ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017-2018 Bài (4 điểm) a) Tính 3 1 − + − + 11 13 A= + 5 5 5 − + − + 11 13 x, y , z b) Cho số số khác thỏa mãn điều kiện: y+z−x z+x− y x+ y−z = = x y z , tính giá trị biểu thức: x y z B = 1 + ÷ + ÷1 + ÷ y z x Bài (4 điểm) x− x, y , z a) Tìm biết: b) CMR: với n + y + + x + xz = nguyên dương 3n+ − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài (4 điểm) Một thảo sách dày 555 trang giao cho người đánh máy Để đánh máy trang người thứ cần phút, người thứ hai cần phút, người thứ cần phút Hỏi người đánh máy trang thảo, biết người làm từ đầu đến đánh máy xong ABC , M Bài (6 điểm) Cho tam giác trung điểm BC Trên tia đối tia MA ME = MA lấy điểm E cho Chứng minh rằng: a) AC = EB, AC / / BE AC , K AI = EK EB b) Gọi I điểm điểm cho Chứng I,M , K minh thẳng hàng · · EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) · HBE = 500 , MEB = 250 HEM c) Từ E kẻ Biết Tính ·BME Bài (2 điểm) Tìm x, y ∈ ¥ biết: 36 − y = ( x − 2010 ) ĐÁP ÁN Bài 3 1 3 − + 1 − + − + − + ÷ 11 13 11 13 4 a) A = + = + 5 5 5 1 5 1 1 − + − + 5 − + ÷ − + ÷ 11 13 11 13 3.135 3.135 7.11.13 189 1289 = 4.11.13 + = + = + = 5.129 4.11.13 5.129 172 860 7.11.13 b) Ta có: ⇒ y+z−x z+x−y x+ y−z y+z z+x x+ y = = ⇒ −1 = −1 = −1 x y z x y z y + z z + x x + y 2( x + y + z ) = = = =2 x y z x+ y+z x y z x+ y y+z z+x ⇒ B = 1 + ÷1 + ÷ + ÷ = y z x y z x x+ y z+x y+z = = 2.2.2 = z y x Vậy B =8 Bài x− a) + y + + x + xz = A ≥0 , áp dụng tính chất 1 x − =0 x − = x = 2 2 ⇒ y + = ⇒ y + = ⇒ y = − 3 x + xz = x ( x + z ) = z = −x = − b) Ta có: − 2n+ + 3n − 2n = ( 3n+ + 3n ) − ( 2n+ + 2n ) n+ = 3n ( 32 + 1) − 2n ( 2 + 1) = 3n.10 − 2n.5 = 10.( 3n − n−1 ) Vì 10.( 3n − 2n−1 ) dfcm chia hết cho 10 với n nguyên dương nên ta có Bài x, y , z Gọi số trang người thứ nhất, thứ 2, thứ đánh máy theo thứ tự Trong thời gian, số trang sách người đánh tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong1 trang; tức số trang người đánh tỉ lệ nghịch với 5;4;6 Do ta có: 1 x : y : z = : : = 12 :15 :10 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x+ y+z 555 = = = = = 15 12 15 10 12 + 15 + 10 35 ⇒ x = 180; y = 225; z = 150 Vậy số trang sách người thứ nhất, thứ hai, thứ ba là: 180,225,150 Bài ∆AMC a) Xét BM = MC ( gt ) b) Vì ∆EMB · AM = EM ( gt ); ·AMC = EMB có: (đối đỉnh); ∆AMC = ∆EMB (c.g c) ⇒ AC = EB nên · · ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB Suy Xét Nên AC / / BE ∆AMI ∆EMK ·AMI = EMK · mà , mà góc vị trí so le \ · · AM = EM ( gt ); MAI = MEK ( ∆AMC = ∆EMB) có: ·AMI + IME · = 1800 (kề bù) · · ⇒ EMK + IME = 1800 ⇒ I , M , K ( µ = 900 ∆BHE H ) thẳng hàng · HBE = 500 c) Trong có · · ⇒ HBE = 90 − HEB = 900 − 500 = 400 · · · ⇒ HEM = HEB − MEB = 400 − 250 = 150 · BME ∆HEM góc ngồi đỉnh M · · · BME = HEM + MHE = 150 + 900 = 1050 Nên (định lý góc ngồi tam giác) Bài 36 − y = ( x − 2010 ) ⇒ y + ( x − 2010 ) = 36 Ta có: y ≥ ⇒ ( x − 2010 ) ≤ 36 ⇒ ( x − 2010 ) ≤ 2 Vì Vì ≤ ( x − 2010 ) x ∈ ¥ , ( x − 2010 ) 36 số phương nên x = 2012 y = 2 x − 2010 = ⇒ ⇒ y = ⇒ x = 2008 y = −2(ktm) ( x − 2010 ) = ⇒ ( x − 2010 ) = ⇒ x − 2010 = ±1 ⇒ y = 28( ktm) y = ( x − 2010 ) = x − 2010 = ⇒ x = 2010 ⇒ y = 36 ⇒ y = −6(ktm) Vậy ( x; y ) = ( 2012;2 ) ; ( 2008;2 ) ; ( 2016;6 ) ... 1 1 − + − + 5 − + ÷ − + ÷ 11 13 11 13 3.135 3.135 7. 11.13 189 1289 = 4.11.13 + = + = + = 5.129 4.11.13 5.129 172 860 7. 11.13 b) Ta có: ⇒ y+z−x z+x−y x+ y−z y+z z+x x+ y = = ⇒ −1 =