de thi hsg huyen toan 8 nam 2015 2016 phong gddt thai thuy thai binh

PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4,0 điểm) 2x  x  2x  8x  4x   Cho biểu thức: P  4x  8x  a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P = Bài (4,0 điểm) a Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thoả mãn: 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a Chứng minh A = abcd số phương +  + 6 a b b+c c  d d +a b Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – chia hết cho a2 + Bài (3,0 điểm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 2 b Giải phương trình:  x +1 + x +1 -3 2x-4    x-2  x -4  x-4  Bài (3,0 điểm) a Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh tam giác b Cho x, y, z dương x + y + z =1 Chứng minh : 1   9 x  2yz y  2xz z  2xy Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a Chứng minh AB2 = AC.BD b Kẻ OM vuông góc CD M Chứng minh AC = CM c Từ M kẻ MH vng góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH d Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 HẾT -Họ tên học sinh:……………………………Số báo danh: ………… …… HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2015-2016 Bài Nội dung Biểu điểm 2x  x  2x  8x  4x   Cho biểu thức: P  4x  8x  a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P = 2x  x  2x  8x  4x   4x  8x  x (2x  1)  (2x  1) 2(4x  2x  1) =  (2x  1)(2x  1) (2x  1)(4x  2x  1) a) P  (x  1)(2x  1) x 1 x4      (2x  1)(2x  1) 2x  2x  2x  2x  x4 1 Vậy P = 2x  1 b) ĐK: x   x 1 P=6    x   12x  2x   x  4x   4x  12x   (x  2)  (2x  3)  x   2x  (1) x   2x  (2) Ta có (1)  x  2x    (x  1)  = x 1  x   (tmđk)    x     x   (2)  x  2x   4  (x  1)2  4 vô nghiệm x   Vậy   x   0.25 1 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 a Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thoả mãn: 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a +  + 6 a b b+c c  d d +a Chứng minh A = abcd số phương b Tìm a ngun để a3 – 2a2 + 7a – chia hết cho a2 + a) 2a + b 2b +c 2c +d 2d +a +  + 6 a  b b +c c  d d +a  1  a b c d +1+ 1 +1+ 6 a b b +c cd d +a a b c d +  + 2 a  b b + c c  d d +a 1  a b c d  1   0 a b b+c c d d +a 0,25 0,25  b b d d    0 a  b b +c c  d d +a 0,25 b(c -a) d(a - c)   0 (a  b)(b +c) (c  d )(d +a) 0,25  b(c  d )(d  a)  d (a  b)(b  c)   abc  acd  bd  b2d   (b  d )(ac  bd )  0,25 0,25  ac  bd   ac  bd (vì b ≠ d) 0,25 0,25 Vậy A = abcd = (ac)2 số phương +) Thực phép chia a3 – 2a2 + 7a – cho a2 + 3, kết : a3 – 2a2 + 7a – = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1) +) Lập luận để phép chia hết 4a -1 phải chia hết cho a2 + (4a  1)(a  3)  (4a  1)(4a  1)(a  3) (vì a  Z nên 4a  1 Z )  (16a  1) (a  3)  16( a  3)  49 (a  3) 0,5 0,5 0,5 0,5  49( a  3) +) Tìm a, thử lại kết luận a  2; 2 a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 2 b Giải phương trình:  x +1 + x +1 -3 2x-4    x-2  x -4  x-4  a) A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x + 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x )2- + 2017 =(2x2 – 3x )2 + 2016  2016 x  x   Dấu "=" xảy  2x  3x   x(2x  3)    x  x   0.5 0.5 0.75 Vậy A = 2016   2  x +1 x +1  2x -4  b)  -3  +    x-2  x -4  x -4  0.25 Điều kiện x  2;4 0,25  x +1 x +1  x -2   -12  +   (*)  x-2  x-4  x-4  Đặt x +1 x-2 x +1 = a = b suy ab = x -2 x-4 x -4 Phương trình (*) trở thành : a2 + ab – 12b2 = 0, 25  (a – 3b)(a + 4b) =   a  3b  a  4b  0,25 x +1 x-2 = x-2 x-4  (x+ 1)(x - 4) = 3(x-2)2 + Nếu a = 3b 0,5 Giải phương trình kết luận phương trình vơ nghiệm x +1 x-2 = 4 x-2 x-4  (x+ 1)(x -4) = -4(x-2)2 + Nếu a = -4b x  Giải phương trình ta  (tmđk) x   + Kết luận nghiệm phương trình S = { 3; 0,5 } 0,25 a Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh tam giác b Cho x, y, z > x + y + z =1 Chứng minh : 1   9 x  2yz y  2xz z  2xy a) C/m: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) 0,5 +) Từ giả thiết suy ra: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) =  a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = ( a + b + c > ) 2 +) Biến đổi kết quả: (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0,25 0,5 a  b   b  c   a = b = c  Tam giác (đpcm) 0,25 c  a   b) Đặt a = x2 + 2yz; b = y2 + 2xz; c = z2 +2xy  a, b, c > a + b + c = (x + y + z)2 = 0,5 +) C/m:  a  b  c       a b c 0,5  1 1 0,5 1  hay    (đpcm) a b c a bc x  2yz y2  2xz z2  2xy Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a Chứng minh AB2 = AC.BD b Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC = CM c Từ M kẻ MH vng góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH d Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Vẽ hình ghi GT, KL y x D I M C A 0,5 K H B O a) Chứng minh: ΔOAC∽ΔDBO(g-g) 0,5 OA AC  OA.OB  AC.BD DB OB AB AB   AC.BD  AB2  4AC.BD (đpcm) 2  0,25 0,25 b) Theo câu a ta có: ΔOAC∽ΔDBO (g-g)  OC  AC 0,25 Mà OA  OB  OC  AC  OC  OD 0,25   OCM  +) Chứng minh: ΔOAC∽ΔDOC (c-g-c)  ACO 0,25 +) Chứng minh: ΔOAC=ΔOMC (ch-gn) AC  MC (đpcm) 0,25 OD OB OD OA AC OA c) Ta có ΔOAC=ΔOMCOA  OM; CA  CM OC trung trực AM OC  AM, 0,25 Mặc khác OA = OM = OB ∆AMB vuông M OC // BM (vì vng góc AM) hay OC // BI +) Xét ∆ABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM qua trung điểm AI  IC = AC +) MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có:  MK  BK  KH IC BC AC Mà IC = AC  MK = HK BC qua trung điểm MH (đpcm) 0,25 0,25 0,5 0,25 d) Tứ giác ABDC hình thang vng SABDC  (AC  BD).AB 0,25 Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cơ-si ta có AC  BD  AC.BD  AB2  ABSABDC  AB2 0,25 0,25 Dấu “=” xảy  AC  BD  AB  OA 0,25 Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 +) Với a, b, c, d dương, ta có a b c d    bc c d d a a b c   b d  a(d  a)  c(b  c) b(a  b)  d(c  d)  a         (b  c)(d  a) (c  d)(a  b)  b c d  a   c  d a b a2  c2  ad  bc b2  d2  ab  cd 4(a2  b2  c2  d2  ab  ad  bc  cd)    2 (a  b  c  d)2  b  c  d  a  c  d  a  b 4 (theo bất đẳng thức xy  (x  y)2 ) 2 2 2(a  b  c  d  ab  ad  bc  cd)  (a  b  c  d)2 F +) Mặc khác:  a2  b2  c2  d2  2ac  2bd  (a  c)2  (b  d)2  0,5 0,25 Suy F  đẳng thức xảy  a = c; b = d +) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có: 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 0,25 Đẳng thức xảy  y = 2016; x = 2015 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giải khác mà Giám khảo cho điểm không vượt thang điểm ý - Phần hình học, học sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Tổng điểm tồn tổng điểm câu khơng làm trịn  ...  a = c; b = d +) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có: 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 0,25 Đẳng thức xảy  y = 2016; x = 2015 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm trình... DẪN CHẤM TOÁN 8? ?? NĂM HỌC 2015- 2016 Bài Nội dung Biểu điểm 2x  x  2x  8x  4x   Cho biểu thức: P  4x  8x  a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P = 2x  x  2x  8x  4x   4x  8x  x (2x ... C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 +) Với a, b, c, d dương, ta có a b c d    bc c d d a a b c 