UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - Lớp Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 05 câu 01 trang) Câu I (4,5 điểm) Cho hai biểu thức P x3 Q x 2 x 1 x , với x 0, x x4 x 2 Tính giá trị biểu thức P x 10 ( Rút gọn biểu thức Q Tìm giá trị x để biểu thức 3) P đạt giá trị nhỏ Q Câu II (4,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d1 : y x , d : y x k , d3 : y 2( k 1) x k ( k tham số) a) Tìm giá trị k để đường thẳng d qua gốc tọa độ b) Tìm giá trị k để đường thẳng d1 cắt đường thẳng d điểm nằm trục hoành c) Chứng minh k thay đổi, đường thẳng d3 qua điểm cố định Tìm điểm cố định Giải phương trình sau: x9 x 2 x 1 Câu III (3,5 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 2012 x 2015 2013 y 2018 2015 Cho số thực x , y , z thỏa mãn đồng thời điều kiện x y z xy yz zx 2 x 2015 y 2015 z 2015 32016 Tìm x , y , z Cho x, y hai số không âm thỏa mãn điều kiện xy (1 x )(1 y ) Tính giá trị biểu thức: T x y y x Câu IV (6,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) đường thẳng d cố định, d khơng có điểm chung với đường trịn Gọi M điểm thuộc đường thẳng d Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn ( A, B tiếp điểm) Từ O kẻ OH vng góc với đường thẳng d ( H d ) Nối A với B , AB cắt OH K cắt OM I Tia OM cắt (O; R) E a) Chứng minh năm điểm A, O, B, H , M thuộc đường tròn b) Chứng minh OK OH OI OM c) Chứng minh E tâm đường trịn nội tiếp tam giác MAB d) Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn Câu V (1,5 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca Chứng minh rằng: a b c a bc b ca c ab HẾT UBND HUYỆN NHO QUAN HDC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN - Lớp (HDC gồm 04 trang) Câu Ý Câu I (1,0) Nội dung Điểm x 10 ( ) = 10 ( ( 1) (2 3) 0,5 = 10 ( 3) 10 Với x P 93 12 12 3 0,5 (1,5đ) với x 0, x ta có Q Q = x 1 x x4 x 2 x 1 x 2 x ( x 2)( x 2) ( x 1)( x 2) x x2 x = x4 ( x 2)( x 2) x ( x 2) x ( x 2)( x 2) ( x 2) 0,5 0,5 0,5 (2,0đ) P xác định Q P x3 x Q x x Với x 0, x Áp dụng BĐT AM-GM ta có x 0,25 0,5 x x3 x Vậy Min Q Khi x Đẳng thức xảy II x 0,5 0,5 0,25 a) d : y x k qua gốc tọa độ x 0, y k k 0,5 b) Ta thấy d1 d cắt 0,25 Đường thẳng d1 cắt trục hoành điểm A(2;0) 0,25 Đường thẳng d cắt trục hoành điểm B( k 3 ;0) 0,25 Để hai đường thẳng d1 , d cắt điểm trục hồnh A B tức k 3 2 k 7 0,5 Vậy k … Giả sử M ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà đường thẳng cho ln qua phương trình 2( k 1) x0 y0 k (1) ln với k Ta có (1) (2 x0 1) k x0 y0 0,5 x 1 x0 1 ĐK để phương trình ln với k y 2 x0 y0 3 M ( ; 2) Thay tọa độ điểm M ( ; 2) vào d3 ta thấy với k Vậy điểm cố định cần tìm M ( ; 2) 0,25 ĐK x 0,25 x9 x PT 2 2x x9 x x 1 x 1 x 1 0,5 0,25 0,25 9x 2x 8x 2x 0 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,25 2x 2x 1) x x x (TMĐK) x 1 x 1 0,25 ( III 0,25 0,25 Với x nguyên 2012 x 2015 nên số chẵn +) Nếu y chẵn y 2018 số chẵn nên 2013 y 2018 số chẵn 2012 x 2015 2013 y 2018 số chẵn mà 2015 số lẻ nên PTVN +) Nếu y lẻ y1009 số lẻ, Đặt y1009 2k 1, k 2013 y 2018 2013(2k 1) 2013(4k 4k 1) = 4.2013(k k ) 2013 0,25 0,25 0,5 chia cho dư nên 2012 x 2015 2013 y 2018 chia cho dư 1, mà 2015 chia cho dư Vậy khơng có số ngun x, y thỏa mãn ycbt 0,25 Từ x y z xy yz zx ( x y ) ( y z ) ( z x) 0,25 x yz 0,25 Khi x 2015 y 2015 z 2015 3x 2015 32016 x 2015 32015 x 0,5 Vậy x y z 0,25 Từ xy (1 x2 )(1 y2 ) 1 (1 x2 )(1 y2 ) 1 xy (1 x )(1 y ) (1 xy )2 0,25 x y x y xy x y 0,25 0,25 x y xy ( x y ) y x 0,25 Với y x T x y y x x x x x IV 6,0 điểm d M A E I 0,25 K O J H N B 90 a) MA tiếp tuyến đường tròn (O ) OAM 0,25 A đường trịn đường kính OM Tương tự ta có B đường trịn đường kính OM 0,25 900 H đường trịn đường kính OM OH d (gt) OHM Vậy điểm A, O, B, H , M thuộc đường tròn đường kính OM 0,25 b) Ta có MA MB ( theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) M trung trực AB (1) OA OB( R) O trung trực AB (2) 0,5 0,25 0,5 Từ (1) (2) OM trung trực AB OM AB I 0,5 Xét OIK OHM 900 , O chung Có I H OIK # OHM ( g.g ) OI OK OK OH OI OM OH OM c) Ta có MI tia phân giác AMB (theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) 1,0 (3) 0,25 IEA 900 , IEA OAE (vì OAE cân O ) Lại có IAE 0,25 IAE 900 OAE MAE 900 IAE MAE mà OAE 0,25 AE tia phân giác MAB (4) Từ (3) (4) suy E tâm đường tròn nội tiếp MAB 0,25 d) OAM vuông A , có AI OM OI OM OA R Theo chứng minh OK OH OI OM 0,25 R2 OH R , OH không đổi K cố định OK không đổi Gọi IN đường cao OIK , J trung điểm ON IN OK Ta có SOIK SOIK lớn IN lớn OK OK Lại có IN IJ IN max N J IOK 2 OMH vng cân MH HO Vậy diện tích tam giác OIK có giá trị lớn MH HO OK OH R OK Câu V 0,25 0,25 vuông cân 0,25 0,25 1,5 điểm Vì a, b, c số thực dương nên Áp dụng BĐT AM-GM ta có: bc ac ab b c 2 a bc b ca c ab ab bc ca (1) a bc b ca c ab a 0,25 Mặt khác 3( a b c ) ( a b c ) ( ab bc ca ) a b4 c4 4 (2) Từ (1) (2) ta có ĐPCM 2 0,25 0,5 0,25 0,25 Chú ý: 1) Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực tổ chấm 3) Điểm thi tổng điểm không làm tròn ... zx ( x y ) ( y z ) ( z x) 0,25 x yz 0,25 Khi x 2015 y 2015 z 2015 3x 2015 32016 x 2015 32015 x 0,5 Vậy x y z 0,25 Từ xy (1 x2 )(1 y2 ) 1 (1 x2 )(1... nguyên 2012 x 2015 nên số chẵn +) Nếu y chẵn y 2018 số chẵn nên 2013 y 2018 số chẵn 2012 x 2015 2013 y 2018 số chẵn mà 2015 số lẻ nên PTVN +) Nếu y lẻ y10 09 số lẻ, Đặt y10 09 2k 1, k...UBND HUYỆN NHO QUAN HDC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN - Lớp (HDC gồm 04 trang) Câu Ý Câu