(Skkn 2023) hướng dẫn học sinh lớp 6 giải quyết bài toán chia hết trong n

Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải tốn chia hết N PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BA VÌ - –&& SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải toán chia hết N Năm Học : 2015 - 2016 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Trang Đối tượng nghiên cứu: Trang Phạm vi nghiên cứu Trang 4 Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 5 Phương pháp nghiên cứu Trang PHẦN II: NỘI DUNG A Cơ sở lí luận thực tiễn Trang B Giải pháp cách thực Trang I Kiến thức Trang II Các dạng tập cách giải Trang 10 Dạng Vận dụng dấu hiệu chia hết Trang 10 Dạng Tìm chữ số tận lũy thừa Trang 12 Dạng Sử dụng quan hệ đồng dư toán lũy thừa Trang 14 Dạng Dựa vào tính chia hết tích Trang 15 Dạng Thơng qua biến đổi cấu tạo số Trang 17 Dạng Sử dụng dấu hiệu chia hết tổng Trang 19 Dạng Sử dụng tính chất ƯCLN, BCNN Trang 22 Dạng Sử dụng dấu hiệu chia hết để giải toán vui trò chơi Trang 23 Kết sau thực nghiệm Trang 25 C PHẦN III: KẾT LUẬN – BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trang 27 Bài học kinh nghiệm Trang 27 Kiến nghị Trang 28 Phụ lục:( Các tài liệu tham khảo) Trang 29 MỤC LỤC Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải tốn chia hết N PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Trong thời đại cơng nghiệp hóa đại hóa đất nước mục tiêu nhà trường đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với nhu cầu thực tế Muốn giải thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết phải tạo tiền đề vững lâu bền phương pháp học tập học sinh phương pháp giảng dạy giáo viên mơn nói chung mơn Tốn nói riêng Tốn học mơn khoa học tự nhiên địi hỏi tính thơng minh trí tưởng tưởng cao người học Tốn học góp phần không nhỏ phát triển môn khoa học tự nhiên thúc đẩy mơn khoa học xã hội phát triển, tảng để xây dựng nên môn khoa học tự nhiên khác Trong giáo dục, mơn tốn có vị trí quan trọng Trong nhà trường tri thức tốn giúp học sinh học tốt mơn học khác, đời sống hàng ngày tốn học giúp người có kĩ tính tốn, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng, từ giúp người có điều kiện thuận lợi để tiến hành hoạt động lao động sản xuất thời kì cơng nghiệp hóa đại hóa đất nước Qua thực tế giảng dạy thấy, học sinh lớp bước đầu làm quen với chương trình THCS nên cịn nhiều bỡ ngỡ gặp khơng khó khăn Đặc biệt với phân môn số học, học tiểu học, với đòi hỏi cấp THCS buộc em trình bày tốn phải lơgíc, có sở nên khó khăn lại khó khăn Trong đó, đa số em vận dụng kiến thức tư nhiều hạn chế, khả suy luận chưa nhiều, khả phân tích chưa cao, việc giải tốn em gặp nhiều khó khăn Vì học sinh giải đúng, xác, gọn hợp lí Mặc khác, trình giảng dạy nhiều giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần sách giáo khoa mà chưa có phân loại dạng toán, chưa khái quát cách giải dạng toán cho học sinh Đây vấn đề mà thầy giáo giảng dạy tốn bậc phụ huynh quan tâm, lo lắng Do muốn rèn luyện kĩ giải tốn cho học sinh phải diễn đạt mối quan hệ dạng toán đến dạng toán khác, phải vận dụng linh hoạt kiến thức học để phân loại chúng đưa cách giải hợp lí Vì nhiệm vụ người thầy giáo giải tập cho học sinh mà vấn đề đặt người thầy người định hướng, hướng dẫn cho học sinh cách tiến hành Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải tốn chia hết N giải tốn Điều địi hỏi thầy giáo phải tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Để giúp em học tập mơn Tốn có kết tốt, giáo viên không nắm kiến thức, mà điều cần thiết phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu Do yêu cầu đổi phương pháp dạy học “phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo học sinh” nên việc tổ chức cho em tìm tịi cách giải toán yêu cầu tối cần thiết người thầy Học sinh lớp mang nặng phong cách học học sinh Tiểu học, chưa có kỹ tổng hợp kiến thức, chưa biết cách đào sâu khai thác tốn Vì số học nói chung tốn chia hết nói riêng phong phú khó khăn người dạy người học Mặt khác mơn số học nói chung tốn chia hết nói riêng địi hỏi tính lơgíc, chặt chẽ, mức độ khái quát, tổng hợp cao, mắt xích quan trọng trục chương trình tảng cho học sinh học tốt mơn tốn năm Vì việc tháo gỡ khó khăn phương pháp đứng trước toán số học nói chung tốn chia hết tập số tự nhiên nói riêng vấn đề cần thiết cho học sinh Trong giảng dạy môn toán, việc giúp học sinh nắm kiến thức biết khai thác mở rộng kiến thức áp dụng vào giải nhiều dạng tập điều quan trọng Từ giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo nhanh nhạy giải tốn từ học mơn số học Môn số học môn học quan trọng học sinh nắm kiến thức số học có móng tốt để học mơn đại số năm tiếp theo.Qua q trình giảng dạy tơi thấy vấn đề chia hết N hay, dạng tập phong phú, đa dạng toán chia hết vận dụng để giải số dạng tốn khác góp phần lớn q trình bồi dưỡng học sinh giỏi Vậy khơng ngồi tâm huyết với em học sinh, niềm đam mê dành cho mơn tốn tơi khơng ngừng trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề việc soạn giảng kinh nghiệm riêng thân lý để chọn đề tài Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 6A trường THCS – Năm học 2015 -2016 Phạm vi nghiên cứu: - Trong năm học 2015 – 2016 Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải tốn chia hết N Chương I số học - Hoạt động dạy học Toán nói riêng Tốn THCS nói chung Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm sáng tỏ số vấn đề sau: + Làm sáng tỏ sở lí luận kĩ giải Toán + Đề xuất phương pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải Toán cho HS + Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi đề tài Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, lí thuyết + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm + Phương pháp thực nghiệm sư phạm Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải tốn chia hết N PHẦN II – NỘI DUNG A CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN: Địa phương tơi đời sống cịn nhiều khó khăn so với nhiều địa phương khác Do việc mua sắm tài liệu tham khảo đặc biệt học sinh thuộc diện hộ nghèo cận nghèo Vì vậy, khả giải tốn em cịn nhiều hạn chế Trong q trình dạy học nhiều năm trường THCS nhận thấy đa số học sinh chưa phát huy hết lực giải tốn mình, học sinh đầu cấp THCS Đặc biệt môn số học bước khởi đầu quan trọng để hình thành khả phân tích giải tốn cho học sinh năm học Giải tập toán trình suy luận, nhằm khám phá quan hệ logic cho (giả thiết) với phải tìm (kết luận).Nhưng qui tắc suy luận, phương pháp chứng minh chưa dạy tường minh Do học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tập Thực tiễn dạy học cho thấy: Học sinh khá, giỏi thường đúc kết tri thức, phương pháp cấn thiết cho đường kinh nghiệm, học sinh TB, yếu gặp nhiều lúng túng Để có kỹ giải tập phải qua trình luyện tập Quan sát đặc điểm tốn, khái quát đặc điểm đề mục vô quan trọng khái quát hướng suy nghĩ phương pháp giải Sự thực giải tập không giải vấn đề cụ thể mà giải đề loạt vấn đề Do hướng suy nghĩ phương pháp giải tập định có ý nghĩa chung Nếu ta ý từ mà khái quát hướng suy nghĩ cách giải vấn đề ta dùng để đạo giải vấn đề loại mở rộng Nhà tốn học ĐềCác nói “Một vấn đề mà giải trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải vấn đề khác” Do sau giải toán nên ý khai thác hướng suy nghĩ cách giải Vậy khái niệm chia hết học sinh chưa hiểu sâu (chỉ sở tính toán số cụ thể) hiểu dấu hiệu chia hết cách sơ sài, nông tư duy, hẹp kiến thức cách giải tốn, chưa định hình cách giải tốn chia hết Trước thực đề tài cho học sinh làm kiểm tra khảo sát sau :  Lần (15 phút) : Chứng minh a) aabb 11 b)   2p  1   p    3 Kết : Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải toán chia hết N Điểm Số học sinh: 32 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 10 11 9.0-10 TB  9.0-10 TB  10  Lần (20 phút) : Chứng minh  42  43   4100 5 Kết : Điểm Số học sinh: 32 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 11 Thông qua kết rút số kết luận sau: 1) Về phía giáo viên: Thực tế trình học tập trường THCS nay, cịn vài giáo viên khơng xem trọng việc tự học nhà học sinh mà thường giáo viên hướng dẫn cách sơ sài, giáo viên chưa phát huy hết tác dụng đồ dùng dạy học, đặt câu hỏi chưa rõ ràng chưa sát với yêu cầu toán, chưa đưa dạng toán tổng hợp cuối chương làm cho học sinh khơng rèn luyện nhiều, chưa hình thành kĩ giải tốn làm cho em gặp nhiều khó khăn q trình học tốn 2) Về phía học sinh: Học sinh trường THCS mà tơi giảng dạy tiếp thu cịn chậm vận dụng kiến thức từ lý thuyết tốn chia hết vào làm tập cịn hạn chế Khả tính tốn em chưa linh hoạt, chưa vận dụng hợp lí phương pháp giải, giải tốn chưa hợp logic, khả phân tích, dự đốn kết số em cịn hạn chế khả khai thác tốn chưa sâu Ngồi số học sinh khơng có khả phân tích tốn từ đề u cầu sau tổng hợp lại, khơng chuyển đổi từ ngơn ngữ bình thường sang ngơn ngữ số học khơng tìm phương pháp chung để giải dạng tốn chia hết N, từ cần có khả so sánh cách giải để trình bày lời giải cho hợp lí Nhiều học sinh giải không xác định đáp án sai Vận dụng cách giải để tạo toán tổng quát Mặt khác toán yêu cầu cao mặt tư duy, tổng hợp kiến thức, lần kiểm tra điểm thấp Ở lần kiểm tra thứ hai, chất lượng số lượng có tăng lên song chậm Bên cạnh học sinh cịn hạn chế tìm tịi sách tham khảo để tìm cơng thức quen thuộc sáng tạo lời giải Nguyên nhân: Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải toán chia hết N + Do thời lượng luyện tập khố cịn ít, học sinh chưa có thời gian để ơn tập, làm tập giải tập nhiều + Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, số học máy móc, hiểu cách đơn giản chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trình làm tập + Cách trình bày lời giải toán chưa thật chặt chẽ thực phép tính chưa xác nên kết chưa cao + Chưa có phương pháp học tập hợp lí; Chưa xác định dạng tốn; Chưa có thời khóa biểu học nhà cụ thể B GIẢI PHÁP VÀ CÁCH THỰC HIỆN: I Kiến thức - Việc nắm vững kiến thức điều cần thiết giúp cho học sinh giải toán cách thuận lợi tiếp thu cách dễ dàng - Kiến thức phương tiện, “xương sống” để từ phát triển, mở rộng dấu hiệu chia hết, tơi trang bị cho học sinh kiến thức sau : Các dấu hiệu chia hết : * Gọi A = a n a n  a a - Dấu hiệu chia hết cho 2, cho + A   a0   a0{0; 2; 4; 6; 8} + A   a0   a0{0; 5} - Dấu hiệu chia hết cho 3, cho + A   a0+a1+…+an  + A   a0+a1+…+an  - Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 + A   a1 a  + A  25  a1 a  25 - Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 +A8 a a a 8 + A  125  a a a  125 - Dấu hiệu chia hết cho 11 + A  11  [(a0 + a2 +…) - (a1 + a3 +…)]  11 [(a1 + a3+…) - (a0 + a2 +…)]  11 2 * Xây dựng dấu hiệu chia hết : Nếu a b; a c; UCLN  b; c  1  a  b.c  Từ ta có dấu hiệu chia hết : Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải toán chia hết N  Dấu hiệu chia hết cho : (6 = 2.3)  Dấu hiệu chia hết cho 15 : (15 = 3.5)  Dấu hiệu chia hết cho 18 : (18 = 2.9)  Dấu hiệu chia hết cho 10 : (10 = 2.5) k k C & * Xây dựng dấu hiệu chia hết cho , : Nếu A B00 k chu so (C số tách từ k chữ số tận A) hay A B.2k.5k  C số A k k k k có chữ số tận chia hết cho  cho  chia hết cho , Phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa Nâng số 0; 5; 1; lên lũy thừa cho chữ số tận không đổi Chữ số tận Chữ số tận nâng lên lũy thừa Chữ số tận nâng lên lũy thừa 4 6 9 1 Kiến thức cấu tạo số ab 10a  b abc 100a  10b  c abcd 1000a  100b  10c  d Tính chất chia hết tổng a m, b m   a  b  m a m, c  m   a  c   m Các tính chất ƯCLN, BCNN a) Các tính chất ƯCLN  Nếu ƯCLN(a; b) = d ƯCLN(a; b) = Ư(d) (Mục tìm ƯC thông qua ƯCLN)  ƯCLN(ka; kb) = k.ƯCLN(a; b)  k  N * Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải tốn chia hết N UCLN  a; b  a b  m  UCLN  a; b   UCLN  ;   m  m m  a b  d UCLN  a; b   UCLN  ;  1 d d b) Các tính chất BCNN  Nếu m a; m b m BCNN  a; b   BCNN(ka; kb) = k.BCNN(a; b)  k  N * BCNN  a; b  a b  n  BCNN  a; b   BCNN  ;   n n n  BCNN  a; b   ab (Bài tập 52 – SGK) UCLN  a; b  II.Các dạng tập cách giải Dạng 1: VẬN DỤNG CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT Nếu a m; m p.q a p; a q  p, q  N * Ví dụ 1: Tìm x, y để A 135x4y 45 Hướng dẫn : Ta thấy 45 = 5.9 nên A chia hết cho Vì A chia hết y có giá trị - Nếu y = ta có : A 135x4y 9  x 5  A 135540 - Nếu y = ta có : A 135x4y 9  x 0  A 135045 Vậy với x = 5, y = x = 0, y = A 135x4y 45 Bài toán mở hướng sử dụng kết hợp dấu hiệu chia hết từ khai thác dấu hiệu chia hết theo hướng mở rộng bắt đầu học sinh để ý tới Ví dụ 2: Tìm x, y để B 23xy 20 Hướng dẫn : Ta thấy 20 = 2.10 nên B chia hết cho 10 hay y = Mặt khác 20 4 nên B chia hết cho hay x0 4  x   0; 2; 4; 6; 8 Vậy với x   0; 2; 4; 6; 8 y = B 23xy 20 10 Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải toán chia hết N A 1   22  23   262  263   22     23     260  262    261  263    22     2    260   22   261   2  5  5.2   5.260  5.261 5.  22    261   A 5 Vậy A 1   22  23   262  263 chia hết cho Ví dụ 2: Cho B 1   32  33   311 Chứng minh rằng: a)B13 b)B40 Hướng dẫn: a) Ta có: B (1   32 )  (33  34  35 )   (39  310  311 ) B (1   32 )  33 (1   32 )   39 (1   32 ) B (1   32 )(1  33   39 ) B 13.(1  33   39 ) 13  B13 b) Ta có: B (1   32  33 )  (34  35  36  37 )  (38  39  310  311 ) B (1   32  33 )  34 (1   32  33 )  38 (1   32  33 ) B 40(1  34  38 ) B 40(1  34  38 ) 40  B40 Ví dụ : Cho S 1   32  33   396  397  398  399 Chứng minh : a) S chia hết cho b) S chia hết cho 40 c) S – chia hết cho 13 Hướng dẫn: Ta có : 16 Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải toán chia hết N a) S 1   32  33   396  397  398  399   3  32   3   396     398    4  32.4   396.4  398.4 4.  32  34   396  398   S 4 b) S 1   32  33   396  397  398  399    32  33   34    32  33    396    32  33  40  34.40   396.40 40.  34   396   S 40 c)S 1   32  33   396  397  398  399 1     32    397    32  1  3.13   397 13 1  13     397  S  13     397   S  13 Qua tập chắn học sinh nắm qui luật hướng giải dạng toán Tuy nhiên em cần phải lưu ý, để chứng minh tổng S a , ta biến đổi S = m.a  S a  Bài tập tự luyện : Bài 1: Chứng minh rằng: A 5  52  53   599  5100 chia hết cho Bài 2: Cho S 8  82  83   81000 Chứng minh : a) S chia hết cho b) S chia hết cho 72 c) S – chia hết cho 73   22   299 Bài 3: Chứng tỏ M  số tự nhiên ? 31 Bài 4: Chứng minh P chia hết cho 56 biết : P 7   73   20 Dạng : THÔNG QUA BIẾN ĐỔI CẤU TẠO SỐ Ví dụ : Chứng minh : 17 Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải toán chia hết N a) aa 11 b) bbb 37, bbb 3 c) cccc 101 Hướng dẫn : Ta có : a) aa 10a  a 11.a 11 b) bbb 100b  10b  b 111b 37.3.b bbb 37   bbb 3 c) cccc 1000c  100c  10c  c 1111c 101.11.c 101 Đây tốn đơn giản, thực chất là ta phân tích số cho thành tích thừa số nguyên tố, xuất thừa số cần chứng minh, từ ta có kết luận tốn Trong tốn việc phân tích cấu tạo số đơn giản để học sinh tư sâu sắc hơn, ta làm tập sau : Ví dụ : Chứng minh : a) abcabc 7; 11; 13   b) abab  baba 101; 11 Hướng dẫn : a) Ta có : abcabc abc000  abc abc.1000  abc 1001.abc 7.11.13.abc Do abcabc chia hết cho 7; 11; 13 b) Ta có : abab  baba 1000a  100b  10a  b  1000b  100a  10b  a 1111a  1111b 1111. a  b  101.11. a  b  Do abab  baba chia hết cho 101; 11 Ví dụ : Chứng minh : Nếu ab 7 a  5b 7 ? Hướng dẫn : Ta có : 18 Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải tốn chia hết N  ab 10a  b 50a  5b 7 7  49a   a  5b  7  a  5b 7 (Do 49a chia hết cho 7) Ví dụ 4: Cho abc  deg 37 Chứng minh abc deg 37 Hướng dẫn: Ta có: abc deg 100abc  deg 99abc  (abc  deg) Mà 999abc 37 ; abc  deg 37 Nên 999abc  (abc  deg) 37 Vậy abc deg 37 Ví dụ 5: Tìm chữ số a biết 20a20a20a 7 Hướng dẫn: Ta có: 20a20a20a 20a20a.1000  20a (20a.1000  20a)1000  20a 1001 20a 1000  20a Theo đề 20a20a20a 7 , mà 10017 nên 20a 7 Ta có 20a 200  a [196  (4  a)]7 nên (4  a) 7 Vậy a = Qua ví dụ đường để giải tốn chia hết hình thành tư học sinh Từ kỹ phân tích cấu tạo số, đến kỹ thêm bớt, từ hình thành phương pháp tổng hợp cho học sinh  Bài tập tự luyện : Bài 1: Chứng minh :   a) ab  cd 11  abcd 11 b)  a  3b  9c  27d   29  abcd  29 c) ab 13  a  4b 13 d) cd 17  3c  2d 17 Bài 2: Chứng minh : Nếu abc 7 (2a  3b  c) 7 Bài 3: Cho (abc  deg) 13 Chứng minh abc deg 13 19 Hướng dẫn học sinh lớp tìm cách giải toán chia hết N Bài 4: Cho M dcba Chứng minh rằng: a)M 4  (a  2b) 4 b)M 8  (a  2b  4c) 8 Dạng : SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT CỦA TỔNG  Cơ sở : a m, b m   a  b  m a m, c  m   a  c   m Đối với dạng tốn địi hỏi học sinh phải tư sáng tạo Việc sử dụng dấu hiệu chia hết tổng theo chiều thuận đơn giản, để sử dụng dấu hiệu chia hết tổng theo chiều ngược lại vấn đề phức tạp, địi hỏi học sinh phải có tư cao hơn, để đưa biểu thức tổng, tổng số hạng chia hết Ví dụ : Tìm điều kiện x để : A 12  15  21  x 3 Hướng dẫn : Dễ thấy  12  15  21 3 , để A chia hết cho x phải chia hết cho Ví dụ để củng cố kiến thức cho học sinh, vấn đề bản, túy không phức tạp Để phát triển tư cho học sinh cách cao hơn, tơi đưa tốn sau : Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để : a)  n  3  n  1 b)  4n    2n   c)  2n    n  1 Hướng dẫn : a) Ta có : n  [  n  1  2]  n   n   n  1 U    1; 2 ) n  1  n 0 ) n  2  n 1 Vậy với n   0; 1  n  3  n  1 b) Ta có : 20