Sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach, Luận văn TGT, Toán Giải tích, Luận văn thạc sĩ TGT Trình bày các định nghĩa về các dang hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach, bao gồm: hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ mômen đầy đủ, hội tụ mômen đầy đủ cấp r, hội tụ theo xác suất, hội tụ trung bình cấp p. Trình bày các ví dụ minh họa cho các định nghĩa. Chứng minh chi tiết các tính chất về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ.
ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN GIANG CHÍ NGUYỆN VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2019 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN GIANG CHÍ NGUYỆN VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHƠNG GIAN BANACH CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung nghiên cứu trình bày luận văn cơng trình riêng hướng dẫn TS Nguyễn Văn Huấn Những kết nghiên cứu tác giả khác sử dụng luận văn có trích dẫn đầy đủ Tp Hồ Chí Minh, ngày 22 tháng 11 năm 2019 Người cam đoan GIANG CHÍ NGUYỆN ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn đầy trách nhiệm TS Nguyễn Văn Huấn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đặt toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - PGS TS Phạm Hoàng Quân, TS Tạ Quang Sơn, TS Lê Minh Triết, TS Phan Hồng Chơn, Khoa Tốn - Ứng dụng Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sài Gòn; - TS Kiều Phương Chi, Trường Đại học Vinh; - GS TS Đặng Đức Trọng, Trường Đại học Khoa học tự nhiên; - GS TSKH Đinh Nho Hào, Viện Tốn học; tận tình giảng dạy hướng dẫn tác giả suốt trình học tập Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình người bạn thân thiết ln giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Giang Chí Nguyện iii iv MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 1.2 Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 10 Chương Sự hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 2.1 Sự hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên 2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên 16 16 38 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm đời vào đầu kỉ XX ngành tốn học đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc tốn học Giải tích hàm có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác trở nên cần thiết khơng cho người quan tâm Toán hay Vật lý lý thuyết mà cịn cần thiết cho ngành như: Công nghệ thông tin, Công nghệ sinh học, Kinh tế lượng, Xử lý ảnh, Tài định lượng, đặc biệt, sở để xây dựng lý thuyết xác suất Lý thuyết xác suất phận toán học, nghiên cứu tượng quy luật giới ngẫu nhiên Khởi đầu từ trao đổi thư từ hai nhà toán học vĩ đại người Pháp B Pascal (1623 - 1662) P Fermat (1601 - 1665) xoay quanh số toán rắc rối nảy sinh trị chơi cờ bạc Từ đó, lý thuyết xác suất đời Lý thuyết xác suất đại xây dựng theo hướng tiên đề hoá Nhà tốn học có đóng góp lớn Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903 – 1987) Trong sách “Cơ sở lý thuyết xác suất” xuất tiếng Đức vào năm 1933, Kolmogorov kế thừa thành tựu lý thuyết độ đo giải tích hàm để xây dựng sở toán học cho lý thuyết xác suất Khi đó, lý thuyết xác suất giới toán học thừa nhận ngành toán học thống Ngày nay, lý thuyết xác suất phát triển mạnh mẽ, vừa có tầm lý thuyết trình độ cao, vừa có phạm vi ứng dụng sâu rộng khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế nhiều ngành khoa học khác Xác suất không gian Banach hướng phát triển lý thuyết xác suất đại mở rộng hệ thống lý thuyết biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang trường hợp phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian vô hạn chiều Những kết quan trọng xác suất khơng gian Banach thường có mối liên hệ chặt chẽ với lý thuyết hình học Banach tạo giao thoa lý thuyết xác suất giải tích hàm Nếu có dạng hội tụ dãy số (xn ) tới giới hạn a dãy hàm đo được, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ theo độ đo hội tụ theo trung bình ba dạng hội tụ quan trọng lý thuyết độ đo Trong lý thuyết xác suất, hội tụ dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) tới giới hạn X có nhiều dạng khác như: hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác suất, hội tụ trung bình cấp p hội tụ theo phân phối Xuất phát từ đặc điểm liệu, dãy số mảng hai (hay nhiều) số hai cấu trúc quan trọng nghiên cứu toán hội tụ phần tử ngẫu nhiên Đối với cấu trúc số, quan hệ tập số quan hệ thứ tự tồn phần, ta nhiều tính chất so với trường hợp mảng Chính lí nêu trên, chúng tơi chọn hướng nghiên cứu cho đề tài luận văn là: “Về hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Banach” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày lại kết tương ứng hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên từ trường hợp nhận giá trị thực sang trường hợp nhận giá trị không gian Banach Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Sự hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên - Hội tụ hầu chắn; - Hội tụ đầy đủ; - Hội tụ theo xác suất; - Hội tụ trung bình cấp p; - Hội tụ moment đầy đủ Phương pháp nghiên cứu Một phương pháp quan trọng sử dụng dùng công cụ lý thuyết xác suất để nghiên cứu Chúng dự kiến sử dụng kỹ thuật chặt cụt nghiên cứu tính chất phần tử ngẫu nhiên Giả thuyết khoa học Sự hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên kiến thức sở để nghiên cứu định lý hội tụ trường ngẫu nhiên không gian vô hạn chiều hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm Cấu trúc luận văn Luận văn cấu trúc thành hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 1.2 Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chương Sự hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 2.1 Sự hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên 2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức giải tích hàm, dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên số vấn đề liên quan đến phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Các nội dung chương viết dựa tài liệu ([1], [3], [5], [6], [10]) 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm Định nghĩa 1.1.1 (xem [1], trang 5) Một không gian vectơ (hay khơng gian tuyến tính) K tập E 6= ∅, có phép cộng E × E → E phép nhân vô hướng K × E → E thoả mãn điều kiện: (x + y) + z = x + (y + z); (x + y) = (y + x); Tồn θ ∈ E, x + θ = x; Tồn −x ∈ E, x + (−x) = θ; λ(x + y) = λx + λy ; (λ + µ)x = λx + µx; (λµ)x = λ(µx); 1.x = x; với x, y, z ∈ E, λ, µ ∈ K Các phần tử không gian vectơ gọi vectơ Không gian vectơ trường K thường viết K - không gian vectơ Định nghĩa 1.1.2 (xem [1], trang 8) Cho X tập Một mêtric X hàm d : X × X → R thỏa mãn tính chất: (i) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = x = y ; (ii) d(x, y) = d(y, x); (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z); với x, y, z ∈ X Không gian mêtric (X, d) tập X với mêtric d Trường K khơng gian mêtric với mêtric d(x, y) = |x − y| Định nghĩa 1.1.3 (xem [3], trang 161) Không gian vectơ E trường số K (K = C K = R) gọi không gian định chuẩn với x, y ∈ E, λ ∈ K tồn ánh xạ k.k : E → R thoả mãn điều kiện sau: (i) kxk ≥ 0, kxk = x = 0; (ii) kλxk = |λ| kxk; (iii) kx + yk ≤ kxk + kyk Nếu đặt d(x, y) = kx − yk, (x, y ∈ E) (E, d) khơng gian mêtric Khi đó, d gọi mêtric sinh chuẩn k.k Nếu E khơng gian vectơ thực khơng gian định chuẩn (E, k.k) gọi không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.1.4 (xem [3], trang 162) Không gian định chuẩn (E, k.k) gọi không gian Banach (E, d) khơng gian đầy đủ, d 35 h.c.c Xn2k −−−→ X l → ∞ l Theo Định lí 2.1.27, ta có P Xn2 → − X n → ∞ h.c.c h.c.c Định lý 2.1.29 (xem [3], trang 152) Nếu Xn − −−→ X Yn −−−→ Y h.c.c ϕ(Xn , Yn ) −−−→ ϕ(X, Y ) với hàm số ϕ(x, y) liên tục R2 Chứng minh Thật vậy, đặt Ω1 = {ω : lim kXn (ω) − X(ω)k = 0}; n→∞ Ω2 = {ω : lim kYn (ω) − Y (ω)k = 0} n→∞ h.c.c h.c.c Theo giả thiết Xn − −−→ X Yn −−−→ Y nên P(Ω1 ) = P(Ω2 ) = 1, suy P(Ω1 ∩ Ω2 ) = Khi đó, ω ∈ Ω1 ∩ Ω2 lim kXn (ω) − X(ω)k = 0; n→∞ lim kYn (ω) − Y (ω)k = 0, n→∞ nên ( Xn (ω) → X(ω); Yn (ω) → Y (ω) Mặt khác, ϕ(x, y) liên tục R2 nên h.c.c ϕ(Xn , Yn ) −−−→ ϕ(X, Y ) P P Tính chất 2.1.30 (xem [3], trang 152) Nếu Xn → − X Yn → − Y P ϕ(Xn , Yn ) → − ϕ(X, Y ) với hàm số ϕ(x, y) liên tục R2 Chứng minh Thật vậy, với dãy {ϕ(Xnk , Ynk ), k ≥ 1} ⊂ {ϕ(Xn , Yn ), n ≥ 1}, 36 ta có {Xnk , k ≥ 1} ⊂ {Xn , n ≥ 1} h.c.c Theo Định lí 2.1.27, tồn (Xnkl , l ≥ 1) ⊂ (Xnk , k ≥ 1) cho Xnkl − −−→ X l → ∞ Mặt khác, với (Ynkl , l ≥ 1) ⊂ (Yn , n ≥ 1), tồn (Ynkl , h ≥ 1) ⊂ h h.c.c (Ynkl , l ≥ 1) cho Ynkl −−−→ X h → ∞ h ( (Ynkl , h ≥ 1) ⊂ (Ynkl , l ≥ 1), h Mặt khác, h.c.c Xnkl −−−→ X h.c.c Suy ra, Xnkl − −−→ X h → ∞ (2.8) (2.9) h Từ (2.8), (2.9) Định lí 2.1.29, suy h.c.c ϕ(Xnkl , Ynkl ) −−−→ ϕ(X, Y ) h h P Do đó, theo Định lí 2.1.27, ϕ(Xn , Yn ) → − ϕ(X, Y ) Định nghĩa 2.1.31 (xem [3], trang 192) Giả sử (X, Xn , n ≥ 1) họ phần tử ngẫu nhiên xác định Ω nhận giá trị E Ta nói dãy (Xn , n ≥ 1) hội tụ theo trung bình cấp p > đến X n → ∞ X, Xn (n ≥ 1) khả tích bậc p lim EkXn − Xkp = n→∞ Lp Ký hiệu Xn −→ X n → ∞ Được lấy ý tưởng từ ([3], ví dụ 2.1.3), ta có ví dụ 2.1.32 sau Ví dụ 2.1.32 Cho a ∈ E với a 6= Xn biến ngẫu nhiên rời rạc nhận 1 L3 giá trị a với xác suất tương ứng − Khi Xn −→ n n n → ∞ Thật vậy, E||Xn − 0||3 = E||Xn ||3 = ||a||3 L → n → ∞ n nên lim EkXn − 0k3 = Do Xn −→ n → ∞ n→∞ 37 Để hiểu rõ hội tụ trung bình cấp p ta xét phản ví dụ sau Ví dụ 2.1.33 Giả sử với n ≥ 1, Xn biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất Xn −n2 1 P − 2n5 n5 n2 2n5 L Chứng minh Xn 6−→ n → ∞ Thật vậy, ta có E||Xn − 0||3 = E||Xn ||3 1 3 + ||0|| ) + ||n (1 − || 2n5 2n5 2n5 n n = + + = n 6→ n → ∞ 2 = || − n2 ||3 L Do Xn 6−→ n → ∞ Định lý 2.1.34 (xem [3], trang 193) Giả sử (Xn , n > 1) dãy phần Lp tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị E Khi đó, Xn −→ X h.c.c P Xn → X n → ∞ Xn → X n → ∞ h.c.c Chứng minh Giả sử Xn → X n → ∞ Theo Định lý 2.1.4 với ε > 0, ta có lim P( sup ||Xm − X|| > ε) = n→∞ m≥ n Mặt khác P(||Xn − X|| > ε) P( sup ||Xm − X|| > ε), m≥ n suy lim P(||Xn − X|| > ε) lim P( sup ||Xm − X|| > ε) = n→∞ n→∞ m≥ n 38 P Nghĩa Xn → X n → ∞ Lp Tiếp theo ta giả sử Xn −→ X Áp dụng bất đẳng thức Markov, E||Xn − X||p P(||Xn − X|| > ε) , ∀ε > εp (2.5) Lp Theo Định nghĩa 2.1.31 Xn −→ X n → ∞ lim E||Xn − X||p = 0, n→∞ Do từ (2.5), suy lim P(||Xn − X|| > ε) = n→∞ P Sự hội tụ Xn → X n → ∞ suy từ Định nghĩa 2.1.18 2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết mở rộng định nghĩa tính chất dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Định nghĩa 2.2.1 (xem [3], trang 193) Giả sử (Xn , n ≥ 1) dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn , n ≥ 1) dãy hầu chắn P( lim kXm − Xn k = 0) = m,n→∞ Định nghĩa 2.2.2 (xem [3], trang 193) Giả sử (Xn , n ≥ 1) dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn , n ≥ 1) dãy theo xác suất lim P(kXm − Xn k > ε) = m,n→∞ 39 Định nghĩa 2.2.3 (xem [3], trang 193) Giả sử (Xn , n ≥ 1) dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn , n ≥ 1) dãy theo trung bình cấp p > lim EkXm − Xn kp = m,n→∞ Nhận xét 2.2.4 (xem [3], trang 193) Định nghĩa mở rộng hoàn toàn tương tự với định nghĩa tương ứng trường hợp dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Do đó, cách sử dụng phương pháp kỹ thuật dãy biến ngẫu nhiên thực, ta có tính chất sau Định lý 2.2.5 (xem [3], trang 193) Dãy (Xn , n > 1) hầu chắn thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) lim P( sup ||Xk − Xl || > ε) = với ε > 0; n→∞ k,l≥ n (ii) lim P( sup ||Xk − Xn || > ε) = với ε > n→∞ k≥ n Chứng minh Nếu ω ∈ Ω kXk (ω) − Xl (ω)k = k(Xk (ω) − Xn (ω)) − (Xl (ω) − Xn (ω))k ≤ kXk (ω) − Xn (ω)k + kXl (ω) − Xn (ω)k Từ đó, suy sup ||Xk (ω) − Xl (ω)|| sup ||Xk (ω) − Xn (ω)|| k,l>n k >n + sup ||Xl (ω) − Xn (ω)|| l >n = sup ||Xk (ω) − Xn (ω)|| k >n Do sup ||Xk (ω) − Xn (ω)|| sup ||Xk (ω) − Xl (ω)|| k >n k,l>n sup ||Xk (ω) − Xn (ω)|| k >n 40 Suy (i) (ii) tương đương Ta cần chứng minh giả thiết dãy (Xn , n > 1) hầu chắn tương đương với (i) Giả sử (Xn , n > 1) hầu chắn Đặt [ ∆n (ε) = (||Xk − Xl || > ε) k,l>n Nhận thấy ∆n (ε) dãy giảm Ta chứng minh ( lim ||Xk − Xl || = 0) = k,l→∞ ∞ [ \ ∆n ( ) h h=1 n>1 Thật ω ∈ ( lim ||Xk − Xl || = 0) k,l→∞ tương đương với h ∈ N, tồn n > cho với k, l > n ||Xk (ω) − Xn (ω)|| < , h hay ∞ [ \ \ ∞ [ \ 1 ω∈ (||Xk − Xl || < )= ∆n h h h=1 n>1 k,l>n h=1 n>1 Vậy (2.6) thỏa mãn Do đó, với h ∈ N P( S n>1 ∆n ( h1 )) = 1, suy P( T n>1 dãy giảm nên lim P(∆n ( h1 )) = n→∞ Với ε > 0, tồn k ∈ N để < ε, h Vì ∆n h ∆n ( h1 )) = (2.6) 41 S sup (||Xk − Xl || > ε) ⊂ k,l>n k,l>n (||Xk − Xl || > h1 ) = ∆n ( h1 ) Từ P( sup (||Xk − Xl || > ε) P(∆n ( )) → h k,l>n Suy điều kiện (i) Ngược lại, giả sử (Xn , n > 1) thỏa mãn điều kiện (i) Khi lim P( sup ||Xk − Xl || > h1 ) = 0, ∀h ∈ N n→∞ k,l>n Vì 1 lim P(∆n ( )) lim P( sup ||Xk − Xl || > ) = 0, n→∞ n→∞ h h k,l>n nên với h ∈ N P( T n>1 ∆n ( h1 )) = 0, kéo theo P( ∞ S T h=1 n>1 ∆n ( h1 )) = Vì P( lim ||Xk − Xl || = 0) = k,l→∞ Do (Xn , n > 1) dãy hầu chắn Bổ đề 2.2.6 (xem [3], trang 83) Giả sử dãy {Xn , n > 1} ⊂ R Khi đó, kXn+1 − Xn k ≤ 2n với n ≥ n0 {Xn , n > 1} dãy (do hội tụ ) Chứng minh Thật vậy, với ε > 0, tồn n1 cho 2n1 −1 < ε 42 Lấy n2 = max{n0 ; n1 } Khi đó, với n > n2 , p > 0, kXn+p − Xn k ≤ kXn+p − Xn+p−1 k + + kXn+1 − Xn k 1 − 1 2p ≤ n+p−1 + + n = n 2 1− 1 = n−1 (1 − p ) < n−1 < ε 2 Bổ đề chứng minh Định lý 2.2.7 (xem [3], trang 193) Nếu dãy {Xn , n > 1} theo xác suất tồn dãy {Xnk , k ≥ 1} ⊂ {Xn , n ≥ 1} cho {Xnk , k ≥ 1} hội tụ hầu chắn Chứng minh Vì {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất nên với ε > 0, lim P(kXm − Xn k > ε) = m,n→∞ Với ε1 = , tồn n1 cho với m, n ≥ n1 1 P(kXm − Xn k > ) < 2 Với ε2 = , tồn n2 > n1 cho với m, n ≥ n2 22 P(kXm − Xn k > 1 ) < 22 22 Với εk = , tồn nk > nk−1 cho với m, n ≥ nk 2k P(kXm − Xn k > 1 ) < 2k 2k 43 Do đó, dãy {Xnk , k ≥ 1} thoả mãn P(kXnk+1 − Xnk k > 1 ) < 2k 2k Với k ≥ 1, đặt Ak = (kXnk+1 − Xnk k > ) 2k Ta có ∞ X k=1 ∞ X P(Ak ) ≤ < ∞, 2k k=1 nên theo Bổ đề Borel-Cantelli, P(lim sup Ak ) = k Khi đó, với ω ∈ lim supk Ak , tồn N (ω) cho k ≥ N (ω) kXnk+1 (ω) − Xnk (ω)k ≤ 2−k Theo Bổ đề 2.2.6 dãy {Xnk (ω) , k ≥ 1} hội tụ, nên lim sup Ak ⊂ {ω : {Xnk (ω) , k ≥ 1} hội tụ} k Điều kéo theo P(ω : {Xnk (ω) , k ≥ 1} hội tụ) = Tức {Xnk , k ≥ 1} hội tụ h.c.c Định lý 2.2.8 (xem [3], trang 194)(Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ theo xác suất) Giả sử (Xn , n > 1) dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E Khi đó, dãy (Xn , n > 1) theo xác suất dãy hội tụ theo xác suất 44 P Chứng minh Giả sử Xn → X , tức với ε > P(||Xn − X||) > ε) → n → ∞ Khi đó, cho k, l → ∞, theo Bổ đề 2.1.25 ta có P(||Xk − Xl || > ε) P(||Xk − X|| > 2ε ) + P(||Xl − X|| > 2ε ) → Vậy (Xn , n > 1) dãy theo xác suất Ngược lại, giả sử dãy (Xn , n > 1) theo xác suất, dãy (Xi , i > 1) dãy theo xác suất, nên hội tụ theo xác suất đến phần P tử ngẫu nhiên X Ta chứng minh Xn → X n → ∞ Thật vậy, với i > 1, với ε > 0, ta có P(||Xn − X|| > ε) P(||Xn − Xi || > 2ε ) + P(||Xi − X|| > 2ε ) → P n → ∞ Vậy Xn → X n → ∞ Từ Định lý 2.2.7 Định lý 2.2.8, ta suy sau Hệ 2.2.9 Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất tồn dãy {Xnk , k ≥ 1} ⊂ {Xn , n ≥ 1} cho {Xn , n ≥ 1} hội tụ hầu chắn Định lý 2.2.10 (xem [3], trang 193)(Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ hầu chắn ) Giả sử (Xn , n > 1) dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E Khi đó, dãy (Xn , n > 1) hầu chắn dãy hội tụ hầu chắn Chứng minh Giả sử (Xn , n > 1) hội tụ hầu chắn đến X Khi theo Định lý 2.1.4 ta có lim P(sup ||Xk − X|| > ε) = n→∞ Với ω ∈ Ω k >n (2.7) 45 ||Xk (ω) − Xl (ω)|| ||Xk (ω) − X(ω)|| + ||Xl (ω) − X(ω)|| Suy S ( sup ||Xk − Xl || > ε)⊂ (sup ||Xk − X|| > 2ε ) (sup ||Xl − X|| > 2ε ) k,l>n k >n l >n Lấy xác suất hai vế sau lấy giới hạn, kết hợp với giả thiết (2.7), suy lim P(sup ||Xk − Xl || > ε) = n→∞ k >n Từ Định lý 2.2.5, suy (Xn , n > 1) dãy hầu chắn Ngược lại, giả sử (Xn , n > 1) dãy hầu chắn Khi đó, dãy (Xi , i > 1) dãy hầu chắn nên hội tụ tới phần tử ngẫu h.c.c nhiên X Ta chứng minh Xn → X n → ∞ Thật vậy, với i > 1, với ε > 0, S ε (sup ||Xk − X|| > ε) ⊂ ( sup ||Xk − Xi || > 2ε ) (sup ||Xi − X|| > ) i>n k >n k,i>n Mặt khác, i → ∞, n → ∞, ta có ε ε P( sup ||Xk − Xi || > ) + P(sup ||Xi − X|| > ) → 2 i>n k,i>n Suy lim P(sup ||Xk − X|| > ε) = n→∞ k >n Vậy h.c.c Xn → X n → ∞ Định lý 2.2.11 (xem [3], trang 194)(Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ theo trung bình) Giả sử (Xn , n > 1) dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E Khi đó, dãy (Xn , n > 1) theo trung bình cấp p dãy hội tụ theo trung bình cấp p (p ≥ ) 46 Lp Chứng minh Giả sử Xn −→ X Khi đó, theo bất đẳng thức Minkowski, kXm − Xn kp ≤ kXm − Xkp + kXn − Xkp → n, m → ∞, suy (Xn , n > 1) dãy theo trung bình cấp p Ngược lại, ta giả sử (Xn , n > 1) dãy theo trung bình cấp p Sử dụng bất đẳng thức Markov ta có, với ε > 0, E||Xm − Xn ||p P(||Xm − Xn || > ε) → n, m → ∞ εp Do (Xn , n > 1) dãy theo xác suất Theo Định lí 2.2.7, tồn dãy {Xnk , k ≥ 1} hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X Mặt khác, kXm − Xn kp → 0(n, m → ∞) nên với ε > 0, tồn N ε cho EkXn − Xm kp < ε với m, n ≥ Nε Khi n ≥ Nε , sử dụng bổ đề Fatou, ta có EkXn − Xm kp = E( lim ||Xn − Xnk ||p ) ≤ limk→∞ E||Xn − Xnk ||p ≤ ε k→∞ Lp Do Xn −→ X 47 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: - Trình bày định nghĩa chứng minh chi tiết số tính chất quan trọng hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên từ nhận giá trị thực sang nhận giá trị không gian Banach Nội dung Mục 2.1 Tính chất 2.1.12, Tính chất 2.1.13, Tính chất 2.1.14, Định lý 2.1.15, Định lý 2.1.16, Định lý 2.1.27 Định lý 2.1.34 - Trình bày số ví dụ minh hoạ cho định nghĩa dạng hội tụ - Trình bày định nghĩa chứng minh số tính chất dãy Định lý 2.2.8, Định lý 2.2.10 Định lý 2.2.11 nội dung Mục 2.2 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2003), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục [2] Trần Đình Hải (2016), Luận văn thạc sĩ Tốn học, Đại học Sài Gịn [3] Nguyễn Văn Quảng Nguyễn Văn Huấn (2014), Cơ sở xác suất đại, Nhà xuất Đại học Vinh [4] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [5] Đặng Đức Trọng Phạm Hồng Qn (2011), Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [6] Hồng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng nước [7] Piser G (2011), Martingales in Banach Spaces (in connection with Type and Cotype), Course IHP [8] Ledoux M and Talagrand M (1991), Probability in Banach spaces Isoperimetry and processes Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), Springer-Verlag, Berlin 49 [9] Wang, X J., Wu, Y., Rosalsky,A (2018), Complete moment convergence for arrays of rowwise widely orthant dependent random variables Acta Mathematica Sinica, English Series, 10, 1531-1548 [10] Pettis B J.(1938), On Integration in Vector Spaces, Trans Amer Math Soc 44, no 2, 277–304 [11] Y.S.Chow (1988),On the rate of moment convergence of sample sums and extremes, Bull.Inst Math Acad Sinica 16 (1988) no