Chuong 5 tinh gan dung dao ham tich phan

Chương TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM : Cho hàm y = f(x) bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Để tính gần đạo hàm, ta xấp xỉ hàm đa thức nội suy Lagrange Ln(x) (hay đa thức nội suy Newton) Ta có TH bảng có điểm nút : x x0 x1 y y0 y1 Đặt h = x1- x0 Đa thức nội suy Lagrange Suy công thức đạo hàm cho điểm :  Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x Tính xấp xỉ f’(1.8) với h = 0.1, 0.01, 0.001 giải Ta có h f’(1.8) 0.1 0.540672212 0.01 0.554018037 0.001 0.555401292 f’(1.8) = 0.555555555 TH bảng có điểm nút cách : x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 h = x2 - x1 = x1 - x0 Đa thức nội suy Lagrange Do với x ∈ [x0, x2] ta có Suy đạo hàm cấp Cơng thức thứ gọi công thức sai phân tiến Công thức thứ gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng (thay x1 = x0) Công thức thứ gọi công thức sai phân lùi thường viết dạng (thay x2 = x0) đạo hàm cấp Thay x1 = x0 ta  Ví dụ : Cho hàm a Dùng cơng thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ f’(1.25) với h = 0.01 b Tính xấp xỉ f”(1.25) với h = 0.01 giải -0.320416958 So với kết xác f’(1.25)= -0.320422170423379 -0.526643001 So với kết xác f”(1.25) = -0.526640385697715 Bài tập : Cho hàm f bảng số cách x 1.2 1.4 1.6 1.8 y 2.32 2.53 2.77 2.89 Xấp xỉ f đa thức Newton tiến, tính gần f’(1.25) Giải : Ta lập bảng sai phân hữu hạn xk 1.2 1.4 1.6 1.8 f(xk) 2.32 2.53 2.77 2.89 Δyk 0.21 0.24 0.12 Δ2yk Δ3 y k Newton tiến 0.03 -0.12 -0.15 Newton lùi II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN : Cho hàm f(x) xác định khả tích [a,b] Ta cần tính gần tích phân : Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn với bước h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b Cơng thức hình thang mở rộng :  Công thức sai số : Công thức Simpson mở rộng:  Công thức sai số : Chú ý : với công thức simpson n phải số chẵn  Ví dụ : Tính gần tích phân a Dùng cơng thức hình thang mở rộng với n = b Dùng công thức Simpson mở rộng với n = giải a h=0.2, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=5 đoạn x0 = < x1 = 0.2 < x2 = 0.4 < x3 = 0.6 < x4 = 0.8 < x5 = Cơng thức hình thang = 0.945078781 b h=0.125, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=8 đoạn x0 = < x1 = 0.125 < x2 = 0.25 < x3 = 0.375 < x4 = 0.5 x5 = 0.625 < x6 = 0.75 < x7 = 0.875 < x8 =1 Cơng thức Simpson = 0.94608331  Ví dụ : Dùng phương pháp simpson tính gần tích phân với f cho bới bảng số x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 f(x) 0.68 0.95 1.16 2.25 3.46 5.57 6.14 giải Công thức Simpson x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 y 2.9584 4.3730 5.8358 14.65 30.9609 76.3038 98.6471 I = 37.1004