Bài giảng Hình học lớp 11: Vectơ trong không gian trình bày nội dung về: Định nghĩa và các phép toán của vec tơ trong không gian; Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ; Đồng thời cung cấp một số bài tập để các em luyện tập, củng cố kiến thức. Mời quý thầy cô cùng tham khảo bài giảng.
TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH Tổ tốn Khối 11 Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN CỦA VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA VECTƠ I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN CỦA VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Định nghĩa B A Các khái niệm có liên quan đến vectơ như: giá vectơ, độ dài vectơ, phương, hướng hai vectơ, hai vectơ, quy tắc thực phép toán vectơ định nghĩa tương tự mặt phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD, kể tên vectơ có điểm đầu A, điểm cuối đỉnh lại tứ diện Các vectơ có nằm mặt phẳng khơng? Bài giải A Các vectơ có điểm đầu A, điểm cuối đỉnh lại tứ diện là: 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 B D Chúng không thuộc mặt phẳng C Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Kể tên vectơ với vectơ 𝐴𝐵 b) Có tất vectơ khác có điểm đầu điểm cuối đỉnh hình hộp? Bài giải a) Các vectơ với vectơ 𝐴𝐵 là: 𝑨𝑩 = 𝑫𝑪 = 𝑨′𝑩′ = 𝑫′𝑪′ B A b) Vectơ khác có điểm đầu điểm cuối đỉnh hình hộp có tất 𝐴8 = 56 vectơ Hai vectơ nào? C D B' A' C' D' I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN CỦA VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Phép cộng phép trừ vectơ, phép nhân với số Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Thực phép toán 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 + 𝐴′𝐵′ + 𝐶′𝐷′ b) Chứng minh 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐶′ Nhắc lại quy tắc điểm, quy tắc hình bình hành? • Qui tắc điểm Với ba điểm A,B,C ln có: 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ; 𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵 • Qui tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành thì: 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶 Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Thực phép toán 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 + 𝐴′𝐵′ + 𝐶′𝐷′ b) Chứng minh 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐶′ Bài giải B 𝑎) 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 + 𝐴′𝐵′ + 𝐶′𝐷′ = A D 𝑏) 𝑉𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐶′ = 𝑉𝑃 C B' A' C' D' Câu Cho hình hộp chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ Khi đó, vectơ phương với vectơ 𝐴𝐵 vectơ đây? B A C 𝐶𝐷 B 𝐴𝐷 D Câu ′ 𝐵 𝐶′ A D B' 𝐴𝐶′ 𝑀𝐷 C' A' D' Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷, gọi M, N trung điểm AB, AD Khi đó, vectơ hướng với vectơ 𝑀𝑁 vectơ đây? A C B A N M 𝐶𝐷 B C 𝐷𝐵 D D 𝐵𝐷 C Câu Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷, gọi M, N điểm thuộc cạnh AB, AD cho 𝐴𝑀 = 3𝑀𝐵, 𝐷𝑁 = A Câu B 𝑁𝐴 − Tìm số thực k thỏa mãn 𝑀𝑁 = 𝑘𝐷𝐵? − C D Cho hình hộp 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ Chọn đẳng thức vectơ đúng: A 𝐷𝐵′ = 𝐷𝐴 + 𝐷𝐷′ + 𝐷𝐶 B 𝐴𝐶′ = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 C 𝐷𝐵 = 𝐷𝐴 + 𝐷𝐷′ + 𝐷𝐶 D 𝐴𝐶′ = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵′ + 𝐴𝐷 II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ Vậy không gian Khái niệm đồng phẳng vectơ khơng gian ba vectơ đồng phẳng? Cho 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ ≠ Từ điểm O vẽ 𝑂𝐴 = 𝑎, Ԧ 𝑂𝐵 = 𝑏, 𝑂𝐶 = 𝑐 Ԧ Nếu OA, OB, OC không nằm mặt phẳng ta nói 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ không đồng phẳng Nếu OA, OB, OC nằm mặt phẳng ta nói 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng phẳng A A O B B C Ba vectơ 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ không đồng phẳng Ba vectơ 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng phẳng Chú ý: Việc xác định đồng phẳng hay không đồng phẳng ba vectơ không phụ Thế hai vectơ thuộc vào vị trí điểm O phương? Định nghĩa Trong không gian ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng 3 Điều kiện để vectơ đồng phẳng Định lí 1: Trong khơng gian cho hai vectơ 𝑎, Ԧ 𝑏 không phương vectơ 𝑐 Ԧ Khi đó, ba vectơ 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng phẳng có cặp số m, n cho 𝑐Ԧ = 𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑏 Ngoài cặp số m, n Ví dụ Bài giải Theo quy tắt phép trừ hai vectơ ta tìm được: 𝑐Ԧ = 2𝑎Ԧ − 𝑏 = 2𝑎Ԧ + −𝑏 Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng phẳng Vì 𝑐Ԧ = 2𝑎Ԧ − 𝑏 nên theo định lí ba vectơ 𝑎, Ví dụ Bài giải Ta có: 𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑏 + 𝑝𝑐Ԧ = giả sử p≠ Khi ta viết: 𝑚 𝑛 𝑐Ԧ = − 𝑎Ԧ − 𝑏 𝑝 𝑝 Nên theo định lí ba vectơ 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng phẳng Điều kiện để vectơ đồng phẳng Định lí 2: Trong không gian cho vectơ không đồng phẳng 𝑎, Ԧ 𝑏,𝑐 Ԧ Khi với vectơ 𝑥Ԧ ta tìm số m, n, p cho𝑥Ԧ = 𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑏 + 𝑝𝑐Ԧ Bộ ba số Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Xét điểm M N thuộc đường thẳng A’C C’D cho 𝑀𝐴′ = −3𝑀𝐶, 𝑁𝐶′ = −𝑁𝐷 Đặt 𝐵𝐴 = 𝑎, Ԧ 𝐵𝐵′ = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑐 Ԧ Hãy biểu thị vectơ 𝐵𝑀 𝐵𝑁 qua vectơ 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐 Ԧ Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Xét điểm M N thuộc đường thẳng A’C C’D cho 𝑀𝐴′ = −3𝑀𝐶, 𝑁𝐶′ = −𝑁𝐷 Đặt 𝐵𝐴 = 𝑎, Ԧ 𝐵𝐵′ = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑐 Ԧ Hãy biểu thị vectơ 𝐵𝑀 𝐵𝑁 qua vectơ 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐 Ԧ Bài giải 𝑀𝐴′ = −3𝑀𝐶⇔ 𝑀𝐵 + 𝐵𝐴′ = −3 𝑀𝐵 + 𝐵𝐶 ⇔ 4𝑀𝐵 = − 𝐵𝐴 + ′ 𝐴𝐴 ′ 𝐵𝐵 − 3𝐵𝐶 ⇔ 4𝐵𝑀 = 𝐵𝐴 + + 3𝐵𝐶 1 ⇔ 𝐵𝑀 = 𝑎Ԧ + 𝑏 + 𝑐Ԧ 4 Tương tự, 𝐵𝑁 = 𝑎Ԧ + 𝑏 + 𝑐 Ԧ D A a B c M C N b B' A' D' C' BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho vecto 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ không đồng phẳng xét vecto 𝑥Ԧ = 2𝑎Ԧ + 𝑏, 𝑦Ԧ = 𝑎Ԧ − 𝑏 − 𝑐; Ԧ 𝑧Ԧ = −3𝑏 − 2𝑐 Ԧ Chọn khẳng định A Ba vecto 𝑥, Ԧ 𝑦, Ԧ 𝑧Ԧ đồng phẳng B Hai vecto 𝑎, Ԧ 𝑥Ԧ phương C Hai vecto 𝑏, 𝑥Ԧ phương D Ba vecto 𝑥, Ԧ 𝑦, Ԧ 𝑧Ԧ đôi phương Câu Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi I K tâm hình bình hành ABB’A’ BCC’B’ Khẳng định sau sai A C Bốn điểm I, K , C , A đồng phẳng 1 𝐼𝐾 = 𝐴𝐶 = 𝐴′ 𝐶 ′ 2 B D Ba vecto 𝐵𝐷, 𝐼𝐾, 𝐵′𝐶′không đồng phẳng 𝐵𝐷 + 2𝐼𝐾 = 2𝐵𝐶 Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai A vecto 𝐴𝐵, 𝐷𝐶, 𝑀𝑁 đồng phẳng B vecto 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝑀𝑁 không đồng phẳng C vecto 𝐴𝑁, 𝐷𝑁, 𝑀𝑁đồng phẳng D vecto 𝐵𝐷, 𝐴𝐶, 𝑀𝑁 không đồng phẳng Câu A C Cho 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ vectơ đồng phẳng Khẳng định sau sai ? 𝑎Ԧ = 2𝑏 + 𝑐Ԧ 𝑎Ԧ = 2𝑏 + 𝑐Ԧ với 𝑏, 𝑐Ԧ phương B Giá 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ song song với mặt phẳng D 𝑎Ԧ = 2𝑏 + 𝑐Ԧ với 𝑏, 𝑐Ԧ không phương 1 Khái niệm đồng phẳng vectơ không gian Định nghĩa Trong không gian ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng 3 Điều kiện để vectơ đồng phẳng Định lí 1:Trong khơng gian cho hai vectơ 𝑎, Ԧ 𝑏 khơng phương vectơ 𝑐 Ԧ Khi đó, ba vectơ 𝑎, Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng phẳng có cặp số m, n cho 𝑐Ԧ = 𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑏 Ngoài cặp số m, n Định lí 2: Trong khơng gian cho vectơ khơng đồng phẳng 𝑎, Ԧ 𝑏,𝑐 Ԧ Khi với vectơ 𝑥Ԧ ta tìm số m, n, p cho 𝑥Ԧ = 𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑏 + 𝑝𝑐Ԧ Bộ ba số