UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN:TỐN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 1 x 2) Biết 4a b 5ab với 2a b Tính giá trị biểu thức: Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 1) x 3x x 2 C ab 4a b 2 9x x 8 x2 x x2 x Câu (2,0 điểm) 2 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x xy x y y 10 2) 2) Cho đa thức f ( x) x x x Với giá trị nguyên x giá trị đa thức f ( x ) chia hét cho giá trị đa thức x Câu (3,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D 1) Chứng minh AB AC.BD 2) Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC CM 3) Từ M kẻ MH vng góc AB I Chứng minh BC qua trung điểm MH Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 16 x y z ĐÁP ÁN Câu 1.1 x x 1 x x x 1 x 1 x x4 x2 x4 x2 2 x4 x2 2 x4 x2 x x 1 1.2 4a b 5ab a b 4a b a b a b 4a b 4a b Do 2a b nên 4a b loại ab a2 C 4a b 4a a Với a b Câu 2.1 x 1 * * Với ta có phương trình x x x x x x 1 x *Với x 1 ** ta có phương trình x x x x x x 1 x + x x (không thỏa mãn điều kiện **) x x ( không thỏa mãn điều kiện **) Vậy nghiệm phương trình x 2.2 Xét x nghiệm Xét x (Thỏa *) 9x x 8 2x x 2x x 8 3 2x 2x 1 x x x t, x Đặt ta có phương trình: 8 t 1 t 1 PT 8t 8t 2t 1 t 2 x 4x2 x 2x 95 2x 0 16 Suy phương trình vơ nghiệm Câu 3.1 Ta có: x xy x y y 10 x xy 28 x 28 y y 40 x y y * Ta thấy x y nên y 01; 1 y2 y2 y nguyên nên y 0;1 * x 2; 5 Với y thay vào ta được: x tìm * x , khơng tìm x ngun y Với thay vào ta có: * Với y 1 thay vào ta có x khơng tìm x nguyên x; y 2;0 ; 5;0 Vậy 3.2 f x Chia cho x thương x dư x 2 Để f ( x) chia hết cho x x chia hết cho x x 2 x 2 chia hết cho x x chia hết cho x x chia hết cho x 6M x2 2 x2 ước 2 Mà x x 3;6 x 1; 2 Thử lại ta thấy x 1; x 2 thỏa mãn Vậy với x 1; x 2 f ( x ) chia hết cho x Câu OAC : DBO g g 1) Chứng minh OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB AC.BD AB AC.BD (dfcm) 2 OC AC OAC : DBO g.g OD OB 2) Theo câu a ta có OC AC OC OD OA OB OD OA AC OA Mà · · Chứng minh OCD : ACO c.g c OCD ACO OAC OMC ch gn AC MC (dfcm) Chứng minh 3) Ta có: OAC OMC OA OM ; CA CM OC trung trực AM OC AM Mặt khác : OA OM OB AMB vuông M OC / / BM (Vì vng góc với AM ) hay OC / / BI Chứng minh C trung điểm AI MK BK KH IC BC AC / / AI Do MH theo hệ Ta let ta có: Mà IC AC MK HK BC qua trung điểm MH (đpcm) Câu 1 1 1 y x z x z y 21 P x y z 16 x y z 16 x y z 16 x y 16 x z y z 16 y x 16 x y Dấu " " xảy y x Theo BĐT Cô si ta có: z x Tương tự: 16 x z , dấu “=” xảy z x z y 1 4y z , dấu " " xảy z y 49 x ; y ;z 16 Dấu " " xảy 7 49 MinP x ; y ;z 16 với 7 Vậy P