(SKKN HAY NHẤT) một số phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƢỜNG THPT SỐ I THÀNH PHỐ LÀO CAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Giáo viên: Hà Thị Tố Nga Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn TỔ: TỐN – TIN Đơn vị: Trường THPT số TP Lào Cai NĂM HỌC: 2013-2014 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình dạy học mơn Tốn nói chung ơn thi Đại học- Cao đẳng, HSG cho học sinh khối THPT nói riêng thường hay gặp tốn tính khoảng cách Loại tốn tính khoảng cách hình học khơng gian loại tốn hay, đòi hỏi tư học sinh THPT thường gặp đề thi đại học Khi gặp loại tốn này, đặc biệt tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, học sinh thường lúng túng khơng biết hướng giải Có nhiều nguyên nhân để dẫn đến tình trạng như: học sinh giải tốn chưa tốt, chưa phát huy tính tư sáng tạo mình, học tập cịn thụ động, đối phó Điều liên quan đến người dạy, người học nhiều vấn đề khác Nhằm giúp em có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo gợi cho em hướng giải tốt gặp loại tốn Tơi xin trình bày suy nghĩ việc giải tốn tính khoảng cách hình học khơng gian dạng viết nhỏ, với hy vọng phần giúp em học sinh bớt lúng túng gặp dạng tốn Mục đích nghiên cứu Với mục đích giúp cho học sinh học có hiệu có nhìn tổng quan, hiểu chất vấn đề đặt ra, từ đưa phương pháp giải mạch lạc phù hợp với đòi hỏi thi, giúp học sinh tự tin có phương pháp phù hợp gặp phải toán liên quan đến khoảng cách Yêu cầu đặt phải trang bị cho học sinh, đặc biệt học sinh khối 12 chuẩn bị thi Đại học phương pháp giải dạng toán khoảng cách hình học Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp giải toán khoảng cách hình học khơng gian Đối tƣợng khảo sát thực nghiệm Đề tài thực nghiệm qua đối tượng học sinh lớp 11 học Hình học không gian học sinh lớp 12 ôn thi Đại học – Cao đẳng Phƣơng pháp nghiên cứu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lập kế hoạch chi tiết thời gian sưu tầm tìm hiểu kiến thức Viết đề cương chi tiết Thực lên lớp, tổ chức hướng dẫn học sinh xây dựng, củng cố nắm bắt kiến thức cách khái quát thông qua hệ thống câu hỏi, tập áp dụng phù hợp Tổ chức kiểm tra nắm bắt kiến thức học sinh từ rút kinh nghiệm , đồng thời trao đổi học hỏi đồng nghiệp để bổ sung kiến thức phương pháp cho hoàn thiện đề tài Phạm vi nghiên cứu Các kiến thức khn khổ chương trình tốn THPT Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 11 năm 2013 đến tháng năm 2014 Dưới xin trao đổi với quý đồng nghiệp số toán phương pháp giải cho toán về: ‘‘ Phƣơng pháp tính khoảng cách hình học khơng gian” PHẦN NỘI DUNG I LÝ THUYẾT: Một số khái niệm khoảng cách không gian 1.1 Khoảng cách từ điểm tới đƣờng thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH O O P 1.2 Khoảng cách đƣờng thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) Ta có: d(a,(P)) = OH 1.3 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ta có d((P),(Q)) = OH H a a H O H P O P Q H 1.4 Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo nhau:  Đƣờng vng góc chung : Đường thẳng  cắt đường thẳng chéo a, b vuông góc với LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đường thẳng gọi đường vng góc chung đường thẳng a b M a  Khoảng cách đƣờng thẳng chéo nhau: b N  Nếu đường vng góc chung  cắt đường thẳng chéo a b M N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách đường thẳng chéo a b  Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại M a b a'  Ta có: d  a, b   d  a,     Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng N a M  b N Ta có: d  a, b   d    ,     Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.1.Kỹ thuật 1:Để xác định khoảng cách từ điểm A đến mp  Q  ta làm sau   Tìm mp  P  chứa A  Q    P  ; P  Tìm    Q    P  ;  Dựng AH   ;Suy AH   Q  ; A a Q  Khi d  A,  Q    AH 2.2.Kỹ thuật 2: Cho mặt phẳng   điểm A khơng nằm mặt phẳng đó, M điểm nằm mp   Xét điểm E nằm EM k đường thẳng qua AM cho AM d  E ,    EM   k (*)  Khi đó: d  A,    AM E A M H  P P A M H  E LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3.Kỹ thuật 3: Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà ta đưa tốn tìm chiều cao hình chóp hình lăng trụ đó, chiều cao thường khơng tính trực tiếp cách sử dụng phương pháp thông thường Tuy nhiên khối đa diện lại dễ dàng tính thể tích diện tích 3V đáy Khi đó, chiều cao khối chóp tính cơng thức h  S V khối chóp h  khối lăng trụ S - Giả sử ta đưa tốn tìm chiều cao kẻ từ đỉnh S hình chóp hình lăng trụ Ta tìm thể tích khối chóp khối lăng trụ theo cách khác mà không dựa vào đỉnh S Tính diện tích đáy đối diện với đỉnh S, từ ta có chiều cao kẻ từ đỉnh S cần tìm 2.4.Kỹ thuật 4: Sử dụng phƣơng pháp tọa độ để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đường vng góc chung hai đường thẳng Vì xác định đường vng góc chung việc tính độ dài coi giải Tuy nhiên, việc xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo việc dễ làm Hơn nhiều tốn người ta địi hỏi tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo mà khơng u cầu xác định cụ thể đường vng góc chung chúng Vì vậy, thực tế người ta thường chuyển toán xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo toán dễ giải 3.1 Kĩ thuật : Xác định đoạn vuông góc chung a) Khi a  b + Dựng  P   b ,  P   a H + Trong (P) dựng HK  b K Đoạn HK đoạn vng góc chung a b b) Khi a b khơng vng góc ( Sử dụng mp song song): + Dựng  P   b ,  P  / / a + Dựng a '  hch P  a , cách lấy M  a + Dựng đoạn MN    N, lúc a’ đường thẳng qua N song song a Gọi H  a ' b , dựng HK / / MN Đoạn HK đoạn vng góc chung a b c, Khi a b không vuông góc(Sử dụng mặt phẳng vng góc)  Dựng mặt phẳng (P)  a O (chứa hình chiếu b)  Dựng hình chiếu b b (P) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Dựng OH  b H  Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A  AB đoạn vng góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH 3.2 Kỹ thuật 2: Nếu a // (P) b chứa mp(P) khoảng cách a , b khoảng cách a mp(P) 3.3 Kỹ thuật 3: Nếu a chứa mp(P), b chứa mp(Q) mà (P) // (Q) khoảng cách a b khoảng cách (P) (Q) Lưu ý a // (P) khoảng cách a (P) khoảng cách từ điểm a đến (P) Tương tự khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 3.4 Kỹ thuật 4: Sử dụng phƣơng pháp tọa độ để tính khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo II BÀI TẬP: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) z Lời giải D Cách 1: Dùng tọa độ + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O D Ox; C  Oy B  Oz  A(0;0;0); B(3;0;0); C(0;4;0); D(0;0;4) H  Phương trình mặt phẳng (BCD) là: x y z     4x + 3y + 3z - 12 = 4 A 12 42  32  32  C K Suy khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) d ( A, ( BCD))  y B 12 34 x Cách 2: Tính trực tiếp Từ A hạ AH  (BCD), H trực tâm tam giác BCD Dễ thấy BC  AK Ta có: Vậy: AH  1 1 1 1 34       2 2  2 2 2 2 AH AD AK AD AB AC 4 12 34 Cách 3: Dùng thể tích 1 3 Dễ thấy: BC=BD=5; CD= Suy diện tích tam giác BCD S=3 34 Thể tích tứ diện ABCD: V= AB AC AD  4.3.3  12 Suy khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) d ( A, ( BCD))  3V 12  S 34 Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) Giải: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách 1: Tính trực tiếp S.ABCD hình chóp nên SO  (ABCD) Qua O kẻ OI vng góc với BC Dễ thấy (SOI)  (SAB) Kẻ OH  SI  OH  (SBC)  d(O;(SBC)) = OH a Ta có: AC = BD = a 2, OI = a2 Xét SAO ta có: SO2 = SA2 - AO2 = 1 a Xét SOI: 2= 2+ =  OH = OH SO OI a Vậy: d(O; (SBC)) = z S H A D B O y I C x a Cách 2: Dùng thể tích 1 a a3  24 3V a a Diện tích tam giác SBC S= Vậy: d(O; (SBC)) =  SSBC Thể tích khối chóp SOBC V= a Cách 3: Dùng phƣơng pháp tọa độ Lập hệ tọa độ hình vẽ a a a ; 0; 0); B(0; ; 0); S(0; 0; ) 2 a Phương trình mp(SBC): x+y+z =0 a  a Vậy: d(O; (SBC)) =  C( Bình luận: Nếu thay giả thiết tốn thành tính khoảng cách từ điểm O đến (SBC) ta làm nào: - Ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) sử dụng bổ đề (*) để suy d(C;(SAB)) a d (C , ( SBC )) CA Ta có: = =  d(C;(SBC)) = d (O, ( SBC )) OA Nếu thay giả thiết tốn thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K SA đến (SBC) ta làm nào: - Ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) sử dụng bổ đề (*) để suy d(K;(SBC)) Ta có OK // SC  OK // (SBC)  d(K;(SBC)) = d(O;(SBC)) = a 6 Nhận xét: Qua tập ta rút cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt bên khối chóp sau: - Tính khoảng cách từ hình chiếu đỉnh lên mặt đáy đến mp sử dụng bổ đề (*) để suy khoảng cách cần tính LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tập 3( ĐH khối D - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông · =300 B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vng góc với mp(ABC) Biết SB=2a 3, SBC Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Giải: Cách 1: Tính trực tiếp Kẻ SH  BC  SH  (ABC) Xét SHB ta có: z SH = SB.sin300 = a 3; BH = SB.cos300 = 3a Qua H kẻ HI  AC I S  (SHI)  (SAC) Kẻ HK  SI K  HK  (SAC)  d(H;(SAC)) = HK Ta có CHI ∽CAB(g-g) K AB.CH 3a y  HI = = AC x 1 28 3a 2= 2+ =  HK = I HK HI SH 9a A C 3a H  d(H;(SAC)) = d(B;(SAC)) BC 6a B Mà = =  d(B;(SAC)) = d(H;(SAC)) HC Cách 2: Dùng thể tích Kẻ SH  BC  SH  (ABC) Xét SHB ta có: SH = SB.sin300 = a 3; BH = SB.cos300 = 3a Qua H kẻ HI  AC I  AC  SI (Định lí đường vng góc) AB.CH 3a 2a 21 Ta có CHI∽CAB(g-g)  HI = = Suy SI = SH  SI  AC 5  a 21 Thể tích khối chóp S.ABC là: V= SH SABC  2a3 Diện tích tam giác SAC SSAC 6a 3V  Vậy: d(B;(SAC))= SSAC Cách 3: Dùng phƣơng pháp tọa độ Kẻ SH  BC  SH  (ABC) Lập hệ tọa độ hình vẽ Ta có: B(-3a;0;0), C(a;0;0), A(-3a;3a;0), S(0;0;a 3) 6a Tính d(B;(SAC))= · D= ABC  BA Bài tập 4(ĐH_D_2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, · 900, BA=CB=a, AD=2a Cạnh SA vng góc với mặt đáy, SA=a Gọi H hình chiếu A lên SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải: S Gọi I trung điểm AD ta có CI = AD  ACD vuông C hay AC  CD  (SAC)  (SCD) Kẻ AE vng góc SC E  AE  (SCD)  d(A;(SCD)) = AE Ta có: AC2 = AB2 + BC2 = 2a2 H E I A D C B K 1 1 = 2+ =  AE = a  d(A;(SCD)) = a AC SA a AE Nối AB cắt CD K  B trung điểm AK d(B;(SCD)) BK a  = =  d(B;(SCD)) = d(A;(SCD)) AK 2 2 d(H;(SCD)) SH SA 2a 2 a = = = 2 =  d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) = d(B;(SCD)) SB SB 2a +a 3 Bài tập 5: ( ĐH khối A -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ·  300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính ABC theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Giải: Gọi H trung điểm BC, ta có tam giác SBC cạnh a nên SH  BC ,  SBC   ABC nên SH   ABC   SH  S a đường cao khối chóp S.ABC Ta có : AC  AH  BC a  (ACH đều) ; 2 AB  a.cos 300   a a2  SABC  AB.AC  2 C H 300 a3 VSABC  SH.SABC  16 Cách 1: Ta có: K B I A LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ABC vuoâng A H trung điểm BC nên HA  HB Maø SH  ( ABC )  SHA  SHB  SA  SB  a Goïi I trung điểm AB , suy SI  AB  SI  SB  AB a 13  4 1 a 13 a a 39 SI AB   2 16 3a 3V a 39 Suy : d (C ,(SAB ))  S ABC  16  SSAB 13 a 39 16 a Cách 2: Ta có: HI  AC  1 1 a Vẽ HK  SI HK  (SAB), ta có      HK  2 2 HK HI SH 52 a a 3     4   2a a Vậy d(C, SAB)= 2HK =  52 13  SSAB  Bài tập 6: (ĐH khối B – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tính khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Giải: Cách 1: SH  AB  Gọi H trung điểm AB , :  a ; (Do SAB cạnh a) SH    Mặt khaùc (SAB )  ( ABCD )  SH  ( ABCD )  SH đường cao hình choùp S.ABCD Vậy VS ABCD  a2 a a3  Do AB//CD nên d(A,(SCD)) = d(AB,(SCD)) = d(H,(SCD)) Khi đó: Gọi I trung điểm CD K hình chiếu H lên SI, ta có: HK  SI  HK  (SCD )  d (H ,(SCD ))  HK  HK  CD (do CD  (SHI )) Xét tam giác vng SHI, ta có:    a      a Vậy d(A, SCD) = HK  HK SH HI  a   HK  a S K A' B C Lƣu ý: Có thể tính khoảng cách cách sau: Sx  (SAB )  (SCD )  AA'/ / SH ( A'  Sx ) - Dựng   AK '  A' D (K '  A' D ) I H A D  AK '  d ( A ,(SCD )) tính tương tự HK LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách 2: (Dùng phƣơng pháp toạ độ)  H  O; SH  Oz; AB  Ox; HI  Oy , : -Gọi  a a a a a ), A( ; 0; 0), B( ; 0; 0),C (  ; a; 0), D( ; a; 0)  H (0; 0; 0), S (0; 0; 2 2  uur  a uu r uur  a  a a 3 a 3 a  uur  a a 3 Ta có: SA   ; 0;   , SB    ; 0;   , SC    ; a;   , SD   ; a;   2   2         VS ABCD  VSABC  VSACD   uur uur  uur  uur uur  uur   a3 a3  a3   SA, SC SB  SA, SC SD         6     ur uur uur  Mặt khác : mp(SCD) cóVTPT n SCD  SC , SD   (0; a2 3; 2a2 )    pt (SCD) có dạng : a2 3y  2a2 z  a3   a x      ptñt  ñi qua A vuông góc (SCD) có dạng :  y  a2 3t , t  ¡  z  2a2 t    t  a 3a a    (SCD)  M ( ; ; ) 7a 7 9a2 12 a2   49 49 21a2 a  d ( A,(SCD))  AM   49 ( Lưu Ý : Sử dụng công thức tính khoảng cách nhanh a2 d ( A,(SCD))  a  a3 a ) 3a  a Bài tập (ĐH khối D – 2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ·  1200 , M trung điểm cạnh BC cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, BAD ·  450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ D đến mặt SMA phẳng (SBC) Giải: * Tính VS.ABCD Do BAD  1200  ABC  600  ABC  AC = a  BD2  AB2  AD2  2AB AD.cos BAD  a  a  2a.a.cos1200  2a  a  3a  BD  a  AM  BC  ABC đều, cạnh = a   a  AM   S a SAM vuông cận A có SMA  45  SA  AM  1 1 a a3 a.a  VS.ABCD = SA.S ABCD  SA AC.BD  3 2 * Tính d (D, (SBC)) Do AD //BC  AD // (SBC)  d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)) H A B LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 120 450 Gọi H trung điểm SM Ta có: AH  SM (1),  AM  BC  BC  ( SAM )  BC  AH (2)  SA  BC Mặt khác:  Từ (1) (2)  AH  (SBC)  d (A, (SBC)) = AH SAM vuông cân A 3a 3a 3a  SM SA2  AM  a    AH  2 2 SM a =  d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)) = AH  (Có thể dùng phƣơng pháp tọa độ, nhiên toán trở nên phức tạp) Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc  (0o    90o ) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Giải: Gọi H trung điểm BC Do S.ABC  ABC nên chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường cao trực tâm O  ABC có  SBC cân S suy ra: BC  SH, BC  AH, nên SHA   a Ta có: OH  AH  SHO vng góc: SO  HO.tg  S a tg HO a  cos  6.cos  Thể tích hình chóp S.ABC: SH  A 1 a a2 a3tg V  SO.SABC  tg  3 24 C j O H B a2 Diện tích  SBC: SSBC  SH.BC  12.cos  Gọi h khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: 3.V a3tg a2 a V  h.SSBC  h   :  sin  SSBC 24 12 cos  Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB=a Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc H S lên (ABC) thỏa   mãn IA = -2IH , góc SC mp(ABC) 600 Tính khoảng cách từ trung điểm E SB đến mp(SAH) Giải: BC = AB + AC = 4a  BC = 2a  BI = a Kẻ BK vuông góc với AH K  BK  (SAH) 2 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  d(B;(SAH)) = BK 1 2= 2+ 2= BK BA BI 2a2 a  d(B;(SAH)) = BK = d(E;(SAH)) ES = = d(B;(SAH)) BS a  d(E;(SAH)) = Mà S I B H C K A Bài tập 10 (ĐH_B_2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chử nhật AB=a, AD=a Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc mp(ADD’A’) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD) Giải: B’ C’ A’ D’ B A C O H D Gọi O giao điểm AC BD  A’O  (ABCD) Gọi E trung điểm AD  OE  AD, A’E  AD    A’EO góc mp(ADD’A’) mp(ABCD)  A’EO = 600  AB a  A’O = OE.tan A’EO = tan600 = 2 Ta có B’C ∥(A’BD)  d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD)) Kẻ CH  BD H  CH  (A’BD)  d(C;(A’BD)) = CH 1 a Mà 2= 2+ 2=  CH = CH CB CD 3a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a Bình luận: Qua tập ta rút cách tính khoảng cách từ điểm I đến mp() chứa đường cao khối chóp sau: Bước 1: Xác định giao tuyến d mp() mặt đáy Bước 2: Chọn điểm M nằm mặt đáy thuận lợi nhất, tính khoảng cách từ điểm M đến mp(), cách kẻ MH  d M  MH  ()  d(M;()) = MH d(I;()) Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy d(M;()) Vậy d(B’;(A’BD)) = Bài tập 11: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N trung điểm AB C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN) Giải: Bốn tam giác vuông: AA'M, BCM, CC'N, A'D'N (c.g.c) D/ C/ N  A'M  MC  CN  NA' A/  A'MCN hình thoi Hai hình chóp B’.A’MCN B’.A’NC có chung đường cao vẽ từ đỉnh B/ SA/ MCN  2.SA/ NC B/ D nên: VB/ A/ MCN  2.VB/ A/ NC A M C B 1 a3 a3 / Mà: VB/ ANC  VC.A/ B/ N  CC SA/ B/ N  a .a.a   VB/ A/ MCN  3 Ta có: SA/ MCN / a2 / /  A C.MN, với A C  a 3; MN  BC  a  SA/ MCN  2 Gọi H hình chiếu B/ (A/MCN), ta có: VB'.A'MCN  B'H.SA'MCN / BH 3.VB/ A/ MCN SA/ MCN a3 a2 a  :  3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thoi cạnh a có BAD  60o Gọi O giao điểm AC BD , biết SO  (ABCD) SO = a a Xác định tính khoảng cách SB, AD b Tính góc (SBC) (SAD) Giải : a Qua O dựng đường thẳng d  AD cắt AD, BC I,J + Dựng IH  SJ ( H  SJ )  SO  (ABCD)    BC  (SIJ)  IH  BC  IH  (SBC)  IH  SB IJ  BC   AD // BC  IH  AD Vậy IH = d(AD,SB) Dễ thấy OI = OJ = 3 a Dựng F hình chiếu O SJ, suy được: OF = a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy : IH = 2.OF = a b Qua S dựng đường thẳng d // AD // BC, d = SAD   SBC SI  AD  SI  d (do d / /AD / /BC)  SJ  AD  SJ  d  ISJ  ((SAD), (SBC)) SIJ   AD  Ta có được:  IJ = 2.OI = a  SI  SJ  SO2  OI2  VSIJ 3 a  a  a 16 16 ¶  60o  ISJ ¶  60o Vậy góc (SAD) (SBC) ISJ Nhận xét : Ở tốn này, để tính độ dài khoảng cách hai đoạn AD SB ta cịn làm sau : a 13 3  a a  a 34 16 + BAD  60o  ABD cạnh a  SSBD  SO  (ABCD) Suy : VS.ABD = SO.S ABD (1) SB.AD.d(AD,SB).sin (AD,SB) 2 13 a  a  a Trong đó:  SB = OB2  SO2  16 4 21 a  a  a  SC = OC2  SO2  16 4  AD // BC  (AD,SB)  (BC,SB)  SBC 13 21 a  a2  a2 SB2  BC2  SC2 16 16  13  sin SBC  39 cosSBC   2.SB.BC 13 13 13 2.a a Suy ra: VS.ABD = (2) a d(SB, AD) 12 + Từ (1) (2) ta suy : d(AD,SB) = a Cách 2: Chọn hệ tọa độ Oxyz sau: Tâm O  O, B  Ox, C  Oy; S  Oz + Mặt khác : VS.ABD = giải phương pháp tọa độ Bài 13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa hình lục giác cạnh a, đường cao SA = a Dựng đường vng góc chung BD, SC ; xác định chân đường vng góc cạnh SC BD Tính độ dài đoạn vng góc chung Giải :Cách Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB AD K E Kẻ BH  SK  H  SK  Từ H kẻ đường thẳng song song với BD cắt SC J, từ J kẻ đường thẳng song song với BH cắt BD I + Do ABCD nửa hình lục giác cạnh a nên BD  AB  KE  AB   KE  (SAK)  KE  BH KE  SA  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  BH  SK    BH  (SKE)  + BH  KE    IJ  (SKE)  IJ  KE  IJ  BD (do BD / /KE)  IJ / / BH  + IJ  (SKE)  IJ  SC Vậy IJ đường vng góc chung SC BD a Dễ thấy : KB  , KC  a 3a a 13 , KA  , KS  SA  AK  2 Lại có tứ giác SABH nội tiếp Do KH.KS = KB.KA 3a 13 KH KB.KA 3a 13 Vậy  26   KH   KS KS 26 a 13 13 CJ Suy : (do HJ // KC) Điểm J xác định CS  CS 13 SH HJ 10 10 5a Ta lại có:    HJ  KC  SK KC 13 13 13 5a BI Vì BI = HJ nên  13  Điểm I xác định BD BD a 13 BH BK a 13    BH  IJ  SA SK 13 13 ( BH // IJ , HJ // BI  HJIB hình bình hành ) Cách 2: Chọn hệ tọa độ Oxyz sau: A  O, B  Ox, D  Oy; S Oz giải +Ta có: phương pháp tọa độ Bài tập 14 (Đề thi đai học khối A năm 2011) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vng cân B, AB = BC = 2a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Giải: S Từ (SAB)  ( ABC) (SAC)  (ABC) nên SA  ( ABC) mà AB  BC Suy : SB  BC hay SBA góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABC)  SA  tgSBA  AB   2a   a H Mặt khác: MN dường trung bình ABC BC a 1 MN  BC Vậy VSMNBC   SA  SMNBC   SA   MB 3  a  2a   a  3a3 =  3a  nên MN  N A M C 60° B  Qua N, vẽ a // AB.Suy : d(AB; SN) = d(AB; (SND)) Hạ AD  a ( D  a) Vì (SAC)   ABC  ( SAB)  (ABC) nên SA   ABC  Mà AD  a  SD  a hay a   SAD  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com * Hạ AH  SD  AH  (SND) Vậy AH khoảng cách A (SND) hay AH khoảng cách AB SN Xét SAD : SAD  900 ; AD  MN  a; SA  tgSBA.AB = tg 600  2a  3a AH = SA2  AD 12a  a 2 39a   2 2 SA  AD 12a  a 13 Bài 15: ( Đề thi đại học khối A năm 2010 câu IV) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a Gọi M; N trung điểm cạnh AB AD.; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với (ABCD) SH  a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a S Giải: a) Ta có : AMD  DNC(c  g  c) ·  ADM  DCN nên · ADM  DNC  900 hay MD  NC + Áp dụng định lí Pitago Ta có : MD  AD  AM  2 Vậy VS CDNM   SCDNM 1       2   5a a a    2 1   SH     MD  NC   SH 2  5a   3a3  a     24  K B C M A  Từ chứng minh N Ta có : MD  NC , mà SH   ABCD   SH  MD Vậy MD   SHC  Hạ HK  SC mà MD   SHC  nên HK  MD hay HK khoảng cách hai đường thẳng MD SC + Mặt khác : cos DCN   HC  cos DCN  CD    tg DCN 1 1   2  H D 5 5a Áp dụng hệ thức lượng Ta có : HK  SH  HC SH  HC a 3  a 3 2 5a  5a      = 57 a 19 Bài tập 16(ĐH_A_2012) Cho hình chóp S.ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) H nằm AB cho AH=2HB Góc SC (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Giải: S K LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com · · Ta có SCH góc SC mp(ABC)  SCH = 600 Xét ACH ta có: CH2 = AH2 + AC2 - 2AH.AC.cos600 = 7a2 a  CH = a 21 Qua A kẻ đường thẳng  song song với BC, gọi () mp chứa SA   BC ∥ ()  d(SA,BC) = d(B,()) = d(H,()) Kẻ HI   I  (SHI)  (), kẻ HK  SI K  HK  ()  d(H,()) = HK a 1 24 a Ta có HI = AH.sin600 =  2= 2+ 2=  HK = HK SH HI 7a a 3a  d(H,()) =  d(B,()) = 6 3a Vậy: d(SA,BC) =  SH = CH.tan600 = Bài tập 17: Cho tứ diện OABC có đáy  OBC vuông O, OB = a, OC = a 3, (a  0) đường cao OA  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM Giải: Gọi N điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN(tính chất đường trung bình)  OM // (ABN) d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)) Dựng OK  BN, OH  AK (K  BN; H  AK) Ta có: AO  (OBC); OK  BN  AK  BN A BN  OK; BN  AK  BN  (AOK)  BN  OH OH  AK; OH  BN  OH  (ABN)  d(O; (ABN)  OH Từ tam giác vng OAK; ONB có: 1 1 1      OH2 OA2 OK OA2 OB2 ON2 1 a 15      OH  3a a 3a 3a a 15 Vậy, d(OM; AB)  OH  H N O C M K B Bài tập 18: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vng góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SE AF Giải: Gọi M trung điểm BF  EM // AF S  (SA; AF)  (EM; AF)  SEM LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  SAE vuông A có: SE2  SA2  AE  a2  2a2  3a2  SE  a AF  2a a a ; BF  a 2 SB2  SA2  AB2  a2  8a2  9a2  SB  3a  EM  BM  MF  SF2  SA2  AF2  a2  6a2  7a2  SF  a Áp dụng định lý đường trung tuyến SM  SBF có: SB2  SF  2.SM2  BF 2 15a  9a2  7a2  2SM2  2a2  SM2  2 Gọi a góc nhọn tạo SE AF Áp dụng định lý hàm Cơsin vào  SEM có: 3a2 15a2 3a   ES2  EM2  SM2 2    cos   cosSEM   2.ES.EM 2 a .a o    45 a AH  (SME) Vì AF // ME  d(SE; AF)  d(AF; (SME))  AH Dựng AK  ME; AH  SK Ta có: AK  MF   SAK vng có: Vậy, d(SE; AF)  1 1 a       AH  AH2 SA2 AK2 a2 a2 a2 a Bài tập 19 Cho hình chóp S.ABCD có SC  ( ABCD), đáy ABCD hình thoi có cạnh a ABC  1200 Biết góc hai mặt phẳng (SAB) ( ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA, BD Giải Kẻ SK  AB (K  AB)  CK  AB (định lí đường vng góc) Khi góc hai mặt phẳng (SAB) ( ABCD) góc SK CK Do SKC nhọn nên SKC  450 ; ABC  1200  CBK  600 Trong tam giác vuông CBK : CK  CB sin 600  Tam giác SCK vuông cân C nên SC  3a 2 3a3  S ABCD SC  (đvtt) Ta có S ABCD  AB.BC sin1200  Do VS ABCD S 3a I D C 3a O A a B K LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi O  AC  BD  BD  AC  BD  ( SAC ) O  BD  SC Ta có  Kẻ OI  SA (I  SA)  OI đoạn vng góc chung SA BD Dùng hai tam giác đồng dạng AOI ASC suy OI  5a 5a Vậy d ( SA, BD)  10 10 Bài tập 20 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' Giải Cách 1: Vì các mặt bên lăng trụ hình vng nên AB  BC  CA  A ' B '  B ' C '  C ' A '  a  tam giác ABC, A’B’C’ tam giác z C’ A’ Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0;0;0), a a   a a  B ; ; 0 , C   ; ;  , A '(0; 0; a), 2   2  B’ a a a   a a  B ' ; ; a, C ' ; ; a 2   2  Ta có: B ' C ' //BC, B ' C ' // ( A ' BC) C  d  B ' C '; A ' B   d  B ' C ';  A ' BC    d  B ';  A ' BC   A D y x B uuuur  a a  uuuur  a a  A' B   ; ;  a  ; A' C    ; ; a 2   2  uuuur uuuur r        A ' B, A ' C    0; a ; a   a  0; 1;   a nr , với n   0; 1;          r ’ ’ Phương trình mặt phẳng (A BC) qua A với vectơ pháp tuyến n : 3 a 0( x  0)  1( y  0)  ( z  a)    A ' BC  : y  z 0 2 a 3 a a  a  a 21 a 21 2 d  B '  A ' BC      Vậy, d  A ' B; B ' C '  7 1 Cách 2: Vì các mặt bên lăng trụ hình vng nên AB  BC  CA  A ' B’ '  B ' C '  C ' A '  a A  tam giác ABC, A’B’C’ tam giác Ta có: B ' C ' //BC  B ' C ' //( A ' BC) B’ F  d  A ' B; B ' C '  d  B ' C ';  A ' BC    d  F ;  A ' BC    BC  FD  BC  ( A ' BC ) Ta có:   BC  A ' D (A'BC cân A') Dựng FH  A ' D Vì BC  ( A ' BC)  BC  FH  H  ( A ' BC) ’ A FD vng có: FH  A' F2  FD  3a  a2  3a  FH  C’ H C A a 21 D B LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy, d  A ' B; B ' C '  FH  a 21 Bài tập 21 (ĐH-D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên A’A=a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng B’C AM theo a Giải: 5a a Ta có: AM2 = AB2 + BM2 =  AM = Qua C kẻ đường thẳng  song song với AM, gọi () mặt phẳng chứa B’C   AM∥()  d(AM,B’C) = d(M,()) = d(B,()) Kẻ BI   I  (B’BI)  (), kẻ BK  B’I K  BK  ()  d(B,()) = BK AB A’ C’ · · Ta có: sin BCI = sin BMA = = AM B’ 2a ·  BI = BC.sin BCI = 1 2a  2= 2+ 2=  HK = HK B’B BI 4a 2a a  d(B,()) =  d(M,()) = 7 a Vậy: d(B’C,AM) = K I A C M B Bài tập 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C' a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy b) Chứng minh hai đường thẳng AA' B'C' vng góc Tính khoảng cách chúng ? Giải: A C a) Gọi H hình chiếu vng góc A (A'B'C') H trung điểm B'C' Do (ABC)//(A'B'C'), mà AH  (A'B'C') AH khoảng cách hai mặt phẳng Vì AA' tạo với đáy góc 300 nên tam 1 giác AHA' có AH  AA '  a 2 B K A' C' B' H b) Kẻ KH vng góc với AA’ HK đoạn vng góc chung AA' B'C' Dùng định lý Pitago tam giác vuông AKH (vuông K) ta tính KH Bài tập 22: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC' CD' LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải : Ta xét hai mặt phẳng (A'BC') (ACD') chứa hai cạnh BC' CD' (A'BC')//(ACD') nên khoảng cách BC' CD' khoảng cách hai mặt phẳng ((A'BC') với (ACD') Ta có DA=DC=DD'=a, B'B=B'A'=B'C'=a Vậy B'D trục hai mặt phằng B C O A D I K B' Hai mặt phẳng chia đường chéo B'D thành ba phần Với B'D= a C' O' A' D' BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB=AD=a, CD=2a, SA=a 3, hai mp (SCD) (SAD) vng góc với mặt đáy Gọi G trọng tâm BCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a Bài tập Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC tam giác vuông cân C, cạnh huyền 3a a 14 Gọi G trọng tâm tam giác ABC, SG vng góc mp(ABC), SB= Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Bài tập Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a 2, ABC=300 thể tích lăng trụ a3 Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách hai đường thẳng SC AB a Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB=BC=a AD=2a, mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt đáy Biết góc tạo (SAB) (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng SB CD theo a Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có SA=a SA vng góc với mặt đáy Biết ABCD thang vng A B, AB=a, BC=2a SC vng góc với BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB SM theo a với M trung điểm BC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com D KẾT LUẬN - Chuyên đề rút phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian Với mục đích nâng cao lực tư duy, tính sáng tạo giải toán học sinh THPT Hy vọng với kết nhỏ bổ sung phần kiến thức cho học sinh, giúp em nhận thức đầy đủ rèn luyện tốt kỹ giải tốn khoảng cách hình học khơng gian - Với kinh nghiệm nghề nghiệp chưa nhiều, song với tinh thần cầu tiến, học hỏi nên cố gắng trình bày viết với tất có thể, chun đề cịn nhiều thiếu sót nên tơi mong góp ý đồng nghiệp để chun đề hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học lớp 11 – chương trình nâng cao Sách giáo khoa Hình học lớp 12 – chương trình nâng cao Sách Bài tập Hình học lớp 11 – chương trình nâng cao Sách Bài tập Hình học lớp 12 – chương trình nâng cao Sách giáo viên Hình học lớp 11 – chương trình nâng cao Sách giáo viên Hình học lớp 12 – chương trình nâng cao Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn Tốn – Trần Phương 360 tốn chọn lọc Hình học không gian ( Lê Quang Ánh – Nguyễn Thành Dũng – Trần Thái Hùng ) Các đề thi tuyển sinh Đại học LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... đồng nghiệp số toán phương pháp giải cho toán về: ‘‘ Phƣơng pháp tính khoảng cách hình học khơng gian? ?? PHẦN NỘI DUNG I LÝ THUYẾT: Một số khái niệm khoảng cách không gian 1.1 Khoảng cách từ điểm... sinh khối 12 chuẩn bị thi Đại học phương pháp giải dạng toán khoảng cách hình học Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp giải toán khoảng cách hình học khơng gian Đối tƣợng khảo sát thực... tài Trong chương trình dạy học mơn Tốn nói chung ôn thi Đại học- Cao đẳng, HSG cho học sinh khối THPT nói riêng thường hay gặp tốn tính khoảng cách Loại tốn tính khoảng cách hình học khơng gian