(Skkn rất hay) hướng dẫn học sinh lớp 11 trường thpt thường xuân 2 một số kĩ thuật tính khoảng cách trong hình học 11

kn sk Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Khoảng cách phần kiến thức mơn hình học 11, phần kiến thức thường gặp kiểm tra cuối năm, thi tốt nghiệp THPT tiền đề để hình thành kiến thức khoảng cách mơn hình học 12, nhiên thời lượng lý thuyết tập sách giáo khoa có 03 tiết học Để cho học sinh hiểu rõ phần luyện kỹ tìm khoảng cách hình học khơng gian cần phải hướng dẫn thêm phương pháp làm đưa thêm ví dụ minh hoạ Do tơi biên soạn lựa chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT Thường Xuân số kĩ thuật tính khoảng cách hình học 11” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Truyền đạt đến học sinh phương pháp ví dụ phù hợp tính khoảng cách khơng gian theo tinh thần sách giáo khoa hình học 11 ban Qua rèn luyện kĩ toán học nâng lực tư cho học sinh gặp tập liên qua đến khoảng cách 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu phương trình đường tròn sách giáo khoa lớp 11 hành tính chất của khoảng cách phần trước 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Đưa phương pháp chung để tính khoảng cách ví dụ minh hoạ cho phương pháp đó, hướng dẫn cách giải khác cho ví dụ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm [1]: 2.1.1 Khoảng cách từ điểm tới đường O thẳng Cho điểm đường thẳng Trong gọi hình chiếu vng góc Khi khoảng cách gọi khoảng cách M từ điểm đến Nhận xét: 2.1.2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Cho mặt phẳng điểm chiếu điểm mặt phẳng , gọi H O hình Khi khoảng α M H kn sk cách gọi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nhận xét: 2.1.3 Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng M Cho đường thẳng mặt phẳng song song với Khi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thẳng mặt phẳng 2.1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳn gọi khoảng cách hai mặt phẳng H α gọi khoảng cách đường α M N β M' N' M a 2.1.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo Độ dài đoạn vuông góc chung gọi khoảng cách hai đường thẳng b 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến N kinh nghiệm: Qua năm giảng dạy tơi thấy cịn nhiều học sinh lúng túng làm tập khoảng cách, phần em chưa nắm hiểu kiến thức khoảng cách, phần lại đa số em chưa hiểu phương pháp tính khoảng cách cảm thấy khó học phần nên hay bỏ câu tập khoảng cách trình kiểm tra thi 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta cần xác định hình chiếu điểm đường thẳng , xem đường cao tam giác để tính Điểm thường dựng theo hai cách sau:  Trong vẽ kn sk  Dựng mặt phẳng qua vng góc với Hai cơng thức sau thường dùng để tính  vng có đường cao  đường cao Các ví dụ Ví dụ Cho hình lập phương khoảng từ đỉnh đến đường chéo Lời giải Gọi hình chiếu có cạnh Tính D C A Do vuông Vậy tam giác B H C' D' có đường cao A' B' suy Vậy Ví dụ Hình chóp có đáy hình vng tâm cạnh , cạnh vng góc với mặt phẳng Gọi trung điểm cạnh trung điểm đoạn Tính khoảng cách từ đến đường thẳng Lời giải Trong kẻ S Gọi I A Ta có Mà B O M N H D C kn sk Suy , nên đường trung bình tam giác Ta có vng nên Vậy Ví dụ Cho hình chóp góc , đến đường thẳng có đáy theo cạnh Tính khoảng cách từ điểm hình thoi cạnh S nên H B cạnh A O C Hai tam giác vuông Vậy , Lời giải Kẻ Do hình thoi tâm va D đồng dạng nên Dạng 2: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng kn sk Phương pháp: Để tính khoảng từ điểm đến mặt phẳng điều quan trọng ta phải xác định hình chiếu M điểm Để xác định vị trí hình chiếu ta có số lưu ý sau:  Nếu có  Chọn chứa điểm d (h1) α h1 , xác định giao tuyến Trong dựng β (h2)  Nếu trong có hai điểm kẻ đường trung trực dựng Thật vậy, Gọi nên H cho đoạn , Khi trung điểm α M H h2 (h3) Do cân M Lại có B α H d A I h3 Vậy  Nếu có điểm không qua thẳng đường thẳng cho qua M d kẻ đường , kẻ α H d' A h4 ( h4) Thật vậy, Lại có  Nếu có điểm mà đường thẳng góc hình chiếu trịn ngoại tiếp đa giác tạo với tâm đường kn sk  Nếu có điểm mà mặt phẳng hình chiếu tiếp đa giác tâm đường tròn nội cho Khi (h5)  Một kết có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tứ diện vuông (tương tư hệ thức lượng tam giác vuông) là:  Nếu tứ diện có đơi vng góc có đường cao N M  Đơi khi, thay hình chiếu điểm xuống ta dựng hình chiếu điểm khác thích hợp N' M' α h5 d(M,(α))=d(N,(α)) A H B O I C Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp có đáy cạnh vng góc với tam giác cạnh , góc hai mặt phẳng Gọi Vậy Tính khoảng cách từ đến Lời giải trung điểm , ta có góc hai mặt phẳng Trong kẻ , theo và S H C A I B Ta có Vậy kn sk Tam giác cạnh Trong tam giác nên ta có Hay Ví dụ Cho hình chóp , Gọi hình thang vng có đáy Cạnh bên vng góc với đáy hình chiếu vng góc Tính khoảng cách từ mặt phẳng đến Lời giải Trong gọi S , gọi , kẻ gọi trung điểm Dễ thấy hình vng nên Do vng , lại có K E F H B N A D C M Vậy Trong kẻ , từ (1) suy kn sk Do trung điểm Lại có Vậy trọng tâm tam giác , Tứ diện có ba cạnh đơi vng góc nên Vậy A B Nhận xét: Từ ta thấy đường thẳng cắt α Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật H K I có ba kích thức Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng D' Lời giải Gọi tâm hình bình hành trung điểm A' I C' B' C D Ta có A Mặt khác ta có tứ diện vng góc nên có cạnh B đơi kn sk Vây Ví dụ Cho hình hộp cạnh có tất mặt hình thoi , góc Tính khoảng cách từ đến Do hình thoi cạnh Lời giải có tất mặt C' nên tam giác tam giác đếu cạnh ( cách đếu ba đỉnh D' A' B' D ) H C O B Gọi hình chiếu A tam giác vng nên suy tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi giao điểm , ta có Vậy Dạng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song  Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng song song với khoảng cách từ điểm M thuộc đường thẳng kn sk a đến mặt phẳng  Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ví dụ Cho hình lăng trụ Hình chiếu vng góc a) Tính khoảng cách từ có tất cạnh đáy a trùng với trung điểm BC đến mặt bên b) Tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ Lời giải: a) Gọi H trung điểm BC ta có: Do nên Dựng Do b) Lại có: Ví dụ Cho hình lăng trụ tứ giác gọi M, N, P trung điểm AD, DC hai mặt phẳng có cạnh đáy a Tính khoảng cách Lời giải: Ta có: 10 kn sk Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có: Do Lại có: Dạng 4: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau: a  Dựng đoạn vng góc chung Khi - Dựng mặt phẳng chứa H b α Sau số cách dựng đoạn vng góc chung thường dùng: Nếu ta dựng đoạn vng góc chung và vng góc với O sau - Tìm giao điểm - Dựng Đoạn đoạn vng góc chung Nếu khơng vng góc với dựng đoạn vng góc chung theo hai cách sau: Cách A N - Dựng mặt phẳng - Dựng hình chiếu chứa song song với điểm - Trong dựng đường thẳng qua song song với cắt , từ dựng đường thẳng song song với cắt Đoạn đoạn vng góc chung Cách - Dựng mặt phẳng vuông góc với - Tìm giao điểm - Dựng hình chiếu M α A' a' b b A B a α O b' H 11 kn sk  Trong dựng Từ dựng đường thẳng song song với cắt Từ dựng đường thẳng song song với cắt Đoạn đoạn vng góc chung Xem khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa A α Sử dụng  Sử dụng phương pháp vec tơ a) đoạn vng góc chung a M Nb β H M B N D A C O b) Nếu phương có hai vec tơ khơng H α Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp có đáy bên vng góc với mặt phẳng đáy hai đường thẳng a) b) Lời giải u1 u2 hình vng cạnh , cạnh Tính khoảng cách S I H j A D K O B C 12 kn sk a) Kẻ đường cao tam giác Ta có Vậy , nên Tam giác vng cân Vậy = b) Ta có kẻ đoạn vng góc chung có đường cao Gọi tâm hình vng đoạn vng góc chung ( trung điểm Ta có Vậy Ví dụ Cho hình lập phương hai đường thẳng Lời giải Cách Dựng đường vuông góc chung (theo cách 1) tính độ dài đoạn vng góc chung Do nên mặt phẳng chứa song song với Gọi tâm hình vng ) cạnh Tính khoảng cách A' B' I D' Ta dựng hình chiếu điểm nên nên H M D G C' B A N O C Do Tương tự Từ suy Gọi 13 kn sk Do nên Vậy Gọi tâm hình vng tam giác nên thẳng hàng Trong dựng cắt Từ dựng đường thẳng song song với đường thẳng song song với cắt chung Dễ thấy trọng tâm tam giác trung tuyến cắt hình chữ nhật nên bình tam giác hình chiếu , từ dựng đoạn vng góc Do đường trung Mặt khác A' B' Vậy Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 2) tính độ dài đoạn vng góc chung Chọn điểm O B M D hình chiếu I N A H vng góc với trung Gọi tâm hình vng nên từ C' D' lên C Trong kẻ , từ dựng đường thẳng song song với , từ dựng đường thẳng song song với cắt đoạn vng góc chung của hình chữ nhật nên , mạt khác đường cao tam giác vng nên Ta có A' B' C' D' M Vậy cắt Q D A B P N C 14 kn sk Cách Giả sử Dễ thấy Hai tam giác đoạn vng góc chung Từ kẻ , từ kẻ và với ; vng cân nên Lại có Từ Cách Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường A' I D' A Dễ thấy Gọi giao điểm mặt phẳng Theo chứng minh cách giác với D B' C' B J C trọng tâm tam Mạt khác dễ dạng chứng minh suy Cách Sử dụng phương pháp véc tơ Gọi đoạn vng góc chung với Đặt Ta có 15 kn sk Vì Tương tự , từ ta có hệ Vậy Ví dụ Cho tứ diện đơi vng góc Gọi trung điểm đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng Lời giải C Cách Dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng ( theo cách 1) tính Gọi trung điểm , ta có mặt phẳng chứa Trong có , song song với , kẻ H B K S F Dựng I M N E A Trong kẻ , từ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng song song với cắt Ta có Vậy , hình chiếu cắt , từ kẻ đoạn vng góc chung 16 kn sk Cách Dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng ( theo cách 2) tính Gọi trung điểm , giao điểm C H B F I Khi P Q S Lại có dựng hình bình hành K E , , mà M N , A hình chiếu Kẻ , từ kẻ đường thẳng song song với cắt , từ kẻ đường thẳng song song với đoạn vng góc chung Tam giác vng có đường cao cắt Vậy Cách Sử dụng phương pháp véc tơ Gọi đoạn vng góc chung Đặt đoạn vng góc chung Ta có Ta có 17 kn sk Vậy đường vng góc chung với đường thẳng Lúc Vậy Ví dụ Cho hình lập phương cạnh hai đường thẳng Lời giải Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 1) tính độ dài đoạn vng góc chung Tính khoảng cách A' I D' H M nên mặt phẳng song song với Gọi tâm hình vng Ta dựng hình chiếu điểm B' Do chứa C' B A N D G O C Do Tương tự Từ Do suy Gọi nên giác Vậy Gọi tâm hình vng tuyến tam giác nên thẳng hàng Trong dựng cắt Từ dựng đường thẳng song song với đường thẳng song song với cắt chung trọng tâm tam trung cắt hình chiếu , từ dựng đoạn vng góc 18 kn sk Dễ thấy hình chữ nhật nên bình tam giác Do đường trung Mặt khác A' Vậy Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 2) tính độ dài đoạn vng góc chung Chọn điểm vng góc với trung Gọi tâm hình vng nên từ lên B' C' D' O I N A B H hình chiếu M D C Trong kẻ , từ dựng đường thẳng song song với cắt , từ dựng đường thẳng song song với cắt đoạn vng góc chung của Ta có hình chữ nhật nên cao tam giác vuông nên , mạt khác đường A' Vậy Cách Giả sử đoạn vng góc chung với Từ kẻ , từ kẻ Dễ thấy C' D' M Q ; B' D A B P N C 19 kn sk Hai tam giác vuông cân nên Lại có Từ Cách Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường A' I D' A Dễ thấy Gọi giao điểm mặt phẳng Theo chứng minh cách giác với B' D C' B J C trọng tâm tam Mặt khác dễ dạng chứng minh suy Cách Sử dụng phương pháp véc tơ Gọi đoạn vng góc chung với Đặt Ta có Vì Tương tự , từ ta có hệ 20 kn sk Vậy 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: 2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục: Năm học 2019 dạy lớp 11B1 năm 2022 dạy lớp 11B1 hai lớp có học lực tương đương Do điều kiện thời gian lớp 11B1 năm 2019 không ôn tập nội dung sáng kiến này, cịn lớp 11B1 năm 2022 ơn tập đầy đủ dạng tập sáng kiến kinh nghiệm Kết kiểm tra 45’ sau thời gian học sau: Lớp Sĩ số Số hs điểm yếu Số hs điểm trung bình Số hs Điểm trung khá, giỏi bình trung lớp Điểm thấp Điểm cao Lớp 11B1 40 27 5,8 (Năm 2019) Lớp 11B1 40 26 14 7,2 10 (Năm 2022) Qua bảng kết ta thấy học sinh lớp 11B1 (năm 2022) đạt kết tốt so với lớp trước 2.4.2 Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường: có tài liệu tham khảo giảng dạy “Khoảng cách” chương trình hình học lớp 11 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh chủ đề này, thấy em học sinh tự tin đứng trước tốn tính khoảng cách không gian kết làm tập phần có nhiều tiến Với thời lượng hạn chế khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, chưa đưa thêm tập cho học sinh rèn luyện thêm nên mong góp ý thầy giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị: nhà trường xem đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh học “Khoảng cách” lưu thư viện nhà trường để đồng nghiệp học sinh tham khảo Thường Xuân, ngày 18 tháng năm 2023 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm Xác nhận Hiệu trưởng tự viết, không chép nội dung người khác Nếu sai xin chịu trách nhiệm Tác giả 21 kn sk Đỗ Văn Hào TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2010) Hình học 11, nhà xuất Giáo Dục Việt Nam, 3, 115118 Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh (2022) Bài tập Hình học 11, nhà xuất Giáo Dục Việt Nam, 3, 180-200 Ts Nguyễn Duy Hiếu (2020) Kĩ thuật giải nhanh tốn hay khó hình học 11, nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 3, 190-196 Ts Nguyễn Cam, Ts Nguyễn Văn Phước, Ts Nguyễn Hoàng Nguyên (2021) Tuyền chọn 400 tập hình học 11, nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 3, 188-200 22 kn sk DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Văn Hào Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân TT Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh tìm tịi phát triển toán Hướng dẫn học sinh THPT Thường Xuân sử dụng máy tính Casio FX-570ES giải toán Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường thẳng đường tròn mặt phẳng để giải biện luận số hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Phân loại phương pháp giải tập phương trình đường trịn cho học sinh lớp 10 trường THPT Thường Xuân Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Ngành GD C 2006-2007 Ngành GD C 2012-2013 Ngành GD C 2015-2016 Ngành GD C 2019-2020 23 kn sk 24