uuur r r AD ' = y + z Þ AM = kAD ' = k y + z , DB = x - y Þ DN = m x - y r uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r MN = AN - AM = AD + DN - AM = mx + ( 1- k - m) y - kz Ta có ( ) ( ) ( ) 15 uuur uuur uuur uuur r r r r r MN ^ DB Þ MN DB = Û mx + ( 1- k - m) y + kz x - y = ( Vì Û 2m + k - = uuur uuuu r Tương tự MN AD ' = Û 1- m - 2k = 0, từ ta có hệ )( ) ìï 2m + k = 1 ï Û m=k = í ïï m + 2k = ỵ uuur r r r uuur r r r 2ử a 1ổ ỗ MN = x + y - z Þ MN = MN = x +y +z ữ = ữ ỗ ữ ỗ 3 9è ø Vậy Ví dụ Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = SB = SC = a Gọi M , N trung điểm AB SA Dựng đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng SM CN Lời giải C Cách Dựng đoạn vng góc chung IK hai đường thẳng SM CN ( theo cách 1) tính IK Gọi E trung điểm AM , ta có ìï NE Ì ( CNE ) ï Þ SM P ( CNE ) í ïï SM P NE B (CNE ) H K ïỵ , mặt phẳng chứa CN song song với SM S I M F SAB ( ) SF ^ NE N Trong , kẻ E ìï NE ^ SF ï A Þ NE ^ (CSF ) Þ (CSF ) ^ (CNE ) í ïï NE ^ CS ỵ (CSF ) kẻ SH ^ CF Þ SH ^ (CNE ) H hình chiếu S Trong (CNE ) , từ H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN K , từ K kẻ đường thẳng song song với SH cắt SM I IK đoạn vng góc chung SN CN 1 a a = + = SF = AM = Þ SH = 2 2 SF SC a , SH Ta có a d ( SM ,CN ) = IK = SH = Vậy 16 Cách Dựng đoạn vng góc chung IK hai đường thẳng SM CN ( theo cách 2) tính IK Gọi P ,Q trung điểm SB vàCN , E giao điểm NP SM NQ PCS,CS ^ ( SAB ) Khi Þ NQ ^ ( SAB ) Þ NQ ^ SM C SM ^ NP Þ SM ^ ( NPQ ) H B F I P Q S K E M E , N dựng hình bình hành CSEH Þ CH P SE , mà SE ^ ( NPQ ) Þ CH ^ ( NPQ ) , NH ( NPQ ) Kẻ A hình chiếu NC EF ^ NH F , từ F kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN I , từ I kẻ đường thẳng song song với EF cắt SM K IK đoạn vng góc chung CN SM Tam giác EHN vng E có đường cao EF 1 1 1 Þ = + = + = 2+ 2= 2 2 2 EF EH EN CS a a a ỉ AB ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ố4 ữ ứ a a Þ EF = d ( CN ,SM ) = I K = EF = Vậy Cách Sử dụng phương pháp véc tơ Gọi EF đoạn vng góc chung SM CN uur r uur r uuu r r r r r rr rr rr SA = a, SB = b, SC = c Þ a = b = c = a Đặt ab = bc = ca = EF đoạn vng góc chung SM CN uur uuur uuu r uuur ìï SE = xSM ; EF SM = ïìï E Ỵ SM ;EF ^ SM ï Û í Û íï uuu r uuur uuur uuur ïï F Ỵ CN ;EF ^ CN ïï CF = yCN ; EF CN = ỵ ïỵ uuur uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuu r uur r uuur Ta có EF = ES + SC +CF = SC +CF - SE = c + yCN - xSM r x r r r r r ổ r rử ữ ỗ =ca + b + y ỗ a - cữ = ( y - x) a - xb + ( 1- y) c ÷ ữ ỗ 2 ố2 ứ Li cú ( Ta có ) uuu r uuur ïìï EF SM = ïí uuu r uuur Û ïï EF CN = ỵï ïìï - 2x + y = Û í ïï - x + 5y = ỵ ìï ïï x = ï í ïï ïï y = ỵ 17 Vậy đường vng góc chung SM CN đường thẳng EF uur uuur uuu r uuur SE = SM ,CF = CN 9 với uuu r r 2r 1r r r2 r2 a EF = a - b + c Þ EF = a + b + c = 9 81 81 81 Lúc a d ( CN , SM ) = EF = Vậy Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD ' BD Lời giải A' B' Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách I 1) tính độ dài đoạn vng góc chung G D' ìï BD P B 'D ' H ï í ï AD ' Ì ( AB 'D ') M ( AB 'D ') mặt phẳng A Do ïïỵ nên chứa AD ' song song với BD O Gọi O tâm hình vng ABCD N D Ta dựng hình chiếu điểm O ( AB 'D ') ìï B 'D ' ^ A 'C ' ï Þ B 'D ' ^ ( CC 'A ') Þ B 'D ' ^ A 'C ( 1) í ïï B 'D ' ^ CC ' Do ỵ Tương tự A 'C ^ AD ' C' B C ( 2) ( 1) ,( 2) suy A 'C ^ ( AB 'D ') Gọi G = A 'C Ç ( AB 'D ') Từ Do D AB 'D ' A 'A = A 'B ' = A 'D ' nên G trọng tâm tam giác AB 'D ' Vậy Gọi I tâm hình vng A 'B 'C 'D ' AI trung tuyến tam giác AB 'D ' nên A,G, I thẳng hàng ( ACC 'A ') dựng OH PCA ' cắt AI H H hình chiếu Trong O Ỵ BD ( AB 'D ') Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD ' M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD N MN đoạn vng góc d ( AD ', BD ) = MN chung AD ' BD 18 Dễ thấy MNOH hình chữ nhật nên MN = OH Do OH đường trung ACG Þ OH = CG bình tam giác GC AC 2 3a = = Þ CG = 2GA ' Þ CG = CA ' = a = 3 Mặt khác GA ' A 'I 3a a Þ OH = = 3 a A' B' Vậy Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 2) tính độ dài đoạn vng góc chung C' D' DCB 'A ') ( AD ' Chọn vng góc với trung I O NA điểm O AD ' Gọi I tâm hình vng B BCC 'B ' BI ^ CB ' BI ^ CD nên H BI ^ ( DCB 'A ') DI DB từ hình chiếu M D DCB ' A ' C ( ) lên ( DCB 'A ') kẻ OH ^ DI , từ H dựng đường thẳng song song với Trong AD ' cắt BD M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt OA N MN đoạn vng góc chung của AD ' BD d ( AD ', BD ) = MN Ta có OHMN hình chữ nhật nên MN = OH , mạt khác OH đường cao tam giác vuông ODI nên d ( AD ', BD ) = MN = OH = 1 1 a = + = + = Þ OH = OH OD OI ỉ ư2 a2 a2 a 2÷ ç ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç è ø a 3 Vậy Cách Giả sử MN đoạn vng góc chung AD ' BD với M Ỵ AD ', N Ỵ BD Từ M kẻ MP ^ AD , từ N kẻ NQ ^ AD A' d ( AD ', BD ) = MN = OH = BD ^ ( MNP ) Þ BD ^ NP Dễ thấy ; AD ' ^ ( MNQ ) Þ AD ' ^ MQ B' C' D' M Q D A B P N C 19 Hai tam giác AMQ DNP vuông cân nên QD = QN = QP = MP = PA = DP 2a a a PN = = = 3 Lại có 2 ỉư ỉ a 2ư a2 a ữ ỗ 2 ỗ ữ ỗ MN = PM + PN = ỗ ữ + = ị MN = ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ è3ø è ø Từ Cách Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường ìï AD ' Ì ( AB 'D ') ïï ï BD Ì BDC ' í ( ) ïï ï ( AB 'D ') P ( BDC ') D thy ùợ ( ị d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ') ) A' I D' A D B' C' B J C Gọi I ,J giao điểm A 'C với ( AB 'D ') ,( BDC ') mặt phẳng Theo chứng minh cách I ,J trọng tâm tam giác AB 'D ' ( BDC ') Mặt khác dễ dạng chứng minh A 'C ^ ( AB 'D ') , A 'C ^ ( BDC ') a d(AD ', BD) = d ( ( AB 'D ') , ( BDC ') ) = IJ = A 'C = suy Cách Sử dụng phương pháp véc tơ M Ỵ AD ',N Ỵ BD AD ' BD với Gọi MN làuu đoạn vng góc chung ur r uuur r uuur r r r r r r rr r r AB = x , AD = y, AA ' = z Þ x = y = z = a, xy = yz = zx = Đặt uuuu r r r uuur uuuu r uuur uuur r r r uuur r r AD ' = y + z Þ AM = kAD ' = k(y + z), BD = x - y Þ DN = m(x - y) uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r MN = AN - AM = AD + DN - AM = mx + (1- k - m)y - kz Ta có uuur uuur uuur uuur r r r r r Vì MN ^ BD Þ MN BD = Û (mx + (1- k - m)y + kz)(x - y) = Û 2m + k - = r uuur uuuu MN AD ' = Û 1- m - 2k = , từ ta có hệ Tương tự ïìï 2m + k = 1 Û m=k = í ïï m + 2k = î 20