PHÒNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 01 trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi Toán Lớp 8 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi Câu 1 (4 điểm) Cho biểu thức a) Tìm ĐKX[.]
PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn - Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi (Gồm có 01 trang) Câu (4 điểm) Cho biểu thức : a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu (4 điểm) a) Chứng minh f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + b) Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Câu (4 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x −4 xy +5 y =169 1 1 + + = x2 +9 x+ 20 x +11 x+ 30 x +13 x+ 42 18 b) Giải phương trình sau: Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC ' + + a) Tính tổng AA ' BB' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM Ơ ( AB+ BC+CA ) ≥4 2 AA ' + BB' + CC ' c) Chứng minh rằng: Câu (2 điểm) Cho ba số dương thoả mãn Chứng minh : - HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD&ĐT Câu a) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán - Lớp Nội dung ĐKXĐ : Điểm 0.5đ 0.5đ 0.25đ (4,0đ) 0.5đ Vậy với 0.25đ 0.5đ b) Với Vậy với x > A > c) 0.5đ 0.25đ 0.25đ Với x = 11 A = 0.5đ a) Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x 0.5đ + – = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia hết cho x10 –1 0.5đ Mà x10 – = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + 0.5đ x7 + + x + Suy f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + (4,0đ) Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x+ x + + x + b) Đặt Suy ra : 101 ta có k N, 32 = k – 100 = (k – 10)(k + 10) 0.5đ k < 100 0.5đ k + 10 101 k – 10 101 Mà (k – 10; 101) = k + 10 101 Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 0.5đ 0.5đ k + 10 = 101 k =91 0.5đ = 91 = 8281 a) 2 x −4 xy +5 y =169 ⇔ ( x−2 y ) + y 2=169=132 +02=122 +52 + 2 Do x , y ∈ Z ⇒ y ≠0 ⇒ y =0 bị loại, xét ba khả năng: (4,0đ) |x−2 y|=0 ; y=13 ⇒ ( x ; y )=( 26 ;13 ) |x−2 y|=5; y=12⇒ ( x; y )= ( 29;12 ) va ( 19;12 ) |x−2 y|=12; y=5⇒ ( x; y )= ( 22;5 ) va (−2;5 ) loại Vậy phương trình có nghiệm (26;13), (29;12), (19;12), (22;5) 0.75đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b) x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; ĐKXĐ : x≠−4; x≠−5; x≠−6; x≠−7 Phương trình trở thành : 1 1 + + = ( x+ )( x +5) ( x+5 )( x +6 ) ( x +6 )(x +7 ) 18 1 1 1 − + − + − = x+ x +5 x +5 x +6 x+ x +7 18 1 − = x+ x +7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 x=-13; x=2 ( TM) Từ tìm x=-13; x=2 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ A C’ N I B M A’ C S HBC HA ' BC HA ' = = S ABC AA ' AA ' BC ; ( 6,0đ) x B’ H a) S HAB Tương tự: S ABC S HAC S ABC = HC ' CC ' ; = HB ' BB' 0.5đ D HA ' HB ' HC ' S HBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB' CC ' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN CM=BN IC AM c)Vẽ Cx ¿ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ A C’ H N I B x B’ M A’ C D 0.25đ - Xét điểm B, C, D ta có: BD¿ BC + CD - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ¿ (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 ¿ (BC+AC)2 4CC’2 ¿ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ¿ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ¿ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ¿ (AB+BC+AC)2 0.5đ 0.5đ Ơ ( AB+ BC+CA ) ≥4 AA ' + BB' + CC ' (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC đều) Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c 0.25đ R x, y, z > ta có (*) ( 2,0đ) Dấu “=” xảy Thật vậy, với a, b 0.5đ R x, y > ta có (**) (ln đúng) Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có 0.5đ Dấu “=” xảy Ta có: Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 0.5đ (Vì ) Hay Mà nên Vậy a=b=c=1 (đpcm) Dấu xảy 0.5đ Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình Chấm cho điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần khơng làm trịn