TIỂU LUẬN BÀI TOÁN KHÔNG CHỈNH

MỤC LỤC Lời mở đầu BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.Bài tốn khơng chỉnh Định nghĩa 1.1.1 (Tính chỉnh tốn) [1, Definition 1.13 (well –posedness), page 9] Định lí 1.1.1 [1, Theorem 1.17, page 12] 1.2 Sai số trường hợp xấu (The Worst – Case Error) Định nghĩa 1.2.1 [1, Definition 1.18, page 13] 10 Bổ đề 1.2.1 [1, Lemma 1.19, page 14] 10 Định nghĩa1.2.2 [1, Definition A.52, page 275] 13 Định lí 1.2.1 (Phân rã giá trị kỳ dị )[1, Theorem A.53, page 276] 13 Định lí 1.2.2 [1, Theorem 1.21, page 16] 13 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI I 17 2.1 Lý thuyết chỉnh hóa tổng quát 17 Định nghĩa 2.1.1 [1, Definition 2.1, page 24] 17 Định lý 2.1.1 [1, Theorem 2.2, page 24] 17 Định nghĩa 2.1.2 [1, Definition 2.3, page 26] 18 Định lý 2.1.2 [1, Theorem 2.6, page 32] 18 Định lý 2.1.3 [1, Theorem 2.7, page 33] 21 Định lý 2.1.4 [1, Theorem 2.8 page 34] 22 Định lý 2.1.5 [1, Theorem 2.9, page 35] 27 Tài liệu tham khảo 31 Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang Lời mở đầu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái… dẫn đến việc giải nghiệm mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, có nghĩa thay đổi nhỏ (sai ly) liệu dẫn đến sai khác lớn (đi dặm) nghiệm, chí cịn làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Mơn học Bài tốn khơng chỉnh mơn bắt buộc ngành Tốn Giải Tích chương trình đào tạo Thạc Sĩ Vì q trình học tập, nghiên cứu mơn này, giảng dạy hướng dẫn TS.Lê Minh Triết – chủ nhiệm mơn Giải Tích, trường Đại học Sài Gịn, dựa theo giáo trình An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems Andreas Kirsch , biên soạn lại tiếp thu tìm hiểu Nội dung viết tóm tắt lại phần lý thuyết học, trình bày lại giải TS Lê Minh Triết hướng dẫn trình học Tuy học tập nghiêm túc tránh khỏi sai sót q trình ghi chép giải tập tương tự Vì mong góp ý, nhận xét thầy bạn để tài liệu học tập nhóm hồn thiện hơn, hữu ích việc học ơn tập mơn Bài tốn khơng chỉnh Chúng tơi xin chân thành cảm ơn Nhóm – Tốn Giải tích 19.1 Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang BẢNG PHÂN CƠNG NHIỆM VỤ CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM STT Họ Tên Cơng việc giao Ngơ Văn Biên (Nhóm trưởng) Từ đầu phần 2.1 đến hết định lý 2.1.1 + Định lý 2.1.3 Nguyễn Vũ Đăng (Thành viên) Võ Duy Ngoan (Thành viên) Huỳnh Thị Sâm (Thành viên) Phạm Thị Diễm Xuân (Thành viên) Võ Thành Hiếu (Thành viên) Nguyễn Hà Tiên (Thành viên) Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Từ 1.2 đến hết bổ đề 1.2.1 Từ VD 1.2.1 đến hết định lý 1.2.2 Định lý 2.1.4 + Định lý 2.1.5 + Tổng hợp hoàn thiện tiểu luận Định lý 2.1.4 + Định lý 2.1.5 Định lí 2.1.2 Từ đầu chương đến hết định lý 1.1.1 Đánh giá Hoàn thành tiến độ làm việc nghiêm túc Hoàn thành tiến độ làm việc nghiêm túc Hoàn thành tiến độ làm việc nghiêm túc Hoàn thành tiến độ làm việc nghiêm túc Hoàn thành tiến độ làm việc nghiêm túc Hoàn thành tiến độ làm việc nghiêm túc Hoàn thành tiến độ làm việc nghiêm túc Trang Chương 1: Giới thiệu khái niệm Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.Bài tốn khơng chỉnh Một tốn gọi chỉnh (well-posed) thỏa mãn tính chất sau: i.) Tính tồn nghiệm ii.) Tính nghiệm iii.) Tính ổn định nghiệm Về mặt tốn học, tồn nghiệm dựa vào mở rộng không gian nghiệm VD 1.1.1: Xét phương trình x   , phương trình vơ nghiệm  2,   ta xét  0,   pt có nghiệm x  Nếu tốn có nhiều nghiệm có nghĩa mơ hình tốn học bị thiếu thông tin Trong trường hợp này, ta cần thêm số tính chất điều kiện dấu chẳng hạn VD 1.1.2: Xét pt x   , pt có nghiệm  x  1, x  1 , thêm điều kiện x  pt có nghiệm x  Yêu cầu tính ổn định nghiêm quan trọng Nếu toán thiếu tính ổn định nghiệm thực tế khơng thể tính được, phép đo hay phép tính số khơng thể tránh khỏi sai số, liệu tốn ln bị nhiễu Nếu nghiệm tốn khơng phụ thuộc liên tục vào liệu trường hợp tổng qt, nghiệm tính khơng thể so sánh với nghiệm xác Định nghĩa 1.1.1 (Tính chỉnh tốn) [1, Definition 1.13 (well –posedness), page 9] Cho X Y không gian định chuẩn K : X  Y ánh xạ (tuyến tính khơng tuyến tính) Phương trình Kx  y gọi chỉnh thỏa tính chất sau: i.) Tính tồn nghiệm: Với y  Y tồn (ít một) x  X cho Kx  y ii.) Tính nghiệm: Với y  Y có nhiều x  X cho Kx  y iii.) Tính ổn định nghiệm: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y, tức là: n  n  Với dãy ( xn )  X với Kxn  Kx xn  x Bài tốn khơng thỏa (ít nhất) tính chất gọi khơng chỉnh Một số ví dụ tốn khơng chỉnh VD 1.1.3(Bài tốn Cauchy cho phương trình Laplace [1, Example 1.14 (Cauchy’s problem for the Laplace equation), page 10] Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang Chương 1: Giới thiệu khái niệm Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm Tìm nghiệm u cho phương trình Laplace u  x, y  :  u  x, y  x   2u  x , y  y       0,     Thỏa điều kiện đầu u x ,0  f x ,  u  x ,0   g  x  , x   , y f g hàm cho trước Giải       Khi f x  g x  u x , y    Khi fn x  g n  x   1 sin  nx  u n  x, y   sin  nx  sinh  ny  , x  , y  n n f  sup f  x  x Sai số liệu  fn , gn    f , g  1  n  sup  sin  nx      0 x  n  n   Sai số nghiệm un  u  sup  sin  nx  sinh  ny    x  n  sinh  ny  n2 e ny  e  ny n     2n  Sai số liệu tiến , sai số nghiệm u tiến  nên nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu Vậy tốn khơng chỉnh VD 1.1.4 [1,Example 1.15 (Differentiation), page 11] Bài toán thuận Cho x hàm liên tục  0,1 Tìm nguyên hàm x , tức tính t y  t    x  s  ds, t   0,1 (1.18) Với y    Bài toán nghịch Cho y hàm khả vi, liên tục  0,1 với y    Tìm x  y ' Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang Chương 1: Giới thiệu khái niệm Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm Giải phương trình tích phân: Kx  y K : C  0,1  C  0,1 t y  t    Kx  t    x  s  ds với t   0,1 , ta trang bị chuẩn sup : x   max x  t   t 1 Giải t y  t    x  s  ds, t   0,1 Xét x  y ' y 0 x 0   t   t   t  y   sin    x  y '  cos    cos           Sai số liệu  t  y  y  max  sin      0t 1   Sai số nghiệm x  x  max  t 1  cos 2    0   Vì sai số liệu tiến 0, sai số nghiệm x tiến  nên nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu Vậy toán  K , C  0,1 , C  0,1 tốn khơng chỉnh Ta có: Y   y  C1  0,1 , y    0 x Khi đó, x  x   y  y  c1  max x '  t   t 1  max y '  t   y '  t     0  t 1 Suy nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu Vậy toán  K , C  0,1 , Y  toán chỉnh Định lí 1.1.1 [1, Theorem 1.17, page 12] Cho X , Y không gian định chuẩn K : X  Y tốn tử tuyến tính compact N  K  không gian nhân N  K    x  X : Kx  0 Cho số chiều không gian thương X / N  K  vô hạn chiều Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang Chương 1: Giới thiệu khái niệm Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm Khi có tồn dãy  xn   X cho Kxn   xn  không hội tụ Chọn  xn  cho xn   Cụ thể K đơn ánh ánh xạ ngược K 1 : Y    x   X không bị chặn Ở   K   Kx  Y : x  X  miền giá trị K Chứng minh  N  N  K  không gian đóng X * N  K  không gian vectơ X i) N  K   X (hiển nhiên) ii)0  X  K      N  K  iii )x1 , x2  N ,  ,     K  x1    K  x1   Ta có :    K  x2     K  x2   Do đó:  K  x1    K  x2   K  x1   x2   Hay  x1   x2  N  K  Vậy N  K  không gian vectơ X * N  K  đóng X Với  xn   N  K  ta có : Kxn  Giả sử xn  x  Kxn  K  x  ( K tốn tử tuyến tính compact nên K liên tục) Kx  Kx  x N K Vậy : N  K  khơng gian đóng X   xác định tốt K   x  ,  y   X / N  K  cho  x    y   x  y  N  K    x   Kx K   y   Ky K   x    K   y   Kx  Ky  K  x  y   K   x   K   y  K   xác định tốt Vậy : K  đơn ánh K   x   K   y    x  ,  y   X / N  K  cho K Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang Chương 1: Giới thiệu khái niệm Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm Suy ra: Kx  Ky Suy K  x  y   ( K tuyến tính ) x yN x y  x   y   đơn ánh Vậy : K  toán tử compact Chứng minh K Do K ánh xạ tuyến tính nên K ánh xạ tuyến tính K tốn tử compact nên K bị chặn, nghĩa M  cho K  x  Y  M x X ,x X Xét u  x  v, x  X , v   Ta có K  x  v Y  M x  v Kx Y  M x  v K  x  Y K  x  Y X X  M x  v X  M inf  x  v Do đó: K  x  Y X , v    M  x Vậy K bị chặn Xét A  X \  cho A bị chặn, nghĩa M  :  x  X \  M ,  x A inf  x  v , v    M ,  x  A (2) Suy  x (2)  x  vx   x   Suy vx   : x  vx  M  1,  x  A Đặt B   x  vx : x  X  Suy B bị chặn X mà K toán tử compact Suy K  B  tập compact   x   A , ta có K  x   Kx  K  x  vx   K  B  Suy K  A   K  B   K  A   K  B  Mà K  A  đóng, K  B  compact Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang Chương 1: Giới thiệu khái niệm Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm Nên K  A  compact Vậy K toán tử compact Chứng minh tồn dãy  xn   X cho Kxn   xn  không hội tụ K 1 : R  K   X / N khơng bị chặn Do M  0, y  R  K  , K 1  y   M y , (1) Đặt un  yn  K  X / N  1  K  yn  Suy  zn   X / N cho K  zn   un K  zn   un  yn n    (Do (1)) 1  K  yn  n n  K  z n   K  zn   0  y Mà  zn   K 1  un   K 1  1 n  K  yn   Vậy  zn     1 K 1  yn   K  yn   K 1  yn   1  K  y  n Ta có  zn   X / N : Kzn   zn  X \   inf  zn  v X Mà xn  zn  Kzn  Kzn  zn  Kzn  1 , v    Chọn  M cho zn   Đặt xn   zn  Kzn Kzn  Kvn  Kzn zn   n  Kzn  0 n   0 Kzn 1.2 Sai số trường hợp xấu (The Worst – Case Error) Dữ liệu t 0 x  s ds  y  y  x : Solution Y : data Tiểu luận môn Bài tốn khơng chỉnh Trang Chương 1: Giới thiệu khái niệm Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm Cho y y hai hàm khả vi liên tục, cho số E  cho y ''  E , Đặt z  y  y t 2 d  z   t   ds   ds Ta có x  t   x  t   z  t    t t   z   s  z ''  s  ds   z   s  y ''  s   y ''  s  ds 0 t     z   s  y ''  s   y ''  s  ds t  E  z  s  ds  Ez  t   E y  y    x  t   x  t   E  x  x   0 E   Định nghĩa 1.2.1 [1, Definition 1.18, page 13] Cho K : X  Y tốn tử tuyến tính bị chặn hai không gian Banach, X  X không gian chuẩn mạnh X Nghĩa là, tồn c  cho x  x , x  X Khi ta định nghĩa: F  , E ,  : sup  x : x  X , Kx   , x  E Và gọi F  , E ,  sai số trường hợp xấu với sai số liệu  điều kiện cho trước x 1E Bổ đề 1.2.1 [1, Lemma 1.19, page 14] Cho K : X  Y tốn tử tuyến tính compact giả sử X \ M  K  khơng gian vơ hạn chiều Khi đó, với E  , tồn c    cho F  , E ,   c với    0,   Chứng minh Giả sử E  , c  F  n , E ,    0,  n'  0,  n   0,  n'  n n  0 n n      n  với  n  : F  n , E ,   0 Xét K : X \ M  K   Y Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang 10 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI I 2.1 Lý thuyết chỉnh hóa tổng quát Định nghĩa 2.1.1 [1, Definition 2.1, page 24] Sơ đồ chỉnh hóa họ tốn tử tuyến tính bị chặn R : Y  X ,   cho lim R Kx  x, x  X  0 Nghĩa là: toán tử R K hội tụ điểm toán tử đồng I , với R K ánh xạ hợp Định lý 2.1.1 [1, Theorem 2.2, page 24] Cho R sơ đồ chỉnh hóa tốn tử compact K : X  Y với dim X   Khi ta có: i) Tốn tử R khơng bị chặn đều, nghĩa   j  : R j   j   ii) Dãy  R Kx  không hội tụ tập bị chặn X nghĩa R K không hội tụ toán tử đồng I d theo chuẩn toán tử Chứng minh i) Dùng phương pháp phản chứng Giả sử R bị chặn đều, nghĩa c  cho R  c,   Theo giả thiết, R sơ đồ chỉnh hóa toán tử compact K : X  Y nên theo định nghĩa 2.1.1, ta  0 có R Kx   x, x  X  0 Suy R y    K 1 y , y  R  K  Do R tuyến tính bị chặn nên R liên tục Suy R y  R y  c y ,   1  0 Mà R y    K 1 y nên cho   K y  c y , y  R  K  Do đó, K 1 bị chặn, mà K 1 tuyến tính nên K 1 liên tục Do K compact nên I  K 1 K compact (mâu thuẫn với dim X   ) Vậy R không bị chặn ii) Dùng phương pháp phản chứng Giả sử  R Kx  hội tụ đều, nghĩa R K  I L  X , X  ,   Do R tuyến tính bị chặn nên R liên tục, mà K compact nên R K compact R K : X  X Xét I : X  X tập bị chặn X I ánh xạ bị chặn Ta có : R K compact,  0 R K    I theo chuẩn toán tử L  X , X  ,   Suy I compact, nên dim X   (mâu thuẫn với giả thiết với dim X   ) Vậy  R Kx  không hội Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang 17 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm Định nghĩa 2.1.2 [1, Definition 2.3, page 26] Một sơ đồ chỉnh hóa với cách chọn      gọi chấp nhận       sup R   y  x : y  Y , Kx  y    0,   0, với x  X Nhận xét:  Định nghĩa đảm bảo tính ổn định, nghĩa Kx gần y R   y  đủ gần x (Do  cần xấp xỉ x ) Một phương pháp thuận lợi để xây dựng sơ đồ chỉnh hóa chấp nhận hệ kì dị hàm lọc K : X  Y toán tử tuyến tính compact   j , x j , y j  hệ kì dị K nghiệm  phương trình Kx  y x   j 1  j  y, y  x j j với y  K  X  Ta chứng minh  j  j   (Định lí 1.2.2) Do đó, ta cần xây dựng sơ đồ chỉnh hóa để giảm bớt j Định lý 2.1.2 [1, Theorem 2.6, page 32] Cho K : X  Y toán tử compact với hệ kỳ dị  M j , x j , y j  q :  0,     0, K    phiếm hàm thỏa tính chất sau 1) q  ,    với      K 2)   0, c   cho q  ,    c    với    K 3a) lim q  ,    với    K  0 Khi tốn tử R : Y  X với   định nghĩa  R  y    q  ,  j  j 1 y, y j x j , y  Y j Là sơ đồ chỉnh hóa với R  c   Cách chọn      gọi chấp nhận      c        Khi hàm q gọi lọc chỉnh hóa tốn tử K Chứng minh  R tuyến tính y, z  Y , ta chứng minh R  y   z   R y   R z ,    Ta có R  y   z    j 1 q  ,  j  j  y   z, y  x Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh j j Trang 18 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại   q  ,  j  j 1 j  q  ,  j   j 1  y , y j     z , y j   x j    y, y  x j j Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm  j   q  ,  j   z, y  x j j j 1 j  R y   R  z  ,    R bị chặn Ta cần chứng minh: M  : R  y  M y , y  Y  Ta có R y   q  ,  j  j 1    q  ,  j      j  y, y  j 1 xj j  x j  hệ trực chuẩn X nên x j  ,  j  1,  j   c    j  y, y   j2 j 1 j y, y j   BDT Bessel  2 c   y Suy R y  c   y , y  Y Suy R  c   Vậy R bị chặn   0 R hội tụ điểm nghĩa R Kx    x , x  X  Ta có R y  R  Kx    q  ,  j  j j j 1  q  ,  j  j 1 j  y, y  x   j  Kx, y  x j j  Và x    x, x j  x j j 1 Ta có  Kx, y j    x, K * y j    x,  j x j    j  x, x j   Nên R y  R  Kx    j 1 q  ,  j  j   j  x, x j  x j   q  ,  j  x, x j  x j j 1   j 1 j 1 R  Kx   x   q  ,  j  x, x j  x j    x, x j  x j     q  ,  j   1  x, x j  x j j 1  R  Kx   x    q  ,  j   1  x, x j  j 1 xj     q  ,  j   1  x, x  j j 1 Do x j  Ở đây, K * toán tử liên hợp K Ta có Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang 19 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại   q  ,    1  x, x  j Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm 2 j j 1 N    q  ,  j   1  x, x  j   j 1 N Đặt A    q  ,  j   1  q  ,  j   1   j  N 1   x, x j   x, x  j   q  ,  j   1   j  N 1  B  j 1  2  x, x  j Với A gọi tổng hữu hạn B phần dư Ta chứng minh phần dư B tiến x tiến Lấy x  X cố định, ta có:    x, x  j  x   x   x, x j  x j   j 1   x 1  j j 1 n 2 n  Suy  n    x, x j    x j 1 Tức   0, N   cho  n  x  2 , n  N Suy   0, N   ( chọn n  N ) cho  n  x N    x, x  j j 1  Suy   0, N   cho   x, x j   2 j  N 1     x, x  j j  N 1  2 Mặt khác ta có    q  ,  j   1  q  ,  j    1  1     Suy  q  ,  j  1 j  N 1 2  x, x j   2  2  Ta chứng minh tổng hữu hạn A tiến Theo giả thiết (3a) lim q  ,    với    K  0   Tức   0,   0,    suy q  ,  j   Suy q  ,  j    2 x  x Với j  1,   1 :   1  q  , 1    2 x Với j  N ,    N :    N  q  ,  N    2 x Tức với  j ,   j  cho Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang 20 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại 2 q  ,  j    2 x Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm , 0     j   Chọn 0   j  , ta có 1 j  N 2 q  ,  j    2 x ,  j  1, N     N Suy 2 2  q  ,  j   1  x, x j      x j 1 N 2   x, x j   j 1 2 x  2   x, x j   j 1 2 x x  2 Vậy ta N 2 R  Kx   x    q  ,  j   1  x, x j   j 1   2     q  ,  j   1  x, x j    j  N 1  2   , 0      0  0 Vậy R  Kx   x   x, x  X  hay R  Kx   Do R sơ đồ chỉnh hóa Định lý 2.1.3 [1, Theorem 2.7, page 33] Với giả thiết (1) (2) định lý 2.1.2, (i) Ý (3a) thay giả thiết mạnh hơn: (3b) c1  cho q  ,     c1  ,      K  Hơn nữa, x  R  K *  R Kx  x  c1  z với x  K * z (ii) Ý (3a) thay giả thiết mạnh (3b): (3c) c2  cho q  ,     c2  ,      K 2 Hơn nữa, x  R  K * K  R Kx  x  c2  z với x  K * Kz Chứng minh (i) Với x  K * z  x, x j    K * z , x j    z , Kx j    z,  j y j    j  z, y j  Ta có từ định lí 2.1.2:  R Kx  x   q  ,  j    x, x j  j 1  2    q  ,  j    2j  z, y j   c12 j 1 j 1   c12   z , y j  Bessel   j  z, y j  j (3b)  c12 z j 1 *  R Kx  x  c1  z với x  K z (ĐPCM) (ii) Với x  K * Kz Tiểu luận môn Bài tốn khơng chỉnh Trang 21 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm  x, x    K Kz, x    Kz, Kx    Kz,  y  * j j j j j   j  Kz, y j    j  z, K * y j    j  z,  j x j    2j  z, x j  (2) Ta có từ định lý 2.1.2:  R Kx  x    q  ,  j   1  x, x  j j 1 (2)     q  ,  j   1  4j  z, x j  gt (3c )   j 1   c22    z, x j  BDT Bessel  2 2 c  j 1  4j  z , x j  j c22  z j 1  R Kx  x  c2  z với x  K * Kz (ĐPCM) Định lý 2.1.4 [1, Theorem 2.8 page 34] Ba hàm q sau thỏa mãn (1) , (2), (3) định lý 2.1.2 (3b), (3c) định lý 2.1.3   2 a q  ,     /    thỏa (2) với c    1/ b q  ,     1  a   với  a  K 1 thỏa (3b) (3c) với c1  , c2  2  hàm thỏa (2) với c    a  thỏa (3b), (3c) với 1 , c2  a 2 c q định nghĩa c1  2   1 q  ,     0    Thỏa (2) với c     thỏa (3b) (3c) với c1  c2  Khi hàm q định nghĩa (a), (b), (c) hàm lọc chỉnh hóa dẫn đến lược đồ chỉnh hóa tối ưu Chứng minh  2 a q  ,     /     Thỏa (1) q  ,    2 2 2    (do   )   2   2 2 Thỏa (2) q  ,    2 2 2        c       2    Với c     ,  Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang 22 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại Vậy   0, c    Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm cho q  ,    c   ,  ,    2     0    Thỏa (3a) lim q  ,    lim  0 2      1      c1 2 2          Thỏa (3b) q  ,     Với c1  0   cho q  ,     c1  Thỏa (3c) 2.1.3  ,   Như c1  q  ,     2      1      c2 với c2   2          Như c2   cho q  ,     c2 1/ b q  ,     1  a   với  a  K  2  ,    0  a  K ( giả thiết tính chất định lý 2.1.2) Thỏa (1)     K Suy  a K  2 Suy  a  a K  Suy  a    1   a   Suy   a   1/  Ta có 1  a     1  a    Do   a 1/  1/    1  a   1   Vậy q  ,      a  - 1/    1  a   1/   với   0,0  a  K ,0    K Thỏa (2) định lý 2.1.2  0  a  K  a     a   1 Ta có  0    K  1/ Áp dụng định lý Bernouli ta có 1  a   Suy   a 1/   1  a   1 1/   1  a  Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh a   với   a   1 a  Trang 23 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại  Suy q  ,      a  q  ,    Suy a  1/   a   Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm  Mặt khác, q  ,    (cmt) Nên q  ,    q  ,    q  ,    a Như   0, c    0  a  K -  q  ,       c    với c    a  cho q  ,    c    ,0    K Thỏa (3a) định lý 2.1.3 lim q  ,    lim 1   a  0  0  1 Thật   0,     cho    suy    - a 1/      Thỏa (3b) 1/ q  ,      1  a   Ý tưởng: Cần chứng minh:  a Đặt    1/   1  a  1/   1/     1  a   2a  2a  Ta có BĐT  1  a    Đặt f  x   x 1  ax   1 Chứng minh Bất đẳng thức (*) (*) với      a 2a  với  x   f '  x   1  ax   a  x 1  ax  a  1  1  ax   1 1  ax  2a  x  1  ax  1  1  ax  1   Cho f '  x     1  ax  2a  x    a 1    x    TH1:    x  a f ' x     x  a         Kẻ bảng biến thiên ta dò giá trị lớn f  x  f   a 1       Suy f  x      1    2a  a 1  2    2  Tiểu luận môn Bài tốn khơng chỉnh Trang 24 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm TH2:   f ' x   x  1  ax  a 1  2   1   với x  0;    a    Kẻ bảng biến thiên ta dò giá trị lớn f  x  f   a 1       Vậy f  x   2a 2a Từ TH1 TH2 suy f  x    Suy  1  a    Đặt    1 với   0,0    a 2a   ta  1  a    Ta có q  ,      a Với c1  1/  1/     1  a   2a  2a   a 1/     c1  2a  ,a  2a Như c1    cho q  ,     c1  2a Thỏa (3c) vì:  Ta có q  ,      a 1/  Ý tưởng:Cần chứng minh  a 1/  1/        1  a     2 1  a     a  a a  1 Xét f  t   t  1  at  với t   0,   a  1 Ta có f '  t    t 1  at   at  t  1   f ' t     t  a 1    1    at    Vẽ bảng biến thiên, ta có f  t  đạt GTLN t  a 1           Vậy f  t   f       a 1      a 1        a  1    a 1      1              ,     1  a  1    1     a  1    a Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang 25 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm  1/  1     Suy  1  a      1  a     c2 với c2  a  a   a a 2 Vậy c2  c   : q  ,     c2 a  2 1  2    1, q  ,     0,  Thỏa (1) theo định nghĩa q  ,    1, Thỏa (2) với 2 2  q  ,    suy  q  ,       Suy q  ,    0   0,0    K    c    với c     2  q  ,     2 Suy  q  ,       q  ,     Suy q  ,    Vậy c      2    c    với c     cho q  ,    c   ,   0,0    K Thỏa (3a) vì: Với   0,    K  1, q  ,     0,  2 1  , lim q  ,     0 2 1  Thỏa (3b) (3c) vì: Với   0,    K   2  1: q  ,      2  1: q  ,      Suy  q  ,   1      q  ,     Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh      c1 ,    c1  Trang 26 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm 2 Và từ q  ,       q  ,   1     Suy q  ,          c2 , c2     Vậy c1  1, c2  : q  ,     c1   q  ,     c2 ,   0,    K   Nhận xét: Chúng ta nhận thấy phương pháp chỉnh hóa mà chọn q theo cách đầu (câu (a) câu (b)) thừa nhận đặc tính mà tránh kiến thức hệ kì dị Cách chọn q theo (c) gọi chặt cụt phổ “ spectral cutoff” Nghiệm chặt cụt phổ “ spectral  cutoff” x  ,  X định nghĩa bởi: x ,    y , yj  xj  2j  j Định lý 2.1.5 [1, Theorem 2.9, page 35]  Cho y  Y thỏa y  y   , với y  Kx vế phải xác   (a) Cho K : X  Y toán tử compắc đơn ánh với hệ kì dị  j , x j ,y j Toán tử R y :    y, y x , j  2j  j y Y (2.10) j Xác định sơ đồ chỉnh hóa với R          sơ đồ chấp nhận nếu: 2        (b) Cho x  K * z  R ( K * ) , với z  E c  với cách chọn     c x   ,   x   c E  c   E , ta có đánh giá sau: (2.11a)   (c) Cho x  K Kz  R ( K K ) với z  E c  với cách chọn     c   E *   , x *   x   c  E 3  c  2/3 ta có đánh giá: (2.11b) Do đó, chặt cụt phổ “ spectral cutoff” tối ưu với kiện * 1 K  x  E K K  * 1 x E tương ứng (nếu K * đơn ánh) Chứng minh: Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang 27 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại 2   định lý 2.1.4 (c) 2   1 (a) Áp dụng định lí 2.1.2 với hàm q  ,     0    y, y  x Khi đó: R y : j   Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm , y Y j j Chứng minh R tuyến tính Ta có y, z  Y ,    R  y   z     2j  y   z, y  x   1  y, y     z, y  x j j j j  2j j j j    y, y j  x j     z , y j  x j  2j j  2j  R  y    R  z  j    Chứng minh R bị chặn Ta cần chứng minh: M  : R  y  M y , y  Y    y, y  Ta có R y   2j  j j xj     y, y   2j  (1) (do ( x j ) hệ trực chuẩn X nên j j j  1,  ) xj   2j   j   j    Vì  2j   nên     y, y  Từ (1) (2) suy R y   2j  Suy R y  Suy R      y, y   BDT Bessel  j  y  c   y với c     y Do đó, c    y  R y   j j  2   : R y  c   y Vậy R bị chặn   0 Chứng minh R hội tụ điểm toán tử đồng I nghĩa R Kx    x , x  X R y     Kx, y  x j  2j  j   * j  2j  j    x , K y  x     x,  x  x j  2j  j   2j  j  j  x, x j  x j  j j j j   x, x  x j j  2j   Mà: x    x, x j  x j (định lí phân rã hệ kì dị A.53) j 1  Suy R y  x    x, x  x    x, x  x j  2j  j j j 0 j 1 Suy R y  x   R y  x Tiểu luận môn Bài tốn khơng chỉnh Trang 28 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm Vậy R hội tụ điểm Khi toán tử R : Y  X ,   định nghĩa theo định lí (2.1.2) R y     y, y  x j   sơ đồ chỉnh hóa với  R  c    j , y Y j   /        (vì c      cách chọn chấp nhận          )      c       (b) Cho y  R  K  giá trị xác vế phải y  Y liệu đo với y  y   Ta định nghĩa x  ,  R   y xấp xỉ nghiệm x Kx  y Khi sai số phân làm phần sau: x  ,  x  R   y  x  R   y  R   y  R   y  x  R   y  R   y  R   y  x  R   y   y  R   y  x   R    R   y  x Suy x  ,  x   R    R   Kx  x với Kx  y Theo Định lý 2.1.2 câu a ta có: R    c     (1) Theo Định lý 2.1.4c câu a ta có: c      Từ (1) (2) suy  R        c   E (2) c  E  E c Theo Định lý 2.1.3a (công thức 2.9a): R   Kx  x  c1    z Theo Định lý (2.1.4c): Chọn c1   Suy R   Kx  x     z  c Suy x  ,  x     , Vậy x  E z  c  E E  c  E E    c  E   E  c  E    c E c  c  c    x   c E  c  Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang 29 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm   (c) Cho x  K Kz  R ( K K ) với z  E c  với cách chọn     c   E Theo Định lý 2.1.1: * 2/3 * Cho y  R  K  giá trị xác vế phải y  Y liệu đo với y  y   Ta định nghĩa x  ,  R   y xấp xỉ nghiệm x Khi sai số phân làm phần sau: x  ,  x  R   y  x  R   y  R   y  R   y  x  R   y  R   y  R   y  x  R   y  y  R   y  x   R    R   y  x Suy x  ,  x   R    R   Kx  x với Kx  y Theo Định lý 2.1.2: R    c     Trong theo Định lý 2.1.4 c: c      1       c  E  E3 c  Theo Định lý 2.1.3(b): R   Kx  x  c2   z Ta chọn c2  với c  Suy R   Kx  x  1.     3 z  c   E  c E E   , Khi đó, x  x   E3 1  c E   E c  2 1    c E   E  c c  c    Vậy x  ,  x    c  E 3  c  1 Do điểm chặt cụt phổ “spectral cutoff” tối ưu với kiện   K * x   E 1   K * K  x   E tương ứng ( K * đơn ánh) Vậy có điều phải chứng minh Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang 30 Tài liệu tham khảo [1] Andreas Kirsch ,An Introduciton to the Mathematical Theory of Inverse Problems (Second edition) Applied Mathematical Sicences 120 (1996), 1-35 Tiểu luận môn Bài tốn khơng chỉnh Trang 31 ... n E Tiểu luận môn Bài tốn khơng chỉnh Trang 16 Chương 2: Lý thuyết chỉnh hóa phương trình loại Lớp Cao học TGT 19.1 – Nhóm CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI I 2.1 Lý thuyết chỉnh. .. Hà Tiên (Thành viên) Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Từ 1.2 đến hết bổ đề 1.2.1 Từ VD 1.2.1 đến hết định lý 1.2.2 Định lý 2.1.4 + Định lý 2.1.5 + Tổng hợp hoàn thiện tiểu luận Định lý 2.1.4 +... x  s  ds, t   0,1 (1.18) Với y    Bài toán nghịch Cho y hàm khả vi, liên tục  0,1 với y    Tìm x  y ' Tiểu luận mơn Bài tốn khơng chỉnh Trang Chương 1: Giới thiệu khái niệm Lớp