Thông tin tài liệu
A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đổi phương pháp dạy học hiểu tổ chức hoạt động dạy học tích cực cho người học Từ khơi dậy thúc đẩy nhu cầu tìm tịi, khám phá chiếm lĩnh người học; phát triển tư duy, phát huy khả tự học học sinh Thực tế cho thấy qua năm giảng dạy ở trường THCS Tôi nhận thấy rằng các em học sinh, nhất là lớp phải chịu nhiều áp lực việc thi cử đặc biệt thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thi vào các trường chuyên Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức bản không thể thiếu đó là chương “Góc với đường trịn” SGK Tốn Tập 2- Trang 88 Nhà xuất giáo dục Đề thường cho dưới dạng: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn Phần lớn các em bối rối không làm được bài, bởi vì các em chưa nhận thấy được các kiện tốn đã cho có liên quan đến mợt kiến thức rất quan trọng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn mà các em đã được học Xuất phát từ lý đó, qua nhiều năm giảng dạy lớp và học hỏi ở đồng nghiệp, rút được một số kinh nghiệm cho bản thân để em giải quyết được vấn đề khó khăn ở Chính vì vậy tâm đắc chọn đề tài: “ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT ” II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 2.1.Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm mục đích: + Giúp cho thân có kiến vững vàng công tác giảng dạy ôn tập cho học sinh + Giúp cho học sinh vững tin việc ôn tập làm thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT + Giúp học sinh lớp tiếp cận giải dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn chương trình THCS hành + Rèn luyện cho học sinh về khả giải toán, khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho tốn để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lòng say mê, sáng tạo học tập 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu + Đưa kiến thức, bài tập dạng toán “Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn” phần Hình học 9, một số dấu hiệu nhận biết phương pháp đơn giản cần đạt học sinh quá trình giải toán + Đề xuất số phương pháp phân loại toán theo thứ tự từ dễ đến khó cho học sinh tiếp cận từ từ, đồng thời rèn luyện cho học sinh tìm tịi lời giải III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài được áp dụng cho đối tượng học sinh lớp THCS hành đặc biệt dùng cho học sinh lớp đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT về dạng bài tập Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4.1 Nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu vấn đề liên quan đến đề tài sáng kiến kinh nghiệm 4.2 Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát thực trạng dạy học mơn Hình học nói chung dạy học dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn nói riêng cho đới tượng học sinh lớp đại trà Thông qua đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT địa bàn năm trước, thông qua chấm, chữa các bài kiểm tra, các bài thi của học sinh thông qua hoạt động học tập em, để từ có sở phân dạng dạng toán phù hợp cho học sinh để ôn tập làm thi 4.3 Thực nghiệm sư phạm: Trong trình nghiên cứu đề tài, khảo sát thực trạng trước nghiên cứu tiếp tục khảo sát sau áp dụng đề tài để xem xét tính khả thi hiệu biện 4.4 Giả thuyết khoa học: Nếu q trình học tập em có phương pháp học tập tốt, biết phân dạng tập, nhận dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường trịn, chương “Góc với đường trịn” (Chương III - Hình Học 9-Tập 2) kết chất lượng cao, học sinh lo sợ nhiều việc lĩnh hội tri thức B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn thường gặp Ḿn giải được bài tập dạng đòi hỏi học sinh phải nắm vững dấu hiệu nhận biết và phải biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập Cái khó ở là kĩ vẽ hình các em học sinh yếu Chính vì vậy mợt sớ em có học lực trung bình, yếu khơng làm được bài tập Vì vậy cần phải rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình nhận thấy được mới quan hệ qua lại giữa Hình học đơn vị kiến thức liên quan để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó cách linh hoạt vào việc giải bài tập, làm thi tự tin Từ thực tế nguyên nhân kinh nghiệm giảng dạy thân, để nâng cao chất lượng dạy học môn phân loại dạng tập giúp học sinh yếu có hội làm tốn, tơi sưu tầm số dạng toán qua đề thi năm trước để thực học sinh dễ tiếp cận, với đề tài “ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT ” Tôi hệ thống số dạng tập mà học sinh có học lực yếu, tiếp cận giải Với dạng đưa kiến thức cần sử dụng ví dụ minh hoạ phù hợp Ngồi cịn có dạng tập liên quan nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn, kích thích lịng say mê hứng thú học mơn Tốn, phát triển tư độc lập sáng tạo lực tự học cho học sinh lớp II THỰC TRẠNG Như biết địa bàn tỉnh Hà Tĩnh công tác tuyển sinh vào lớp 10 THPT, Sở giáo dục đào tạo đổi hình thức thi tuyển nhằm chọn lọc phân loại trình độ học sinh Phương pháp thi tuyển gồm mơn thi Tốn, Văn bắt buộc môn thứ ba Sau thi tuyển Sở GD-ĐT công bố điểm xếp hạng trường THCS theo điểm môn tuyển sinh từ cao xuống Điều khiến trường nỗ lực cao giảng dạy, ôn tập cho học sinh để đạt yêu cầu cao chất lượng tuyển sinh tăng vị trí xếp hạng hàng năm Từ thực tiễn mà cán quản lý mà giáo viên học sinh tìm tịi phương pháp kiến thức trọng tâm để nhằm ơn tập cho học sinh có kết Với trường nằm vùng xa xôi khó khăn huyện Hương Khê việc giúp học sinh tăng lên điểm vấn đề đòi hỏi nổ lực nhiều thầy trị có kết Đặc biệt q trình giảng dạy ơn tập cho học sinh, người thầy phải phân dạng toán để ôn tập cho phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Đặc biệt dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn thường gặp đề thi vào lớp 10 THPT Trước nghiên cứu đề tài khảo sát 90 em học sinh khối lớp có học lực tương đương trường qua năm học đề kiểm tra dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, lấy số liệu điều tra theo dõi kết khóa học lớp năm liền kề, kết cho thấy sau: Kết quả điểm kiểm tra Năm học 2018-2019 2019-2020 2020-2021 Số học sinh Đề tài 90 90 90 Chưa áp dụng Chưa áp dụng Chưa áp dụng Giỏi Khá 2% 3% 2% 7% 8% 6% Trung bình 32% 30% 32% Yếu Kém 49% 47% 49% 10% 12% 11% Qua kết điều tra khảo sát thấy tỉ lệ học sinh yếu, chiếm tỉ lệ cao, học sinh lúng túng chưa biết phân loại dạng toán, chưa nhận dấu hiệu để áp dụng, bên cạnh tâm lý lo sợ, e ngại thiếu tự tin Trong chương trình toán THCS, môn Hình học là rất quan trọng và rất cần thiết cấu thành nên chương trình toán học cấp THCS cùng với môn số học và đại số Hình học là một bộ phận đặc biệt của toán học Phân môn Hình học này có tính trừu tượng cao, học sinh ln coi là mơn học khó Với mơn Hình học môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả đo đạc, tính tốn, suy luận logíc, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Đặc biệt rèn luyện cho học sinh đại trà cách tìm lời giải tập tốn Vì vậy ḿn học tốt môn học này không những đòi hỏi học sinh phải có các kĩ đo đạc tính toán các môn học khác mà còn phải có kĩ vẽ hình, khả tư hình học, khả phân tích tìm lời giải bài toán khả khai thác cách giải phát triển tốn theo cách có hệ thống Điều dẫn đến số thực trạng có khơng học sinh lớp chuyên tâm vào học môn Đại số bỏ mặc mơn Hình học Ngun nhân có nhiều ngun nhân em khơng biết định hướng chứng minh, khơng tìm mối liên hệ kiến thức cịn khơng biết cách trình bày lời giải Với tầm quan trọng vậy, để khắc phục tình trạng giúp em có nhìn đắn việc học mơn Hình học Trong q trình giảng dạy, bên cạnh tìm phương pháp dạy lý thuyết thích hợp, người thầy cố gắng rèn cho học sinh khả định hướng chứng minh qua nội dung tập, củng cố lý thuyết tập luyện tập Trên thực tế cách chứng minh tứ giác nội tiếp thể định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK Toán tập SGK chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên chưa đặt dấu hiệu thành hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn cho học sinh; nhiều học sinh khơng hiểu sở dấu hiệu Dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Với học sinh lớp dạng toán lạ lại quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại tốn giải lớp ( Hình chữ nhật) để có cách giải hay cách lý giải khác Với lý đề tài đưa số cách để chứng minh tứ giác nội tiếp sau học sinh học xong “Tứ giác nội tiếp đường tròn” Trước thực trạng trên, địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp, từ thúc dục thân tơi tìm hiểu thực nghiên cứu đề tài III CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong nội dung tơi xin trình bày số dạng toán giúp học sinh dễ tiếp cận số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường trịn giải số dạng tốn đơn giản, sau: - Phương pháp 1: Chứng minh điểm cách điểm - Phương pháp 2: Định lý thuận, định lý đảo “Tứ giác nội tiếp đường trịn” Trang 87, 88 SGK Tốn tập - Phương pháp 3: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Phương pháp 4: Các toán quỹ tích cung chứa góc IV CÁC DẠNG TỐN CỤ THỂ: - Khi dạy xong “Tứ giác nội tiếp đường trịn” Trang 87,88 SGK Tốn tập Học sinh tự rút cách chứng minh tứ giác nội tiếp là: Dạng 1: ( Định nghĩa) Nếu tứ giác ABCD có: D C A O B OA = OB = OC = OD ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm O bán kính OA (Hay tứ giác ABCD có A, B, C, D thuộc đường trịn (O) tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) Dạng 2: (Tính chất) Nếu tứ giác ABCD có: D C ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn Với tốn đặc biệt hơn, tứ giác ABCD có: A O => B =>Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Đây cách đơn giản thường gặp D C x Dạng 3: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Khai thác: Sử dụng tính chất hai góc kề bù gọi A O tia đối tia CD tia Cx chẳng hạn: B Giả sử: Mà hai góc kề bù nên => Suy tứ giác ABCD nội tiếp (Tổng hai góc đối 1800 ) D Dạng 4: Các toán quỹ tích cung chứa góc O A Xét tứ giác ABCD có Với C, D nằm nửa mặt phẳng bờ chứa AB ta chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Ta có: AB cố định nên C D nằm cung chứa góc dựng đoạn AB (theo tốn quỹ tích cung chứa góc ) Suy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp Vậy ta có cách thứ tư để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn C B D A C O B Với trường hợp đặc biệt : Khi cho = 90o ta có Và hai điểm C, D liên tiếp nhìn đoạn thẳng AB cố định góc 900 Suy tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AB Ta xét thêm trường hợp dựa vào kết tốn phương tích: Từ M điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai cát A tuyến MAB, MCD B Chứng minh MA.MB = MC MD C O Ta chứng minh ∆MAD ∆MCB (g-g) => => MA.MB = MC MD Đảo lại: Nếu có: MA.MB = MC.MD D A MB; C MD Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Ta dễ dàng chứng minh ∆MAD ∆MCB (c-g-c) => Suy tứ giác ABCD nội tiếp ( Quỹ tích cung chứa góc) Với trường hợp đa phần ứng dụng để chứng minh đẳng thức: a.b = c.d Như với cách nghiên cứu với định nghĩa đường trịn ta có số cách chứng minh (dấu hiệu nhận biết) nhanh tứ giác nội tiếp đường tròn để vận dụng làm tập V MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH “TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRỊN” Dạng 1: Tứ giác có đỉnh cách điểm Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác Với dạng tốn này, ta chứng minh điểm cách điểm Để sử dụng phương pháp này, học sinh cần biết tìm điểm mà điểm khác cách biết vận dụng sở để chứng minh Giáo viên cần chuẩn bị tốt cho học sinh kiến thức liên quan (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền - Bài: Hình chữ nhật – Hình học 8) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền ( Hình học – Ơn tâp chương II ) Phương pháp : Vận dụng tam giác vng có cạnh huyền chung Nếu hai hay nhiều tam giác vuông có cạnh huyền chung ta chứng minh đa giác tạo thành đỉnh tam giác nội tiếp đường trịn Với kiến thức ta chứng minh dạng tập B Bài toán 1.1: C Cho tứ giác ABCD có: Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc A D đường tròn Xác định tâm đường trịn O Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Ta xét tam giác vng có cạnh huyền chung? Dễ dàng ta tìm tam giác vng có cạnh huyền Vậy tâm đường tròn trung điểm cạnh huyền Lời giải : Gọi O trung điểm AD ∆ABD vuông B nên ∆ABD nội tiếp đường trịn đường kính AD ∆ACD vuông C nên ∆ACD nội tiếp đường trịn đường kính AD => A, B, C, D thuộc đường trịn đường kính AD Tâm đường trịn trung điểm O đoạn thẳng AD Bài toán 1.2: Cho tứ giác ABCD có Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Xác định tâm đường trịn Phân tích tìm lời giải: Tương tự toán 1.1, ta xét tương tự tam giác vng có cạnh huyền chứng minh điểm thuộc đường tròn Lời giải : Nối AC, gọi O trung điểm AC B A C O D ∆ABC vuông B nên ∆ABC nội tiếp đường trịn đường kính AC ∆ADC vng D nên ∆ADC nội tiếp đường trịn đường kính AC => A, B, C, D thuộc đường tròn đường kính AC Tâm đường trịn trung điểm O đoạn thẳng AC Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BH, CK Chứng minh điểm B, C, H, K thuộc đường tròn Xác định tâm đường trịn Phân tích tìm lời giải: Với yêu cầu toán, ta A cần xét tam giác vng có cạnh K huyền? Vì tam giác vng ? Lời giải : H Ta có BH đường cao tam giác ABC nên C B O Suy ∆BCH vuông H nên ∆BCH nội tiếp đường trịn đường kính BC (1) Tương tự, ta có CK đường cao tam giác ABC nên 900 Suy ∆BCK vuông K nên ∆BCK nội tiếp đường trịn đường kính BC (2) Từ (1) (2) => B, H, C, K thuộc đường trịn đường kính BC Gọi O trung điểm BC=> Tâm đường tròn trung điểm O BC Nhận xét chung: Với dạng toán ta dễ dàng chứng minh điểm thuộc đường tròn xác định tâm đường trịn Ở cách chứng minh em cần phải chứng minh tam giác vuông, em hay sai sót chỗ ghi góc vng Một số em cịn sử dụng kiến thức đường trung tuyến ứng vơi cạnh huyền để xác định điểm cách điểm Tuy nhiên cách chứng minh dài dịng Dạng 2: Tứ giác có tổng số đo hai góc đối 1800 Phương pháp: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn (định lý đảo trang 88 SGK Tốn tập 2) Với dạng tốn cần nhìn nhận cách cụ thể, phán đốn tốt cặp góc đối điện, nhận đính sai cặp góc dẫn đến chứng minh khơng hiệu Bài tốn 2.1: Cho tứ giác ABCD có Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường B tròn Phân tích tìm lời giải: Với tập ta dễ dàng chọn cặp góc đối diện C A O D Lời giải : Xét tứ giác ABCD có => Suy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC (Tổng hai góc đối diện 1800 ) Tâm đường tròn trung điểm O cạnh AC Nhận xét: Một số em nêu hai góc 900 chưa cộng tổng hai góc Một số em hay sai phần giải thích: Hai góc đối diện 1800 Bài toán 2.2: Cho nửa đường trịn tâm (O) đường kính AB = 2R , phía nửa đườn tròn vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính AO Từ A kẻ dây cung AC cắt đường trịn (O’) D Từ C hạ CH vng góc AB Chứng minh tứ giác ODCH nội tiếp, xác định tâm I đường trịn Phân tích tìm lời giải: Với tập này, C em khó khăn việc tìm cặp góc đối diện để chứng minh tứ giác nội tiếp D Giáo viên gợi mở, tứ giác I ODCH có góc đặc biệt? ( ) A B Vậy góc đối diện ta cần chứng minh O H O' nào? Lời giải : Xét đường trịn (O’) có ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) => (hai góc kề bù); (CH vng góc AB) Xét tứ giác ODCH có: (chứng minh trên) (chứng minh trên) => Suy tứ giác ODCH nội tiếp đường trịn đường kính OC (Tổng hai góc đối diện 1800 ) Tâm đường trịn trung điểm I OC Bài tốn 2.3: Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B tiếp điểm ), cát tuyến SCD ( C nằm S D) Gọi H trung điểm CD Chứng minh điểm S, A, H,O, B, thuộc đường trịn Xác định tâm đường trịn Phân tích tìm lời giải: A Mức độ tốn khó D phải chứng minh điểm C H thuộc đường trịn Chúng ta chia S O nhỏ để chứng minh điểm thuộc đường trịn Ta chứng minh tứ giác nội B tiếp đường tròn? (Tứ giác SAOB tứ giác SHOB) Với tứ giác SAOB ta dễ dàng chọn cặp góc đối diện nhờ hình vẽ tiếp tuyến SA, SB Với tứ giác SHOB ta có nhận xét điểm H? ( Kiến thức cần dùng quan hệ đường kính dây) Ở ta sử dụng kiến thức phần kết luận để suy vấn đề cần chứng minh cho điểm H 10 Nhận xét: Với dạng toán ta cần chứng minh hai góc nhìn đoạn thẳng Bài tốn 4.2: Hai đường trịn (O) (O’) cắt A hai điểm A B Gọi EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (E (O), O O' F(O’)) AB cắt EF I a) Chứng minh ∆IEA ∆IBE B IE = IA.IB I E F b) Gọi C điểm đối xứng B qua I C Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp Phân tích tìm lời giải: Vậy để chứng minh tứ giác AECF nội tiếp ta cần chứng minh hai góc nhìn đoạn thẳng nào? ( ) Khai thác đề tốn ta chứng minh ? Ta sử dụng góc trung gian khơng? Như ta cần chứng minh ∆BEI = ∆CFI Giáo viên gợi ý học sinh chứng minh I trung điểm EF Lời giải : Xét đường trịn (O) có ( chắn cung BE ) (1) Ta có: ∆IEA ∆IBE (g.g) IE2 = IA.IB Ta có: ∆IFB ∆IAF (g.g) IF2 = IA.IB => IE2 = IF2 => IE =IF Xét ∆BEI ∆CFI có: IE =IF ; IB = IC ( đối đỉnh) => ∆BEI = ∆CFI ( c.g.c) => (2) Từ (1) (2) => Xét tứ giác BECF có: Ta có hai điểm A F liên tiếp nhìn đoạn thẳng EC góc nên tứ giác BECF nội tiếp đường trịn ( Quỹ tích cung chứa M góc) Bài toán 4.3: Cho ABC cân A nội tiếp (O) Trên tia A đối tia AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM=CN O Chứng minh tứ giác AMNO nội tiếp Phân tích tìm lời giải: Tương tự tập 4.2, ta có C B thể chứng minh hai góc nhau? ( N ) Ta chứng minh hai tam giác có chứa hai góc khơng? Nhận xét tia AO? ( Tia phân giác) 17 Lời giải : ∆ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) nên AO đường trung trực vừa phân giác nên ∆OAC cân O (OA = OC) => => => ( kề bù với hai góc nhau) Xét ∆AOM ∆CON có: OA = OC (bán kính); ( chứng minh trên); AM = CN(gt) =>∆AOM = ∆CON (c.g.c) => (hai góc tương ứng ) Xét tứ giác AMNO có: Ta có hai điểm M N liên tiếp nhìn đoạn thẳng OA góc nên tứ giác AMNO nội tiếp đường trịn (Quỹ tích cung chứa góc ) Bài tốn 4.4: Cho đường trịn (O; R) Và điểm A nằm ngồi (O; R) Đường trịn đường kính AO cắt đường trịn (O; R) M N Đường thẳng d qua A cắt (O; R) B C ( d không qua O; điểm B nằm A C) Gọi H trung điểm BC a) Chứng minh: AM tiếp tuyến (O; R) H thuộc đường tròn đường kính AO b) Đường thẳng qua B vng góc với OM cắt MN D cắt MC E Chứng minh rằng: Tứ giác BDNH nội tiếp c) Đường thẳng DH song song với đường thẳng MC d) Chứng minh E trung điểm MC Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh tứ giác BDHN nội tiếp ta cần chứng minh cặp góc nhau? ( ) Ta dựa vào góc trung gian nào? dựa sở nào? Vì ? Lời giải : Xét đường trịn đường kính AO có: (1) ( hai góc nội tiếp chắn cung MH) Lại có (gt) (tính chất tiếp tuyến ) M E BD // AM ( từ vng góc đến song C D song) B H (2) ( hai góc đồng A O vị) Từ (1), (2) suy Xét tứ giác tứ giác BDHN có N Ta có hai điểm B N nhìn đoạn thẳng DH góc => Tứ giác BDHN nội tiếp đường tròn ( quỹ tích cung chứa góc) Dạng 5: Sử dụng điểm trung gian đề chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp: Ngồi dạng tốn trên, để chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn ta sử dụng đỉnh trung gian để chứng minh tứ giác nội tiếp 18 Bài toán 5.1: Từ điểm S nằm ngồi A đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến SA, SB D ( A, B tiếp điểm ), cát tuyến SCD ( C C nằm S D) Gọi H trung điểm H CD S O Chứng minh điểm A, B, O, H thuộc đường trịn Phân tích tìm lời giải: Mức độ B tốn khó chứng minh phương pháp trình bày Học sinh khơng biết đâu? Giáo viên gợi mở cách cho học sinh có nhận xét điểm S khơng? Như yêu cầu toán chứng điểm thuộc đường tròn Bây toán lại quay dạng Lời giải : Xét tứ giác SAOB có: SA, SB tiếp tuyến đường tròn (O) nên => Suy tứ giác SAOB nội tiếp đường trịn đường kính SO (1) ( Tổng hai góc đối diện 1800 ) Xét đường trịn (O) có H trung điểm CD nên OH CD nên Xét tứ giác SHOB có Suy tứ giác SHOB nội tiếp đường tròn đường kính SO (2) ( Tổng hai góc đối diện 1800 ) Từ (1) (2) => S, A, O, B, H thuộc đường trịn đường kính SO Suy A, O, B, H thuộc đường tròn đường kính SO Bài tốn 5.2: Trên ( O;R ) lấy điểm A, B cho AB < 2R Gọi giao điểm tiếp tuyến (O) A, B M Qua A, B kẻ dây AC, BD song song với Gọi giao điểm dây AD, A BC N Chứng minh tứ giác AMBN nội tiếp đường trịn M Phân tích tìm lời giải: Vẫn xây dựng C O toán 5.1, để chứng minh tứ giác MANB nội tiếp học sinh gặp khó khăn N lý luận tính số đo góc theo số B D đo cung Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác điểm O điểm trung gian Lời giải : Xét đường trịn (O) có AC / / BD nên AB = CD 19 => = sđAB+ sđCD= sđAB ( góc có đỉnh bên đường trịn) sđAB ( góc tâm) => Xét tứ giác OABN có Ta có hai điểm O N liên tiếp nhìn đoạn thẳng AB góc => Tứ giác OABN nội tiếp đường tròn (1)( Quỹ tích cung chứa góc) Xét tứ giác MAOB có: MA, MB tiếp tuyến đường tròn (O) nên => Suy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO (2) (Tổng hai góc đối diện 1800 ) Từ (1) (2) => Tứ giác MANB nội tiếp đường trịn ( chung điểm O, A, B) Dạng 6: Bài toán ứng dụng tứ giác nội tiếp đề chứng minh đẳng thức kép Với dạng tốn chứng minh đẳng thức kép, khơng học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn Mà dạng tốn có nhiều kì thi học sinh giỏi cấp Để giải dạng tốn này, thường nhìn nhận vấn đề theo tốn “ Phương tính” ( Đẳng thức mà tứ giác nội tiếp có ), kết học cấp THPT học sinh bồi dường HSG huyện Kết sử dụng theo cách suy luận phải chứng minh tam giác đồng dạng dùng Bài toán 6.1: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BD, CE Gọi H giao điểm BD CE Chứng minh: BE AB + CD AC = BC2 Phân tích tìm lời giải: A Để có kết BE BA = a.b ta cần D tứ giác nội tiếp phải có chứa cạnh E H O' O BC? Tương tự CD.CA = c.d vậy? Làm để thỏa mãn hai vấn đề đó? Giáo viên B C gợi mở học sinh kẻ đường cao thứ (AK) K Vậy theo tích chất tứ giác nội tiếp ta có kết nào? BE BA=BK.BC; CD.CA=CK.CB ( Chứng minh tam giác đồng dạng) Lời giải : Kẻ đường thẳng AH cắt BC K H trực tâm ∆ABC nên AK BC => ∆BKA ∆BEC (g.g) => A =>BE BA=BK.BC (1) O B N C D H M 20 ∆CDB ∆CKA (g.g) => => CD.CA=CK.CB (2) Cộng (1) (2), ta có: BE AB + CD AC = BC( BK + CK) = BC2 Bài toán 6.2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Các cạnh đối AD BC kéo dài cắt M, cạnh đối AB DC kéo dài cắt N Chứng minh: MD.MA + NB.NA =MN2 Phân tích tìm lời giải: Tương tự tập 6.1, ta chứng minh MD.MA = a.b NB.NA = c.d cách nào? Sử dụng tứ giác nội tiếp dễ dàng chứng minh: MD.MA = MC.MB NB.NA = NC.ND (vì tứ giác ABCD nội tiếp ) Để sử dụng kết MN2 ta cần thể điều gì? ( Tạo tứ giác nội tiếp nằm cạnh MN cách kẻ CH cho ) Lời giải : Ta có tứ giác ABCD nội tiếp nên ( góc nội tiếp chắn CD) => ∆ MAC ∆ MBD (g.g) => => MD.MA=MC.MB (1) Chứng minh tương tự ta có: NB.NA = NC.ND (2) Kẻ CH cho => ∆ MCH nội tiếp ) => => ∆ MNB (g.g) => => MC.MB = MN.MH (3) ( Tứ giác ABCD nội tiếp ); (Tứ giác BCNH => ∆ NCH ∆ NMD (g.g) => NM.NH = NC.ND (4) Từ (1)(2)(3)(4) => MD.MA + NB.NA =MN(MH+NH) =MN2 Bài tốn 6.3: Cho hình bình hành ABCD Gọi E hình chiếu A CD F hình chiếu A CB F Chứng minh: CD.CE + CB.CF = AC2 Phân tích tìm lời giải: Với tốn này, B A H cần chứng minh: K O CD.CE =? CB.CF =? Rất khó khăn, C D E trì sở chung tốn tạo tứ giác nội tiếp để chứng minh đẳng thức Yếu tố phải tạo cạnh AC Ta có góc E góc F góc vng nên dễ tạo thành tứ giác nội tiếp ( kẻ BK AC; DH AC) Lời giải : 21 Kẻ BK AC; DH AC ∆ CDH ∆ CAE (g.g) => => CD.CE = CA.CH (1) ∆ CBK ∆ CAF (g.g) => => CB.CF = CA.CK (2) Cộng (1) (2) ta được: CD.CE +CB CF = CA (CH+CK) (3) ∆ CBK = ∆ ADH (cạnh huyền - cạnh góc vng) =>CK = AH Thay vào (3) ta được: CD.CE +CB CF = CA(CH+AH) = AC2 Nhận xét chung: Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp dựa sở từ tốn gốc Tuy nhiên khơng nhiều học sinh vận dụng thành thạo để chứng minh toán Với dạng toán dạng toán 2, học sinh dễ dàng nắm bắt phương pháp chứng minh, song hạn chế phương pháp sử dụng góc vng làm tảng, gặp trường hợp khơng có góc vng học sinh lúng túng, khơng chứng minh Với dạng tốn dạng tốn 4, khó áp dụng nhiều Tóm lại khơng có phương pháp hoàn hảo áp dụng dễ dàng cho toán, cần phải vận dụng linh hoạt phương pháp việc chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn hay điểm thuộc đường trịn Việc tìm hiểu nhiều cách giải khác cho tốn có vai trị to lớn việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thơng minh óc sáng tạo cho học sinh Sở dĩ cố gắng tìm cách giải khác tốn học sinh có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác tốn, hiểu sâu mối quan hệ cho phải tìm Đồng thời, việc tìm nhiều cách giải khác giúp học sinh có dịp so sánh cách giải đó, chọn cách hay tích luỹ nhiều kinh nghiệm để giải toán Học sinh biết cách hệ thống phương pháp giải Ngồi ra, với tốn khó chưa biết cách giải, học sinh biết dù khó tốn có nhiều cách giải khác em cố gắng tìm lời giải hơn, tức tính tị mị, ham hiểu biết khơi dậy học sinh VI MỘT SỐ BÀI TỐN CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRỊN TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT Bài Cho đường trịn tâm O có đường kính MN, PQ (PQ không trùng MN) 1) Chứng minh tứ giác MPNQ hình chữ nhật 2) Các tia NP, NQ cắt tiếp tuyến M đường tròn tâm O thứ tự E, F a) Chứng minh điểm E, F, P, Q thuộc đường tròn b) Khi MN cố định, PQ thay đổi, tìm vị trí E F diện tích tam giác NEF đạt giá trị nhỏ (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2009-2010 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) 22 Bài Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC ( ) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với tia DM cắt đường thẳng DM, DC theo thứ tự H K a) Chứng minh tứ giác : ABHD BDCH nội tiếp b) Tính góc c) Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC S Chứng minh đẳng thức: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2010-2011 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Bài Trên nửa đường trịn đường kính AB, lấy hai điểm P, Q cho P thuộc cung AQ Gọi C giao điểm tia AP tia BQ; H giao điểm hai dây cung AQ BP a) Chứng minh tứ giác CPHQ nội tiếp đường tròn b) Chứng minh c) Biết AB = 2R, tính theo R giá trị biểu thức: S = AP.AC + BQ.BC (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2011-2012 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Hai đường cao AD, BE cắt H (D BC, E AC) a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn b) Tia AO cắt đường tròn (O) K ( K khác A) Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành c) Gọi F giao điểm tia CH với AB Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2012-2013 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Bài Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn.Vẽ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N thuộc (O)) Qua A vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) hai điểm B,C phân biệt (B nằm A,C) Gọi H trung điểm đoạn thẳng BC a) Chứng minh tứ giác ANHM nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AN2 = AB.AC c) Đường thẳng qua B song song với AN cắt đoạn thẳng MN E Chứng minh: EH // NC 23 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2013-2014 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Bài Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh BCEF nội tiếp đường tròn b) Biết , , BC = a Tính diện tích tam giác ACD theo a (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2014-2015 sở GD-ĐT Hà Tĩnh-Mã đề 1) Bài Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AM, BN, CP cắt H a) Chứng minh BCNP nội tiếp đường trịn b) Biết , , BC = a Tính diện tích tam giác ACM theo a (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2014-2015 sở GD-ĐT Hà Tĩnh-Mã đề 2) Bài Cho tam giác nhọn ABC, đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC D E Gọi H giao điểm BE CD a) Chứng minh rằng: Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn b) Gọi K giao điểm đường thẳng BC với đường thẳng AH Chứng minh rằng: BHK ACK d) Chứng minh rằng: KD + KE BC Dấu “=” xảy nào? (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2015-2016 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn có bờ đường thẳng AB, kẻ tia Ax vng góc với AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến MC (C tiếp điểm, C khác A) Đoạn AC cắt OM E, MB cắt nửa đường tròn D (D khác B) a) Chứng minh AMCO MADE tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh hai tam giác MDO MEB đồng dạng c) Gọi H hình chiếu vng góc C lên AB, I giao điểm MB CH Chứng minh EI AM (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2016-2017 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Bài 10: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định I điểm cố định thuộc đoạn OA (I không trùng O A).Qua I vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt đường tròn tâm O M N gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN ( C không trùng điểm M, N B) Gọi E giao điểm AC MN a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn 24 b) Chứng minh AE AC = AI AB c) Chứng minh điểm C thay đổi cung lớn MN đường tròn tâm O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CME thuộc đường thẳng cố định (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2017-2018 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Bài 11: Cho tam giác MNP có ba góc nhọn (MN < MP) nội tiếp đường trịn (O;R).Vẽ đường kính MQ đường trịn (O;R), đường cao ME tam giác MNP (E NP) NF vuông góc với MQ (F MQ) a) Chứng minh tứ giác MFEN nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ME QP = MP NE c) Gọi K trung điểm NP, chứng minh KE = KF (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:2018-2019 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Bài 12: Cho đường tròn tâm O điểm M nằm ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (E, F tiếp điểm) Đường thẳng (d) thay đổi qua M, khơng qua O ln cắt đường trịn hai điểm phân biệt P Q (P nằm M Q) a) Chứng minh EMFO tứ giác nội tiếp b) Chứng minh MP MQ = ME2 c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác OPQ ln qua điểm cố định khác O (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.Năm học:2019-2020 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Bài 13: Cho đường trịn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi đoạn OM ( I khác M) Đường thẳng qua I vng góc với MN cắt (O) P Q Trên tia đối tia NM lấy điểm S cố định Đoạn PS cắt (O) E, gọi H giao điểm EQ MN a) Chứng minh tam giác SPN tam giác SME đồng dạng b) Chứng minh độ dài đoạn OH khơng phụ thuộc vào vị trí điểm I (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.Năm học:2020-2021 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Bài 14: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.Năm học:2021-2022 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn tâm O; E điểm cung nhỏ BC a) Chứng minh CAE = BCE b) Gọi M điểm cạnh AC cho EM=EC (M C); N giao điểm BM với đường tròn tâm O ( N B) Gọi I giao điểm BM với AE; K giao điểm AC với EN Chứng minh Tứ giác EKMI nội tiếp (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.Năm học:2021-2022 sở GD-ĐT Hà Tĩnh) 25 VII HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Sau nghiên cứu áp dụng đề tài này, khảo sát 90 em học sinh khối lớp có học lực tương đương tơi đề kiểm tra dạng tốn: “ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn” Tôi thấy kết khả quan, sau: Kết quả điểm kiểm tra Năm học 2018-2019 2019-2020 2020-2021 2021-2022 Số học sinh Đề tài 90 90 90 90 Chưa áp dụng Chưa áp dụng Chưa áp dụng Đề tài áp dụng Giỏi Khá 2% 3% 2% 14% 7% 8% 6% 19% Trung bình 32% 30% 32% 56% Yếu Kém 49% 47% 49% 11% 10% 12% 11% 0% Trên là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán “ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn”, qua việc áp dụng đề tài tơi thấy kết thu khả quan Qua kết điều tra khảo sát (Chỉ lấy phần chứng minh tứ giác nội tiếp) thấy học sinh tiến nhiều giải dạng toán này, tỉ lệ học sinh Yếu, Kém giảm xuống rõ rệt, tỉ lệ học sinh Khá, Giỏi, Trung bình tăng lên nhiều đề tài thực có hiệu học sinh lớp đặc biệt có hiệu giúp học sinh lớp ơn tập để làm tốt thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tới 7.1 Tác dụng học sinh - Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bỡ ngỡ vì không biết phải xuất phát từ đâu gặp mợt sớ bài tốn mà tơi đã trình bày ở Nguyên nhân chính ở là các em lực học mơn Hình học học sinh cịn thấp, nói đến mơn Hình học thì học sinh thường ngại học, đặc biệt trình vận dụng kiến thức học vào tập thực tiễn, quá trình làm bài tập còn gặp nhiều bế tắc, không biết bắt đầu từ đâu, không biết nhìn nhận phân tích hình vẽ để làm bài, trình giải suy luận thiếu luẩn quẩn, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện Đa số học sinh chỉ làm những bài toán chứng minh hình học đơn giản; song thực tế nội dung của bài toán hình thì rất phong 26 phú có nhiều cách giải khác Việc khai thác phát triển bài toán học sinh rất hạn chế, cả những học sinh Khá, Giỏi cũng lúng túng chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến thức học để giải bài toán chứng minh hình học - Sau áp dụng đề tài nhận thấy rằng các em bắt đầu hiểu và biết cách áp dụng chúng một cách triệt để Kết cho thấy em có tiến rõ rệt kĩ khả phân tích đề bài, ý tưởng tìm hướng giải kĩ trình bày Một số em tìm tịi, khai thác tốn tương đối tốt Qua kích thích say mê, tìm tịi sáng tạo học sinh học hình học nói riêng và môn toán nói chung Do kết học tập thái độ u thích mơn hình học học sinh nâng lên Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được bài tăng lên rõ rệt 7.2 Tác dụng thân Qua việc áp dụng đề tài nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều khâu phải giải bài tập cho học sinh Trước chưa áp dụng đề tài phần lớn các em giải không được mà kết quả đem lại không được nhiều, giáo viên phải làm việc nhiều học sinh, học sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức Sau sử dụng đề tài này thấy học sinh có ý thức học tốt hơn, biết tự mình phát hiện kiến thức và biết áp dụng chúng, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Khi áp dụng đề tài vào quá trình giảng dạy, nhận thấy học sinh rất hứng thú học tập, bài giảng huy động được nhiều học sinh tham gia, các học sinh yếu, kém cũng có thể làm được bài tập đơn giản Bên cạnh đó giáo viên đỡ phải vất vã thuyết trình mà chỉ gợi ý cho các em tự suy nghĩ và tự phát hiện kiến thức sau đó vận dụng Trước nhu cầu chính đáng muốn vươn lên học tốt của học sinh và hòa vào không khí thi đua tích cực đởi mới phương pháp dạy học hiện nay, xin góp một số kinh nghiệm của mình để trao đổi với các đồng nghiệp, với mục đích là nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường đặc biệt thi tuyển 27 sinh vào lớp 10 THPT Bài viết chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý của đồng nghiệp để đề tài được áp dụng rộng rãi học sinh phục vụ cho học sinh ôn tập làm thi đạt kết tốt Kiến nghị Các kết nghiên cứu cịn phát triển theo nhiều hướng Chẳng hạn, nghiên cứu phân loại dạng tốn nhiều chun đề ơn tập phân mơn hình học, đại số mơn học khác trường trung học sở Đề tài nhằm giúp cho học sinh lớp đại trà với mục đích đề tài nâng cao chất lượng điểm thi vào lớp 10 THPT Do thời gian kinh nghiệm có hạn nên lượng tập đưa đơn giản chưa thật phong phú, đa dạng, đầy đủ, khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đồng nghiệp góp ý để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! 28 MỤC LỤC Mục Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn (Thực trạng) Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Các dạng toán cụ thể Một số toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Dạng 1: Tứ giác có đỉnh cách điểm Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Dạng 2: Tứ giác có tổng số đo hai góc đối 1800 Dạng 3: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Dạng 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc Dạng 5: Sử dụng điểm trung gian đề chứng minh tứ giác nội tiếp 11 Dạng 6: Bài toán ứng dụng tứ giác nội tiếp đề chứng minh đẳng thức kép 20 Một số toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 22 16 18 đề thi vào lớp 10 THPT Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 26 C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 27 Kết luận 27 Kiến nghị 28 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa TOÁN –Tập (Nhà xuất giáo dục 2011) Sách tập TỐN (Nhà xuất giáo dục 2011) ƠN TẬP HÌNH HỌC LỚP (Nhà xuất giáo dục 2011) ƠN TẬP THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN (Nhà xuất giáo dục 2011) Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Sở GD-ĐT Hà Tĩnh năm 2011 TẠP CHÍ TỐN HỌC TUỔI THƠ TẠP CHÍ TỐN HỌC TUỔI TRẺ 30 31
Ngày đăng: 20/04/2023, 16:54
Xem thêm:
