ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Năm học: 2017-2018 Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) A = + + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40 1 1 2 2 100 b) B = Câu 2: (4,0 điểm ) a) Cho a + b + c = 0, chứng minh a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) D = 232 Câu 3: (4,0 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019 b) Tìm giá trị nhỏ E = 2x2 – 8x + Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh tứ giác, tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác Câu 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Gọi I trung điểm cạnh BC Qua I vẽ IM vuông góc với AB M IN vng góc với AC N a) Chứng minh tứ giác AMIN hình chữ nhật b) Gọi D điểm đối xứng I qua N Chứng minh tứ giác ADCI hình thoi DK DC c) Đường thẳng BN cắt DC K Chứng minh Câu 6: (1,0 điểm) 2 2 Chứng minh rằng: a b c d e a (b c d e) “HẾT” C ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) A = + + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40 1 1 2 2 100 b) B = CÂU a b ĐÁP ÁN A = + + + + + = ( + + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) = ( + + 32+ 33) + 34 (1 + + 32+ 33) + 38(1 + + 32+ 33) = 40 + 34 40 + 38 40 = 40 (1 + 34 + 38) M40 Vậy A M40 1 1 2 1002 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 2 99 100 1 1 100 0,5 0,5 0,5 0,5 B Vậy B < 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 2: (4,0 điểm ) a) Cho a + b + c = 0, Chứng minh a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) D = 232 CÂU ĐÁP ÁN a Ta có: ĐIỂM a + b + c = suy a + b = - c 0,5 Mặt khác: ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 0,5 Suy b ĐIỂM 11 (- c)3 = a3 + b3 + 3ab(-c) a3 + b3 + c3 = 3abc(đpcm) C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,5 0,5 (2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,25 C = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) C = (24-1)(24+1)(28+1)(216+1) C = (28-1) (28+1)(216+1) C = (216-1)(216+1) 0,25 0,25 0,25 C = 232-1 Vì 232 - < 232 nên C < D 0,25 0,25 0,5 Câu 3: (4,0 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019 b) Tìm giá trị nhỏ E = 2x2 – 8x + CÂU a b ĐÁP ÁN x + 2019x + 2018x + 2019 ĐIỂM = x4 + (x2 + 2018x2 )+ 2018x +( 2018 + 1) + x3 – x3 0,5 = (x4 + x3 + x2 )+ (2018x2 + 2018x +2018) – (x3 - 1) 0,5 = x2(x2 + x + 1) + 2018(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) 0,5 = (x2 + x + 1)(x2 + 2018 – x + 1) 0,25 = (x2 + x + 1)(x2– x + 2019) E = 2x2 – 8x + 0,25 = 2x2 – 8x + - 0,5 = 2(x2 – 4x + 4) – 0,5 = 2(x – 2)2 – - 0,5 Vậy giá trị nhỏ E = - x = 0,5 Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh tứ giác, tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác ĐÁP ÁN ĐIỂM Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD tứ giác ABCD Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Xét AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan hệ ba cạnh tam giác) 0,25 Xét COD, ta có: OC + OD > CD (Quan hệ ba cạnh tam giác) 0,25 Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD AC + BD > AB + CD AC + BD > a + c 0,25 (1) Chứng minh tương tự: 0,25 AC + BD > AD + BC AC + BD > d + b (2) 0,25 Từ (1) (2) suy 2(AC + BD) > a + c + d + b AC +BD > 0,25 a c d b (*) 0,25 Xét ABC, ta có: AC < a + b Xét ADC, ta có: AC < d + c Suy ra: 0,25 2AC < a +b + c + d AC < Chứng minh tương tự: a c d b BD < a c d b (**) 0,25 (3) 0,25 (4) Từ (3) (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d 0,25 a c d b