de thi olympic toan 7 nam 2017 2018 phong gddt kinh mon hai duong

UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức : A = 2x2 – 3x + với x  b) Tìm x, biết: x  x   x  Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn điều kiện: Tính giá trị biểu thức P = 3a  b  c a  3b  c a  b  3c   a b c ab bc ca   c a b b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với x Chứng minh f(x) có bốn nghiệm Câu 3: (2,0 im) a) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa m·n x - 3y +2xy = b) Chøng minh không tồn số tự nhiên n để n2 + 2018 số phương Cõu 4: (3,0 im) 1) Cho  ABC có góc A nhỏ 900 Vẽ ngồi tam giác ABC tam giác vng cân A  ABM  ACN a) Chứng minh rằng: MC = BN BN  CM; b) Kẻ AH  BC (H  BC) Chứng minh AH qua trung điểm MN 2) Cho tam giác ABC vuông cân B Điểm M nằm bên tam giác cho MA: MB: MC = 1: 2: Tính số đo  AMB ? Câu 5: (1,0 điểm) Cho 2016 số nguyên dương a1 , a2, a3 , , a2016 thỏa mãn : 1 1      300 a1 a2 a3 a2016 Chứng minh tồn số 2016 số cho Hết Họ tên thí sinh: SBD: Giám thị 1: Giám thị 2: UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC : 2017 – 2018 MƠN : TỐN - LỚP (Hướng dẫn chấm gồm: câu, 04 trang) Đáp án a (1,0đ) 1 Vì x  nên x = x = 2 1 * Với x = A = 2.( )2 – + = 2 1 *Với x = - A = 2.(- ) – 3.(- ) + = 2 1 Vậy A = với x = A = với x = - (2,0đ) 2 b (1,0đ) x  x   nên ta có: x  x   x  => x  x   x  => x   => x + = x + = - * Trường hợp 1: x + = => x = * Trường hợp 2: x + = - 5=> x = - Vậy x = - x = a (1,0đ) Theo ra: (2,0đ) 3a  b  c a  3b  c a  b  3c (1) víi a, b, c kh¸c ta cã   a b c 3a  b  c a  3b  c a  b  3c => 2  2  2 a b c 3a  b  c  2a a  3b  c  2b a  b  3c  2c =>   a b c abc abc abc =>   (2) a b c + NÕu a+ b + c  th× tõ (2) ta cã a = b = c ab bc ca 2c 2a 2b Khi ®ã P = =      222  c a b c a b + NÕu a + b + c = th× a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b Khi ®ã P = ab bc ca c a b =      1    3 c a b c a b b (1,0đ) Vì đa thức (x - 1) f (x) = (x +4) f(x +8) với x nên *) Với x = ta có: (1 - 1) f(1) = (1 + 4) f(9)  f(1) = f(9)  f( 9) = Suy x = nghiệm đa thức f(x) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 *) Với x = - ta có : -5 f(-4) = f(4)  f(-4) = Suy x = - nghiệm đa thức f(x) *) Với x = ta có: f(9) = 13 f(17)  f(17) = (vì f(9) = 0) Suy x = 17 nghiệm đa thức f(x) *) Với x = 17 ta có: 16 f(17) = 21 f(25)  f(25) = (vì f(17) = 0) Suy x = 25 nghiệm đa thức f(x) Vậy đa thức f(x) có nghiệm ; - 4; 17; 25 a (1,0đ) Ta có: x - 3y + 2xy = => 2x+ 4xy - 6y = => 2x + 2x.2y - 3.2y - = - => 2x(1+ 2y) - 3.(2y + 1) = => (2x - 3)(1 + 2y) = V× x, y  Z nªn 2x - ; + 2y  Z nªn 2x - ; + 2y Ư(5) Ta có bảng sau 2x -1 -5 + 2y -5 -1 x -1 y -3 -1 Vì x, y nguyên nên cỏc cp s nguyên thỏa mãn là: (x; y)   (1; -3) ; ( -1; -1); (2; 2); (4; 0)  (2,0đ) b (1,0đ) Giả sử n2 + 2018 số phương với n số tự nhiên Khi ta có n2 + 2018 = m2 (m N * ) Từ suy : m2 - n2 = 2018  m2 – mn + mn - n2 = 2018  m(m - n) + n(m – n) = 2018  (m + n) (m – n) = 2018 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác ta có: m + n + m – n = 2m  số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2)  m + n m – n số chẵn  (m + n) (m – n)  2018 không chia hết cho  Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để n2 + 2018 số phương 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 F N a) Xét  AMC  ABN, có: AM = AB (  AMB vuông cân)   (= 900 + BAC ) MAC  BAN AC = AN (  ACN vuông cân) Suy  AMC =  ABN (c.g.c) => MC = BN ( cạnh t ứng) Gọi I giao điểm BN với AC, K giao điểm BN với MC Vì  AMC =  ABN (c.g.c)    ANI  KCI D M E A I K B H Vẽ hình phần a C  (đối đỉnh) mà  AIN  KIC   KIC    900  KCI ANI  AIN đó: MC  BN 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Kẻ ME  AH E, NF  AH F Gọi D giao điểm MN AH   MAE  = 900 (vì MAB  = 900) (1) - Ta có: BAH   Lại có MAE AME = 900 (2)  Từ (1) (2)   AME  BAH Xét  MAE  ABH, vuông E H, có: 0,25   (chứng minh trên) AME  BAH MA = AB(  AMB vuông cân) (3,0đ) Suy  MAE =  ABH (cạnh huyền - góc nhọn)  ME = AH - Chứng minh tương tự ta có  AFN =  CHA (cạnh huyền - góc nhọn)  FN = AH 0,25   FND  (hai góc so le trong) Ta có ME// NF (cùng vng góc với AH)=> EMD Xét  MED  NFD, vng E F, có: ME = NF (= AH)   FND  EMD 0,25   MED =  NFD( g.c.g)  MD = ND ( hai cạnh tương ứng) => D trung điểm MN Vậy AH qua trung điểm MN 0,25 Theo ra: MA: MB: MC = 1: 2:  Đặt MA MB MC   MA MB MC = a ( a > 0)   0,25 => MA = a; MB = 2a; MC = 3a Vẽ tam giác MBK vuông cân B ( K A nằm phía BM) => BK= BM = 2a Xét  ABK  CBM có: AB = BC (  ABC vuông cân B)  MBC ABK ( phụ với góc ABM) 0,25 BM = BK Do ABK  CBM  c.g c  suy CM = KA = 3a Xét tam giác vng MBK vng B ta có MK  MB  MK   2a    2a   8a 2 Xét tam giác AMK có AM  MK  a  8a  9a   3a   AK 2 Theo định lí Py – ta – go đảo => tam giác KMA vuông M  AMK  900   900  450  1350 Vậy  =>  AMB   AMK  KMB AMB  1350 0,25 0,25 Giả sử 2016 số cho khơng có số nhau, khơng tính tổng qt ta giả sử a1 < a2 < a3 < < a 2016 Vì a1 , a2, a3 , , a2016 số nguyên dương 0,25 nên: a1  1; a2  2; a3  3; , a2016  2016 Suy ra: (1,0đ) 1 1 1         a1 a2 a3 a2016 2016 1   1  1 1                     2016   3    1024 1025 1026 1 1       512  993 512 1024 1 1    22  23   10 210  11  300 2 2 Mâu thuẫn với giả thiết Do điều giả sử sai Vậy 2016 số cho phải có số Ghi chú: Nếu học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Hết 0,25 0,25 0,25 ... f( 17)  f( 17) = (vì f(9) = 0) Suy x = 17 nghiệm đa thức f(x) *) Với x = 17 ta có: 16 f( 17) = 21 f(25)  f(25) = (vì f( 17) = 0) Suy x = 25 nghiệm đa thức f(x) Vậy đa thức f(x) có nghiệm ; - 4; 17; ...UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC : 20 17 – 2018 MƠN : TỐN - LỚP (Hướng dẫn chấm gồm: câu, 04 trang)... Giả sử n2 + 2018 số phương với n số tự nhiên Khi ta có n2 + 2018 = m2 (m N * ) Từ suy : m2 - n2 = 2018  m2 – mn + mn - n2 = 2018  m(m - n) + n(m – n) = 2018  (m + n) (m – n) = 2018 Như số