PowerPoint Presentation Chương 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP 1 Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm y=y(x) của phương trình vi phân với giá trị ban đầu y0 y’ = f(x, y), ∀x ∈[.]
Chương GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP : Xét toán Cauchy : tìm nghiệm y=y(x) phương trình vi phân với giá trị ban đầu y0 y’ = f(x, y), ∀x ∈ [a,b] y(a) = y0 Các phương pháp giải gần : Công thức Euler Công thức Euler cải tiến Công thức Runge-Kutta Công thức Euler : Để tìm nghiệm gần tốn Cauchy ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ với bước h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b Nghiệm gần toán dãy {yk} gồm giá trị gần hàm xk Ta có yk ≈ y(xk) , k =0, n Công thức Euler : yk+1 = yk + h f(xk, yk) , k = 0, n-1 Ví dụ : Dùng cơng thức Euler tìm nghiệm gần toán Cauchy y’ = y – x2 +1, 0≤x≤1 y(0) = 0.5 với n = Tính sai số biết nghiệm xác : y(x) = (x+1)2 – 0.5ex giải ta có h = 0.2 x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = Công thức Euler y0 = 0.5 yk+1 = yk + 0.2 (yk - xk2 +1) k xk yk y(xk) |y(xk) - yk | 0 0.5 0.5 0.2 0.8 0.8292986 0.0292986 0.4 1.152 1.2140877 0.0620877 0.6 1.5504 1.6489406 0.0985406 0.8 1.98848 2.1272295 0.1387495 2.458176 2.6408591 0.1826831 * Nhận xét : công thức Euler đơn gian, sai số cịn lớn nên sử dụng Cơng thức Euler cải tiến : yk+1 = yk + (k1+k2)/2 k = 0,1, , n-1 k1 = hf(xk, yk), k2 = hf(xk+h, yk + k1) Ví dụ : Làm lại ví dụ trước dùng công thức Euler cải tiến giải ta có h = 0.2 x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = Công thức Euler cải tiến yo = 0.5 yk+1 = yk + (k1 +k2) /2 k1= 0.2(yk - xk2 +1) k2 = 0.2(yk + k1 – (xk+0.2)2 +1) k xk yk y(xk) |y(xk) - yk | 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 0.826 1.20692 1.6372424 2.1102357 2.6176876 0.5 0.8292986 1.2140877 1.6489406 2.1272295 2.6408591 0.0033 0.0072 0.0117 0.0170 0.0232