SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LẠNG SƠN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LẠNG SƠN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN : TỐN CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Trắc nghiệm: 2,5 điểm Mỗi ý 0,25 điểm 1.Biểu thức P x có nghĩa A.x B.x 9 2.Kết phép tính A.14 B 98 72 C.x 9 D.x 7 C.0 x x 3 3.Giá trị hàm số A.3 B.1 C D.-14 y D O 4.Cho hai điểm B, C thuộc đường tròn (O) Hai tiếp tuyến A, biết BAC 45 Số đo BOC A.45 B, C cắt B.135 C.145 D.90 R 12cm, Độ dài cạnh 5.Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính ABC : A.24 3cm B.6 3cm C 12 3cm D.9 3cm 6.Cho ABC vuông A có BC 30cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC : A.30 2cm B.15 2cm C.15cm D.24cm AH , BH cm , CH 32cm Độ dài đường 7.Cho ABC vuông A, đường cao biết cao AH A.20cm B.9cm C.25cm D.8cm 8.Parabol y x đường thẳng sau khơng có điểm chung ? 1 D y x 2 9.Số giao điểm hai đồ thị y x y x A.2 B.3 C.0 D.1 2 x y x0 ; y0 x y 10.Biết nghiệm hệ phương trình Khi giá trị biểu 2 2x0 y0 A y thức x5 B y x C y x C D x 1 x x 1 x x x x 1 x 0 A x x x xx x x 1 Câu (1,0 điểm) Cho biểu thức A.1 B.7 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Câu (1,5 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau : a )3 x x x xy x 12 y b) 2 x y xy x 16 Câu (1,0 điểm) x; y a) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn phương trình x xy x y b) Cho x, y, z số thực dương, thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ y3 y x3 x z3 z T x 8 y y 8 z z 8 x biểu thức Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB AC , nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến với đường tròn (O) A cắt đường thẳng BC D Gọi M chân đường vng góc kẻ từ A đến BC, E điểm đối xứng A qua BC , H chân đườn vng góc kẻ từ A đến BE Gọi I trung điểm AH , đường thẳng BI O cắt đường tròn K ( K B) a) Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh EK DK c) Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK Câu (1,0 điểm) P 4; P 6, P 3 10 a) Cho đa thức P( x) x ax bx cx d thỏa mãn Tính giá trị b) Trên mặt phẳng Oxy cho 2023 điểm Chứng minh tồn tai hình trịn bán kính 1cm chứa khơng 1012 điểm cho S P 3 5.P ĐÁP ÁN Câu Trắc nghiệm 1D 2A 3A 4B 5C 6C 7D A Câu (1,0 điểm) Cho biểu thức 8B 9A 10B x2 x x 1 x2 x x x 1 x x x x xx x x 1 c) Rút gọn biểu thức A A x2 x x 1 x2 x x x x x x x xx x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x2 x x2 x x x x 1 x2 x x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Với x 0, x , ta có : A x2 x 1 1 x x 2 x x x x x x x 2 4 x x x x x MinA Vậy 24 3 2 3 2 x 3 Câu (1,5 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau : a )3 x x x 1 x x x 1 1 4x 1 0 x 1 1 4x 1 3 4 x 2 0) x 2( 4x 1 x 1 4x 1 x 1 1 3 Vậy x 1 1 4x x2 x 3xy x 12 y 1 b) 2 x y xy x 16 Từ (1) ta có : x xy x 12 y x x xy 12 y x x 4 x 2 y x 4 x x y x 3y Với x 42 y 3.4 y 4.4 16 y y y y 2 y 4 y Với x y thay vào (2) ta : y 2 y y y y 16 y 5 x 17 y y 10 y 2 x 4; , 4; , 17; 5 , 4; Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (1,0 điểm) x; y c) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn phương trình x xy x y x x xy y 3 x 3 y x 3 x 3 x y 1.3 3.1 1 3 x x *) x y y x 1 x *) x y 3 y x x *) x y y x 3 x *) x y y 4;1 ; 6; 1 , 2; 1 , 0;1 Vậy ta có cặp số d) Cho x, y, z số thực dương, thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ T biểu thức x3 x x 8 y y3 y y 8 z z3 z z 8 x (BÍ) , nội tiếp đường Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A trịn tâm O Tiếp tuyến với đường tròn (O) A cắt đường thẳng BC D Gọi M chân đường vng góc kẻ từ A đến BC, E điểm đối xứng A qua AB AC BC , H chân đườn vng góc kẻ từ A đến BE Gọi I trung điểm AH , O đường thẳng BI cắt đường tròn K ( K B ) d) Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn Ta có M trung điểm AE ( E điểm đối xứng Aqua BC M chân đường vng góc kẻ từ A đến BC); I trung điểm AH MI đường trung bình AHE MI / / EH AMI AEB (hai góc đồng vị) Lại có AEB AKI (hai góc nội tiếp chắn cung AB) AMI AKI AEB Tứ giác AIMK có hai đỉnh M , K nhìn cạnh AI góc nên tứ giác nội tiếp e) Chứng minh EK DK Ta có A E đối xứng qua BC BC trung trực AE nên OA OE suy E O OED OAC (c.c.c) OED OAD 90 OE DE E O nên DE tiếp tuyến (O)nên DEK KAE (cùng chắn cung AE) Lại có Tứ giác AIMK nội tiếp DMA 90 AM BC ; AIM 90 MI / / EH , AH BE DMK DMA KMA 90 KMA 90 KIA KIM KAM Từ (1), (2) ta có DEK DMK tứ giác DKME có hai đỉnh E , M nhìn cạnh DK góc tứ giác DKME nội tiếp nên : DKE DME 90 DK EK f) Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK Tứ giác DKME nội tiếp suy KDB KEA (hai góc nội tiếp chắn cung KM ) KEA DAK (hai góc nội tiếp chắn cung AK) KDB DAK KEA DB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ADK (định lý đảo định lý góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Câu (1,0 điểm) P 4; P 6, P 3 10 c) Cho đa thức P( x) x ax bx cx d thỏa mãn Tính giá trị Xét đa thức Giả sử S P 3 5.P P x x ax bx cx d P x x ax3 bx cx d x 1 x x 3 x q mx nx p Do P 1 4, P 6, P 3 10 , nên thay vào, ta có : m n p m 4m 2n p n 1 9m 3n p 10 p P ( x) x 1 x x 3 x q x x P 3 120q 376; P 144 24q S P 3 P 120q 376 5.144 5.24q 1096 Vậy S 1096 d) Trên mặt phẳng Oxy cho 2023 điểm Chứng minh tồn tai hình trịn bán kính 1cm chứa khơng 1012 điểm cho Gọi AB đoạn thẳng có độ dài lớn số cấc đoạn thẳng nối số 2023 điểm cho Nếu AB hình trịn chứa tồn 2023 điểm cho, khẳng định hiển nhiên Nếu AB , xét điểm C số 2021 điểm cịn lại Theo giả thiết, ta có AC A;1 C A;1 C B;1