(Skkn 2023) một số phương pháp chứng minh các góc bằng nhau trong hình học phẳng

1|14 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Tốn học có vai trị quan trọng đời sống ngành khoa học, nhà tư tưởng người Anh R.Bêcơn nói: “Ai khơng hiểu biết tốn học khơng thể hiểu môn khoa học khác phát dốt nát thân mình” Việc dạy học mơn tốn có khả đóng góp tích cực vào việc giáo dục học sinh, nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kĩ tốn học phổ thơng bản, đại sát với thực tiễn Việt Nam có khả vận dụng tri thức vào tình cụ thể khác nhau: vào đời sống, vào lao động sản xuất vào việc học tập mơn khác Vì mơn tốn có tính trừu tượng cao, suy diễn rộng, suy luận chặt chẽ nên học sinh học tốt môn tốn, u mơn tốn, học chứng minh định lí tốn học, em thường nhàm chán, khó khăn khơng biết áp dụng định lí để làm tập Từ vấn đề mà em thấy sợ mơn tốn, học tốn yếu dẫn đến kết lĩnh hội kiến thức mơn tốn cịn nhiều hạn chế Qua nhiều năm giảng dạy trường trung học sở, qua nghiên cứu sách vở, tình hình thực tế tơi nhiều đồng nghiệp thường trăn trở, băn khoăn tìm phương pháp dạy cho em dễ tiếp thu kiến thức định lí tốn học nói riêng mơn tốn nói chung nhằm nâng cao chất lượng mơn tốn Người ta nói: “phương pháp thầy” Điều thật Đặc biệt chứng minh hình học, học sinh gặp nhều khó khăn việc tìm hướng chứng minh tốn Chính lẽ đó, đề tài mạnh dạn đưa phương pháp kỹ thuật dạy học mơn tốn hình Đó lý chọn biện pháp “ Một số phương pháp chứng minh góc hình học phẳng” Mục đích nghiên cứu - Hệ thống kiến thức để từ học sinh dễ dàng tìm tòi áp dụng giải tập cách tốt - Có thể rèn luyện cho học sinh có cách học để tiếp thu nhanh nhất, hình thành tư logic khoa học cho học sinh, giúp em u mơn tốn có hứng thú học Đối tượng, phạm vi nghiêm cứu - Đối tượng nghiên cứu : học sinh lớp Trường THCS Phú Đông - Các tập dạng dễ, có hướng dẫn học sinh cách giải - Thơng qua việc thực nội dung đề tài, kiểm tra, so sánh kết học tập học sinh qua năm học 2020 – 2021 Phương pháp nghiên cứu 2|14 - Đề tài hoàn thành phương pháp thống kê tổng hợp, quan sát phân tích nguyên nhân phương pháp thực nghiệm sư phạm - Có thể rèn luyện cho học sinh có cách học để tiếp thu nhanh nhất, hình thành tư logic khoa học cho học sinh, giúp em yếu mơn tốn có hứng thú học Thời gian thực - Đầu tháng năm 2020 bắt đầu nghiên cứu đăng kí tên đề tài là: “ Một số phương pháp chứng minh góc hình học phẳng” - Đến 15/5/2021 kết thúc đề tài PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận - Học sinh yếu mơn tốn có điểm trung bình năm mơn tốn 5,0 Những học sinh khó khăn việc lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ cần thiết học sinh tất yếu địi hỏi nhiều cơng sức thời gian so với học sinh khác - Nắm vững đặc điểm học sinh yếu để từ đề gải pháp phù hợp nhằm khắc phục tình trạng yếu II Cơ sở thực tiễn - Song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán, việc giúp đỡ học sinh yếu quan trọng, tiến hành tiết học khóa biện pháp phân hóa Tuy nhiên thực tế dạy học việc nâng cao hiệu dạy để giúp học sinh yếu kém, giáo viên dành nhiều thời gian giúp đỡ giêng nhóm học sinh yếu kém( thực chủ yếu ngồi khóa) - Nắm vững đặc điểm học sinh yếu để từ đề gải pháp phù hợp nhằm khắc phục tình trạng yếu - Học sinh đa số em nơng thơn, điều kiện kinh tế khó khăn, cha mẹ mải lao động chưa dành nhiều thời gian quản lí kèm cặp học Ý thức tự học tập số em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, mải chơi điện tử… dẫn đến chất lượng học tập học sinh cịn yếu hầu hết em sợ học, học yếu tốn khơng đam mê tốn III NỘI DUNG BIỆN PHÁP Các giải pháp 1.1 Khảo sát chất lượng đầu năm học sinh để tìm đối tượng yếu Thông qua học bạ lớp dưới, kiểm tra vấn đáp thường xuyên kiến thức học tiết dạy Qua giúp nắm học 3|14 sinh biết thiếu hụt kiến thức, kỹ học sinh Trên sở tơi phân chia học sinh thành nhóm có tương đồng vè kiến thức Rồi tìm hiểu nguyên nhân lập kế hoạch khắc phục - Kết khảo sát đầu năm giáo viên chưa hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh góc hình học phẳng, kết sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 22,9% 28,6% 34,3% 14,29% 1.2 Tìm hiểu ngun nhân Qua thực tế tìm hiểu tơi nhận thấy nguyên nhân chủ yếu sau dẫn đến em học yếu kém: - Học sinh lười học, mải chơi - Thiếu phương pháp học tập phù hợp - Khả tiếp thu chậm - Bố mẹ quan tâm tới việc học tập 1.3 Lập kế hoạch thực Các biện pháp khắc phục yếu kém: 2.1 Một số biện pháp nâng cao chất lượng dạy học toán: - Rèn khả tự học cho học sinh - Giảm đến tối thiểu việc giảng giải, minh hoạ giáo viên, tăng cường việc tổ chức cho học sinh tự lực tham gia vào giải vấn đề học tập - Sử dụng phiếu học tập - Dạy học đặt vấn đề giải vấn đề cách sinh động, hợp lý - Xây dựng tình huống, giao nhiệm vụ học tập, tổ chức thảo luận theo nhóm để thành viên nhóm chia sẻ băn khoăn, kinh nghiệm thân, xây dựng nhận thức để học sinh hình thành điều chỉnh kiến thức để đáp ứng nhu cầu môi trường giáo viên không áp đặt Huy động tư nhằm huy động ý tưởng mới, độc đáo thành viên Các thành viên cổ vũ tham gia cách tích cực, không hạn chế ý tưởng học sinh độc lập hoạt động, giải vấn đề, giáo viên can thiệp thông qua câu hỏi gợi ý - Sử dụng công nghệ thông tin; phần mềm hỗ trợ giảng, minh họa lớp 2.2 Giúp đỡ học sinh rèn luyện kỹ học tập, có phương pháp học tập phù hợp 4|14 Thực tế đa số học sinh yếu mơn tốn khơng biết cách học cho có hiệu Các em khơng có kỹ học tập nên thường chưa học kỹ, chí chưa hiểu lí thuyết, đọc chưa kỹ đề làm tập Nên không hiểu không làm tập dẫn đến sợ chán học mơn tốn Vì việc hướng dẫn em phương pháp học đóng vai trị quan trọng Trước hết cần cung cấp cho học sinh bước học mơn tốn sau: - Bước 1: Đọc chuẩn bị trước đến lớp - Bước 2: Sau học song nhà học lí thuyết tập mẫu, làm tập sách giáo khoa - Bước 3: Trước tập cần đọc kĩ đề bài, vẽ hình rõ ràng, tìm hiểu đề cho biết điều gì? Yêu cầu gì? Vận dụng kiến thức để làm Về phần giáo viên giúp học sinh yếu luyện tập đảm bảo vừa sức Đối với học sinh yếu giáo viên nên đặt quan điểm đảm bảo tính vững kiến thức lên hàng đầu Việc luyện tập theo trình độ chung khơng phù hợp với đối tượng này, nhóm cần nhiều thời gian luyện tập Trước hết cho em đọc kỹ đề bài, yêu cầu em viết dạng GT, KL sau học định lí Nếu học sinh khơng hiểu đề khơng thể giải tốn Do giáo viên cần dành nhiều thời gian giúp em vượt qua khó khăn Sau giáo viên gợi ý theo phương pháp sơ đồ tư cho học sinh dễ hiểu hình học, đặt câu hỏi kiến thức có liên quan để giải vấn đề Song song với phương pháp giáo viên số lượng tập mức độ thể loại nhiều để em nhớ lâu cách giải dạng tập 2.3 Các phương pháp chứng minh hai góc mặt phẳng 2.3.1 Các phương chung Lớp Các phương pháp chứng minh hai góc mặt phẳng - Sử dụng tính chất hai góc bù, phụ với góc khác - Hai góc đối đỉnh - Hai góc vị trí đồng vị, so le trong, so le ngồi - Hai góc tương ứng hai tam giác - Hai góc đáy tam giác cân - Các góc tam giác - Sử dụng tính chất tia phân giác góc - Hai góc đáy của hình thang cân 5|14 - Sử dụng tính chất góc tứ giác đặc biệt - Hai góc tương ứng hai tam giác đồng dạng - Tính chất tứ giác nội tiếp - Tính chất góc tâm, góc nội tiếp, góc tia tiếp tuyến dây cung chắn cung đường trịn hay hai đường trịn - Có số đo hay hệ thức - Sử dụng tính chất bắc cầu quan hệ 2.3.2 Bài tập cụ thể: Bài tập 1: Cho hình vẽ, hai đường thẳng xx’ yy’ cắt O, biết ^ xOy = 450 Tính số đo góc cịn lại x y’ O y x’ Hướng dẫn: GV: Đọc tên cặp góc đối đỉnh xOy ^ x ' Oy ' : ^ xOy ' ^ x ' Oy HS: ^ GV: Em nêu tính chất hai góc đối đỉnh HS: Hai góc đối đỉnh xOy = 450 ta suy số đo GV: Dựa vào tính chất đề cho biết ^ góc nào? x ' Oy ' 450 HS: Suy góc ^ xOy ' ^ x ' Oy ta làm nào? GV: Để tìm số đo ^ xOy ' kề bù với ^ xOy (dựa vào tính chất hai góc kề bù); ^ xOy ' ^ x ' Oy HS: Có ^ x ' Oy đối đỉnh nên suy tiếp số đo ^ Giải xOy = ^ x ' Oy ' (đối đỉnh) mà ^ xOy = 450 nên ^ x ' Oy ' = 450 Ta có ^ xOy + ^ xOy ' = 1800( hai góc kề bù) Ta lại có ^ xOy ' = 1800 Hay 450 + ^ ^ xOy ' = 1800 - 450 ^ xOy ' = 1350 xOy ' = ^ x ' Oy (đối đỉnh) mà ^ xOy ' = 1350 nên ^ x ' Oy = 1350 Ta có ^ 6|14 Bài tập 2: Cho hình vẽ a//b c cắt a A, cắt b B, cho Â1 = 1400 điền vào chỗ trống(…) câu sau: c a) Â1 = …( cặp góc so le trong) a Mà Â1 = 1400 nên … = … A b) Â2 = ….( cặp góc đồng vị) b B Mà … + Â2 = 1800( cặp góc kề bù) 0 Hay 140 + Â2 = 180 Â2 = 1800 - … = … Suy … = … c) Có ^B3 + Â4 = … ( vì………………… ) Hay 1400 + Â4 = Â4 = d) ^B4 = Â2 ( vì…) Hướng dẫn: GV: Em phát biểu tính chất hai đường thẳng song song HS: Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: a) Hai góc so le nhau; b) Hai góc đồng vị nhau; c) Hai góc phía bù HS thảo luận làm vào phiếu học tập Giải a) Â1 = ^B3 ( cặp góc so le trong) Mà Â1 = 1400 nên ^B3 = 1400 b) Â2 = ^B2 ( cặp góc đồng vị) Mà Â1 + Â2 = 1800( cặp góc kề bù) Hay 1400 + Â2 = 1800 Â2 = 1800 - 1400= 400 Suy ^B2 = 400 c) Có ^B3 + Â4 = 1800 ( cặp góc phía) Hay 1400 + Â4 = 1800 Â4 = 1800 - 1400 = 400 d) ^B4 = Â2 ( cặp góc so le ngồi) Bài tập 3: AOB 600 Trên nửa mặt phẳng bờ OB chứa tia OA vẽ Cho góc ^ tia Ox vng góc với tia OB Trên nửa mặt phẳng vẽ tia Oy vng góc với xOA = ^ BOy tia OA Chứng minh rằng: ^ Hướng dẫn: 7|14 HS: vẽ hình GV: Em cặp góc phụ nhau? xOA + ^ AOB = 900 (1) HS: ^ ^ AOB + ^ BOy = 900 (2) GV: Từ (1) (2) suy điều gì? xOA = 900 - ^ AOB HS: ^ ^ ^ BOy = 90 - AOB Giải ^ Vì OB vng góc với Ox nên xOB = 900 OA, Ox nằm nửa mặt AOB < ^ xOB (600 < 900) Do tia OA nằm hai tia Ox phẳng bờ OB mà ^ OB xOA + ^ AOB = ^ xOB hay ^ xOA + 600 = 900 Ta có: ^ →^ xOA = 900 - 600 = 300 (3) AOy = 900 OA Oy nằm hai nửa Ta có Oy vng góc với OA nên ^ mặt phẳng đối có bờ OB nên tia OB nằm hai tia OA Oy Ta có: ^ AOB + ^ BOy = ^ AOy hay 600 + ^ BOy = 900 →^ BOy = 900 - 600 = 300 (4) xOA = ^ BOy = 300 Từ (3) (4) suy ra: ^ Bài tập 4: Cho tam giác ABC có AB = AC M trung điểm BC Chứng minh AM vng góc với BC Hướng dẫn: GV: Em nêu cách vẽ hình? HS: Vẽ ∆ ABC có AB = AC Vẽ điểm M thuộc BC cho BM = CM 8|14 GV: hướng dẫn theo sơ đồ sau: AM vng góc với BC ↑ ^ ^ AMB = AMC = 900 ↑ ^ ^ ^ ^ AMB = AMC AMB + AMC = 1800 ( hai góc kề bù) ↑ ∆ AMB = ∆ AMC Giải Xét ∆ AMB ∆ AMC có: AM cạnh chung BM = CM (gt) AB = AC (gt) Do ∆ AMB = ∆ AMC(c.c.c) →^ AMB = ^ AMB + ^ AMC ( góc tương ứng) mà ^ AMC = 1800 ( hai góc kề bù) AMB = ^ AMC = 900 Do ^ Chứng tỏ AM vng góc với BC Bài tập 5: Cho góc nhọn xOy, tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Từ A B kẻ AH, BK vng góc với Oy Ox ^ = OBK ^ a) Chứng minh OAH b) Gọi I giao điểm AH BK Chứng minh tia OI phân giác góc xOy Hướng dẫn HS vẽ hình ^ = OBK ^ em làm nào? GV: Để chứng minh OAH HS: Chứng minh ∆ OHA = ∆ OKB trường hợp cạnh huyền góc nhọn GV: Để chứng minh OI phân giác góc xOy ta làm nào? HS: Chứng minh ∆ OKI = ∆ OHI trường hợp cạnh huyền cạnh góc vng Giải a) Xét ∆ OHA ∆ OKB có: ^ = OKB ^ = 900 (gt) OHA Ơ chung OA = OB Vậy∆ OHA = ∆ OKB( ch.gn) 9|14 ^ = OBK ^ ( hai góc tương ứng) Suy OAH b) Từ ∆ OHA = ∆ OKB ( câu a) có OK = OH ( hai cạnh tương ứng) Xét ∆ OKI ∆ OHI có: ^ = OHI ^ = 900 (gt) OKI OK = OH (cmt) OI cạnh chung Do ∆ OKI = ∆ OHI ( ch.cgv) →^ IOK = ^ IOH ( hai góc tương ứng)hay OI phân giác góc xOy Bài tập 6: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM nửa cạnh BC BA C = 90 Chứng minh ^ Hướng dẫn: HS vẽ hình GV: Em so sánh AM, BM, CM HS: AM nửa cạnh BC nên AM = BM = CM GV: Vì AM = BM = MC nên ta có tam giác cân nào? ∆ AMB có AM = BM, ∆ AMC có AM = CM nên tam giác cân Giải: Ta có AM = BC, BM = CM nên: AM = BM = CM ∆ AMB có AM = BM nên tam giác cân, suy ra: ^B=¿ Â1 (1) ∆ AMC có AM = CM nên tam giác cân, suy ra: ^ = Â2 C (2) Từ (1) (2) suy ra: ^B+¿ C ^ = Â1+ Â2=¿ ^ BAC ^ +^ ^ BAC = 1800 ( Tổng ba góc tam giác ABC) nên ^B + C Ta lại có: ^B+¿ C BAC = 90 =^ BAC = 900 Vậy ^ 2.4 Vẽ thêm yếu tố phụ giải để giải tốn Hai góc nhọn, hai góc tù có tia tương ứng song song Bài tập cụ thể: Bài tập 7: Trên hình bên cho: ^ ACB  ^ xAC , Ax//By Chứng minh: ^ ^ ACB= ^ xAC + CBy 10|14 Giải Qua C kẻ Ct//Ax Ta có Ax//By Ct//Ax  Ct//By xAC = ^ ACt (so le trong) - Từ Ct//Ax  ^ ^ = CBy ^ (so le trong) Ct//By  tCB ^= ^ ^ ACB= ^ ACt + tCB xAC + CBy Từ suy : ^ HS thảo luận làm tập cụ thể: xOy = ^ x ' Oy ' hai góc nhọn, Ox //O’x’, Bài tập 8: Chứng minh ^ xOy = ^ x ' Oy ' Oy//O’y’ ^ 11|14 Giải Vẽ tia OO’ ta có: Ơ1 = Ơ’1 (đồng vị) Ơ2 = Ơ’2 (đồng vị) xOy = ^ x ' Oy ' Suy ra: Ô1 + Ô2 = Ô’1 + Ô’2  ^ xOy nhọn,^ x ' Oy ' tù , Ox//O’x’ Oy//Oy’ Bài tập 9: Nếu ^ xOy + ^ x ' Oy ' = 1800 ^ Giải x ' Oy ' tù góc kề bù góc nhọn Kẻ O’z tia đối O’x’ ^ y ' O' z Vì ^ góc nhọn xOy ^ y ' O' z nhọn mà Ox//O’z, Oy//O’y’ ^ xOy = ^ Có ^ y ' O ' z (theo 2) x ' O ' y '+ ^ y ' O' z = 1800( kề bù) Mà ^ xOy + ^ x ' O ' y ' = 1800 điều phải chứng minh ^ 2.4 Kết hợp nhiều phương pháp 12|14 IV HIỆU QUẢ CỦA BIỆN PHÁP Với số biện pháp nêu học sinh nắm nội dung kiến thức chứng minh góc hình học phẳng Nắm kỹ vẽ hình, kỹ trình bày lời giải tập chứng minh, phát triển tư logic cho học sinh Như so với khảo sát đầu năm giáo viên chưa hướng dẫn phương pháp chứng minh góc hình học phẳng học sinh làm kiểm tra cịn gặp nhiều khó khăn, kết thấp Khi giáo viên hướng dẫn phương pháp chứng minh góc hình học phẳng đến thời điểm có chuyển biến rõ rệt chất lượng làm kiểm tra, thể qua bảng số liệu * Khảo sát trước thực Giỏi Khá 22,9% 28,6% * Khảo sát sau thực Trung bình Yếu Kém 34,3% 14,29% Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 25,7% 34,3% 37% 2,82% 13|14 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Trong tình hình chất lượng học sinh tất mơn nói chung mơn tốn nói riêng, học sinh yếu ngày nhiều, học sinh giỏi ngày Là giáo viên đứng trước tình hình thân tơi phải trăn trở suy nghĩ tìm ngun nhân chính, dẫn đến kết nêu trên, để có biện pháp thích đáng hữu hiệu, tìm giải pháp tối ưu để nâng dần chất lượng, đảm bảo yêu cầu xã hội Theo nghĩ việc nâng cao chất lượng dạy học xét đến mặt mà phải nhìn quan điểm tồn cục, đồng mặt Về phía giáo viên phải có nhiệt tình, phải có lực, thường xuyên đổi phương pháp dạy học Tóm lại có đầu tư cao tiết dạy Phía học sinh vào quỹ đạo, nội quy, trật tự, kỷ cương lớp học, nhà trường hay chưa? Một điều cần thiết trước tiên để dạy đạt chất lượng phải xây dựng tập thể lớp có tổ chức, có kỷ cương, tất thành viên hoạt động theo quỹ đạo Nếu phần tử chưa hồ vào quỹ đạo kịp buộc đầu quay theo quỹ đạo để trở thành lớp học có nề nếp, im lặng, trật tự Giáo viên vào lớp tự nhiên thấy hứng thú, hưng phấn, say mê công tác dạy học Trong thời gian tới thân tơi cố gắng thực đầy đủ, nhiều trăn trở trước tình hình chất lượng mơn toán Làm em học mơn tốn nói chung chứng minh hai góc hình học phẳng nói riêng, mơn tốn trở thành môn gần gũi với em, em khơng ngại giải tập, khơng ngại vẽ hình khơng ngại để liên hệ thực tế, từ giúp em phát triển tư duy, trí tuệ, tính chịu khó, cần cù, làm đến nơi đến chốn khơng bỏ dở chừng Tính suy luận logic, xác, chặt chẽ hội để rèn luyện thân, rèn luyện nhân cách người bước vào tương lai đầy niềm tin hy vọng Khuyến nghị 2.1 Đối với cha mẹ học sinh - Cần quan tâm việc học tập em - Thường xun kiểm tra, đơn đốc việc học tập em thơng qua việc học nhà thông qua điểm kiểm tra 2.2 Đối với nhà trường - Trang bị phòng thư viện nhiều tài liệu tham khảo để giúp em có nhiều tài liệu phục vụ cho việc học tập 14|14 - Trang bị hệ thống máy tính, máy chiếu, ti vi vào phòng dạy học phục vụ cho hoạt động dạy học thầy trị Cơng nghệ thông tin ứng dụng quan trọng việc dạy vẽ hình mơn hình học Trên số vấn đề kiến thức phương pháp thân tơi rút q trình trực tiếp dạy học toán lớp Trong phạm vi nhỏ đề tài chắn chưa thể bao quát hết kiến thức Rất mong góp ý chân tình ban giám khảo để đề tài tơi hồn thiện nhằm tháo gỡ số vấn đề khó khăn cho học sinh yếu để em thêm u mơn tốn Tơi xin cam đoan đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi tự viết không chép người khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Tôi xin chân thành cảm ơn! Phú Đông, ngày 20 tháng năm 2020 Người thực Vũ Thị Kiều Vân 15|14 MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiêm cứu Phương pháp nghiên cứu .1 Thời gian thực .2 PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .2 I Cơ sở lí luận II Cơ sở thực tiễn III NỘI DUNG BIỆN PHÁP Các giải pháp .2 1.1 Khảo sát chất lượng đầu năm học sinh để tìm đối tượng yếu 1.2 Tìm hiểu nguyên nhân 1.3 Lập kế hoạch thực Các biện pháp khắc phục yếu kém: 2.1 Một số biện pháp nâng cao chất lượng dạy học toán: 2.2 Giúp đỡ học sinh rèn luyện kỹ học tập, có phương pháp học tập 2.3 Các phương pháp chứng minh hai góc mặt phẳng 2.4 Vẽ thêm yếu tố phụ giải để giải toán 2.4 Kết hợp nhiều phương pháp .11 IV HIỆU QUẢ CỦA BIỆN PHÁP .12 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 13 Kết luận .13 Khuyến nghị 13 2.1 Đối với cha mẹ học sinh .13 2.2 Đối với nhà trường .13 16|14 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính (chủ biên) ( 2013 tái bản), Sách giáo khoa tốn 7, NXB GD Tơn Thân (chủ biên) 2004, sách tập toán 7, NXB GD Nguyễn Gia Cốc (1997): Chất lượng đích thực giáo dục phổ thơng - Tạp chí nghiên cứu giáo dục 9/ 2007 Tài liệu chuẩn kiến thức - kĩ năng, bồi dưỡng thay sách Bộ GD & ĐT phát hành Ts Trần Xuân Tiếp, sách tham khảo đề kiểm tra toán nhà xuất đại học sư phạm Website: http://www.violet.vn ;