Đang tải... (xem toàn văn)
Mục tiêu nghiên cứu đề tài nhằm giúp cho bản thân có kiến vững vàng hơn trong công tác giảng dạy và ôn tập cho học sinh; Giúp cho học sinh vững tin hơn trong việc ôn tập và làm bài thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT; Giúp học sinh lớp 9 tiếp cận và giải được dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn trong chương trình THCS hiện hành.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động dạy học tích cực cho người học. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy nhu cầu tìm tịi, khám phá chiếm lĩnh của người học; phát triển tư duy, phát huy khả năng tự học của học sinh Thực tế cho thấy q ua những năm giang day ̉ ̣ ở trương THCS. Tôi nhân ̀ ̣ thây răng cac em hoc sinh, nhât la l ́ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ơp 9 phai chiu nhiêu ap l ́ ̉ ̣ ̀ ́ ực trong viêc thi ̣ cử đặc biệt là thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và thi vao cac tr ̀ ́ ương chuyên ̀ Ma ̀ở cac ky thi đo, nôi dung đê thi th ́ ̀ ́ ̣ ̀ ường rơi vao kiên th ̀ ́ ức cơ ban không ̉ thê thiêu đo la ch ̉ ́ ́ ̀ ương “Góc với đường trịn” SGK Tốn 9 Tập 2 Trang 88 Nhà xuất bản giáo dục. Đề bài thường cho dươi dang: Ch ́ ̣ ứng minh tứ giác nào đó nội tiếp một đường trịn. Phân l ̀ ơn cac em r ́ ́ ất bối rối khơng lam ̀ được bai, b ̀ ởi vi cac em ch ̀ ́ ưa nhân thây đ ̣ ́ ược cac d ́ ữ kiện của bài tốn đã cho co liên quan đên mơt kiên th ́ ́ ̣ ́ ưc rât quan trong v ́ ́ ̣ ề dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp một đường tròn ma cac em đa đ ̀ ́ ̃ ược hoc. Xuât phat t ̣ ́ ́ ư lý do đo, ̀ ́ qua nhiều năm giang day l ̉ ̣ ớp 9 va hoc hoi ̀ ̣ ̉ ở đông nghiêp, tôi rut ra đ ̀ ̣ ́ ược môṭ sô kinh nghiêm cho ban thân đê cùng các em giai quyêt đ ́ ̣ ̉ ̉ ̉ ́ ược vân đê kho ́ ̀ ́ khăn ở trên. Chinh vi vây tôi r ́ ̀ ̣ ất tâm đắc và chon đê tai ̣ ̀ ̀: “ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ơn thi vào lớp 10 THPT ” II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 2.1.Mục đích nghiên cứu Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích: + Giúp cho bản thân có kiến vững vàng hơn trong cơng tác giảng dạy và ơn tập cho học sinh + Giúp cho học sinh vững tin hơn trong việc ơn tập và làm bài thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT + Giúp học sinh lớp 9 tiếp cận và giải được dạng tốn Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trịn trong chương trình THCS hiện hành + Rèn lun cho h ̣ ọc sinh vê kh ̀ ả năng giai toan, khuy ̉ ́ ến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tốn để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài tốn, tạo được lịng say mê, sáng tạo trong học tập 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu + Đưa ra những kiến thức, bai tâp c ̀ ̣ ơ bản nhất của dạng tốn “Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trịn” phần Hình học 9, chỉ ra được mơt s ̣ ố dấu hiệu nhận biết và phương pháp đơn giản cần đạt của hoc sinh trong quá ̣ trinh giai toan ̀ ̉ ́ + Đề xuất một số phương pháp phân loại tốn theo thứ tự từ dễ đến khó cho học sinh tiếp cận từ từ, đồng thời rèn luyện cho học sinh tìm tịi lời giải III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đê tai đ ̀ ̀ ược ap dung cho đ ́ ̣ ối tượng hoc sinh l ̣ ơp 9 THCS hi ́ ện hành và đặc biệt dùng cho học sinh lớp 9 đại trà ôn thi vao l ̀ ơp 10 THPT vê d ́ ̀ ạng bai tâp ̀ ̣ Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trịn. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4.1. Nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của sang kiên kinh nghiêm ́ ́ ̣ 4.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát thực trạng dạy và học mơn Hình học nói chung và dạy học dạng tốn chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trịn nói riêng cho đơi t ́ ượng hoc sinh l ̣ ớp 9 đại trà Thông qua các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT trên địa bàn của những năm trước, thông qua châm, ch ́ ưa cac bai kiêm tra, cac bai thi cua hoc sinh và thông qua các ho ̃ ́ ̀ ̉ ́ ̀ ̉ ̣ t động học tập của các em, để từ đó có cơ sở phân dạng các dạng tốn phù hợp cho học sinh để ơn tập và làm bài thi. 4.3. Thực nghiệm sư phạm : Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi đã khảo sát thực trạng trước khi nghiên cứu và tiếp tục khảo sát sau khi áp dụng đề tài để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện đó 4.4. Giả thuyết khoa học: Nếu trong q trình học tập em nào cũng có phương pháp học tập tốt, biết phân dạng bài tập, nhận ra dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp một đường trịn, trong chương “Góc với đường trịn” (Chương III Hình Học 9 Tập 2) thì kết quả chất lượng sẽ cao, học sinh khơng phải lo sợ nhiều về việc lĩnh hội tri thức B. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, dạng tốn Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trịn thường gặp. Mn giai đ ́ ̉ ược baì tâp d ̣ ạng này đoi hoi hoc sinh phai năm v ̀ ̉ ̣ ̉ ́ ưng các d ̃ ấu hiệu nhận biết va phai ̀ ̉ biêt vân dung chung vao t ́ ̣ ̣ ́ ̀ ưng loai bai tâp. Cai kho ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ́ở đây la kĩ năng v ̀ ẽ hình của cac em hoc sinh r ́ ̣ ất yếu. Chinh vi vây mơt sơ em có h ́ ̀ ̣ ̣ ́ ọc lực trung bình, yếu khơng lam đ ̀ ược bai tâp. Vi vây c ̀ ̣ ̀ ̣ ần phai rèn luy ̉ ện cho hoc sinh k ̣ ỹ năng vẽ hình và nhân thây đ ̣ ́ ược mơi quan hê qua lai gi ́ ̣ ̣ ưa Hình h ̃ ọc và các đơn vị kiến thức liên quan đê cac em co thê t ̉ ́ ́ ̉ ự minh phat hiên va vân dung ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ̣ no m ́ ột cách linh hoạt vao viêc giai bai tâp, làm bài thi t ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ự tin hơn Từ thực tế nguyên nhân trên và bằng kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, để nâng cao chất lượng dạy học bộ mơn và phân loại các dạng bài tập giúp học sinh yếu kém có cơ hội làm được tốn, tơi đã sưu tầm một số dạng bài tốn qua các đề thi năm trước để khi thực hiện học sinh dễ tiếp cận, với đề tài “ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ơn thi vào lớp 10 THPT ” Tơi đã hệ thống một số dạng bài tập mà học sinh có học lực yếu, kém có thể tiếp cận và giải được. Với mỗi dạng tơi đều đưa ra kiến thức cơ bản cần sử dụng và các ví dụ minh hoạ phù hợp. Ngồi ra cịn có các dạng bài tập liên quan nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học bộ mơn tốn, kích thích lịng say mê hứng thú khi học mơn Tốn, phát triển tư duy độc lập sáng tạo và năng lực tự học cho học sinh lớp 9 II. THỰC TRẠNG Như chúng ta đã biết trên địa bàn tỉnh Hà Tĩnh cơng tác tuyển sinh vào lớp 10 THPT, Sở giáo dục và đào tạo đã đổi mới hình thức thi tuyển nhằm chọn lọc và phân loại trình độ học sinh. Phương pháp thi tuyển gồm 3 mơn thi là Tốn, Văn bắt buộc và mơn thứ ba. Sau khi thi tuyển Sở GDĐT sẽ cơng bố điểm và xếp hạng trường THCS theo điểm của 3 mơn tuyển sinh từ cao xuống. Điều này sẽ khiến các trường nỗ lực cao trong giảng dạy, ơn tập cho học sinh để đạt được u cầu cao về chất lượng tuyển sinh và tăng vị trí xếp hạng hàng năm. Từ thực tiễn này mà khơng những cán bộ quản lý mà các giáo viên ln cùng học sinh tìm tịi phương pháp kiến thức trọng tâm để nhằm ơn tập cho học sinh có kết quả Với những trường nằm ở những vùng xa xơi khó khăn như huyện Hương Khê thì việc giúp học sinh tăng lên nữa điểm là cũng cả một vấn đề địi hỏi nổ lực rất nhiều của cả thầy và trị thì mới có kết quả. Đặc biệt trong q trình giảng dạy và ơn tập cho học sinh, người thầy phải phân ra các dạng tốn để ơn tập cho phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Đặc biệt là dạng tốn Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trịn thường gặp trong đề thi vào lớp 10 THPT. Trước khi nghiên cứu đề tài tơi đã khảo sát 90 em học sinh của khối lớp 9 có học lực tương đương nhau trong một trường qua mỗi năm học và tơi đã ra đề kiểm tra dạng tốn Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trịn, lấy số liệu điều tra theo dõi kết quả cả 3 khóa học lớp 9 trong những năm liền kề, kết quả cho thấy như sau: Năm hoc̣ Số học sinh 20182019 90 20192020 90 20202021 90 Kêt qua điêm kiêm tra ́ ̉ ̉ ̉ Đê tai ̀ ̀ Chưa dung ̣ Chưa dung ̣ Chưa dung ̣ Gioỉ Khá Trung binh ̀ Yêu ́ Kem ́ aṕ 2% 7% 32% 49% 10% aṕ 3% 8% 30% 47% 12% aṕ 2% 6% 32% 49% 11% Qua kết quả điều tra khảo sát trên tơi thấy tỉ lệ học sinh yếu, kém chiếm tỉ lệ khá cao, học sinh cịn lúng túng chưa biết phân loại các dạng tốn, chưa nhận ra các dấu hiệu để áp dụng, bên cạnh đó tâm lý lo sợ, e ngại thiếu tự tin. Trong chương trinh toan THCS, mơn Hinh h ̀ ́ ̀ ọc la rât quan trong va rât ̀ ́ ̣ ̀ ́ cân thiêt câu thanh nên ch ̀ ́ ́ ̀ ương trinh toan hoc c ̀ ́ ̣ ấp THCS cung v ̀ ơi môn sô ́ ́ hoc va đai sô. Hinh hoc la môt bô phân đăc biêt cua toan hoc. Phân môn Hinh ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̉ ́ ̣ ̀ hoc nay co tinh tr ̣ ̀ ́ ́ ưu t ̀ ượng cao, hoc sinh ln coi la mơn hoc kho. V ̣ ̀ ̣ ́ ới mơn Hình học là mơn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính tốn, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Đặc biệt là rèn luyện cho học sinh đại trà trong cách tìm lời giải bài tập tốn. Vi vây mn ̀ ̣ ́ hoc tơt mơn hoc nay khơng nh ̣ ́ ̣ ̀ ưng đoi hoi h ̃ ̀ ̉ ọc sinh phải co cac ki năng đo ́ ́ ̃ đạc và tính toan nh ́ ư cac mơn hoc khac ma con phai co ki năng ve hinh, kha ́ ̣ ́ ̀ ̀ ̉ ́ ̃ ̃ ̀ ̉ năng tư duy hinh h ̀ ọc, kha năng phân tich tim l ̉ ́ ̀ ơi giai bai toan và kh ̀ ̉ ̀ ́ ả năng khai thác các cách giải và phát triển bài tốn theo một cách có hệ thống. Điều đó đã dẫn đến một số thực trạng là có khơng ít học sinh lớp 9 chỉ chun tâm vào học mơn Đại số và bỏ mặc mơn Hình học. Ngun nhân thì có nhiều nhưng ngun nhân cơ bản là các em khơng biết định hướng chứng minh, khơng tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức và cịn khơng biết cách trình bày lời giải Với tầm quan trọng như vậy, để khắc phục tình trạng trên và giúp các em có cái nhìn đúng đắn về việc học bộ mơn Hình học. Trong q trình giảng dạy, bên cạnh tìm ra phương pháp dạy lý thuyết thích hợp, người thầy ln cố gắng rèn cho học sinh khả năng định hướng chứng minh qua các nội dung bài tập, củng cố lý thuyết và bài tập luyện tập. Trên thực tế ngồi cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK Tốn 9 tập 2 thì SGK đã chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trịn cho học sinh; nhiều học sinh khơng hiểu sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trịn Với học sinh lớp 9 đây là dạng tốn mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại được các bài tốn đã giải ở lớp 8 ( Hình chữ nhật) để có cách giải hay cách lý giải căn cứ khác Với những lý do trên đây trong đề tài này tơi đưa ra một số cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài “Tứ giác nội tiếp một đường trịn”. Trước thực trạng trên, địi hỏi phải có các giải pháp và phương pháp dạy và học sao cho phù hợp, từ đó đã thúc dục bản thân tơi tìm hiểu và thực hiện nghiên cứu đề tài này III. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong nội dung này tơi xin trình bày một số dạng tốn giúp học sinh dễ tiếp cận một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp một đường trịn và giải được một số dạng tốn đơn giản, như sau: Phương pháp 1: Chứng minh các điểm cách đều một điểm Phương pháp 2: Định lý thuận, định lý đảo về “Tứ giác nội tiếp một đường trịn” Trang 87, 88 SGK Tốn 9 tập 2 Phương pháp 3: Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện Phương pháp 4: Các bài tốn cơ bản về quỹ tích cung chứa góc IV. CÁC DẠNG TỐN CỤ THỂ: Khi dạy xong bài “Tứ giác nội tiếp một đường D trịn” Trang 87,88 SGK Tốn 9 tập 2. Học sinh tự rút ra được cách chứng minh tứ giác nội tiếp là: Dạng 1: ( Định nghĩa) Nếu tứ giác ABCD có: C A O B OA = OB = OC = OD thì ABCD là tứ giác nội tiếp một đường trịn tâm O bán kính OA (Hay tứ giác ABCD có A, B, C, D thuộc đường trịn (O) thì tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) Dạng 2: (Tính chất) Nếu tứ giác ABCD có: A C 180 hoặc B D D 180 C thì ABCD là tứ giác nội tiếp một đường trịn Với bài tốn đặc biệt hơn, tứ giác ABCD có: BAD BCD 90 => BAD A O BCD 180 B =>Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD. Đây là cách đơn giản và thường gặp nhất. D Dạng 3: Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng C x góc trong của đỉnh đối diện Khai thác: Sử dụng tính chất của hai góc kề bù A gọi tia đối của tia CD là tia Cx chẳng hạn: Giả sử: xCB BAD O B Mà xCB và BCD là hai góc kề bù nên xCB BCD 180 => BAD BCD 180 Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp D (Tổng hai góc đối bằng 1800 ) C Dạng 4: Các bài tốn cơ bản về quỹ tích cung chứa góc O Xét tứ giác ABCD có ADB ACB A B Với C, D nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa AB ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. Ta có: ADB ACB và AB cố định nên C và D D nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn AB (theo C bài tốn quỹ tích cung chứa góc ) Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường trịn hay tứ giác ABCD nội tiếp A O B Vậy là ta có cách thứ tư để chứng minh tứ giác nội tiếp một đường trịn Với trường hợp đặc biệt : Khi cho = 90o ta có ADB ACB 90 Và hai điểm C, D liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc 900 Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AB Ta có thể xét thêm trường hợp dựa vào kết quả bài tốn phương tích: Từ một điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai cát tuyến MAB, MCD. B Chứng minh MA.MB = MC. MD. Ta chứng minh ∆MAD => MA MC O ∆MCB (gg) MD => MA.MB = MC. MD MB M A C D Đảo lại: Nếu có: MA.MB = MC.MD và A MB; C MD. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Ta dễ dàng chứng minh ∆MAD ∆MCB (cgc) => MDA MBC Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp ( Quỹ tích cung chứa góc) Với trường hợp này đa phần là ứng dụng để chứng minh đẳng thức: a.b = c.d Như vậy với cách nghiên cứu như trên cùng với định nghĩa đường trịn ta có một số cách chứng minh (dấu hiệu nhận biết) nhanh tứ giác nội tiếp một đường trịn để vận dụng làm bài tập. V. MỘT SỐ BÀI TỐN CHỨNG MINH “TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRỊN” Dạng 1: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. Điểm đó là tâm của đ ường trịn ngoại tiếp tứ giác Với dạng tốn này, ta chứng minh các điểm cách đều một điểm. Để sử dụng phương pháp này, học sinh cần biết tìm được điểm mà các điểm khác cách đều và biết vận dụng cơ sở nào để chứng minh. Giáo viên cần chuẩn bị tốt cho học sinh các kiến thức liên quan (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Bài: Hình chữ nhật – Hình học 8). Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền ( Hình học – Ôn tâp chương II ) Phương pháp : Vận dụng các tam giác vng có cạnh huyền chung Nếu hai hay nhiều tam giác vng có cạnh huyền chung thì ta có thể chứng minh đa giác tạo thành bởi các đỉnh của các tam giác đó nội tiếp trong đường trịn. Với kiến thức trên ta có thể chứng minh được các dạng bài tập này B Bài tốn 1.1: C Cho tứ giác ABCD có: ABD ACD 90 Chứng minh các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường trịn. Xác định tâm đường trịn A D O Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường trịn. Ta có thể xét những tam giác vng nào có cạnh huyền chung? Dễ dàng ta tìm được các tam giác vng có cùng cạnh huyền. Vậy tâm của đường trịn là trung điểm cạnh huyền Lời giải : Gọi O là trung điểm AD ∆ABD vng tại B nên ∆ABD nội tiếp đường trịn đường kính AD ∆ACD vng tại C nên ∆ACD nội tiếp đường trịn đường kính AD => A, B, C, D cùng thuộc đường trịn đường kính AD Tâm của đường trịn là trung điểm O của đoạn thẳng AD Bài tốn 1.2: Cho tứ giác ABCD có ABC ADC 90 Chứng minh các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường trịn. Xác định tâm đường trịn B Phân tích tìm lời giải: Tương tự bài tốn 1.1, ta xét tương tự những tam giác vng có cùng cạnh huyền và chứng A minh được các điểm cùng thuộc đường trịn Lời giải : C O D Nối AC, gọi O là trung điểm AC ∆ABC vng tại B nên ∆ABC nội tiếp đường trịn đường kính AC ∆ADC vng tại D nên ∆ADC nội tiếp đường trịn đường kính AC => A, B, C, D cùng thuộc đường trịn đường kính AC Tâm của đường trịn là trung điểm O của đoạn thẳng AC Bài tốn 1.3: Cho tam giác ABC, kẻ các đường A cao BH, CK. Chứng minh các điểm B, C, H, K thuộc đường tròn Xác định tâm đường trịn K H B O C Phân tích tìm lời giải: Với u cầu bài tốn, ta cần xét những tam giác vng nào có cùng cạnh huyền? Vì sao tam giác đó vng ? Lời giải : Ta có BH là đường cao của tam giác ABC nên BHC 90 Suy ra ∆BCH vng tại H nên ∆BCH nội tiếp đường trịn đường kính BC (1) Tương tự, ta có CK là đường cao của tam giác ABC nên BKC 900 Suy ra ∆BCK vng tại K nên ∆BCK nội tiếp đường trịn đường kính BC (2) Từ (1) và (2) => B, H, C, K cùng thuộc đường trịn đường kính BC Gọi O là trung điểm BC=> Tâm đường trịn là trung điểm O của BC Nhận xét chung: Với dạng tốn này ta có thể dễ dàng chứng minh các điểm cùng thuộc một đường trịn và xác định được tâm của đường trịn đó. Ở cách chứng minh này các em cần phải chứng minh được tam giác vng, các em hay sai sót ở chỗ chỉ ghi góc vng. Một số em cịn có thể sử dụng kiến thức đường trung tuyến ứng vơi cạnh huyền để xác định các điểm cách đều một điểm. Tuy nhiên cách chứng minh đó dài dịng hơn Dạng 2: Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 1800 Phương pháp: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường trịn (định lý đảo trang 88 SGK Tốn 9 tập 2). Với dạng tốn này chúng ta cần nhìn nhận một cách cụ thể, phán đốn tốt về cặp góc đối điện, nếu nhận đính sai cặp góc dẫn đến chứng minh khơng hiệu quả Bài tốn 2.1: Cho tứ giác ABCD có ABC ADC 90 Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn. Xác định tâm đường trịn Phân tích tìm lời giải: Với bài tập này ta dễ B dàng chọn cặp góc đối diện Lời giải : C A Xét tứ giác ABCD có ABC ADC 90 O 0 => ABC ADC 90 90 180 D Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AC (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Tâm đường trịn là trung điểm O của cạnh AC 10 EFC Xét tứ giác BECF có: EAC Ta có hai điểm A và F liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng EC dưới những góc bằng nhau nên tứ giác BECF nội tiếp đường trịn. ( Quỹ tích cung M chứa góc) A Bài toán 4.3: Cho ABC cân A nội tiếp (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN. O Chứng minh tứ giác AMNO nội tiếp C Phân tích tìm lời giải: Tương tự như bài tập 4.2, ta B có thể chứng minh hai góc nhau? ( N AMO ANO ). Ta có thể chứng minh hai tam giác có chứa hai góc này bằng nhau được khơng? Nhận xét gì về tia AO? ( Tia phân giác) Lời giải : ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) nên AO là đường trung CAO trực vừa là phân giác nên BAO CAO ∆OAC cân tại O (OA = OC) => OCA ACO => OAM OCN ( kề bù với hai góc bằng nhau) => BAO OCN ( chứng minh Xét ∆AOM và ∆CON có: OA = OC (bán kính); OAM trên); ANO (hai góc tương AM = CN(gt) =>∆AOM = ∆CON (c.g.c) => AMO ứng ) ANO Xét tứ giác AMNO có: AMO Ta có hai điểm M và N liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng OA dưới các góc bằng nhau nên tứ giác AMNO nội tiếp đường trịn (Quỹ tích cung chứa góc ) Bài tốn 4.4: Cho đường trịn (O; R) Và điểm A nằm ngồi (O; R). Đường trịn đường kính AO cắt đường trịn (O; R) tại M và N. Đường thẳng d qua A cắt (O; R) tại B và C ( d khơng đi qua O; điểm B nằm giữa A và C). Gọi H là trung điểm của BC a) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đường trịn đường kính AO b) Đường thẳng qua B vng góc với OM cắt MN D và cắt MC tại E Chứng minh rằng: Tứ giác BDNH nội tiếp. c) Đường thẳng DH song song với đường thẳng MC d) Chứng minh E là trung điểm MC Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh tứ giác BDHN nội tiếp ta cần HND ). Ta có thể dựa vào chứng minh cặp góc nào bằng nhau? ( HBD 19 góc trung gian nào? MAB HBD dựa sở nào? Vì sao MAB MNH ? MNH (1) ( hai góc Lời giải : Xét đường trịn đường kính AO có: MAB nội tiếp cùng chắn cung MH) Lại có BD ⊥ OM (gt) và AM ⊥ OM (tính chất tiếp tuyến ) BD // AM ( từ vng góc đến song song) MAB HBD (2) ( hai góc đồng vị) HND Từ (1), (2) suy ra HBD Xét tứ giác tứ giác BDHN có HBD HND M E B D A C H O N Ta có hai điểm B và N cùng nhìn đoạn thẳng DH dưới các góc bằng nhau => Tứ giác BDHN nội tiếp đường trịn ( quỹ tích cung chứa góc) Dạng 5: Sử dụng điểm trung gian đề chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp: Ngồi những dạng tốn cơ bản trên, để chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn ta có thể sử dụng các đỉnh trung gian để chứng minh tứ giác nội tiếp Bài toán 5.1: Từ điểm S nằm A ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp D tuyến SA, SB ( A, B là tiếp điểm ), cát C H tuyến SCD ( C nằm giữa S và D). Gọi S H là trung điểm CD. O Chứng minh các điểm A, B, O, H cùng thuộc một đường trịn Phân tích tìm lời giải: Mức độ bài B tốn này khó hơn là chúng ta khơng thể chứng minh bằng các phương pháp cơ bản đã trình bày. Học sinh khơng biết bắt đầu từ đâu? Giáo viên có thể gợi mở bằng cách cho học sinh có nhận xét gì về điểm S khơng? Như vậy u cầu bài tốn bây giờ là chứng 5 điểm cùng thuộc một đường trịn. Bây giờ bài tốn lại quay về dạng cơ Lời giải : Xét tứ giác SAOB có: SA, SB là tiếp tuyến của đường trịn (O) nên SAO SBO 90 => SAO SBO 90 90 180 Suy ra tứ giác SAOB nội tiếp đường trịn đường kính SO. (1) ( Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) 20 Xét đường trịn (O) có H trung điểm CD nên OH CD nên SHO 90 Xét tứ giác SHOB có SHO SBO 90 90 180 Suy ra tứ giác SHOB nội tiếp đường trịn đường kính SO. (2) ( Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Từ (1) và (2) => S, A, O, B, H cùng thuộc đường trịn đường kính SO Suy ra A, O, B, H cùng thuộc đường trịn đường kính SO Bài tốn 5.2: Trên ( O;R ) lấy 2 điểm A, B sao cho AB ANB = sđAB+ sđCD= sđAB ( góc có đỉnh ở bên trong đường trịn) AOB sđAB ( góc ở tâm) => ANB AOB Xét tứ giác OABN có ANB Ta có hai điểm O và N liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới các góc bằng nhau => Tứ giác OABN nội tiếp đường trịn. (1)( Quỹ tích cung chứa góc) Xét tứ giác MAOB có: MA, MB là tiếp tuyến của đường trịn (O) nên MAO MBO 90 => MAO MBO 90 90 180 Suy ra tứ giác MAOB nội tiếp đường trịn đường kính MO. (2) (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Từ (1) và (2) => Tứ giác MANB nội tiếp đường trịn ( vì cùng chung các điểm O, A, B) Dạng 6: Bài tốn ứng dụng tứ giác nội tiếp đề chứng minh đẳng thức AOB kép 21 Với dạng tốn chứng minh đẳng thức kép, khơng ít học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn. Mà dạng tốn này có rất nhiều ở các kì thi học sinh giỏi các cấp. Để giải dạng tốn này, chúng ta thường nhìn nhận vấn đề theo bài tốn “ Phương tính” ( Đẳng thức mà tứ giác nội tiếp có được ), kết quả này chỉ học ở cấp THPT hay chăng là các học sinh bồi dường HSG huyện. Kết quả được sử dụng theo cách suy luận nhưng phải chứng minh bằng tam giác đồng dạng mới dùng được Bài tốn 6.1: Cho tam giác ABC, kẻ các đường cao BD, CE. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh: BE. AB + CD. AC = BC2 Phân tích tìm lời giải: A Để có được kết quả BE. BA = a.b ta D E cần một tứ giác nội tiếp nhưng phải có chứa H O' O cạnh BC? Tương tự CD.CA = c.d cũng vậy? Làm thế nào để thỏa mãn hai vấn đề đó? B C K Giáo viên gợi mở học sinh kẻ đường cao thứ 3 (AK). Vậy theo tích chất của tứ giác nội tiếp ta sẽ có được kết quả nào? BE. BA=BK.BC; CD.CA=CK.CB ( Chứng minh bằng tam giác đồng dạng) Lời giải : Kẻ đường thẳng AH cắt BC tại K. H là trực tâm ∆ABC nên AK BC => AKB ∆BKA ∆BEC (g.g) => BK BA = BE BC =>BE. BA=BK.BC (1) ∆CDB 90 AKC CD CB = ∆CKA (g.g) => CK CA A O B C N D => CD.CA=CK.CB (2) Cộng (1) và (2), ta có: H M BE. AB + CD. AC = BC( BK + CK) = BC Bài tốn 6.2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường trịn. Các cạnh đối AD và BC kéo dài cắt nhau tại M, các cạnh đối AB và DC kéo dài cắt nhau tại N. Chứng minh: MD.MA + NB.NA =MN2 Phân tích tìm lời giải: Tương tự bài tập 6.1, ta chứng minh MD.MA = a.b và NB.NA = c.d bằng cách nào? Sử dụng tứ giác nội tiếp dễ dàng chứng minh: 22 MD.MA = MC.MB và NB.NA = NC.ND (vì tứ giác ABCD nội tiếp ) Để sử dụng được kết quả MN2 ta cần thể hiện điều gì? ( Tạo ra tứ ANM ) giác nội tiếp nằm trên cạnh MN bằng cách kẻ CH sao cho MCH Lời giải : Ta có tứ giác ABCD nội tiếp nên MAC chắn CD) => ∆ MAC ∆ MBD (g.g) => MBD ( góc nội tiếp cùng MA MC = => MD.MA=MC.MB. MB MD (1) Chứng minh tương tự ta có: NB.NA = NC.ND (2) ANM Kẻ CH sao cho MCH => ∆ MCH MDC ∆ MNB (g.g) => ABC ( Tứ giác ABCD nội tiếp ); ABC nội tiếp ) => MDC => MC MH = => MC.MB = MN.MH (3) MN MB CHN => ∆ NCH CHN (Tứ giác BCNH ∆ NMD (g.g) NC NH = => NM.NH = NC.ND (4) NM ND Từ (1)(2)(3)(4) => MD.MA + NB.NA =MN(MH+NH) =MN2 Bài tốn 6.3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là hình chiếu của A trên CD và F là hình chiếu của A trên CB. F 2 Chứng minh: CD.CE + CB.CF = AC B A Phân tích tìm lời giải: Với bài tốn này, chúng ta H cần chứng minh: K O CD.CE =? CB.CF =? Rất khó khăn, chúng ta vẫn duy C D E trì cơ sở chung của bài tốn là tạo ra các tứ giác nội tiếp để chứng minh đẳng thức. Yếu tố cơ bản là phải tạo trên cạnh AC. T a có các góc E và góc F là các góc vng nên dễ tạo thành những tứ giác nội tiếp ( kẻ BK AC; DH AC) Lời giải : Kẻ BK AC; DH AC ∆ CDH ∆ CBK CD CH = => CD.CE = CA.CH (1) CA CE CB CK = ∆ CAF (g.g) => => CB.CF = CA.CK (2) CA CF ∆ CAE (g.g) => Cộng (1) và (2) ta được: CD.CE +CB . CF = CA (CH+CK) (3) ∆ CBK = ∆ ADH (cạnh huyền cạnh góc vng) =>CK = AH Thay vào (3) ta được: CD.CE +CB . CF = CA(CH+AH) = AC2 Nhận xét chung: 23 Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp dựa trên cơ sở từ các bài tốn gốc. Tuy nhiên khơng nhiều học sinh có thể vận dụng thành thạo để chứng minh các bài tốn. Với dạng tốn 1 và dạng tốn 2, học sinh dễ dàng nắm bắt được phương pháp chứng minh, song hạn chế của phương pháp này là sử dụng các góc vng làm nền tảng, nếu gặp trường hợp khơng có góc vng thì học sinh sẽ lúng túng, khơng chứng minh được. Với dạng tốn 3 dạng tốn 4, tuy là khó hơn nhưng áp dụng được nhiều hơn. Tóm lại khơng có phương pháp nào là hồn hảo và áp dụng dễ dàng cho mọi bài tốn, chúng ta cần phải vận dụng linh hoạt các phương pháp trên trong việc chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn hay các điểm thuộc đường trịn Việc tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài tốn có vai trị to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thơng minh và óc sáng tạo cho học sinh. Sở dĩ như vậy là vì trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác nhau của bài tốn học sinh sẽ có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác nhau của bài tốn, do đó sẽ hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Đồng thời, việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các cách giải đó, chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm để giải tốn. Học sinh biết cách hệ thống các phương pháp giải. Ngồi ra, với một bài tốn khó chưa biết cách giải, nếu học sinh được biết rằng dù khó như vậy nhưng bài tốn vẫn có nhiều cách giải khác nhau thì các em sẽ cố gắng tìm lời giải hơn, tức là tính tị mị, ham hiểu biết được khơi dậy trong học sinh VI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRỊN TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT Bài 1. Cho đường trịn tâm O có các đường kính MN, PQ (PQ khơng trùng MN) 1) Chứng minh tứ giác MPNQ là hình chữ nhật 2) Các tia NP, NQ cắt tiếp tuyến tại M của đường trịn tâm O thứ tự ở E, F a) Chứng minh 4 điểm E, F, P, Q cùng thuộc một đường trịn b) Khi MN cố định, PQ thay đổi, tìm vị trí của E và F khi diện tích tam giác NEF đạt giá trị nhỏ nhất (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Năm học:20092010 của sở GDĐT Hà Tĩnh) Bài 2. Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC ( M B, M C ). Qua B kẻ đường thẳng vng góc với tia DM cắt các đường thẳng DM, DC theo thứ tự tại H và K a) Chứng minh các tứ giác : ABHD và BDCH nội tiếp b) Tính góc CHK c) Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại S. Chứng minh đẳng thức: 24 1 = + 2 AD AM AS (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Năm học:20102011 của sở GDĐT Hà Tĩnh) Bài 3. Trên nửa đường trịn đường kính AB, lấy hai điểm P, Q sao cho P thuộc cung AQ. Gọi C là giao điểm của tia AP và tia BQ; H là giao điểm của hai dây cung AQ và BP a) Chứng minh tứ giác CPHQ nội tiếp đường trịn b) Chứng minh ∆ CBP ∆ HAP c) Biết AB = 2R, tính theo R giá trị của biểu thức: S = AP.AC + BQ.BC (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Năm học:20112012 của sở GDĐT Hà Tĩnh) Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O. Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H (D BC, E AC) a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường trịn b) Tia AO cắt đường trịn (O) tại K ( K khác A). Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành c) Gọi F là giao điểm của tia CH với AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: AD BE CF Q= + + HD HE HF (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Năm học:20122013 của sở GDĐT Hà Tĩnh) Bài 5. Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn.Vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường trịn (O) (M, N thuộc (O)). Qua A vẽ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm B,C phân biệt (B nằm giữa A,C). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC a) Chứng minh tứ giác ANHM nội tiếp được trong đường tròn b) Chứng minh AN2 = AB.AC c) Đường thẳng qua B song song với AN cắt đoạn thẳng MN tại E. Chứng minh: EH // NC (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Năm học:20132014 của sở GD ĐT Hà Tĩnh) Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng BCEF nội tiếp đường trịn b) Biết ABC 45 , ACB 60 , BC = a. Tính diện tích tam giác ACD theo a 25 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Năm học:20142015 của sở GDĐT Hà TĩnhMã đề 1) Bài 7. Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng BCNP nội tiếp đường trịn b) Biết ABC 45 , ACB 60 , BC = a. Tính diện tích tam giác ACM theo a (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Năm học:20142015 của sở GDĐT Hà TĩnhMã đề 2) Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC, đường trịn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của BE và CD a) Chứng minh rằng: Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn b) Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng AH Chứng minh rằng: BHK ACK d) Chứng minh rằng: KD + KE BC. Dấu “=” xảy ra khi nào? (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Năm học:20152016 của sở GDĐT Hà Tĩnh) Bài 9. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vng góc với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến MC (C là tiếp điểm, C khác A). Đoạn AC cắt OM tại E, MB cắt nửa đường trịn tại D (D khác B) a) Chứng minh AMCO và MADE là các tứ giác nội tiếp đường trịn b) Chứng minh hai tam giác MDO và MEB đồng dạng c) Gọi H là hình chiếu vng góc của C lên AB, I là giao điểm của MB và CH. Chứng minh rằng EI AM (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Năm học:20162017 của sở GDĐT Hà Tĩnh) Bài 10: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB cố định. I là điểm cố định thuộc đoạn OA (I khơng trùng O và A).Qua I vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt đường trịn tâm O tại M và N gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN ( C khơng trùng các điểm M, N và B). Gọi E là giao điểm của AC và MN a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường trịn b) Chứng minh AE. AC = AI. AB 26 c) Chứng minh khi điểm C thay đổi trên cung lớn MN của đường trịn tâm O thì tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CME ln thuộc một đường thẳng cố định (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học:20172018 của sở GDĐT Hà Tĩnh) Bài 11: Cho tam giác MNP có ba góc nhọn (MN