ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài giảng điện tử ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ Nguyễn Thị Cẩm Vân Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Ngày 12 tháng 2 năm 2018 N[.]
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ Nguyễn Thị Cẩm Vân Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Ngày 12 tháng năm 2018 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 NỘI DUNG TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 NỘI DUNG TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm x x0 x1 với y = f (x 0) y y0 y1 y = f (x ) = f (x + h) Xét bảng số Đa thức nội suy Lagrange có dạng L (x) = x − x0 x − x1 y1 − y 0, h h với h = x − x Do đó, với ∀x ∈ [x 0, x 1] ta có f (x) ≈ Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) y − y f (x + h) − f (x ) = h h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm Công thức sai phân tiến: f (x ) ≈ Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) y − y f (x + h) − f (x ) = h h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 (1) / 23 Tính gần đạo hàm Cơng thức sai phân tiến: f (x ) ≈ y − y f (x + h) − f (x ) = h h (1) Công thức sai phân lùi: f (x ) ≈ Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) f (x ) − f (x − h) h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 (2) / 23 Tính gần đạo hàm x x0 x1 x2 với y = f (x 0), y y0 y1 y2 y = f (x ) = f (x + h), y = f (x ) = f (x + 2h) Xét bảng số Đa thức nội suy Lagrange có dạng (x − x )(x − x ) (x − x )(x − x ) y − y 1+ 2h h2 (x − x )(x − x ) y 0, 2h x − x0 x − x1 (y − 2y ) + (y + y )+ L (x) = 2h 2h x − x2 y − 2y + y 00 (y − 2y ), L (x) = 2h h2 L (x) = Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm Đặc biệt, x ta có f (x ) ≈ L (x ) = −3y + 4y − y 2h (3) gọi cơng thức sai phân tiến Cịn y2 − y0 x ta có f 0(x 1) ≈ L 0(x 1) = 2h gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng f (x ) ≈ Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) f (x + h) − f (x − h) 2h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 (4) / 23 Tính gần đạo hàm Còn x ta có f (x ) ≈ L (x ) = y − 4y + 3y gọi 2h công thức sai phân lùi thường viết dạng f (x ) ≈ f (x − 2h) − f (x − h) + f (x ) 2h (5) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm VÍ DỤ 1.1 Tính gần y 0(50) hàm số y = l g x theo công thức sai phân tiến dựa vào bảng x 50 55 60 giá trị sau y 1.6990 1.1704 1.7782 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang CƠNG THỨC HÌNH THANG Để tính gần tích phân b Z f (x)d x ta a thay hàm dấu tích phân f (x) đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P 1(x) = f (a) + f [a, b](x − a) = = f (a) + Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) f (b) − f (a) (x − a) b−a ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 11 / 23 Tính gần tích phân xác định b Z a P (x)d x = Z bh a Cơng thức hình thang i f (a) + f [a, b](x − a) d x = ¶¯b ¯ x2 = f (a)x + f [a, b] − ax ¯¯ a ả f (b) f (a) b a2 = f (a)(b − a) + · − ab + a ba 2 Ô ba £ = f (a) + f (b) Z b ¤ b−a £ f (x)d x ≈ f (a) + f (b) (6) a µ Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 12 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ với bước b−a Khi a = x , x = x + h, , n x k = x + kh, , x n = x + nh y k = f (x k ), k = 0, 1, , n chia h = Sử dụng cơng thức hình thang cho đoạn [x k , x k+1] ta Zx1 Zb f (x)d x = a x0 ≈h· Zx2 Zxn f (x)d x+ f (x)d x+ .+ f (x)d x x1 x n−1 y1 + y2 y n−1 + y n y0 + y1 +h · + +h · 2 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 13 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng VÍ DỤ 2.1 Tính gần tích phân I = Z dx 1+x cơng thức hình thang mở rộng chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 14 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng VÍ DỤ 2.1 Tính gần tích phân I = Z dx 1+x cơng thức hình thang mở rộng chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ k , x = 0, x k = 10 , 10 10 y k = f (x k ) = 1+1 k = 10+k h = b−a = 1−0 = n 10 10 h (y k + y k+1 ) = k=0 ả P 10 10 + ≈ 0.6938 20 k=0 10 + k 10 + (k + 1) I≈ P Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 14 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng h I ≈ (y + 2y + 2y + 2y + 2y + 2y + 2y + 2y + 2y + 2y + y 10 ) Bấm máy Với h = 0.1, ta có A = A+ h ∗ B ∗ (1 ÷ (1 + X )) : X = X + h CALC A=0, X=0, B=1= A=, X=, B=2= ., , A=, X=1, B=1= Kêt quả: I ≈ 0.6938 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 15 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson Để tích gần tích phân b Z f (x)d x ta a chia [a, b] thành đoạn điểm a, x = a + h, b với h = b−a thay hàm dấu tích phân f (x) đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)), (x , f (x )) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P 2(x) = f (a) + f [a, x ](x − a) + f [a, x , b](x − a)(x − x ) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 16 / 23