de olympic toan 8 nam 2017 2018 phong gddt kinh mon hai duong

UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN- LỚP Thời gian làm bài:150 phút ( Đề gồm có: câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2(x4 - 1)(x2 + 2) + 2) Biết 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > Tính giá trị biểu thức: C  ab 4a  b 2 Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 1) x  3x   x   ; 2) 9x x  8 2x  x  2x  x  Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thoả mãn: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 2) Cho đa thức f(x) = x - 3x + 3x - Với giá trị nguyên x giá trị đa thức f(x) chia hết cho giá trị đa thức x + Câu 4: (3,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D 1) Chứng minh AB2 = AC.BD; 2) Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC = CM; 3) Từ M kẻ MH vng góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH Câu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1   16 x y z Hết UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN- LỚP ( Hướng dẫn chấm gồm: câu, trang) Đáp án Điểm (1điểm) x2 (x4 - 1)(x2 + 2) + = x2 (x2 - 1)(x2 + 1)(x2 + 2) + = (x4 + x2)(x4 + x2 – 2) + 0,25 0,25 = (x4 + x2)2 – 2(x4 + x2) + 0,25 = (x4 + x2 – 1)2 (2 (1điểm) điểm) 4a2 + b2 = 5ab  (a – b)(4a – b) = 0,25 a  b  a  b    4a  b   4a  b 0,5 Do 2a > b > nên 4a = b loại Với a = b C  0,25 ab a   2 4a  b 4a  a 0,25 (1điểm) * Với x (*) ta có phương trình: x2 -3x + + x-1 =  x  x     x  1 x ( Thoả mÃn điều kiƯn *) 2 0,25 0,25 * Víi x < (**) ta có phương trình: x2 -3x + + - x =  x  x     x  1 x  3  (2 điểm) + x - =  x  ( Không thỏa mÃn điều kiện **) + x - = x ( Không thoả mÃn điều kiện **) Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = (1điểm) - Xét x = nghiệm - Xét x khác 9x x  8 2x  x  2x  x    8 3 2x 1 2x 1 x x 0,25 0,25 0,25 Đặt :  t , ta có phương trình: x  8 t 1 t 1 2x  ĐKXĐ x khác 1;-1 0,25 PT  8t  8t     2t  1   t  0,25  x  x2  x    2x  0,25 95  (2 x  )  0 16 => PT vơ nghiệm (1điểm) Ta có: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 =  4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 =  (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = (*) Ta thấy (2x + 2y + 7)2  nên 4y2   y  y  0;1  y  0;1; 1 0,25 y nguyên nên Với y = thay vào (*) ta được:  x    tìm x  2; 5 Với y = thay vào (*) ta có : (2x + 9)2 = - khơng tìm x ngun Với y = -1 thay vào (*) ta có (2x + 5)2 = - khơng tìm x ngun Vậy (x;y) ngun tìm (-2 ; 0) ; (-5 ; 0) (1điểm) (2 Chia f ( x ) cho x  thương x - dư x + điểm) để f ( x ) chia hết cho x  x + chia hết cho x  => (x + 2)(x - 2) chia hết cho x2 + => x2 - chia hết cho x2 + => x2 + - chia hết cho x2 + => chia hết cho x2 + => x2 + ước mà x   => x   3; 6 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 => x  1; 2 0,25 Thử lại ta thấy x = 1; x = -2 thỏa mãn Vậy với x = ; x = -2 f ( x ) chia hết cho x  Vẽ hình ghi GT, KL 0,25 y x (3 điểm) D 0,25 I M C A K H O B (1điểm) Chứng minh: ΔOAC  ΔDBO (g-g ) 0,25 0,25 OA AC  OA.OB  AC.BD DB OB AB AB   AC.BD AB2  4AC.BD (đpcm) 2  0,25 (1điểm) Theo câu a ta có: ΔOAC  ΔDBO (g-g)  OC  AC OD OB Mà OA  OB OC  AC  OC  OD 0,25   ACO  +) Chứng minh: ΔOCD  ΔACO (c-g-c) OCD +) Chứng minh: ΔOAC=ΔOMC (ch -gn)  AC  MC (đpcm) (1điểm) Ta có ΔOAC=ΔOMC OA  OM; CA  CM OC trung trực AM OC  AM Mặt khác OA = OM = OB ∆AMB vng M OC // BM (vì vng góc AM) hay OC // BI Chứng minh C trung điểm AI 0,25 OD OA AC OA Do MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có:  MK  BK  KH IC 0,25 0,25 0,25 BC AC Mà IC = AC  MK = HK BC qua trung điểm MH (đpcm)  1 1 1  y x   z x   z y  21     x  y  z          16x y z  16x y z   16 x y   16 x z   y z  16 y x Theo BĐT Cô Si ta có:   dấu “=” y = 2x; 16 x y z x z y (1điểm) Tương tự: 16 x  z  dấu “=” z = 4x; y  z  dấu “=” z = 2y; 49 P  Dấu “=” xảy x = ; y = ; z = 16 7 49 Vậy Min P = với x = ; y = ; z = 16 7 *Chú ý: Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa P= 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ...UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017- 20 18 MƠN: TỐN- LỚP ( Hướng dẫn chấm gồm: câu, trang) Đáp... - Xét x khác 9x x  ? ?8 2x  x  2x  x    ? ?8 3 2x 1 2x 1 x x 0,25 0,25 0,25 Đặt :  t , ta có phương trình: x  ? ?8 t 1 t 1 2x  ĐKXĐ x khác 1;-1 0,25 PT  8t  8t     2t  1  ... x  )  0 16 => PT vơ nghiệm (1điểm) Ta có: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 =  4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 =  (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = (*) Ta thấy (2x + 2y + 7)2  nên 4y2   y  y  0;1