de giao luu hsg huyen toan 8 nam 2015 2016 phong gddt cam giang hai duong

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015 - 2016 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: P  a  4a  a  a  a  14a  b) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x  dư 10, f(x) chia cho x  dư 26, f(x) chia cho x  thương 5x cịn dư Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: x  43 x  46 x  49 x  52    57 54 51 48 b)  x  3 x    x    a) Câu (2,0 điểm) a) Chứng minh Q = n3 + (n + 1)3 +( n + 2)3  với n  N* b) Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c   3 bca a cb abc Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Các đường cao AE, BF, CG cắt H Gọi M trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vng góc với HM, a cắt AB, AC I K a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự N D Chứng minh NC = ND HI = HK c) Chứng minh: AH BH CH   6 HE HF HG Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a (b  c) b (c  a) c (a  b) -Hết Họ tên học sinh: Số báo danh: Họ tên Giám thị: Chữ ký: PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015 - 2016 MƠN: TỐN LỚP Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Đáp án a) P  P P P Điểm a  4a  a  a  a  14a  a  a  1   a  1 a    7a  a   a  1  a  4  a    a  5a   0,25   a  1 a  1 a    a   a  1 a   0,5 a 1 a2 Câu Vậy P  a  với a  1; a  2; a  a2 (2 điểm) 0,25 b) Giả sử f(x) chia cho x  thương 5x dư ax  b Khi đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  ax + b 0,25 Theo đề bài, ta có:  f (2)  26 2a  b  26 a      f (2)  10 2a  b  10 b  18 0,5 Do đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  4x +18 Vậy đa thức f(x) cần tìm là: f ( x)  ( x  4).(5 x)  4x +18 a) Câu (2 điểm) x  43 x  46 x  49 x  52    57 54 51 48 x  43 x  46 x  49 x  52 +1+ +1= +1+ +1 57 54 51 48 x  100 x  100 x  100 x  100  + =0 57 54 51 48 1 1  (x + 100)(  )=0   57 54 51 48 1 1 Do (    )  nên x + 100  x = -100 57 54 51 48 Vậy tập nghiệm phương trình S =  100  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b)  x  3 x    x      2x  3 2x   x     (4x2 + 16x + 15)(x2 + 4x + 4) = (2) Đặt y = x2 + 4x +  4y = 4(x2 + 4x + 4) = 4x2 + 16x + 16  4x2 + 16x + 15= 4y - Khi (2)  y(4y - 1) - =  4y2 - y - =  (y - 1)(4y + 3) = +/ y - =  (x + 2)2 - =  (x + 2)2 =  x + = x + = -1  x = -1 x = -3 +/ 4y + =  4(x+2)2 + = Vì 4(x+2)2 +  nên phương trình vơ nghiệm Vậy S  1; 3 tập nghiệm phương trình cho a) Q = n3 + (n + 1)3 +( n + 2)3 = n3 + (n3 + 3n2 + 3n + 1)+(n3 + 6n2 + 12n + 8) =3n3 + 9n2 + 15n + = 3(n3 + 3n2 + 5n + 3) Đặt C = n3 + 3n2 + 5n + = n3 + n2 + 2n2 + 2n + 3n + = n2(n + 1) +2n(n + 1) +3(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1) Ta thấy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho (vì tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3), mà 3(n + 1) chia hết cho  C chia hết cho  Q = 3C chia hết cho Câu (2 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Đặt b + c  a = x > 0; c + a  b = y > 0; a + b  c = z > Từ suy a = yz x z x y ; ;b  ;c  2 0,25 Thay vào biểu thức A ta được: yz xz x y 1 y x x z y z     (  )  (  )  (  )  2x 2y 2z 2 x y z x z y  Suy A  (2   2) hay A  A= a b c    , với a, b, c ba cạnh Vậy A  bca a cb abc tam giác 0,25 0,25 0,25 A F K G H I 0,25 B E M C N D a) Ta có  AEC  BFC (g-g) nên suy Xét  ABC  EFC có CE CA  CF CB CE CA góc C chung  CF CB  EFC ( c-g-c) Câu nên suy  ABC (3 điểm) b) Vì CN // IK, HM  IK nên HM  CN  M trực tâm  HNC  MN  CH mà CH  AD (H trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD Do M trung điểm BC  NC = ND IH AH (vì IH // DN)  DN AN HK AH (vì KH // CN)  CN AN Suy ra: IH = HK AH S AHC S ABH S AHC  S ABH S AHC  S ABH     HE SCHE S BHE SCHE  S BHE S BHC BH S BHC  S BHA CH S BHC  S AHC Tương tự ta có   HF S AHC HG S BHA AH BH CH S AHC  S ABH S BHC  S BHA S BHC  S AHC      HE HF HG S BHC S AHC S BHA S S S S S S = AHC  ABH  BHC  BHA + BHC  AHC  S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c) Ta có: Dấu “=” xảy tam giác ABC đều, mà theo gt AB < AC nên khơng xảy dấu 0,25 0,25 0,25 0,25 Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c  R x, y, z > ta có a b2 c2  a  b  c     x y z x y z a b c Dấu “=” xảy    x y z Thật vậy, với a, b  R x, y > ta có a b2  a  b    x y x y Dấu “=” xảy   a   bx  ay  2 (**) y  b x   x  y   xy  a  b  (*)  (luôn đúng) a b  x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c2  a  b  c2  a  b  c       x y z x y z x yz a b c Dấu “=” xảy    x y z 1 2 1 Ta có:    a  b  c a (b  c) b (c  a) c ( a  b) ab  ac bc  ab ac  bc Câu (1 điểm) 0,25 0,25 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 1 1 1 1 1         a2  b2  c2   a b c    a b c  ab  ac bc  ab ac  bc 2(ab  bc  ac ) 1 1 2    a b c 1 2 11 1 a Hay  b  c      ab  ac bc  ab ac  bc  a b c  1 2 1 Mà    nên a  b  c  a b c ab  ac bc  ab ac  bc 1 Vậy    (đpcm) a (b  c) b (c  a ) c (a  b) * Lưu ý: HS làm cách khác đáp án mà cho điểm tối đa (Vì abc  ) 0,25 0,25 ...  10 b  18 0,5 Do đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  4x + 18 Vậy đa thức f(x) cần tìm là: f ( x)  ( x  4).(5 x)  4x + 18 a) Câu (2 điểm) x  43 x  46 x  49 x  52    57 54 51 48 x  43 x... +1+ +1= +1+ +1 57 54 51 48 x  100 x  100 x  100 x  100  + =0 57 54 51 48 1 1  (x + 100)(  )=0   57 54 51 48 1 1 Do (    )  nên x + 100  x = -100 57 54 51 48 Vậy tập nghiệm phương...PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015 - 2016 MƠN: TỐN LỚP Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Đáp án a) P  P P P