A PAGE 9 Tõ mét bµi to¸n c¬ b¶n x©y dùng c¸c bµi to¸n ph¸t triÓn A Lý do chän ®Ò tµi T×m tßi ®Ó s¸ng t¹o, ®ã lµ nhiÖm vô hµng ®Çu cña ngêi lµm to¸n T×m tßi vµ s¸ng t¹o lµ mét viÖc kh«ng dÔ vµ cã nhiÒ[.]
Từ toán xây dựng toán phát triển A.Lý chọn đề tài: Tìm tòi để sáng tạo, nhiệm vụ hàng đầu ngời làm toán Tìm tòi sáng tạo việc không dễ có nhiều đờng khác để đạt đợc mục đích Vì vậy, việc hớng dẫn học sinh tìm tòi sáng tạo rát cần thiết tất thầy cô giáo dạy toán đây, muốn trao đổi số ví dụ hớng dẫn học sinh tìm tòi sáng tạo từ toán nhỏ Lý khách quan: Lý chđ quan: Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, tự giác chủ động học tập học sinh nhiệm vụ trọng tâm việc đổi phơng pháp dạy học Cũng giống nh môn khác, môn toán với đặc thù riêng mang tính lôgíc chặt chẽ đòi hỏi t trừu tợng cao việc tạo đợc hứng thú, say mê học tập tất đối tợng học sinh ( Kém, Yếu , Trung bình, Khá giỏi) yêu cầu cần thiết giáo viên Trong thực tế trờng, lớp trình độ nhận thức học sinh không đồng Vậy làm để thu hút ttất em vào hoạt động nhận thức với tính tích cực, chủ động cao, làm để học sinh dù thuộc đối tợng (Kém, Yếu , Trung bình, Khá giỏi) phát huy tối đa đợc linh hoạt, sáng tạo việc tiếp cận tri thức hay xây dựng kỹ vận dụng kiến thức giải tập trình xây dựng tìm tòi gia công nghiêm túc giáo viên Thực tế cho thấy môn toán học sinh khối trung học sở ( lớp cuối cấp) đà có phân hoá rõ rệt trình độ nhận thức, số tập thầy giáo giao cho lớp làm, có em cảm thấy dễ có học sinh lại cảm thấy khó Xét góc độ tích cực hai tr ờng hợp xảy tâm lí không sẵn sàng chủ động giải toán Đối với học sinh giỏi coi thờng cảm thấy nhàm chán, học sinh yếu không tìm hớng giải sinh nản chí Trong trờng hợp vai trò ngời giáo viên quan trọng, với nhiều đối tợng học sinh chênh lệch khả nhận thức việc thiết kế dạy đảm bảo phát huy tối ®a søc suy nghÜ cđa häc sinh lµ mét viƯc làm cần thiết không đơn giản Trong dạy học nói chung giảng dạy môn toán nói riêng ngời giáo viên phải đặt trớc học sinh tình có vấn đề Tình có vấn đề môn toán thờng đặt dới dạng tập, trình xây dựng kiến thøc cho häc sinh cịng nh viƯc cđng cè, rÌn luyện kỹ giải toán, ngời giáo viên thTrờng THCS Cẩm Đàn Từ toán xây dựng toán phát triển ờng chuẩn bị hệ thống câu hỏi , tập phù hợp với đối tợng học sinh Trong lên lớp để đảm bảo cho tập thể học sinh đợc tham gia tích cực vào học, nhiều phơng pháp Từ toán xây dựng toán phát triển với ý nghĩ đà thực nghiên cứu giảng dạy trình công tác trờng trung học sở Cẩm Đàn xin trao đổi đồng nghiệp B.Nội dung: I/Phần số học; Bài toán: Một sè chia cho th× d 6, chia cho d Hỏi số chia cho 56 d bao nhiêu? Giải: Cách 1: Gọi số bị chia a, theo giả thiết ta có: a = 7q1 + (1) a = 8q2 + (2) Để tạo bội 56, ta nhân hai vÕ cđa (1) víi vµ (2) víi ta cã: 8a = 56q1 + 48 (3) 7a = 56q2 + 35 (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra: 8a – 7a = 56(q1 – q2) +13 Hay a = 56(q q2) +13 Số d cần tìm 13 Cách 2: Từ (1) (2) suy : 7q1 + = 8q2 + (5) Tõ (5) rót ra: 7q1 – 7q2 = q2 - Hay q - = 7(q1 – q2) = 7q hay q2 = 7q + (6) Thay (6) vµo (2) ta đợc: a = 8(7q + 1) + = 56q + 13 VËy sè d lµ 13 Lêi bình: Từ giả thiết ta có a = 7q + a = 8q2 + ta đà đến hai cách giải: Cách 1: Tìm số d r chia a cho 56, ta tìm cách biểu diƠn: a = 56 q + r víi < r < 56 Trờng THCS Cẩm Đàn Từ toán xây dựng toán phát triển Cách 2: Ta ý đến 56 = 7.8 8a 7a = a Khai thác toán: Từ toán ta phát triển mở rộng lên thành toán tổng quát sau: Khi chia sốnguyên a cho số nguyên n d r1 , chia cho (n +1) th× d r2 Hái chia a cho n(n + 1) số d bao nhiêu? Gải: Theo giả thiết ta có : a = nq1 + r1 vµ a = (n +1)q2 + r2 Do ®ã (n + 1)a = n(n +1)q1 + (n +1)r1 Vµ na = n(n +1)q2 + nr2 _ Tõ ®ã suy : (n + 1)a - na = n(n +1)(q1 – q2) + (n +1)r1 - nr2 Vì (n +1)r1 - nr2 < n(n +1) nên ta cã: + NÕu (n +1)r1 - nr2 th× sè d lµ (n +1)r1 - nr2 +) NÕu (n +1)r1 - nr2 < th× a = n(n +1)(q1 – q2 - 1) + n(n + 1) + (n +1)r nr2 vµ < n(n + 1) + (n +1)r1 - nr2 < n(n + 1) ®ã sè d lµ: n(n + 1) + (n +1)r1 - nr2 II/Phần đại số: Bài toán: Tìm giá trị lớn Giải: Cách 1: có: A xác định áp dụng bất đẳng thúc Cô si cho hai số không âm ta Do đó: Dấu = xảy x4=4 Vậy giá trị lớn A Cách 2: có: x=8 A xác định áp dụng bất đẳng thúc Cô si cho hai số không âm ta Trờng THCS Cẩm Đàn Từ toán xây dựng toán phát triển Do đó: Dấu = xảy x4=4 Vậy giá trị lớn A x=8 Lời bình: Bài toán có hai cách giải áp dụng bất đẳng thức Cô sic ho hai số không âm Cách 1: Từ tìm cách viết thành Trung bình nhân thích hợp để chuyển sang Trung bình cộng phần chứa biến x A bị triệt tiêu lại số Cách 2: Từ 2x tìm cách viết thành Trung bình cộng Thích hợp để chuyển sang Trung bình nhân phần chứa biến x A bị triệt tiêu lại số Từ cách giải toán ta khai thác phát triển thành toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát: Tìm giá trị lớn biểu thức a, b, c, d số áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ( điều kiện thích hợp định) ta có hai cách giải sau: Cách 1: Do Cách 2: Trờng THCS Cẩm Đàn Từ toán xây dựng toán phát triển Do Với a =1, b = -4, c=2 d = ta có toán III/ Bài toán hình học: Bài toán 1: (Bài toán lớp 7) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B ta dựng đoạn thẳng AE AC AE = AC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng ADAB AB = AD Vẽ đờng cao AH ABC, tia HA cắt BE M Chứng minh M trung điểm DE Giải Ta cã h×nh vÏ sau: (h×nh 1) E M D A B H C Đối với học sinh lớp 7, để chứng minh hai đoạn thẳng ta đa viƯc chøng minh hai tam gi¸c b»ng DƠ kiĨm tra thấy DMA chứa MD MEA chứa ME Để giải đợc vấn đề ta phải tạo hai tam giác khác nhận ME cạnh chứng minh đựơc chúng Khai th¸c ADAB ta suy : = AHB ( phụ với góc BAM) kết hợp với AD = AB ta nghĩ đến việc tạo tam giác vuông ABH ( cạnh huyền góc nhọn ) cách kẻ DI MA Tơng tự ta kẻ đợc EK AM để tạo tam giác ACH Ta có hình vẽ 2; Trờng THCS Cẩm Đàn Từ toán xây dựng toán phát triển K E M D I A B H C Khai th¸c kết ta đợc: DIA = AHB ( cạnh huyền góc nhọn) ta đợc DI = AH (1) KEA = HAC (nh cách vẽ) ta đợc KE = AH (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: DI = KE Từ kết ta chứng minh đợc MDI = MEK (Hai tam giác có hai cạnh góc vuông góc nhọn nhau) Từ suy ra: MD = ME (đpcm) Từ toán theo cách nhìn nhận AB AD hai cạnh kề hình vuông ta mở rộng thành toán sau: Bài toán 2: (đối với học sinh lớp 8) Cho tam giác ABC cã ba gãc nhän LÊy AB vµ AC lµm cạnh dựng phía tam giác hai hình vuông ADQB vµ AEFC Gäi vµ 02 theo thø tự tâm hai hình vuông N trung ®iĨm cđa BC chøng minh r»ng: NO1 = NO2 NO1 NO2 Giải: O1N qua trung điểm hai đoạn thẳng nên ta nghĩ đến đờng trung bình tam giác ta có: O1N DC vµ O1N = (*) O2N EB vµ O2N = Lúc toán trở chứng minh DC = EB vµ DC EB Ta dƠ dµng nhËn thÊy: AD = AB (Cạnh hình vuông ADQB) AE = AC ( Cạnh hình vuông AEFC) => ADC = BAE (c.g.c) DAC = BAE ( ®Ịu b»ng 900 + BAC) Trờng THCS Cẩm Đàn Từ toán xây dựng toán phát triển => DC = BE (1) vµ ADC = ABE Gäi P lµ giao điểm DC AB, R giao DC vµ BE Q B O1 D P R N C A O2 E F XÐt hai tam gi¸c DAP BRP có : DPA = BPR ( đối đỉnh) PDA = PBR (Chøng minh trªn) => DPA = BRA Mà DAP = 900 (góc hình vuông) nên BRP = 90 => DC BE (2) Tõ (*), (1), (2) suy ra: NO1 = NO2 NO1 NO2 (đpcm) Ban đầu toán đà tạo tam giác tam giác ABH Ta đặt vấn đề tạo tam giác tam giác ABC đợc kết khác không? Điều dẫn đến việc đề xuất toán sau: Bài toán 3: Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, VÏ c¸c đoạn thẳng AD thoả yêu cầu toán1 Dựng hình bình hành ADGE Vẽ đờng cao AH tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: a, G, A, M, H thẳng hàng b, QC, AH , BF đồng qui Giải : a/- Nối DE GA chúng cắt M, theo tính chất hình bình hành ta suy M trung điểm DE Trờng THCS Cẩm Đàn Từ toán xây dựng toán phát triển G D M E Q A F S C T H B - Theo kÕt toán ta đợc H, A, G thẳng hàng, theo cách xác định M M, A, H thẳng hàng Từ suy bốn điểm G, M, A,H thẳng hàng b/ Bây giải yêu cầu toán Trớc hết, để chứng minh ba đờng thẳng đồng qui, ta thờng dựa vào tÝnh chÊt ®ång qui cđa ba ®êng chđ u tam giác, lại có GH BC nên ta liên tởng tíi ba dêng cao cđa mét tam gi¸c Dùa vào toán theo tính chất hình bình hành ta có: GEA = BAC có: GE = AB (cïng b»ng AD) AE = AC ( c¹nh hình vuông AEFC) => GA = BC BAC = GEA (cùng bù với DAE) Sử dụng kết ta lại có: GAC = BCF (g.c.g) có: GC = BF vµ BFC = GCA Gäi giao cđa GC vµ BF lµ S, BF vµ AC lµ T Ta cã: FCT vuông C CTF + CFT = 900 hay BF GC Chøng minh t¬ng tù ta cịng cã GC vuông góc với QB AH, QC, BF ba đờng thẳng chứa đờng cao GBC, đờng cao GBC đồng qui Đpcm Cuối ta để ý tới tính bình đẳng tơng đối ABC ADE, sử dụng đặc biệt toán ta đề xuất toán sau: Trờng THCS Cẩm Đàn Từ toán xây dựng toán phát triển Bài toán 4: Cho ABC có góc nhọn, O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác Về phía ABC vẽ hình vuông ADQB AEFC Gọi trung điểm DE BC lần lợt M N Chứng minh AM BC Trêng hỵp OD = OE a) Tứ giác AMON hình b) Tính góc BAC Giải Giả sử MA BC cắt H Ta ph¶i chøng minh AH BC, hay AHC + HCA = 900 Ta ®· cã: MAE + HAC = 900 nên cần chứng minh HCA = MAE Muốn vậy, ta dựng hình bình hành ADGE chứng minh AEG = CAB Điều ta đà làm toán a) Từ giả thuyết OD = OE M trung điểm DE ta có đợc AN DE (tính chất tam giác cân) Lại có N trung điểm BC (GT) Làm tơng tự nh c©u cã AN DE suy AN // OM (3) Theo câu theo cách xác định tâm đờng tròng ngoại tiếp ta có AN // ON (vì vuông góc với BC) (4) Từ (3) (4) suy tứ giác AMON hình bình hành b) Ta có: hành) AG = BC (giao điểm hai đờng chéo hình bình (do AEG = CAB) Suy ra: Mặt khác AM = ON (cạnh đối hình bình hành) nên suy Trong OBC có ON đờng trung tuyến nên OBC vuông O hay BOC = 900 Trong đờng tròn ngoại tiếp ABC ta có (góc nội tiếp có số đo không 900 nửa số đo góc tâm chắn cung) Do BAC=450 C Kết luận Trên số ví dụ cách tìm tòi, khai thác Trờng THCS Cẩm Đàn Từ toán xây dựng toán phát triển 10 toán Làm nh bồi dỡng đợc lực t sáng tạo cho học sinh, giúp em có ý thức ham muốn tìm tòi sáng tạo Nó giúp em ghi nhớ nhóm toán, Bồi dỡng lực t lôgíc cho em Qua việc làm häc sinh sÏ cã høng thó häc to¸n, suy nghÜ em linh hoạt dần lên mà không bị gò ép, khuôn mẫu Hi vọng nhận đợc nhiều ý kiến trao đổi tiếp tục khai thác toán đồng nghiệp Đối với giáo viên muốn dạy học sinh giải toán tốt phải thờng xuyên đọc sách tự nâng cao kiến thức phải có kế hoạch giải toán thờng xuyên su tầm tập rút kinh nghiệm sau tiết dạy Phát huy tính tích cực, chủ động học sinh điều mà ngời giáo viên biết trình đổi phơng pháp giảng dạy Nó điều hoàn toàn đắn có lẽ không mẻ Ngay từ thời cổ Hilạp Xôcrát Đà đề sớng nguyên lý Hoạt động tích cực đề cao vai trò ngời học hay nh Léptôntôi đà nãi “ KiÕn thøc chØ thùc sù lµ kiÕn thøc thành cố gắng t chí nhớ Việc thực giảng dạy theo phng pháp không nằm quan điểm Mong muốn lớn song với khả có hạn chắn vấn đề mà vừa trình bày cha hẳn đà chọn vẹn, đà hay tránh khỏi sai sót mong thầy cô giáo đóng góp ý kiến phê bình để việc giảng dạy ngày tốt Trong trình giảng dạy thực nghiệm nh bắt tay vào viết sáng kiến đợc giúp đỡ tận tình thầy cô giáo trờng THCS Cẩm Đàn thầy cô giáo dạy môn toán huyện Sơn Động Xin chân thành cảm ơn! Sơn Động, ngày tháng năm Trờng THCS Cẩm Đàn Từ toán xây dựng toán phát triển 11 Xác nhận hội đồng khoa học trờng THCS cẩm đàn T/M HĐKH nhà trờng Trờng THCS Cẩm Đàn