PHỊNG GD & ĐT ĐỀ HSG TỐN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN NĂM HỌC 2017-2018 Ngày thi: 26/3/2018 Bài (4,0 điểm) a) Tính : 13 19 23 8 A = ( 0,5 ) + − ÷:1 15 15 60 24 b) So sánh : 1620 2100 Bài (3,0 điểm) a) Tìm x 2x − + biết: b) Tìm số tự nhiên n 1 =1 2 biết: 3−1.3n + 4.3n = 13.35 Bài (4,5 điểm) a) Cho dãy tỉ số nhau: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d Q, Q= Tính giá trị biểu thức b) Cho biểu thức a+b b+c c+d d +a + + + c+d d +a a+b b+c biết: x y z t M= + + + x+ y+ z x+ y+t y+ z +t x+ z +t x, y , z , t với M < 1025 10 số tự nhiên khác Chứng minh Bài (6,5 điểm) ABC BC , 1) Cho tam giác vuông cân A Gọi M trung điểm D điểm thuộc BM ( D BH , CI đoạn khác B M) Kẻ đường thẳng vng góc với AD đường thẳng H I Chứng minh rằng: · BAM = ·ACM BH = AI MHI b) Tam giác vng cân µA = 900 · AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) ABC HAC 2) Cho tam giác có Kẻ Tia phân giác · HAB cắt cạnh BC điểm D tia phân giác cắt cạnh BC E Chứng minh AB + AC = BC + DE a) x+ y+z=0 −1 ≤ x ≤ 1, Bài (2,0 điểm) Cho số thực tùy ý thỏa mãn −1 ≤ y ≤ 1, −1 ≤ z ≤ x2 + y + z6 Chứng minh đa thức có giá trị khơng lớn x, y , z ĐÁP ÁN Bài A= a) Biến đổi 47 47 − : = − =1 60 24 5 1620 = 4.20 = 280 b) Biến đổi 280 < 2100 ⇒ 1620 < 2100 Có Bài 2x − + a) Ta có: b) Biến đổi được: Bài a) Biến đổi 2x − = x = 1 = ⇒ 2x − = ⇒ ⇒ 2 x − = −1 x = 3n.( 3−1 + ) = 13.35 ⇒ 3n = 36 ⇒ n = 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d −1 = −1 = −1 = −1 a b c d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+ d a+b+c+d = = = a b c d +Nếu +Nếu a+b+c+d ≠0 a+b+c+d =0 a = b = c = d ⇒ Q = 1+1+1+1 = a + b = − ( c + d ) ;b + c = − ( d + a ) ; c + d = − ( a + b ) ; d + a = − ( b + c ) ⇒ Q = ( −1) + ( −1) + ( −1) + ( −1) = −4 Vậy Q=4 Q = −4 khi a+b+c+d ≠0 a+b+c+d =0 b) Ta có: x x y y z z t t < , < , < ; < x+ y + z x+ y x+ y +t x + y x + z +t z +t x + z +t z +t x y z t ⇒M