Bài giảng Đại số lớp 11: Nhị thức Newtơn giúp các em học sinh nắm được công thức nhị thức Newtơn; Các tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn; Biết khai triển các nhị thức, biết cách xác định các số hạng có tính chất nào đó của nhị thức. Để nắm chi tiết hơn nội dung mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.
Thầy Hữu Quang - Cơ Phương Tổ Tốn Trường THPT Bình Chánh (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 00 22 11 2 C =1 C C =2 22 C C =1 (a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 4 a = C + C4 a3b + C42 a2b2 ab + C + C4 b4 00 33 C =1 1 C33 C =3 22 33 CC =3 33 33 CC =1 I CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN: n-2 2 n o n-1 1 a n a b b b a + + (a+b) = + … Cn Cn Cn n-1 n − n n n-n k n-k k … + Cn a b + +Cn ab + Cn a b(1) Công thức (1) gọi công thức nhị thức Niu-Tơn Số hạng tổng quát: Hoặc Số hạng thứ k+1 Tk+1 = C a k n n-k b k I.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN: Chó ý: *Quy ước : a0 = b0 = *Vế phải công thức (1): a) Số số hạng n+1 b) Các số hạng có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n c)Tổng số mũ a b số hạng n d) Các hệ số cặp số hạng cách hai số hạng đầu cuối VD 1: Khai triển nhị thức Niu tơn sau: a) (x – 2) b) (2m + 1)5 Đáp án : ( x − 2) = x + ( −2) = C60 x6 + C61 x5 (−2) + C62 x4 (−2)2 + C63 x3 (−2)3 + C64 x2 (−2)4 + C65 x (−2)5 + C66 (−2)6 = x6 − 12x5 + 60x4 − 160x3 + 240x2 − 192x + 64 ( 2m + 1) = C50 (2m)5 + C51(2m)4 + C52 (2m)3 + C53 (2m)2 + C54 (2m) + C55 (2m)0 = 32m5 + 80m4 + 80m3 + 40m2 + 10m + 1) Công thức nhị thức Newton n k n -k k n n -1 k n -k k n n (a + b) = Cn a + Cna b + + Cn a b + + Cn b = Cn a b k=0 n 2) Tam giác Pascal: n=0 11 n=1 a1 + b1 + 1b2 1a2 + 2ab n=2 n=3 a31+ 3a32b + 3ab + 1b3 2b2 +4 4ab31+ 3b + 6a n=4 a14 + 4a b4 C10 + C11 C20 + C C 2 C30 C31 C32 + C33 22 4 3 C C C C C a 4+ 4a 4b + 6a b + 44ab 4+ b k-1 k k Cn-1 + Cn-1 = Cn 1) Công thức nhị thức Newton n k n -k k n n -1 k n -k k n n (a + b) = Cn a + Cna b + + Cn a b + + Cn b = Cn a b k=0 2) Tam giác Pascal: Quy luật: n -Đỉnh ghi số Tiếp theo hàng thứ ghi hai số - Nếu biết hàng thứ n (n 1) hàng thứ n+1 thiết lập cách cộng hai số liên tiếp hàng thứ n rồi viết kết xuống hàng vị trí hai số -Sau viết số đầu cuối hàng n n-1 n n (1) a + b a b + C b ( ) = C n0 a n + C 1n a n-1 b + + C nk a n- k b k + + C n-1 n n 1 VD : Tìm số hạng khơng chứa xtrong khai triển 2x − x x Tk +1 = C a k n Giải: Số hạng tổng quát khai triển là: k Tk +1 = C (2 x) (− ) x 6−k k 6−k = C x k 6−k = C (2.x) k (−1) k x k xlà: 6− k = C k 6 6−k C 6− n−k −1 k ( 2) x −3 k − x ( ) k k=2 Ta phải tìm k cho: 6- 3k=0 Vậy số hạng không chứa ( −1) = 240 b k I CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN (a +b)n = Cn0 an +Cn1 an−1b + Cn2 an−2b2 + + Cnk an−k bk + + Cnnbn Ví dụ Tìm hệ số x khai triển: (1-3x)5 Lời giải: Số hạng tổng quát khai triển (1-3x)5 là: C5k 15−k (−3x)k = (−3)k C5k x k Số hạng x ứng với k = Vậy hệ số x khai triển là: (−3)2 C52 = 90 (1) Chú ý : Để giải tốn tìm hệ số số hạng biết số mũ số hạng khai triển nhị thức Niu tơn thì: Bước 1: Viết số hạng tổng quát khai triển nhị thức Bước 2: Buộc số mũ chữ số hạng tổng quát phải số mũ tương ứng cho trước giải để tìm k Bước 3: Thay giá trị k vào số hạng tổng quát bước kết luận Điền số thích hợp vào 1-Hệ số x y 12 13 khai triển ( x + y ) 25 5200300 2-Hệ số x khai triển ( 3x − ) 4320 3-Hệ số x khai triển ( 3x − ) -5760 TÓM LẠI: Qua học em cần nắm vững nội dung sau : 1-Công thức nhị thức Niu-tơn 2-Các tính chất cơng thức nhị thức Niu-tơn 3-Biết khai triển nhị thức, biết cách xác định số hạng có tính chất nhị thức Bài tập nhà: 1,2,3,5,6 trang 58 sgk