PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015 - 2016 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: P a 4a a a a 14a b) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x dư 10, f(x) chia cho x dư 26, f(x) chia cho x thương 5x cịn dư Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: x 43 x 46 x 49 x 52 57 54 51 48 b) x 3 x x a) Câu (2,0 điểm) a) Chứng minh Q = n3 + (n + 1)3 +( n + 2)3 với n N* b) Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c 3 bca a cb abc Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Các đường cao AE, BF, CG cắt H Gọi M trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vng góc với HM, a cắt AB, AC I K a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự N D Chứng minh NC = ND HI = HK c) Chứng minh: AH BH CH 6 HE HF HG Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc Chứng minh rằng: 1 a (b c) b (c a) c (a b) -Hết Họ tên học sinh: Số báo danh: Họ tên Giám thị: Chữ ký: PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015 - 2016 MƠN: TỐN LỚP Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Đáp án a) P P P P Điểm a 4a a a a 14a a a 1 a 1 a 7a a a 1 a 4 a a 5a 0,25 a 1 a 1 a a a 1 a 0,5 a 1 a2 Câu Vậy P a với a 1; a 2; a a2 (2 điểm) 0,25 b) Giả sử f(x) chia cho x thương 5x dư ax b Khi đó: f ( x) ( x 4).(5 x) ax + b 0,25 Theo đề bài, ta có: f (2) 26 2a b 26 a f (2) 10 2a b 10 b 18 0,5 Do đó: f ( x) ( x 4).(5 x) 4x +18 Vậy đa thức f(x) cần tìm là: f ( x) ( x 4).(5 x) 4x +18 a) Câu (2 điểm) x 43 x 46 x 49 x 52 57 54 51 48 x 43 x 46 x 49 x 52 +1+ +1= +1+ +1 57 54 51 48 x 100 x 100 x 100 x 100 + =0 57 54 51 48 1 1 (x + 100)( )=0 57 54 51 48 1 1 Do ( ) nên x + 100 x = -100 57 54 51 48 Vậy tập nghiệm phương trình S = 100 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) x 3 x x 2x 3 2x x (4x2 + 16x + 15)(x2 + 4x + 4) = (2) Đặt y = x2 + 4x + 4y = 4(x2 + 4x + 4) = 4x2 + 16x + 16 4x2 + 16x + 15= 4y - Khi (2) y(4y - 1) - = 4y2 - y - = (y - 1)(4y + 3) = +/ y - = (x + 2)2 - = (x + 2)2 = x + = x + = -1 x = -1 x = -3 +/ 4y + = 4(x+2)2 + = Vì 4(x+2)2 + nên phương trình vơ nghiệm Vậy S 1; 3 tập nghiệm phương trình cho a) Q = n3 + (n + 1)3 +( n + 2)3 = n3 + (n3 + 3n2 + 3n + 1)+(n3 + 6n2 + 12n + 8) =3n3 + 9n2 + 15n + = 3(n3 + 3n2 + 5n + 3) Đặt C = n3 + 3n2 + 5n + = n3 + n2 + 2n2 + 2n + 3n + = n2(n + 1) +2n(n + 1) +3(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1) Ta thấy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho (vì tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3), mà 3(n + 1) chia hết cho C chia hết cho Q = 3C chia hết cho Câu (2 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Đặt b + c a = x > 0; c + a b = y > 0; a + b c = z > Từ suy a = yz x z x y ; ;b ;c 2 0,25 Thay vào biểu thức A ta được: yz xz x y 1 y x x z y z ( ) ( ) ( ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y Suy A (2 2) hay A A= a b c , với a, b, c ba cạnh Vậy A bca a cb abc tam giác 0,25 0,25 0,25 A F K G H I 0,25 B E M C N D a) Ta có AEC BFC (g-g) nên suy Xét ABC EFC có CE CA CF CB CE CA góc C chung CF CB EFC ( c-g-c) Câu nên suy ABC (3 điểm) b) Vì CN // IK, HM IK nên HM CN M trực tâm HNC MN CH mà CH AD (H trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD Do M trung điểm BC NC = ND IH AH (vì IH // DN) DN AN HK AH (vì KH // CN) CN AN Suy ra: IH = HK AH S AHC S ABH S AHC S ABH S AHC S ABH HE SCHE S BHE SCHE S BHE S BHC BH S BHC S BHA CH S BHC S AHC Tương tự ta có HF S AHC HG S BHA AH BH CH S AHC S ABH S BHC S BHA S BHC S AHC HE HF HG S BHC S AHC S BHA S S S S S S = AHC ABH BHC BHA + BHC AHC S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c) Ta có: Dấu “=” xảy tam giác ABC đều, mà theo gt AB < AC nên khơng xảy dấu 0,25 0,25 0,25 0,25 Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c R x, y, z > ta có a b2 c2 a b c x y z x y z a b c Dấu “=” xảy x y z Thật vậy, với a, b R x, y > ta có a b2 a b x y x y Dấu “=” xảy a bx ay 2 (**) y b x x y xy a b (*) (luôn đúng) a b x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x yz a b c Dấu “=” xảy x y z 1 2 1 Ta có: a b c a (b c) b (c a) c ( a b) ab ac bc ab ac bc Câu (1 điểm) 0,25 0,25 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac ) 1 1 2 a b c 1 2 11 1 a Hay b c ab ac bc ab ac bc a b c 1 2 1 Mà nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 1 Vậy (đpcm) a (b c) b (c a ) c (a b) * Lưu ý: HS làm cách khác đáp án mà cho điểm tối đa (Vì abc ) 0,25 0,25 ... 10 b 18 0,5 Do đó: f ( x) ( x 4).(5 x) 4x + 18 Vậy đa thức f(x) cần tìm là: f ( x) ( x 4).(5 x) 4x + 18 a) Câu (2 điểm) x 43 x 46 x 49 x 52 57 54 51 48 x 43 x... +1+ +1= +1+ +1 57 54 51 48 x 100 x 100 x 100 x 100 + =0 57 54 51 48 1 1 (x + 100)( )=0 57 54 51 48 1 1 Do ( ) nên x + 100 x = -100 57 54 51 48 Vậy tập nghiệm phương...PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015 - 2016 MƠN: TỐN LỚP Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Đáp án a) P P P P