Chương Iii. Các Phương Trình Vi Phân Vận Động Cơ Bản Của Ndđ.ppt

CHƯƠNG II CƠ SỞ THỦY ĐỊA CƠ HỌC CHƯƠNG III CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VẬN ĐỘNG CỦA NDĐ 1 Phương trình liên tục  Phương trình liên tục của dòng thấm là phương trình tổng quát vận động của chất lỏng đồng[.]

CƠ SỞ THỦY ĐỊA CƠ HỌC CHƯƠNG III CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VẬN ĐỘNG CỦA NDĐ Phương trình liên tục    Phương trình liên tục dịng thấm phương trình tổng qt vận động chất lỏng đồng môi trường lỗ hổng; phương trình biểu thức tốn học qui luật bảo tồn khối lượng chất lỏng vận động Phương trình liên tục gặp tất lĩnh vực vật lý Để thành lập phương trình phương trình liên tục lấy hình hợp nguyên tố có cạnh dx, dy, dz song song với trục tọa độ (hình 11) Chúng ta nghiên cứu cân vật chất sau khoảng thời gian vô nhỏ dt hình hộp nguyên tố Hình I.1 Ngun tố vơ bé dịng thấm khơng gian Phương trình liên tục      Thể tích hình hộp ngun tố ký hiệu V, dxdydz Thể tích hổng hình hộp Vh, xác định theo biểu thức Vh nV sau Khối lượng chất lỏng lấp đầy lỗ hổng ngun tố Hình I.1 Ngun tố vơ dịng thấm bé dịng thấm khơng gian M = nV (II-1) đây,  - mật độ chất lỏng Vi phân phương trình (II-1) tìm thay đổi khối lượng chất lỏng hình hộp sau thời gian dt M V(n ) (II-2) t dt  t dt Phương trình liên tục   Bằng cách khác thấy khối lượng chất lỏng chảy vào nguyên tố nghiên cứu hướng trục x – hình chiếu động trục x) khoảng thời gian chất lỏng chảy hộp nguyên tố theo vxdydzdt (vx tốc độ vận Cũng Hình I.1 Ngun tố vơ khối lượng bé dịng thấm khơng gian từ hình vx     v  dx  dydzdt  x x  Như vậy, hiệu số khối lượng nước chảy đến chảy khỏi nguyên tố nghiên cứu sau khoảng thời gian dt v x  theo phương trục x  x dxdydzdt Phương trình liên tục  Tương tự, thay đổi khối lượng chất lỏng hình hộp nguyên tố theo trục y z bằng:  v y  dxdydzdt y v z  Hình I.1 Ngun tố vơ  dxdydzdt bé dịng thấm khơng gian z Tồn khối lượng chất lỏng thay đổi nguyên tố dòng thấm sau thời gian dt là:  vx  v y  vz  (II-3)       Vdt   div  v V dt  x   y  z   So sách biểu thức (II-2) (II-3) nhận phương trình cân div v  n  (II-4) t         Phương trình liên tục     Phương trình phương trình liên tục dịng thấm Để tìm phương trình phân bố áp lực dịng thấm cần phải tìm liên hệ đại lượng phương trình liên tục với áp lực Trước tiên, nghiên cứu động thái cứng dịng thấm đồng Khi người ta bỏ qua thay đổi mật độ chất lỏng biến dạng đất đá, tức phương trình (II-4) n  0 ; ngồi ra, cho t dòng chất lỏng đồng nên mang  ngồi dấu vi phân theo toạ độ Lúc ấy, phương trình liên tục dòng thấm đồng thành phần động thái cứng có dạng (II-5) v x v y v z x  y  z 0 Phương trình liên tục       vận động chất lỏng tuân theo định luật Đacxi thành phần tốc độ thấm biểu diễn biểu thức sau: H H H (II-6) v x  k x ; v y  k y ; vz  k z x y z kx, ky, kz - hệ số thấm theo hướng trục tọa độ Thay giá trị vx, vy vz từ phương trình (II-6) vào phương trình liên tục, nhận   H    H    H  (II-7)    k z  kx    k y  0 x  x  y  y  z  z  Phương trình phương trình eliptit tốn lý 1 Phương trình liên tục      Trong lớp đồng - đẳng hướng (kx = ky = kz = const đưa ngồi dấu vi phân), phân bố áp lực lớp biểu diễn phương trình Laplace 2 H 2 H 2 H (II-8)   0 x y z Phương trình Laplace phương trình quan trọng vật lý toán; hàm số thỏa mãn phương trình Laplace gọi hàm số điều hịa hàm số Các thành phần tốc độ thấm biểu diễn qua hàm số  = kH ( gọi hàm số tốc độ thấm), biểu thức (II-6) viết lại dạng sau:    (II-9) vx  ; v y  ; vz  x y z Phương trình liên tục     Nhờ biểu thức (II-9) phương trình liên tục dịng thấm động thái cứng có dạng: 2 2 2 (II-10)    x y z Phương trình Laplace có tính chất quan trọng, có ý nghĩa lớn thủy động lực tổ hợp lời giải thích phương trình Laplace lời giải phương trình Laplace Từ rút kết luận: cộng dòng phẳng nước đất; vận động tổng hợp vận động 2 Ph trình dịng phẳng ngang không áp     Để thành lập phương trình dịng phẳng ngang khơng áp nghiên cứu cân nước nguyên tố vơ bé có cạnh dx, dy chiều cao toàn chiều dày tầng chứa nước (hình II.2) Lưu lượng nước chảy đến nguyên tố theo Hình II.2 Sơ đồ dịng ngun tố hướng trục x qxdy theo trục y qydx; lưu lượng chảy từ nguyên tố ứng với trục tọa độ sau : q x dxdy Lượng nước chảy đến theo trục x qxdy + x theo trục y qydx + q y x dydx lấy dấu dương chiều chảy trùng với chiều trục tọa độ 2 Ph trình dịng phẳng ngang khơng áp  Ngồi đại lượng dịng ngun tố nhận lượng nước cung cấp ngấm từ xuống Wdxdy Hiệu số lưu lượng nước chảy đến chảy thay đổi thể tích nước nguyên tố nghiên cứu Trị Hình II.2 Sơ đồ số nước thay đổi biểu diễn dạng dòng nguyên tố khác  H dxdy (ở đây,  - độ t nhả nước độ thiếu hụt bão hịa) Khi phương trình cân nước lịng ngun tố có dạng sau q y q x H q x dy  q y dx  Wdxdy q x dy  dxdy  q y dx  dydx   dxdy x y t Ph trình dịng phẳng ngang khơng áp       Sau rút gọn phương trình nhận phương trình liên tục dịng phẳng ngang không áp: (II-11) qx q y H    W  x y t Đối với dòng phẳng ngang khơng áp Hình II.2 Sơ đồ mặt cắt thẳng đứng gradien áp dòng nguyên tố lực không đổi độ nghiêng bề mặt nước ngầm (II-12)  H  H ix  ; iy  x y Các biểu thức lưu lượng đơn vị qx qy viết dạng sau: qx = Tix; qy = Tiy (II-13) T - độ dẫn nước mặt cắt tính tốn tích số hệ số thấm chiều dày tầng chứa nước; Ph trình dịng phẳng ngang khơng áp  tầng chứa nước không đồng gồm nhiều lớp, độ dẫn nước T xác định theo công thức sau n T  ki hi k1h1  k h2     i 1 Nhờ biểu thức phương trình (II11) viết lại dạng   H    H  H(II-14)   W  T    T x  x  y  y  t Hình II.3 Mặt cắt thẳng Phương trình (II-14) phương trình vi đứng tầng chứa phân phi tuyến tính Trong nhiều trường nước có cấu tạo lớp hợp độ dẫn nước coi khơng đổi phương trình (II-14) có 2 H 2 H W  H    dạng đơn giản hơn:(II-15) x y T T t Ph trình dịng phẳng ngang khơng áp  Khi vận động ổn định khơng có nước ngấm từ xuống, phương trình (II-15) có dạng sau 2 H 2 H  0 x y   Trong lớp đồng độ dẫn nước T = kh (ở đây, h - chiều dày dòng nước ngầm lấy h = H), phương trình (II-15) có dạng sau 2 h 2 h 2W  h (II-16) x   y  k  k t h Thừa số vế phải phương trình t (II-16) biểu diễn dạng sau Hình II.3 Mặt cắt thẳng đứng tầng chứa nước có cấu tạo lớp h h  t 2h t Ph trình dịng phẳng ngang khơng áp   ký hiệu U  12 h , phương trình (II-6) có dạng 2U 2U W  U (II-17)    x  y k kh t vế phải phương trình (II-17) coi h kh a  giá trị trung bình ký hiệu  (1959 Selkatsev V.N đề nghị gọi a hệ số truyền mực nước nước không áp hệ số truyền áp nước áp lực), phương trình dịng phẳng ngang khơng áp có dạng đơn giản sau 2 Hình II.3 Mặt cắt thẳng đứng tầng chứa nước có cấu tạo lớp  U  U W U    x y k a t (II-18) Phương trình động thái đàn hồi dòng thấm    Động thái đàn hồi dịng thấm phát sinh có thay đổi tải trọng tầng chứa nước làm thay đổi áp lực Động thái đàn hồi biểu diễn rõ rệt tầng chứa nước áp lực Đơrêxôv, Selkatsev V.N người xây dựng lý thuyết dòng thấm điều kiện động thái đàn hồi Tương tự thành lập phương trình liên tục dịng thấm, ta lập cân nước nguyên tố dịng thấm vơ bé (II-19) v x  v y  v z  n  x    y  z  t đây,  - tỉ trọng nước Chúng ta tìm biểu thức đạo hàm thời gian tích số n điều kiện đàn hồi 3 Phương trình động thái đàn hồi dòng thấm    Khi áp lực thay đổi nước vật thể đàn hồi lý tưởng, thay đổi tỉ trọng nước  tuân theo định luật Huc tỉ lệ thuận với thay đổi áp P    n P (II-20)  n - hệ số co giãn thể tích nước, thay đổi tương đối thể tích nước thay đổi áp lực 1at Đối với nước nhạt n = 4,75.10-51/at, nước kháong với độ khống hóa M(g/l) dùng cơng thức Maminun V.N  n 4,75.10   7,15.10    M  at Đồng thời cho thay đổi áp lực làm cho độ lỗ hổng đất đá vỉa thay đổi tỷ lệ thuận với thay đối áp lực lên cốt đất n = - dPd (II-21) Phương trình động thái đàn hồi dịng thấm  Coi áp lực bên ngồi khơng thay đổi, có Pđ = P n = dP (II-22)  đây, d - hệ số giãn thể tích đất đá; trị số thay đổi phạm vi rộng phụ thuộc loại đá chiều sâu nằm Theo Selkatsev V.N đất đá trầm tích nằm sâu lấy đ = (1÷5).10-41/at    Dùng quan hệ (II-20) (II-22) vế phải phương trình (II-19) viết lại dạng sau n   n n  (II-23) t t t Phương trình động thái đàn hồi dòng thấm  ý P H  t t có  P H n   n t t t n P H  d d t t t    có (II-23) có dạng .n  H H H  n.n  2d n ; t t t t  n n n   d  (II-24) n - hệ số đàn hồi, hệ số đàn hồi thay đổi thể tích nước nguyên tố đơn vị dòng áp lực thay đổi 3 Phương trình động thái đàn hồi dịng thấm     Phân tích tài liệu thăm dị tỉ mỉ nước đất chứng tỏ tầng chứa nước áp lực thay đổi hệ số đàn hồi đới trao đổi mạnh thường không lớn (thực tế n = 106 – 10-51/atm) Nhờ biểu thức (II-24) áp dụng định luật thấm đường thẳng Đacxi, từ phương trình (II-19) nhận phương trình vi phân dịng thấm khơng gian lớp đồng đẳng hướng động thái đàn hồi k 2 H 2 H 2 H H (II-25) a     (n n   d x y z a t Thông số a đặc trưng cho trình phát triển động thái thấm đàn hồi dòng thấm theo thời gian; Selkatsev V.N gọi a hệ số truyền áp theo ông phụ thuộc vào độ co giãn lớp